关于模糊线性规划模型问题的探讨

换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250

第十讲 模糊线性规划
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1
所谓规划问题，也就是最优化问题。长期以来，最 优化思想支配着人类生存和改造世界的活动，才使 人类社会得以不断发展。最优问题，在生活、生产 和社会行为的各个方面都普遍存在，因此优化是人 们普遍的思想。以前解决规划问题的常用的数学方 法，叫线性规划．这是用线性方程来研究规划问题 的方法。经典规划问题的目标函数和约束条件都是 明确的，但是，在实际问题中常常碰到模糊的目标 函数和约束条件，从面提出了模糊的规划问题，即 用模糊集方法来求解模糊最优化问题。
求一组变量(x1,x2,…, xn)使目标函数最大,且满足约 束条件.用矩阵可以表示为
Ax b
max
s Cx
s.t.
x
0
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6
为方便求解,需将不等式化为等式(加入松弛变量) (1)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
2. 可行解集中的点x是极点的充分必要条件是x为基 础可行解;
3. 线性规划问题的最优值仅在某极点上达到.
上述性质的证明见有关”线性规划”的书, 根据性 质3,求线性规划问题的最优解,只需从可行解集的 极点(基础可行解)中去找.
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经典线性规划-解法-图解法
例 max s=1.5x1+1.0x2 约束条件
(2)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得 ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
线性规划的标准形式为(松弛变量在目标函数中的系数为0)

11.1 经典线性规划
引例：某工厂生产A、B两种产品，其情况如下表：
试求出该工厂生产 A、B两种产品的 最佳方案。
机床1 机床2
A产品需 要工时
2
1
B产品需 机床每天最大 要工时 可利用工时
1
10
1
6
解：设x1、x2分别
单件产 品利润
1.5元
1.0元
——
为每天生产的A、B
产品数，则每天的利润 f 可表示为 f 1.5x1 1.0x2 (元)
直线离原点越远，f的值 越大。按性质(3)得：最 优点可能是极点(0,6),(5,0),(4,2)
(4,2)
x1+x2=6
经过计算，(4,2)为最优点，
即 x1=4, x2=2为最优解
0
x1 56
Matlab优化工具求解线性规划问题
[x,fval,exitflag, output, lambda]
ym
f(x) A(x)
若x M, 则 x 可能属于
1
2
多个M，必有一个 的最 大值，将此 值作为 x 的
1
隶属度，就得到一个新的
x1 x2
x3
X F集，记为Af 。
F约束下的条件极值
定义2：设AF(X), f : X→Y(实数域)，称F集 Af M
0 1
为 f 在F集A 上的优越集，其隶属度为
知：[0, 1]，A均为普通集合，记M为函数 f
在A上的优越集，即
Y
M
{x*|
f
(x*)
max
xA
f
(x)}
ym
f(x)
A(x)
1
2

中的M为足够大的正 中的 为足够大的正 , Ax = b ≥ 0数, 起“惩罚”作用 惩罚”作用, s.t. 以便排除人工变量. 以便排除人工变量 x ≥ 0. 单纯形解法是引入m个人工变量 大M单纯形解法是引入 个人工变量 n+1 , …, 单纯形解法是引入 个人工变量x xn+m将原问题变为 m
若约束条件带有弹性，即右端常数 若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 (bi – di , bi + di ) 内的某一个值，这里的d 内的某一个值，这里的 i＞0，它是决策人根据实 ， 际问题选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线 伸缩指标. 际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线 性规划. 性规划.
解多目标线性规划问题(P280) (P280)： 例2 解多目标线性规划问题(P280)：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; m f = 2x + 3x + x ; ax 2 1 2 3 x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, x + 4x x ≥ 6, s.t. 1 2 3 x1, x2 , x3 ≥ 0.
⑴解普通线性规划问题： 解普通线性规划问题：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, s.t.x + 4x x ≥ 6, 2 3 1 x1, x2 , x3 ≥ 0.
得最优解为x 得最优解为 1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值 为2，此时 f 2 = 8. ，
⑶再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通 再分别将两个目标函数模糊化, 线性规划问题： 线性规划问题：
ax λ, m x1 + 2x2 x3 + 2λ ≤10, 2x1 + 3x2 + x3 12λ ≥ 8, s.t. x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, 此时f 此时 1 = 5.43, x1 + 4x2 x3 ≥ 6. f 2 = 14.86.

具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数

2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
玉米
发热量 蛋白含量 4Mcal/kg 90g/kg
大豆饼
2Mcal/kg 300g/kg
配比要求
>2.8Mcal/kg > 220g/kg
价格
2元/kg
1.6元/kg
解：设1公斤混合饲料中玉米为x1,大豆饼为x2,
目标函数为：z=2x1+1.6x2
s.t. 4x1+2x2 2.8
90x1+300x2
最优值为z2=20，此时z1=10 兼顾两个目标函数可知 z 1 [ 2 , 1 0 ], z 2 [ 8 , 2 0 ]
d 于是选取伸缩分别为： 1 10 2 8 , d 2 20 8 12

s.t.
0 0
.5x1 .7x1
0.6x2 0.7x2
0.6x3 0.8x3
0.8x4 0.8x4
1000 1300
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
二. 模糊线性规划的求解方法
普通线性规划：
模糊线性规划
m in f T x x
Ax b Aeqx=beq
lbxub
m ax f T x x Ax b ~
加工每件产品工时
单位时段可
设备
供使用或必
甲
乙
丙
丁
须使用时数
A
1.0
1.2
1.4
1.5
2100
B
0.5
0.6
0.6
0.8
1000
C
0.7
0.7
0.8
0.8
1300
每件利润 12
15
8
10
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4
maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x1 1.2x2 1.4x3 1.5x4 2100
~~~
相应地改成 ,, 即可
11
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x1+ 4x2 -6x3
x1 x2 x3 8
s
.t
.
-
x x
1 1
+6x -3x2
2 -x3 -x3
6 4
1'
x1 ,x 2 , x 3 0
MATLAB程序如下
f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1);

工地 砖厂
运价
A1
A2
B1
B2
B3
50
60
70
60
110
160
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
2
解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2； j=1,2,3)
运量
工
地
B1
B2
B3
发量
砖厂
A1
x11
x12
x13
23
A2
x21
x22
x23
27
收量 17 18 15 50
⑵ 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。
⑶ 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。
我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问
题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划 数学模型。
智在线才智
15
解：
x2 x1 + x2 = -2
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
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第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
4.配料问题
5.布局问题
6.分配问题
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
1
（二）线性规划问题的数学模型

具有三角模糊数的线性规划的一种方法这种方法是利用了模糊数学隶属度的概念，我们选取一种计算方法，在该方法下，可以根据精度要求将计算过程细化，即可以分成多个计算区间，这个区间分的越细，我们所用来比较隶属度的样本就越多，从而可以更精确的找出隶属度最大的那个区间，那么在该区间上计算出来的结果就应该是我们想要的结果。

上面所说的隶属度是描述了我们所分区间的到的样本结果是否从属与理想结论的程度，同下面的方法中用距离来刻画是相似的。

记所用三角模糊数形式为0(,,)mpc c c c =设模糊线性规划中带有三角模糊数的目标函数有如下形式：123111()nnnpm i i i i i i f x w c x w c x w c x ====++∑∑∑上式中：w 1+2w +3w =1,0c --------消极量，m c --------可能量，p c -------乐观量，x Q ∈.设001231212(1)p m p mi i i i i i i f wc w c w c wc w c w w c =++=++--根据三角模糊数的性质可以知道001212(1)p m i i i i c wc w c w w c ≤++-- （1）由（1）可以推出 012()/()1p m m i i i i w w c c c c ≤--+ 我们作如下相应记法：102,m p m i i i i i i c c P c c P =-=-那么可以得到：21211i iP w w ≤+P （2）同样 01212(1)pm p i i i i w c w c w w c c ++--≤ （3） 由（3）可以推出2211(1)ii w P w P -≥作如下相应记法：()()22222122111122222212211112(1)(1)(1)max(,,....,)4min(1,1,...,1)5n n n n w P w P w P n P P P w P w P w Pm P P P ---==+++可以得到 1n w m ≤≤ （6）对于1w 是否存在，我们需要做一些限定，我们假定下面的条件成立，即：22222222212122221111111122(1)(1)(1),1,1...,1n n n n w P w P w P w P w P w P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+++≠∅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7） 因此若201w ≤≤，那么显然（7）是成立的。

关于模糊规划所提问题回答第三组1.P23三个模糊变量具体要如何解释？答：回收物流系统具有高度复杂性、目标多样性、供需失衡性等显著特点，因而产品回收量、产品处理能力这些参数很难用精确数值表达，存在不确定性，所以那三个变量是不确定变量。

2.P66语言标签部分具体处理还是三角吗？答：语言标签空间是一个个三角的叠加，他用三角模糊数来描述事件发生的可能，而每一件事件所对应的值是一定的，在去模糊化的过程中，采用期望值描绘众事件，然后进行无差异化组合来代替。

3.线性规划和模糊规划的区别？答：线性规划问题的数学模型是将实际问题转化为一组不等式或等式约束下求线性目标函数的最小（大）值问题，它都可以化为矩阵形式；模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解。

二者区别如下：（1）模糊规划目标函数或者约束函数中的变量有一个或多个为模糊量，而线性规划中的约束条件和目标函数都是确定的。

（2）在求解时，普通线性规划可直接求解，而模糊规划要先去模糊化成普通线性规划再进行求解。

使用模糊规划，主要是由于普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理。

4.针对于不同的问题，如何选用最适合去模糊的方法，选择的依据是什么，以及优缺点？答：从这次汇报来看，所涉及到的去模方法有四种，分别为截集，模糊模拟，期望值以及无差异曲线。

选用哪个方法，首先要看模糊变量的选择方式，若对三角模糊数而言，截集是最简明的，而对语言标记空间而言，截集是得不到效果的。

具体的选用什么去模方式方法，需要结合具体的问题来看。

5.混合智能模型解决了模糊规划中的什么问题？（东）答：混合智能算法并不是基于模糊提出的的，本文视角看，由于双层规划一般都是非线性和非凸的,用解析解法来求解是非常困难的,因此通常用智能算法来获得该问题的全局最优解。

6.软件运用中问题如何实现问题的去模？答：在本次汇报中，主要针对的问题是如何建立模糊规划模型以及如何求解。

个 FLR 模型的缺陷，因为线性规划问题的复杂性随着 估计数据集中观测数量的增加而增加。也就是说，每 增加一次观测，约束的数量就会增加两个，这限制了 FLR 模型在应用于较大数据集时的可操作性。
回顾已有文献，国内还没有将模糊线性规划用于 盈余管理计量模型的研究。国外学者的研究表明，当 研究年份在五六年时，基于模糊线性规划的琼斯模型 有明显的精确度优势，且该优势随着研究年限的递增 而边际递减。正是这个关于研究时限的优势，恰恰使 该模型适用于国内生存期较短企业的盈余管理方面的 研究，并为该领域的研究提供了新的视角。
参考文献 1. 李晓梅. 盈余管理问题初探. 中央财经大学学报， 2005（6）. 2.李龙星.上市公司盈余管理动因及常用方法研究. 商业时代，2009（34）. 3.周龙甫，师奕兵，唐静远等.基于模糊线性规划的 模拟电路软故障诊断.仪器仪表学报，2009，30(5).
模糊线性回归（Fuzzy Linear Regression）预测简称 FLR 预测的一般步骤包括： 对预测对象的特征及相 关因素进行评估，研究因变量及自变量之间的关系。 建立 FLR 模型。 分析、评估 FLR 模型的可靠性和准 确度。 针对样本大小确定参数。在 FLR 分析中，一 般使用下列线性回归模型：
其中xji为自变量，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为模糊截距系数， 为模糊
斜率系数，使用线性规划进行估计， 是模糊输出。模
糊系数一般表示为对称三角模糊数，用 j代表 的中 心值，用cj代表其围。此外，在估计 FRL 系数之前，首 先需要定义目标可信度 h，h 在 0 到 1 的范围内。随着
h 值得增加，模糊线性模型的模糊性随之增加，但不影 响模糊系数的中心值。目标函数的目的是使得 FRL 模 型的模糊性最小化，目标方程如下：

利用离散步长讨论模糊线性规划问题第一章绪论1.1 选题背景模糊数学是一门崭新的学科，它自1965年由美国著名控制论专家查德教授创始以来，发展十分迅速。

其应用的涉及面极为广泛，几乎遍及理、工、农、医以及社会科学的各个领域。

模糊优化是模糊数学的一个重要的分支，从1970年以来，模糊优化，特别是模糊线性规划就一直是一个引人关注的研究领域。

模糊线性规划是一种采取惩罚函数法利用离散步长求最优解的问题，通过引入惩罚因子，把有约束条件的线性规划转变成无约束条件的线性规划。

再采用计算机编程采用离散步长的循环坐标法进行运算。

1.2本文研究的目的及意义现实生活中，由于不确定性在现实生活中的普遍存在，使得模糊线性规划的研究和应用越来越广泛。

人具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。

但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象。

因此讨论模糊数学规划问题有着科学技术与数学发展的必要性，并且具有较大的应用价值和现实意义。

1.3 国内外研究现状模糊数学的研究主要有以下几个方面第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。

并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。

人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

第三，研究模糊数学的应用。

模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。

模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。

实验三 模糊决策与糊线性规划实验目的：会用模糊综合评判模型进行综合评判，掌握将模糊线性规划转化为一般线性规划的方法，会使用数学软件Lindo 求解一般线性规划.实验学时：4学时实验内容：⑴ 教学过程的综合评判等.⑵ 将已知模糊线性规划问题用C 语言编程生成Lindo 软件的数据格式，再用Lindo 软件求解.⑶ 编程求解模糊关系方程的最大解.实验日期：2015年11月6日操作步骤：将模糊线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=--≥+-≤+++-=.0,,],5.0,4[3],1,6[6],2,8[..,64max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x f 转化为普通线性规划问题，并用Lindo 软件求解.用C 语言编程生成Lindo 软件的数据格式#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double c[]={1,-4,6};//目标系数double A[3][3]={1,1,1,1,-6,1,1,-3,-1};//技术系数矩阵double b[]={8,6,-4};//目标右端常数double fc=38;//第一个线性规划问题的最优值double dc=8.25;//第一、二个线性规划问题的最优值之差double d[]={2,1,0.5};//伸缩指标char opt=1;//0表示min;1表示maxchar cont[]={-1,1,0};//约束条件-1表示≤;0表示=;1表示≥int m=3,n=3;//m 约束条件个数;n 变量个数FILE *fp;int i,j;fp=fopen("xxxx.txt","w");if(opt)fprintf(fp,"Max ");else fprintf(fp,"min ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}fprintf(fp,"\ns.t. ");for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"<");else if(cont[i]==0)fprintf(fp,"=");else fprintf(fp,">");fprintf(fp,"%6.4f\n",b[i]);}fprintf(fp,"\n\n\n");if(opt)fprintf(fp,"Max ");else fprintf(fp,"min ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}fprintf(fp,"\ns.t. ");for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"<%6.4f\n",b[i]+d[i]);else if(cont[i]==0){fprintf(fp,"<%6.4f\n",b[i]+d[i]);for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}fprintf(fp,">%6.4f\n",b[i]-d[i]);}else fprintf(fp,">%6.4f\n",b[i]-d[i]);}fprintf(fp,"\n\n\n");fprintf(fp,"Max lmd");fprintf(fp,"\ns.t. ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}if(opt)fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",dc,fc);else fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",dc,fc);for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",d[i],b[i]+d[i]);else if(cont[i]==0){fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",d[i],b[i]+d[i]);for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",d[i],b[i]-d[i]);}else fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",d[i],b[i]-d[i]);}fclose(fp);}结果：C语言编程生成的Lindo软件数据格式：Max 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3s.t. 1.0000x1+1.0000x2+1.0000x3<8.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3>6.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3=-4.0000Max 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3s.t. 1.0000x1+1.0000x2+1.0000x3<10.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3>5.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3<-3.50001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3>-4.5000Max lmds.t. 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3-8.2500lmd>38.00001.0000x1+1.0000x2+1.0000x3+2.0000lmd<10.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3-1.0000lmd>5.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3+0.5000lmd<-3.50001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3-0.5000lmd>-4.5000求解结果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 38.00000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 6.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 2.000000 0.0000004) 0.000000 -2.500000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 15.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 7.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 8.000000 INFINITY 2.0000003 6.000000 2.000000 INFINITY4 -4.000000 12.000000 4.000000OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 46.25000VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 2.750000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 7.250000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 5.000000 0.0000004) 1.000000 0.0000005) 0.000000 -2.500000NO. ITERATIONS= 1RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 5.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 5.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 10.000000 INFINITY 5.0000003 5.000000 5.000000 INFINITY4 -3.500000 INFINITY 1.0000005 -4.500000 1.000000 5.500000 VARIABLE VALUE REDUCED COSTLMD 0.500000 0.000000X1 2.375000 0.000000X2 0.000000 0.909091X3 6.625000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.0606063) 0.000000 0.2121214) 3.500000 0.0000005) 0.500000 0.0000006) 0.000000 -0.151515NO. ITERATIONS= 4RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE LMD 1.000000 INFINITY 1.000000X1 0.000000 0.246914 0.622222X2 0.000000 0.909091 INFINITYX3 0.000000 0.800000 0.487805RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 38.000000 8.250000 8.2500003 10.000000 2.357143 2.3571434 5.000000 3.500000 INFINITY5 -3.500000 INFINITY 0.5000006 -4.500000 0.589286 3.870370所以最优解是2.375*1+(-4)*0+6*6.625=42.125。

ｃ ｏｎｖ ｎ ｅ ｅ ｉｎｔ．
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｒ ｐ ｚ ｉ ｕ ｚ ｕ ｅ ；ｒ ｎ ｉ ｇ ｃ ｉ ｒ ｎ ｉ ｅ ｒ ｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ ｙ ｗ ｒ ｓ ｔ ａ ｅ ｏｄ ｆ ｚ ｙ ｎ ｍｂ ｒ ａ ｋ ｎ ｒｔ ｉ ；ｌ ａ ｒ ｇ ａ ｅ ｏ ｎ ｎ
０ 弓 言 Ｉ
第２ ５卷 第 ｌ 期
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ Ｉ２ ．
新 乡学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｉｘａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｉｎ ｉｅ ｓｔ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ） Ｓ ｉ
２０ ０ ８年 ３月
Ｍ ａ ． ０８ ｒ ２０
一
类模 糊பைடு நூலகம்线性 规 划模 型 的解
赵 国喜 ， 继 红 成
（ 乡学 院 数 学 系 ， 南 新 乡 ４ ３ ０ ） 新 河 ５０ ３
摘
要 ： 对梯 形模 糊数 ， 出了一种新 的模糊数排序 的方法， 针 提 并把该方 法用到 了含 有模糊约束条件 的线性 规划 问
Ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｖ ｎ ｎｄ ｏ ｚ ｙ Ｌｉ ａ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ Ｍ ｏ ｅ ｔ ｏ ｆＳ ｌ ｉ ｇ ａ Ｋｉ ｆ Ｆｕ ｚ ｎｅ ｒ Ｐｒ ｇ ａ ｎ ｄｌ
ＺＨＡＯ ｌ－ ｉ Ｃ ＧＩ Ｘ ． ＨＥＮＧ ｉ ｏ ｇ Ｏ Ｊ－ ｎ ｈ
（ ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｘｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｘｉ ｘ ａ ｇ ４ ３ ０ Ｃｈ ｎ ） Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ， ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｓｔ ， ｎ ｉｎ ５ ０ ３， ｉａ ｃ
义 的 ａ截 集 （） ａ （ ） ａ （ ） ， 中 Ｏ ≤ｌ ａ 一Ｅ 口 ， ａ ］ 其 ≤ａ ，

足一 定 的条 件． 对于模 糊线性 规划模 型 问题 来说 ，
经济 管理实 际 中的 问题 ， 当 的建 立 与这 些 问题 恰
相关 的经济 数学 模型 是 关 键所 在． 学 模 型 的建 数 立不 仅是用 数学解决 经济 、 理 问题 的第一 步 ， 管 它 还 贯穿 在解决 问题 的全 过 程 中． 济 数 学 模型 有 经 很 多种 ， 本文 主要 通过 开 发 区实 现 发 展 期 望 目标 模 糊线 性规划 数学 模 型 的 分析 ， 模 糊 线 性规 划 对
中最 为关键 和 制 约程 度 比较 大 的资 源是 资金 、 土
０ 引言
自威 廉 ・ 配第在 经济论 文 中最早 运 用数 学 以
来 ， 济 学 与 数学 就 结 下 了 不 解 之 缘 ． 学 的 应 经 数
地、 主要 生 产 资料 和 能源 ． 何在 有 限 的资 金 、 如 土
优 的问题． 例如 开发 区建设是 在 一定 的 时空范 围内展
的方 案可供 选择 ， 就 是 说 满足 约 束条 件 的 方案 也 可能 有许多 个． 们要 求从 中选 出一个最 优方案 ． 我
这里 有一个 衡量 标 准 问题 ， 即根 据 什 么数 量标 准
来评定 一个 方案 是 最 优 的 ， 这个 数 量标 准 我 们称 之 为 目标 函数． 目标 函数 是 根据 经 济 问题 的性质 和要求 确定 的 ， 照研究 问题 的不 同 ， 常要求 目 按 常 标 函数取最 大或 最 小 值 ， 一个 问题 的 目标 函 数 每 和约束 条件 都是线 性 的．
１ 模 型 的构 建 与解 析
建立线 性规 划 问题 的数 学模 型 ， 是从 实 际 就 问题 出发 ， 住 主要 因素 ， 抓 确定 决策 变 量 ， 出约 找 束条件 ， 并建 立模糊 线性 规划模 型． 而许 多经济 问 题 的模糊 线 性规划 模 型 尽 管 特点 不 同 ， 但都 具 有 以下三个 基本 特征１ ： ＂ ２ ３ 第 一 、 一 个 经 济 问 题 都 用 一 组 未 知 变 量 每 （ ， ， ， ） 示某一 规划 方案 ， 组未 知变 量 ： … 表 这 的一 组定值 代 表一 个 具 体 的方 案 ， 且这 些 经 济 而 问题 中的变量 往往都 有非 负的要 求． 第二 、 这些 经济 问题 的研 究 和解 决 ， 必须满 都

1 2 3
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数

2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)

就代表一个具体方案一般这些变量取值是非负 且连续的；
2要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征继续
3 存在可以量化的约束条件这些约束条件可 以用一组线性等式或线性不等式来表示;
4 要有一个达到目标的要求它可用决策变量 的线性函数称为目标函数来表示按问题的 不同要求目标函数实现最大化或最小化
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
约束条件：
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2, ,m
x
j
0,
j 1,2, ,n
弛变量x6； 3 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； 4 令z′= -z把求min z 改为求max z′即可得到
该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x 2 3( x 4 x5 ) 0 x6 0 x7
x1 x2 ( x4 x5 ) x6
7
x1 x2 ( x4 x5 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0

其中d=(d1 ,d2, …,dm)T为伸缩指标。 设Z0是(1)的最优解，设Z1是(2)的最优解 目标函数的弹性可表示为Z0≤Z=Cx≤ Z1
隶属函数为：
0 n n G ( x ) g ( c j x j ) ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 j 1 1
变形得
max Z
n aij x j d i bi d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n c j x j ( z1 z0 ) z0 j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n)1 3 x2 3 x1 2 x2 1500 x1 400 s.t . x2 250 x , x 0. 1 2
(1) (2) (3)
根据实际情况，假设约束条件(1)(2)(3)的伸
缩系数分别为d1=50(元)， d2=5(套)， d3=5 (套)，为
x X
则模糊规划转化为普通规划问题
max Z
n 1 ( aij x j bi ) d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n) j
min f1 x1 2 x2 x3 max f 2 2 x1 3 x2 x3 x1 3 x2 2 x3 10 s.t . x1 4 x2 x3 6 x , x , x 0. 1 2 3
解得λ =0.57, x1=6.29, x2=0.29, x3=1.43,此时
6 x1 2 x2 21, s.t . x1 , x2 0.