轨迹方程的求法及典型例题
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轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱,检测一个直径为3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少?【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ,问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切,与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5-r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点,长轴长2.5的椭圆上,其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点,长轴长为2的椭圆上,其方程为 (x -21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ,∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ,其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点,两点A (-3,2)、B (1,2)都在该双曲线上.(1)求点1F 的坐标; (2)求点2F 的轨迹方程,并指出其轨迹表示的曲线.【解析】(1)由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ,焦点1F (-1,0). (2)因为A 、B 在双曲线上,所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-,|||22||||22|22BF AF -=-.①若||22||2222BF AF -=-,则||||22BF AF =,点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线,且当y =0时,1F 与2F 重合;当y =4时,A 、B 均在双曲线的虚轴上. 故此时2F 的轨迹方程为x =-1(y ≠0,y ≠4).②若22||||2222-=-BF AF ,则24||||22=+BF AF ,此时,2F 的轨迹是以A 、B 为焦点,22=a ,2=c ,中心为(-1,2)的椭圆,其方程为14)2(8)1(22=-++y x ,(y ≠0,y ≠4) 故2F 的轨迹是直线x =-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=,除去两点(-1,0)、(-1,4) 评析:1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程,是学习解析几何的基础,求轨迹的方程常用的方法主要有:1直接法:若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点坐标为( x, y )后,就可根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。
从而得到轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1 :在直角△ ABC中,斜边是定长2a (a 0),求直角顶点C的轨迹方程。
解:由于未给定坐标系,为此,首先建立直角坐标系,取AB所在的直线为X轴,AB的中点0为坐标原点,过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0),B (a,0)。
设动点C为(x, y),••• | AC |2 |BC |2 |AB|2,a)2y2]2h(x a)2y2]24a2,即x2由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在,轨迹中应除去A、B两点,故所求方程为x2y2a2( x a )。
2•代入法(或利用相关点法):即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解,就得到原动点的轨迹。
例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动,点M在线段AB上,且AM : MB 1:2,求动点M的轨迹方程。
解:设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y),一方面,. 另一方面,36 , M分AB的比为1,2评注:本例中,由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化,因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示,而点 M 又满足已知条件,从而得到 M 的轨迹方程。
此外,与上例一样,求曲线的方程时, 要充分注意化简过程是否完全同解变形,还要考虑曲线上的一些特殊点。
3.几何法:求动点轨迹问题时,动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系,且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式,化简后就可以得到动点的轨迹方程,这种 求轨迹方程的方法称作几何法。
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱,检测一个直径为3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少?【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ,问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切,与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5-r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点,长轴长2.5的椭圆上,其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点,长轴长为2的椭圆上,其方程为 (x -21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ,∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ,其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点,两点A (-3,2)、B (1,2)都在该双曲线上.(1)求点1F 的坐标; (2)求点2F 的轨迹方程,并指出其轨迹表示的曲线.【解析】(1)由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ,焦点1F (-1,0). (2)因为A 、B 在双曲线上,所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-,|||22||||22|22BF AF -=-.①若||22||2222BF AF -=-,则||||22BF AF =,点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线,且当y =0时,1F 与2F 重合;当y =4时,A 、B 均在双曲线的虚轴上. 故此时2F 的轨迹方程为x =-1(y ≠0,y ≠4).②若22||||2222-=-BF AF ,则24||||22=+BF AF ,此时,2F 的轨迹是以A 、B 为焦点,22=a ,2=c ,中心为(-1,2)的椭圆,其方程为14)2(8)1(22=-++y x ,(y ≠0,y ≠4) 故2F 的轨迹是直线x =-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=,除去两点(-1,0)、(-1,4) 评析:1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法;2定义法;3待定系数法4参数法5交轨法;6相关点法注意:求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1:点P-3,0是圆x2+y2-6x-55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解:设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x -42+y 2=36-x 2+y 2,即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x -10=0 整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι:y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程.解:PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA :),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB :).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =-2,或t =-1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp >0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一:设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =-yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb -4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=-x 1x 2所以k pk4=-22kb , b =-4kp故y =kx +b =kx -4p , 得x 2+y 2-4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二:设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①-②得y 1-y 2y 1+y 2=4px 1-x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=-16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px -y 12=yy 1+y 2-y 12-y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2-4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11.08、山东文22已知曲线1C :||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.1求椭圆2C 的标准方程; 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点.①若||MO =λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程;②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值.解:1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ,⇒椭圆方程:2254x y +=1.2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y =kxk≠0,A A A y x ,.①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++, ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+. 设Mx,y,由|MO|=λ|OA|λ≠0⇒|MO|2=λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+.因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y =1x k -⇒k =x y-,代入上式有:22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k =0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0.②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++,⇒|OA|2=222220(1)45A A k x y k ++=+. 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++,⇒22220(1)||54k OM k +=+. ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++=209. 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940.||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆=||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4+5k 2=5+4k 2时,即k =±1时等号成立.当1400229AMB k S ∆==⨯=>,; 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>.综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409.2.07、江西理21设动点P 到点(10)A -,和(10)B ,的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=.1证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ,两点,试确定λ的范围,使OM ·ON =0,其中点O 为坐标原点.解:1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ,为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为:2211x y λλ-=-. 2设11()M x y ,,22()N x y ,①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上.即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=. ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得: 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知:2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--. 由OM ·ON =0,且M N ,在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩. 由①②知32215<≤-λ.3.09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.1求椭圆C 的方程;2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c .由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a =4,c =3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=. 2设Mx,y,P 0x ,0y . 其中0x ∈-4,4,0x =x .有22001167x y +=……① 由OP e OM=得:2240022x y e x y +=+=169. 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x =fx,y,0y =gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①:22001167x y +=并整理得:47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段.轨 迹 方 程练习24.09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点. 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,-√3,求||MC ·||MD 的最大值;2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件:OQ =OM +ON ,QA ·BA =0.求线段QB 的中点P 的轨迹方程.解:1设椭圆方程为:22221x y a b +=a >b >0.准线方程3y ==c a 2,2e ==ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为:2214y x +=.所以:C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC +||MD =4.||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC =||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4.2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0,m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x . 由OQ =OM +ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA =0 ⇒Q Q y x --,1·B B y x --,1=Q x -1B x -1+B Q y y =0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+=)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ =)]1(25[41-++B Q x x =)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为:1)21(22=+-y x .5.09、安徽已知椭圆22a x +22by =1a >b >0的离心率为33.以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y =x +2相切.1求a 与b 的值;2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解:1e =33⇒22a b =32.又圆心0,0到直线y =x +2的距离d =半径b =22112+, ∴2b =2,2a =3.12322=+y x 21F -1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t . 2L 的方程为:y =t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k =2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率=-t2. 所以:直线MN 的方程为:y -2t =-t 2x .由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得:M M x y 42-=,即: x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点.又解:由于MN =-x,2t -y,1PF =-x,2t -y .∵MN ·1PF =0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(,,消参数t 得:x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点.6.07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点.直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程;2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.解:1由条件知1(20)F -,,2(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,.设()M x y ,,则1(2)F M x y =+,,111(2)F A x y =+,,1221(2)(20)F B x y FO =+=,,,, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=. 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA ·CB 为常数. 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--. 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB =-1.当AB 与x 轴垂直时,点A B ,的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB =1,√2·1,-√2=-1.故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA ·CB 为常数.。
与圆有关的轨迹方程的求法Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1(α ,β)在曲线C 1:f 1(x,y )=0上移动,动点P (x,y )依动点P 1而动,它满足关系:⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①,得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1(x,y )=0,即可求得动点P 的轨迹方程C :f (x,y )=0. 例1、(求轨迹):已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3,0),点P 在圆x 2+y 2=1的上半圆周上,∠AOP 的平分线交PA 于Q ,求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示,设P (x 0,y 0)(y 0>0),Q (x ,y ).∵OQ 为∠AOP 的平分线,∴31||||==OQ OP QA PQ , ∴Q 分PA 的比为31.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +=1,且y 0>0,∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x .例3、已知圆,422=+y x 过A (4,0)作圆的割线ABC ,则弦BC 中点的轨迹方程为( )A .4)1(22=+-y xB .)10(4)1(22<≤=+-x y xC .4)2(22=+-y xD .)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1:已知定点)0,3(B ,点A 在圆122=+y x 上运动,M 是线段AB 上的一点,且MB AM 31=,则点M 的轨迹方程是 解:设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=,∴),3(31),(11y x y y x x --=--, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动,∴12121=+y x ,∴1)34()134(22=+-y x ,即169)43(22=+-y x ,∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2:已知定点)0,3(B ,点A 在圆122=+y x 上运动,AOB ∠的平分线交AB 于点M ,则点M 的轨迹方程是 .解:设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线,∴31==OB OA MB AM , ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 3:已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ,求点P 的轨迹方程.解:设),(y x P ,AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形,∴M 是OP 的中点,∴点M 的坐标为)2,2(y x ,且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ,∴CM OM ⊥,∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ,化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22=++-y x B. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y xC. 9)7()5(22=++-y x D. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x 6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于( B )A B 4 C 8 D 97:已知点M 与两个定点)0,0(O ,)0,3(A 的距离的比为21,求点M 的轨迹方程. 8 如图所示,已知圆422=+y x O :与y 轴的正方向交于A 点,点B 在直线2=y 上运动,过B 做圆O 的切线,切点为C ,求ABC ∆垂心H 的轨迹.分析:按常规求轨迹的方法,设),(y x H ,找y x ,的关系非常难.由于H 点随B ,C 点运动而运动,可考虑H ,B ,C 三点坐标之间的关系.解:设),(y x H ,),(''y x C ,连结AH ,CH ,则BC AH ⊥,AB CH ⊥,BC 是切线BC OC ⊥,所以AH OC //,OA CH //,OC OA =,所以四边形AOCH 是菱形.所以2==OA CH ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y 又),(''y x C 满足42'2'=+y x ,所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程.说明:题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.9. 已知圆的方程为222r y x =+,圆内有定点),(b a P ,圆周上有两个动点A 、B ,使PB PA ⊥,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.分析:利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解. 解法一:如图,在矩形APBQ 中,连结AB ,PQ 交于M ,显然AB OM ⊥,PQ AB =,在直角三角形AOM 中,若设),(y x Q ,则)2,2(b y a x M ++. 由222OA AM OM =+,即 22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++, 也即)(222222b a r y x +-=+,这便是Q 的轨迹方程.解法二:设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ,则22121r y x =+,22222r y x =+. 又22AB PQ =,即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-.① 又AB 与PQ 的中点重合,故21x x a x +=+,21y y b y +=+,即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①+②,有)(222222b a r y x +-=+.这就是所求的轨迹方程.解法三:设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ,由于APBQ 为矩形,故AB 与PQ 的中点重合,即有βαcos cos r r a x +=+, ①βαsin sin r r b y +=+, ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar b r a r b r ββαα ③ 联立①、②、③消去α、β,即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+.说明:本题的条件较多且较隐含,解题时,思路应清晰,且应充分利用图形的几何性质,否则,将使解题陷入困境之中.10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,APB ∠=600,则动点P 的轨迹方程是 .解:设),(y x P .∵APB ∠=600,∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥,∴22==OA OP ,∴222=+y x ,化简得422=+y x ,∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固:设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ,求P 点的轨迹.解:设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ,得a y c x y c x =+-++2222)()(,化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时,化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ,整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ; 当1=a 时,化简得0=x .所以当1≠a 时,P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心,122-a ac 为半径的圆; 当1=a 时,P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ,)0,1(B ,如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所包围的面积等于 解:设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=,得2222)1(2)2(y x y x +-=++,化简得4)2(22=+-y x ,∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为π4.。
轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法:1.直译法:假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法:假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线(如圆.椭圆.双曲线.抛物线)的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法:假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t), y=g(t),进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F(x,y)=0.4. 代入法(相干点法):假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,(该点坐标知足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法:已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是:建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -,,,,动点()P x y ,知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B (-1,0),C (1,0),P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅(1)求点P 的轨迹C 对应的方程;(2)已知点A (m,2)在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定:直线DE 是否过定点?试证实你的结论.(3)已知点A (m,2)在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证:直线DE 过定点,并求出这个定点.解:(1)设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法.这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提.1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解:如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心(-2,0)的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以(-2,0)为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是(1,0),启齿向左,所以方程是)1(122--=x y .选(B ).2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解:如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =,,上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程.解:以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=. M ∴点的轨迹是认为B C ,核心的椭圆,个中1213c a ==,.225b a c =-=∴.∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠. 留意:求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A (3.0).线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2-45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程.解:衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.又P在半径OQ 上.∴|PO|+|PQ|=2.由椭圆界说可知:P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆.5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解:|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是:13422=+y x (─2<x<0) 点评:本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析:(法一)设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得:22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得:222(3)12x y x ++=+④双方再平方得:22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. (法二)由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程.这种办法称为相干点法(或代换法).x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程.剖析解:设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点.2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解:设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为:2291(0)x y y -=≠.4.(上海,3)设P 为双曲线-42x y2=1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析:设P (x0,y0) ∴M(x,y ) ∴2,200y y x x ==∴2x=x0,2y =y0∴442x -4y2=1⇒x2-4y2=15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -,,,,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程.解:设()G x y ,,00()A x y ,,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,00323x x y y =+⎧⎨=⎩, ①∴. ② 又00()A x y ,∵在抛物线2y x =上,200y x =∴. ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠. 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量(参数),把x,y 接洽起来.若动点P (x,y )的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程.1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P ',,使有向线段OP OP ',知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程. 解:如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系.设点(0)(0)P t t ≠,, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭,. 由点斜式得直线AP A P '',的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--,. 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠.这就是所求点M 的轨迹方程.评析:参数法求轨迹方程,症结有两点:一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F (0,1),长轴和短轴的长度之比为t .(1)求椭圆的方程;(2)设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形.解:(1)设所求椭圆方程为).0(12222>>b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-.(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t >1.消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x .其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分.3.已知双曲线2222n y m x -=1(m >0,n >0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,-y1),又有A1(-m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=-)(11m x mx y --② ①×②得y2=-)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p >0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=-y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2-4pmy -4pa=0所以y1y2=-4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =-y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=-y x代入,得x2+y2-4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上(O 点除外)故动点M 的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上(O 点除外),①2k ⨯+②得 x2+y2-4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A (-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C :y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解:请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系.然而,点R 与直线l 并没有直接接洽.与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结.由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C :y2=4x 的方程,消x 得:204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知:122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞.∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解:点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得:y2=16(x –21) 点评:本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C :x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解:k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得:(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为:1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为:点评:本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.(06辽宁,20)已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析:(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι:y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程.解:PA 和QB 的交点M (x,y )随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA :),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB :).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=-2,或t=-1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模.2.自抛物线y2=2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解:设P (x1,y1).R (x,y ),则Q (-21,y1).F (21,0),∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=-y1(x -21).②由①②得x1=xx 212-,y1=xy 212-,代入y2=2x,可得y2=-2x2+x.六.待定系数法当曲线(圆.椭圆.双曲线以及抛物线)的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知A,B,D三点不在一条直线上,且(20)A -,,(20)B ,,2AD =,1()2AE AB AD =+.(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交认为A B ,核心的椭圆于M N ,两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解:(1)设()E x y ,,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -,.又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=.即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; (2)设1122()()M x y N x y ,,,,中点00()x y ,.由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+.∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±. 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =.故所求的椭圆方程为22184x y +=.2.已知圆C1的方程为(x -2)2+(y -1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a >b >0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解:由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=-1,故直线AB 的方程为y=-x+3,代入椭圆方程得3x2-12x+18-2b2=0. 有Δ=24b2-72>0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.(1)求此椭圆的离心率;(2 )若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:(1)设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ,则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为(222222,ba b b a a ++).由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .(2)由(1)知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。
轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤:“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系; 2、设动点坐标(),x y ;3、限制条件列出来(如一些几何等量关系);4、代入:用坐标代换条件,得到方程(),0f x y =;5、化简(最后要剔除不符合条件的点).例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ,1l 交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1:平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆,且2MBA MAB ∠=∠,求动点M 的轨迹方程.巩固训练2:已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0,直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49-,求点M 的轨迹方程.巩固训练3:已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=:,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>,求动点M 的轨迹方程.二、定义法:如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻:(1)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、(1)求与圆221:(3)1C x y ++=外切,且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.(2)已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=,动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1:已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ,求点P 的轨迹方程.巩固训练2:已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ,求点P 的轨迹方程.巩固训练3:在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,求点M 的轨迹方程.巩固训练4:已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点,直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴,动直线2l 垂直1l 于点G ,线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ,求点H 的轨迹方程.巩固训练5:在极坐标系Ox 中,直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=,点M 是直线l 上任意一点,点P 在射线OM 上,且满足4OP OM ⋅=,记点P 的轨迹方程为C ,求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤:(1)设点:设被动点的坐标为(),x y ,主动点的坐标为()00,x y ;(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩; (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足,当点P 在圆上运动时,求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1:已知在ABC ∆中,()2,0A -,()0,2B -,第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点,求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2:已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点,点D 是点P 在x 轴上的投影,点M 为PD 上一点,且满足45MD PD =,当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程.四、参数法:如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找,可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示,最后消参数,得出,x y 之间的关系式,即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标,线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1:设椭圆方程为2214y x +=,过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ,O 是坐标原点,直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+,当直线l 绕点M 旋转时,求点P 的轨迹方程.五、交轨法:写出动点所满足的两个轨迹方程后,组成方程组分别求出,x y ,再消去参数,即可求解,这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点,1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点,求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1:已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ,点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点,求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上,轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中,轨迹方程可能会更加复杂,可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法:1. 根据题目给出的条件,确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中,消去多余的变量,得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答:【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d,求点P的轨迹方程。
解答:1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件,根据勾股定理,可以得到点P到原点O的距离公式:d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中,得到轨迹方程:d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d,求点P的轨迹方程。
解答:1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件,点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中,得到轨迹方程:(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a,求点P的轨迹方程。
解答:1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件,可以得到两种情况下的轨迹方程:当x≥0,y≥0时,有x+y=a,即y=a-x;当x≥0,y<0时,有x-y=a,即y=x-a;当x<0,y≥0时,有-x+y=a,即y=a+x;当x<0,y<0时,有-x-y=a,即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并,得到轨迹方程:|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b),求点P的轨迹方程。
轨迹方程的五种求法一、直接法:直接根据等量关系式建立方程.例1:已知点(20)(30)A B -,,,,动点()P x y ,满足2PAPB x =u u u r u u u r·,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线解析:由题知(2)PA x y =---u u u r ,,(3)PB x y =--u u u r ,,由2PA PB x =u u u r u u u r·,得22(2)(3)x x y x ---+=,即26y x =+,P ∴点轨迹为抛物线.故选D .二、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在ABC △中,24BC AC AB =,,上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程. 解:以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=.M ∴点的轨迹是以B C ,为焦点的椭圆,其中1213c a ==,.225b a c =-=∴.∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠. 三、转代法:此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3:已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -,,,,顶点A 在抛物线2y x =上运动,求ABC △的重心G 的轨迹方程. 解:设()G x y ,,00()A x y ,,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,00323x x y y =+⎧⎨=⎩, ①∴. ②又00()A x y ,∵在抛物线2y x =上,200y x =∴. ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠.四、参数法:如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把x ,y 联系起来 例4:已知线段2AA a '=,直线l 垂直平分AA '于O ,在l 上取两点P P ',,使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·,求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程.解:如图2,以线段AA '所在直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系.设点(0)(0)P t t ≠,, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭,.由点斜式得直线AP A P '',的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--,.两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠.这就是所求点M 的轨迹方程.评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多变. 五、待定系数法:当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决.例5:已知A ,B ,D 三点不在一条直线上,且(20)A -,,(20)B ,,2AD =u u u r ,1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r.(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A B ,为焦点的椭圆于M N ,两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解:(1)设()E x y ,,由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点,易知(222)D x y -,.又2AD =u u u r,则22(222)(2)4x y -++=. 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; (2)设1122()()M x y N x y ,,,,中点00()x y ,.由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+.∵直线MN 与E 点的轨迹相切,1=,解得k =.将y =(2)x +代入椭圆方程并整理,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴, 又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =.故所求的椭圆方程为22184x y +=.配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a ,0),且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB |=|BC |=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m >0,n >0)的顶点为A 1、A 2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程;(2)当m ≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0),点P 为其上一点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2的外角平分线为l ,点F 2关于l 的对称点为Q ,F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程;(2)设点R 形成的曲线为C ,直线l :y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析:∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案:A2.解析:设交点P (x ,y ),A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,-y 0)∵A 1、P 1、P 共线,∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线,∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案:C二、3.解析:由sin C -sin B =21sin A ,得c -b =21a , ∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案:)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析:设P (x ,y ),依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2-85x +100=0.答案:4x 2+4y 2-85x +100=0三、5.解:设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点,两切线交于点P .由切线的性质知:|BA |=|BD |,|PD |=|PE |,|CA |=|CE |,故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18>6=|BC |,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解:设P (x 0,y 0)(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(-a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上,∴b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2,即b 2(-x 2)-a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2-b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解:(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1,-y 1),又有A 1(-m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为:y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为:y =-)(11m x mx y -- ②①×②得:y 2=-)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m >n 时,焦点坐标为(±22n m -,0),准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-;(ⅱ)当m <n 时,焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解:(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ,连接PQ ,∴∠F 2PR =∠QPR ,|F 2R |=|QR |,|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线,故点F 1、P 、Q 在同一直线上,设存在R (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0-c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2,∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为:x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图,∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时,S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中,∠AOC =45°,.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
动点轨迹方程的常见求法一、待定系数法;它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。
其解题步骤为:先设出对应类型的轨迹方程;再求出所设方程中的待定系数。
例1、已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为213,另一双曲线和椭圆有公共焦点,且椭圆的半长轴比双曲线的半实轴大4,椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。
求椭圆和双曲线的方程。
解:如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上,即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上,那么可设椭圆方程为22a x +22by = 1,双曲线的方程为22mx -22n y = 1。
Θ2c = 213 , ∴c = 13 .Θa – m = 4 , m c : n c = 73 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2-c 2 = 36 , n 2 = c 2- m 2 =4 .∴椭圆方程为492x +362y = 1,双曲线的方程为92x -42y = 1 ; 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上,同理可得:∴椭圆方程为492y +362x = 1,双曲线的方程为92y -42x = 1 。
二、直译解析法;该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。
它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
例2、已知两定点A 、B ,AB = 3,求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。
解: 以点A 为坐标原点,射线AB 为x 轴的正半轴,建立直角坐标系如右图: 则B 点坐标为(3, 0),设P 点坐标为(x, y),∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3-x y = K PB = tg(π-2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2xy x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0<x<3) 或31-x = 222y x x --, 即y = 0 (0<x<3) 或(x -1)2-32y = 1 (x ≥2)。
高考数学难点:轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点,动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线.●案例探究[例1]如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目.知识依托:利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析:欲求Q 的轨迹方程,应先求R 的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题.技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程.解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x -10=0 整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.[例2]设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图:本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程,属★★★★★级题目. 知识依托:直线与抛物线的位置关系.错解分析:当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时,注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法:将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①-②得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1-x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=-16p 2 ⑦ ⑥代入④,得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤,得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px -y 12=y (y 1+y 2)-y 12-y 1y 2⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2-4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二:设M (x ,y ),直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ,得k =-yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+(2kb -4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2-4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=-x 1x 2 所以k pk4=-22kb ,b =-4kp故y =kx +b =k (x -4p ),用k =-yx代入,得x 2+y 2-4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px =0(x ≠0),它表示以(2p ,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.[例3]某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱,检测一个直径为3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少?命题意图:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数学问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:圆锥曲线的定义,求两曲线的交点.错解分析:正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法:研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆心的轨迹方程.解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ,问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切,与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5-r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点,长轴长2.5的椭圆上,其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点,长轴长为2的椭圆上,其方程为 (x -21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ,∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a,0),且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB |=|BC |=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m >0,n >0)的顶点为A 1、A 2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程;(2)当m ≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0),点P 为其上一点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2的外角平分线为l ,点F 2关于l 的对称点为Q ,F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程;(2)设点R 形成的曲线为C ,直线l :y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求k 的值.参考答案难点磁场解:建立坐标系如图所示, 设|AB |=2a ,则A (-a ,0),B (a ,0). 设M (x ,y )是轨迹上任意一点.则由题设,得||||MB MA =λ,坐标代入,得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1-λ2)x 2+(1-λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1-λ2)a 2=0(1)当λ=1时,即|M A|=|M B|时,点M 的轨迹方程是x =0,点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时,点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (-221)1(λ-λ+a ,0)为圆心,|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析:∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案:A2.解析:设交点P (x ,y ),A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,-y 0) ∵A 1、P 1、P 共线,∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线,∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案:C二、3.解析:由sin C -sin B =21sin A ,得c -b =21a ,∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案:)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析:设P (x ,y ),依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2-85x +100=0.答案:4x 2+4y 2-85x +100=0三、5.解:设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点,两切线交于点P .由切线的性质知:|BA |=|BD |,|PD |=|PE |,|CA |=|CE |,故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18>6=|BC |,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解:设P (x 0,y 0)(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(-a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上,∴b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(-x 2)-a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2-b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解:(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1,-y 1),又有A 1(-m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为:y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为:y =-)(11m x mx y -- ②①×②得:y 2=-)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m >n 时,焦点坐标为(±22n m -,0),准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-;(ⅱ)当m <n 时,焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解:(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ,连接PQ , ∴∠F 2PR =∠QPR ,|F 2R |=|QR |,|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线,故点F 1、P 、Q 在同一直线上,设存在R (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0-c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2,∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为:x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图,∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时,S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中,∠AOC =45°,.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
专题 轨迹方程的求法例1、 已知ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ,若b c a ,,依次构成等差数列,且b c a >>,2=AB ,求顶点C 的轨迹方程.例2、已知A 、B 为两定点,动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线例3、【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 定义法:如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。
M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx例4、已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :,动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数(如图),求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.例5、【2017课标II ,理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2212x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程;(2) 设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=。
证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
例6、过抛物线px y 22=(0>p )的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ,求弦AB 的中点M 的轨迹方程.122=+y x MQ ()0>λλ例7、设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ,两点.(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明//AR FQ ;(II )若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.例9、如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程例10、如图,从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线,垂足为N ,求线段QN 的中点P 的轨迹方程.代入法(相关点法):如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P (x ,y ),用(x ,y )表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P 的轨迹方程。