7--虚拟变量和变参数模型

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例子：包含一个虚拟变量的截距变动模 型 假设有一个包括城乡居民家庭收支状 况的样本，并试图利用这一数据估计 消费函数。由于城乡居民在消费水平 上存在明显差异，所以，“地区”这 一质的因素可以作为重要的解释变量。 模型可表示为：
Yi 0 1D X i ui
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其中，Yi表示第i个家庭的消费水平， Xi为第i个家庭的收入水平，D为虚拟 变量。“1”表示城镇居民家庭这一特 征，“0”表示农村居民家庭这一特征， 并假定随机误差项满足经典假设。上 式消费函数可以写成： D 1 EYi 0 1 X i D 0 EYi 0 X i 用最小二乘法估计参数，若α1显著地 不为0,可以认为城乡居民在消费行为上 的差异是显著的。
* 1 *
E(Yi ) 0 3 X 2 1 3 X i
其中，β1为18岁以下年龄段的斜率， （β1+β2）为18-22岁年龄段斜率，（β1 ＋β3）为22岁以上年龄段的斜率
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第三节 系统变参数模型
虚拟变量的引入，使得回归模型的截 距或斜率不再是固定不变的。但并不 是每年都发生变化。如果将其推广， 就可以描述回归模型的截距和斜率随 样本观测值的改变而系统地改变。这 类模型也包括截距变动模型和截距与 斜率同时变动模型。
1, 第一季度 D1t 其他 0， 1, 第二季度 D2 t 其他 0， 1, 第三季度 D3t 其他 0，
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季节哑变量
第四季度为基础类型，其截距项为 α0, 其他三个季度的截距项分别为： α0+α1, α0+α2, α0+α3。当然，也可以以 其他季节为基础类型。
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用最小二乘法得到以下估计结果：
ˆ 61.7 0.256X 55.7 D 0.252DX S t t t (-2.8) (8.1) (3.9) (-9.2) R 2 0.967 DW 1.67
括号内为t值，模型表明储蓄模型的截 距和斜率在1979年前后有显著差异。 可进一步写成： ˆ 6.0 0.004X 1979年以前： S t t ˆ S 1979年以后： t 61.7 0.256X t 引入虚拟变量后的模型的拟合优度也 得以提高，DW值得到改善。 21
Yt 0 1t 2 t X D t
1 , t X D 0 , t X
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居民消费例子
可以得到两个不同时期的居民消费趋 势： Yt 0 1t t 1979年以前： Y X 1979年以后： t 0 2 (1 2 )t t 如果统计检验β2不为0,表明消费趋势在 1979年后有明显改变。 如果出现多个转折点的情形，就需要 引入多个虚拟变量。
四、包含多个质的因素的虚 拟变量模型
如果一个模型中包含多个质的因素的 影响时，就需要引入多个虚拟变量。 例如，性别（男、女）、年龄（ 25 以 下、 25-50 岁、 50 以上）、受教育程度 （初中、高中、大学）是影响食品需 求的重要因素，这时可引入以下几个 虚拟变量：
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D1 D2 D3 D4 D5
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例子：截距和斜率同时变动
中国城镇居民家庭的储蓄函数，数据 为1955-1985年城镇居民家庭人均收入 和人均储蓄的资料。设定模型为：
St 0 1 1955年的物价水平为100,从储蓄和收入 中扣除了价格的影响。
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采用最小二乘法得到的估计结果为：
当现象受到质的因素的影响时，回归 模型的参数就不再是固定常数。参数 的变化主要表现为：截距变动、截距 和斜率同时变动。
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（一）包含一个虚拟变量的截距变动模型
如果回归模型中只包含一个质的因素，且这 个因素仅具有两种特征，总回归模型中只需 引入一个虚拟变量。设虚拟变量为D,其取值 为1：表示具有这一特征；0：表示不具有这 一特征。采用最小二乘法估计，得到变量 D 的回归系数，对其进行t检验，如果回归系数 显著地不为 0,认为虚拟变量表示的特征之间 的差异是显著的。
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三、截距和斜率同时变动模型
如果质的因素既影响截距，又影响斜 率时，就需要在模型中引入这一双重 的变化。模型的一般形式为：
Yi 0 1 D 1 X i 2 (DX i ) i
D 1, Yi ( 0 1 ) 1 2 X i i D 0, Yi 0 1 X i i
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虚拟变量模型的特点
1.以0、1取值的虚拟变量所反映的内容 可以随意设定，如，城乡居民“D”可 以反过来取值,只是在具体含义上有变 化：这时α1为负数。 2.虚拟变量D=0代表的特征或状态，通 常用于说明基础类型。基础类型是对 比的基础。如农民或城镇居民。
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3.基础类型的截距系数称为公共截距系 数，D=1所对应的特征的截距系数称为 差别截距系数。 4.如果一个回归模型有截距项，对于具 有两种特征的质的因素，只需要引入 一个虚拟变量。因为引入多个虚拟变 量时，易出现多重共线性。如果回归 模型中没有截距项，具有两种特征的 质的因素，就需要引入两个虚拟变量。
采用通常的显著性检验方法可以对各种可 能的情况进行检验。
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第二节 数量因素与变参数模型
用虚拟变量代表数量因素，建立分段 线性回归模型。 例 如 ， 建 立 1955-1999 年 间 消 费 支 出 （ Y) 的 时 间 趋 势 变 化 模 型 ， 假 设 以 1979年(X*)为转折点，即1979年以后， 改变趋势。这时可用的模型形式为：
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二、截距和斜率同时变动模型
它是在上述截距变动模型的基础上， 使得参数β也发生系统地变化，例如， 如果让β2变化，则有
2t b1 b2Wt
将其带入模型有
Yt 1 2 Z t b1 X 2t b2Wt X 2t 3 X 3t k X kt t
① 当模型含有截距项时，如果一个质 变量有m种特征或状态，只需引入m-1 个虚拟变量。 ②当回归模型不含截距项时，则m种特 征需要引入m个虚拟变量。 例子：战争时期与和平时期的消费函数 美国1940-1950
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(二)包含多个虚拟变量的截距 变动模型
当一个质的因素具有m种特征时，就需要引 入m-1个虚拟变量。例如季节这个质的因素 具有4个特征，对于具有截距项的回归模型， 我们引入3个虚拟变量：
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例子：系统变参数模型
利用变参数模型对我国城镇居民家庭 居民消费行为的变化进行研究。 没有理由认为1979年以后居民消费行 为是固定不变的。 利用1979-1997城镇居民家庭收支调查 数据，建立一个简单的系统变参数模 型
第15章 虚拟变量和变参数模型
在回归分析中，影响被解释变量的因 素除了量的因素外还有质的因素。为 了估计质的因素产生的影响，我们需 要引入一种特殊的变量 :虚拟变量。本 章讨论回归分析中虚拟解释变量的作 用及使用方法。
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主要内容
第一节 质的因素与变参数模型 第二节 数量因素与变参数模型 第三节 系统变参数模型
ˆ ˆ y ˆ c 0 1
收入Y前的回归系数是不变的，而改革 开放前与改革开放后（如1978年为分 界）模型的回归系数应该是变化的。 这时 “改革开放”这一质的因素就是 一个不应忽略的解释变量。
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什么是虚拟变量
将具有某种品质或属性量化的方法， 构造成取值为0或1 的变量，一般而 言： 1 表示具有某种特征；而 0 表示 不具有某种特征，这类变量被称为 虚 拟 变 量 或 哑 变 量 （ Dummy Variable）。
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用OLSE对模型中的参数进行估计，然后 对参数进行检验，就可以知道模型中参 数是否存在系统性变化。如果 α2 、 b2 在 统计上显著，则认为 β1 和 β2 存在系统变 化，反之，可看作常数。 如果错误地将 β1 和 β2 当作常数，就等于 错误地解释了经济变量之间的关系，还 可能因为省略了重要的解释变量Z和W而 产生自相关。 特别注意：如果存在严重的异方差性， 虚拟变量就是不适用的。
α1,β2,分别表示因为质的特征不同而在截距和斜 率上呈现的差异。
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如果统计检验表明： ① 1 0, 2 0 ， α1,β2 在统计上显著，表明 这一特征具有显著的影响。 ② 1 0, 2 0 ，是一个截距变量模型； ③ 1 0, 2 0 ，表明城乡居民的消费行为没 有显著差异； ④ 1 0, 2 0 ，这是一个斜率变量模型，在 实际中较少见。
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多个转折点模型： 研究不同年龄段收入与年龄的关系 假设考虑三个年龄段：18岁以下、1822岁、22岁以上。 设Y 为收入，X为年龄，X1*=18,X2*=22 模型为：
Yi 0 1 X i 2 D1 X i X 1 3 D2 X i X 2 u
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一、截距变动模型
设线性回归模型为
Yt 1t 2 X 2t k X kt t 其中， 1t 1 2 Z t
这里， β1t 的变化是系统的，且这种变化完全 由外生变量决定，是一个系统变参数模型。 α 被称为超参数。将 β1t 带入模型后，可采用 OLSE对上述模型中的α和β一并进行估计。如 果Z为虚拟变量，上式就是一个虚拟变量模型， 虚拟变量模型是系统变参数模型的一种特例。
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第一节 质的因素与变参数模型
一、虚拟变量的实质
有一类定类数据也是重要的解释变量。 如职业、民族、文化程度、地区、季节等。 如果这些质的因素的影响是显著的，回归 模型的参数就会因此而变化。如果我们忽 略质的因素，仍把模型中的参数看作是固 定不变的，估计结果就不能正确描述经济 变量之间的关系。
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当我们以1953-2001年的数据建立消费 函数模型时：
男性 1, 0，女性 ， 25 以下 1 0， 其他 ， 2 5 - 5 0岁 1 0， 其他 ，初中 1 0，其他 ， 高中 1 0，其他