代入法求轨迹方程(修改稿)

求动点的轨迹方程（教学设计）教学目标：根据条件，想象动点轨迹曲线的形状，学生之间能沟通交流； 用几何画板演示，验证想象的正确性；用坐标法求动点轨迹方程.教学重点：用坐标法求动点轨迹方程.教学难点：根据条件，想象动点轨迹曲线的形状.教学过程：一、辅助点法例1. 在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为D.当点P在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？方法1：想象动点轨迹（或满足条件的点的集合）→用信息技术验证想象的正确性，形成动点M 的轨迹曲线.方法2：求动点的轨迹方程，根据方程判断轨迹形状.（注意过程步骤）变式1. 延长DP 至N ，使得P 是DN 的中点. 当点P 在圆上运动时，N 的轨迹是什么？评述：上面问题是从圆出发形成椭圆，你还有哪些心得？二、直接代入法例2.已知点A )05(，-、B )05(，，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是94-.点M 的轨迹是什么？方法：用信息技术探索点M 的轨迹，注意斜率存在的条件.变式2.1. 直线AM 与BM 的斜率之积是49-呢？1-呢？变式2.2. 直线AM 与BM 的斜率之商是2呢？评述：上面问题是从直线的斜率出发形成椭圆，你还有哪些心得？例3. 动点M )(y x ，到定点F )04(，的距离与它到定直线l ：425=x 的距离之比是常数54，动点M 的轨迹是什么？ 变式3. 动点M )(y x ，到定点F )05(，的距离与它到定直线l ：516=x 的距离之比是常数45，动点M 的轨迹是什么？评述：圆锥曲线的第二定义，仅仅作为例题应用，不向学生说明.三、定义法例4. 圆O 的半径为r ，A 是圆O 内的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？变式4. 若A 是圆O 外的一个定点，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？评述：根据定义得Q 点的轨迹是椭圆，但求方程还需恰当建立直角坐标系.小结：求动点轨迹，要先根据条件收集信息，想象轨迹曲线的大致形状，有条件的可以用信息技术验证，并注意挖去不满足条件的点.用坐标法求动点轨迹方程时，要走完五步：建→设→限→代→化，用方程来检验曲线，注意不满足条件的点应排除.。

第四讲:轨迹方程.代入法若动点P(x,y)的运动变化依赖于己知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(s,t)的运动变化,此时我们把动点P(x,y)中的x 、y 视为己知,根据题目条件着力于求点Q(s,t)的坐标,即s=f(x,y),t=g(x,y),然后把s=f(x,y)与t=g(x,y)代入方程F(x,y) =0,并化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为代入法.一.解题程序例1:(2009年江西高考试题)己知点P 1(x 0,y 0)为双曲线22228b y b x -=1(b 为正常数)上任意一点,F 2为双曲线的右焦点,过P 1作右准线的垂线,垂足为A,连 y 结F 2A 并延长交y 轴于点P 2. P 2 (Ⅰ)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程; P (Ⅱ)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E P 1 A上任取一点Q(x 1,y 1)(y 1≠0),直线QB 、QD O F 2 x 分别交y 轴于M 、N 两点,求证:以MN 为 直径的圆过两定点.解析:(Ⅰ)因a 2=8b 2⇒c=3b ⇒c a 2=38b,由点P 1(x 0,y 0)⇒A(38b,y 0);设点P 2(0,t)由t:y 0=c:(c-c a 2)⇒t=9y 0.设点P(x,y),则x=21x 0,且y=5y 0⇒x 0=2x,y 0=51y,代入双曲线22228b y b x -=1得:2222252by b x -=1,此即是点P 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)在2222252b y b x -=1中,令y=0得x=±2b ⇒B(-2b,0),D(2b,0)⇒直线QB 、QD 的方程分别为y=bx y 211+(x+2b)、y=bx y 211-(x-2b)⇒M(0,bx by 2211+)、N(0,bx by 2211--)⇒以MN 为直径的圆:x 2+(y-bx by 2211+)(y+bx by 2211-)=0⇒x 2+y 2+22122b x by -y 1-22121222b x y b -=0(由221221252by b x -=1⇒x 12-2b 2=252y 12)⇒252(x 2+y 2-25b 2)y 1+2by=0⇒x 2+y 2-25b 2=0,且y=0⇒x=±5b.即以MN 为直径的圆过两定点(-5b,0)和(5b,0).类题:1.(1985年上海高考试题)如图,由抛物线y=x 2+2上的点M(x 0,y 0)向直线y=21x 作垂线,垂足为N,延长MN 至P 点,使得|MN|=4|NP|.(Ⅰ)用x 0,y 0表示点N 的坐标(x 1,y 1); (Ⅱ)用x 0,y 0表示点P 的坐标(x,y);(Ⅲ)求当点M 沿抛物线移动时,点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2011年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知O 为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,MT 1,MT 2是圆的切线,求△MT 1T 2垂心的轨迹方程.二.压缩变换例2:(2011年陕西高考试题)如图, y设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是 P P 在x 轴上的摄影,M 为PD 上一点, M 且|MD|=54|PD|. O D x (Ⅰ)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为54的直线被C 所截线段的长度.解析:(Ⅰ)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知x p =x,y p =45y,由P 在圆上⇒x 2+(45y)2=25⇒轨迹C:252x +162y =1; (Ⅱ)过点(3,0),且斜率为54的直线方程为y=54(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-=25162516)3(5422y x x y ⇒x 2 -3x-8=0⇒|AB|=541. 类题:1.(1992年上海高考试题)设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2422y x +=1交于A 、B 两点,P 是l 上满足|PA|.|PB|=1的点,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2012年湖北高考试题)设A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m ≠1)当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C 于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ ⊥PH ？若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.三.一相关点例3:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0),其离心率为54,两准线之间的距离为225. (Ⅰ)求a,b 之值;(Ⅱ)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设c 为椭圆的焦半径,则a c=54,2c a 2=225,于是有a ＝5,b ＝3; (Ⅱ)解法一:设B(s,t),P(x,y),于是有AB =(s-6,t),AP =(x-6,y).AB AP =0⇒(s-6)(x-6)+ty=0⇒s-6=-6-x ty; |AB |=|AP |⇒(s-6)2+t 2=(x-6)2+y 2⇒(6-x ty )2+t 2=(x-6)2+y 2⇒t 2=(x-6)2⇒y 2=(s-6)2⇒s=6-y 代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1.解法二:设P(x,y),AP =(x-6,y),z=(x-6)+yi ⇒z(cos900+isin900)=-y+(x-6)i ⇒AB (-y,x-6)⇒B(6-y,x-6)代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1. 类题:1.(1986年全国高考试题)己知抛物线y 2=x+1,定点A(3,1),B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2, 当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹是哪个曲线？ 2.(2013年辽宁高考试题)如图,抛物线C 1: A y x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0),点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为 B原点时,A,B 重合于O).当x 0=1-2时,切线 O x MA 的斜率为-21. M (Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).四.两相关点例4:(2011年重庆高考试题)(文)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在定点F,使得 |PF|与点P 到直线l:x=210的距离之比为定值？若存在,求F 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)设椭圆:22a x +22b y =1(a>b>0),则221a b -=22,222b a a -=22⇒a 2=4,b 2=2⇒椭圆的标准方程42x +22y =1;(Ⅱ)设P(x,y),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则由直线OM 与ON 的斜率之积为-21⇒11x y ⋅22x y=-21⇒x 1x 2+2y 1y 2=0;由OP =OM +2ON ⇒x=x 1+2x 2,y=y 1+2y 2;由x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4⇒x 2+2y 2=(x 1+2x 2)2+2(y 1+2y 2)2=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20⇒202x +102y =1⇒动点P 的轨迹是椭圆:202x +102y =1,其右焦点F(10,0),右准线为直线l:x=210⇒|PF|与点P 到直线l:x= 210的距离之比为定值e=22. 类题:1.(2011年重庆高考试题)(理)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在两定点F 1,F 2,使 得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在,求F 1,F 2的坐标;若不存在,说明理由. 2.(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)如图所示,过双曲线x 2-42y =1的中心O 作两条互相垂直的射线,交双曲线于A 、B 两点.试求: y B (Ⅰ)弦AB 的中点P 的轨迹方程; A(Ⅱ)双曲线的中心O 到直线AB 的距离. O x五.多相关点例5:(2011年安徽高考试题)设λ>0,点A 的坐标为(1,1), y A点B 在抛物线y=x 2上运动,点Q 满足BQ =λQA ,经过点Q Q与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =λMP , B O M x 求点P 的轨迹方程. P解析:设P(x,y),则:M(x,x 2),由QM =λMP ⇒Q(x,x 2-λ(y-x 2));由BQ =λQA ⇒B((1+λ)x-λ,(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ);由点B 在抛物线y=x 2上⇒(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ)=[(1+λ)x-λ]2⇒2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0⇒2x-y -1=0.x=22OB 1yxPNMx=22OB 1yxPNM类题:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)直角坐标系xOy 中,设A,B,M 是椭圆C:42x +y 2=1上的三点.若OM =53OA +54OB .证明:线段AB 的中点在椭圆22x +2y 2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛试题)过抛物线y=x 2上的一点A(1,1)作抛物线 的切线,分别交x 轴于D,交y 轴于B.点C 在抛物线上,点E 在线段AC 上,满足EC AE =λ1;点F 在线段BC 上,满足FCBF=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD 与EF 交于点P. 当点C 在抛物线上移动时,求点P 的轨迹方程.六.动直线点例6:(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)抛物线y=x 2与过点P(-1,-1)的直线l 交于P 1,P 2两点.(Ⅰ)求直线l 的斜率k 的取值范围; (Ⅱ)求在线段P 1P 2上满足条件11PP +21PP =PQ2的点Q 的轨迹方程. 解析:(Ⅰ)直线l 的方程为y+1=k(x+1),与抛物线方程y=x 2联立得x 2-kx-(k-1)=0,由(-k)2+4(k-1)>0,解得k>-2+22,或k<-2-22;(Ⅱ)设Q(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1+x 2=k,x 1x 2=1-k.又P 1,P 2,Q 都在直线l 上.由11PP +21PP =PQ2⇒ 2121)1()1(1+++y x +2222)1()1(1+++y x =22)1()1(2+++y x ⇒|1|11+x +|1|12+x =|1|2+x .又(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=2 >0,点Q 在线段P 1P 2上,所以x 1+1,x 2+1,x+1同号.则111+x +112+x =12+x ⇒x=221212121+++++x x x x x x =24+k -1∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1),⇒y=k(x+1)-1=3-28+k ⇒2x-y-1=0,因此点Q 的轨迹方程是2x-y-1=0,x ∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1). 类题:1.(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆22a x +22b y =1的左右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程. 2.(1995年全国高考试题)己知椭圆162422y x +=1,直线l:812y x +=1.P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R,又点Q 在OP 上,且满足:|OQ||OP|=|OR|2.当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.。

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。

例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法：1.直译法：假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标（x,y）暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法：假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线（如圆.椭圆.双曲线.抛物线）的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法：假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x＝f（t）, y＝g（t）,进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F（x,y）＝0.4. 代入法（相干点法）：假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,（该点坐标知足某已知曲线方程）,则可以设出P（x,y）,用（x,y）暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法：在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程）,该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法：已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是：建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -，，，,动点()P x y ，知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B （－1,0）,C （1,0）,P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程;（2）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定：直线DE 是否过定点？试证实你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法．这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提．1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是认为B C ，核心的椭圆,个中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 留意：求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A （3.0）.线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程．解：衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆界说可知：P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆．5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得：22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得：222(3)12x y x ++=+④双方再平方得：22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程．这种办法称为相干点法(或代换法)．x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程．剖析解：设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点．2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.4.（上海,3）设P 为双曲线-42x y2＝1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析：设P （x0,y0） ∴M（x,y ） ∴2,200y y x x ==∴2x＝x0,2y ＝y0∴442x －4y2＝1⇒x2－4y2＝15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -，，，,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，,00()A x y ，,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上,200y x =∴． ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠． 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量（参数）,把x,y 接洽起来．若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P '，,使有向线段OP OP '，知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--，． 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程,症结有两点：一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．3.已知双曲线2222n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=－)(11m x mx y --② ①×②得y2=－)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=－y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2－4pmy －4pa=0所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =－y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=－y x代入,得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）,①2k ⨯+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A （－1,0）,斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解：请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而,点R 与直线l 并没有直接接洽．与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结．由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C ：y2=4x 的方程,消x 得：204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知：122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞．∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y2=16(x –21) 点评：本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C ：x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析：(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．2.自抛物线y2＝2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解：设P （x1,y1）.R （x,y ）,则Q （－21,y1）.F （21,0）,∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=－y1（x －21）.②由①②得x1＝xx 212-,y1＝xy 212-,代入y2＝2x,可得y2＝－2x2+x.六.待定系数法当曲线（圆.椭圆.双曲线以及抛物线）的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知Ａ,Ｂ,Ｄ三点不在一条直线上,且(20)A -，,(20)B ，,2AD =,1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程;（2）过A 作直线交认为A B ，核心的椭圆于M N ，两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -，．又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; （2）设1122()()M x y N x y ，，，,中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．2.已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a ＞b ＞0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解：由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率;（2 ）若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:（1）设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。

xy 0ABC MD 5轨迹方程求法探究求轨迹方程的方法有多种，常用的有直接法、定义法、代入法、参数法，向量法，待定系数法和交轨法．一、直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法． 例1．一动点与原点的边线的斜率等于这个动点与原点的距离，求此动点轨迹方程。

解析：设P （x,y ），则op k ，OP 都可表示出来，从而据题设可求得动点的轨迹方程。

解：设动点P （x,y ），则op k ，x y k y OP op =+=,x 22，据题意可得：xyy x =+22 两边平方化简得：02224=-+y y x x （xy>o ） 故所求得动点的轨迹方程为02224=-+y y x x （xy>o ）变式： 已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。

解：设点P 的坐标为（x ，y ），则由题意可得4|3x |y )1x (22=-++-。

（1）当x ≤3时，方程变为1x y )1x (4x 3y )1x (2222+=+-=-++-，，化简得)3x 0(x 4y 2≤≤=。

（2）当x>3时，方程变为x 7y )1x (43x y )1x (2222-=+-=-++-，，化简得)4x 3)(4x (12y 2≤<--=。

故所求的点P 的轨迹方程是)3x 0(x 4y 2≤≤=或)4x 3)(4x (12y 2≤<--=。

二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2 已知圆25y )4x (22=++的圆心为M 1，圆1y )4x (22=+-的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：5R |PM |1+=，1R |PM |2+=。

求轨迹方程的常用方法求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.例1:线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为),(y x ，在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.1.在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。

解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。

设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。

2.过点P （2，4）作两条互相垂直的直线12l l ，，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解：设M x y （，），连结MP ，则2002A x B y （，），（，），∵12l l ⊥，∴△PAB 为直角三角形，||21||AB MP ，=由直角三角形的性质2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴ 化简，得250x y ＋－＝，即M 的轨迹方程250x y ＋－＝。

二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，可用定义直接探求.例2．若动点M 到点A(2,0)-距离为3，求动点M 的轨迹方程。

求轨迹方程的方法求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法、点差法等。

1．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．例1、已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为23, ∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧，必有x<0,而C 点在x 轴上时不能构成三角形，故x≠─2,因此点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 练习一：1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

2 ：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

2．直接法例2 、 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。

解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈AN AM ⊥ ∴1-=⋅AN AM k k ∴120322230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)23,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。