参数方程和普通方程的互化

参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。

参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。

参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。

首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。

假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。

这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。

2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。

这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。

3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。

4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。

5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。

最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。

接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。

假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。

2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。

3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。

4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。

需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。

参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。

例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。

参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。

参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。

对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。

参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。

例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。

与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。

对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。

普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。

1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。

具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。

b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。

c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。

2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。

具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。

b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。

c.将方程整理，化为参数方程的形式。

值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。

参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。

因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。

除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。

例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。

参数方程与普通方程的互化
参数方程和普通方程是微积分中极其重要的两个概念，它们也是数学家们探索与研究的重点之一。

几个世纪以来，数学家们一直努力地探索参数方程和普通方程之间的联系和关系。

本文主要讨论参数方程和普通方程之间的相互转换关系，并介绍一些用于实现转换的方法。

参数方程和普通方程是密切相关的两个概念，它们之间可以相互转换换。

参数方程可以称为微分方程的另一种表示形式，它的解也可以通过普通方程来定义。

即参数方程的解也可以看成是普通方程的解。

一般来说，当参数方程的参数被给定时，可以将参数方程转换为普通方程；当普通方程的参数被给定时，可以将普通方程转换为参数方程。

普通方程和参数方程之间的转换可以通过曲线积分法和线性变
换法来实现。

曲线积分法是以参数形式表示曲线的各种方程，可以将参数方程转换为普通方程，更准确地说是曲线积分方程。

线性变换法是将参数方程的参数进行变换，并由此将参数方程转换为普通方程。

在实际应用中，普通方程和参数方程的转换非常重要。

例如，如果需要求解某个参数方程的解，可以先将该参数方程转换为普通方程，然后再求解普通方程。

此外，参数方程和普通方程之间的转换也可以用来检验普通方程的解，并可用来求解更复杂的参数方程。

总之，通过曲线积分法和线性变换法，可以顺利地实现参数方程和普通方程的相互转换。

这种相互转换的方法为解决复杂的数学问题提供了很大的帮助，也为数学的探索做出了重要的贡献。

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参数方程与普通方程互化一、引言在数学中，方程是研究数学问题的基础。

方程可以描述物理规律、经济模型、自然现象等各种问题，是数学建模的重要工具。

在代数学中，我们常常用普通方程来表示问题，例如一元一次方程、二次方程等。

然而，在某些情况下，使用普通方程描述问题可能会比较复杂，此时参数方程就能够提供更加简洁的表示方法。

参数方程是一种用参数化变量表示的方程系统，通过引入参数，可以将复杂的方程化简为一系列简单的参数方程。

参数方程与普通方程之间具有相互转换的关系，本文将介绍参数方程与普通方程的互化方法。

二、参数方程的基本概念参数方程是一种常见的数学表达形式，它由一个或多个参数化变量组成。

在参数方程中，每个变量都是独立的，并且可以通过参数的变化来表示方程中的不同解。

例如，我们可以用参数方程来描述一个点在直线上的运动轨迹。

设直线的方程为y = mx + b，参数方程可以表示为：x = t y = mt + b在这个参数方程中，t是一个独立的参数，它的变化可以表达直线上所有的点。

三、参数方程与普通方程的转换参数方程与普通方程之间可以通过参数的消除和引入来进行转换。

下面将介绍几种常见的转换方法。

1. 从普通方程到参数方程的转换如果我们已知一个普通方程，想要将其转换为参数方程，可以通过参数的引入来实现。

具体步骤如下：（1）选取一个或多个参数，用它们表示方程中的变量。

（2）将参数代入普通方程中，得到参数方程。

例如，我们有一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们希望将其转换为参数方程。

我们可以选取参数θ表示角度，并引入参数方程：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)在这个参数方程中，当θ取遍所有的值时，圆上的所有点都可以覆盖到。

2. 从参数方程到普通方程的转换如果我们已知一个参数方程，想要将其转换为普通方程，可以通过参数的消除来实现。

具体步骤如下：（1）从一个参数方程中解出一个参数。

（2）将解出的参数代入另一个参数方程中，得到普通方程。

参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。

将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。

以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。

我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。

首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。

然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。

因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。

同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。

通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。

二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。

以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。

通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。

类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。

根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。

三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。

参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。

参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。

此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。

参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。

参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。

接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。

1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。

下面以一个简单的例子来说明这个过程。

考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。

观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。

我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。

然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。

2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。

下面同样以一个例子来说明。

考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。

我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。

通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。

3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。

参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。

在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。

普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。

在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。

4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。

参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。

参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是基本的微积分学中解决曲线问题常用的两类方程，分别为一类把曲线上某一点叫做参数点来求解方程的参数方程，另一类把曲线上某一点叫做普通点来求解方程的普通方程。

参数方程和普通方程都可以用来求解曲线上的某一点，但是它们在求解曲线上点的方法存在明显的区别。

参数方程既可以表示曲线的一般方程式，又可以以自变量作为曲线的参数，将曲线表示为一个参数函数，并以此函数为研究对象，从而实现求解曲线上点的任务。

它通过求解参数方程，可以求出曲线上某一点的坐标，从而实现曲线上点的求解。

普通方程是曲线上某一点的函数关系，它以这个点为基础，通过求解方程求出曲线上其他点的坐标，从而实现求解曲线上点的任务。

普通方程的求解更加直观，也更容易理解，但与参数方程相比，它的求解成本要高得多。

参数方程和普通方程之间的区别只在于参数点与普通点的定义不同，一般情况下，参数方程比普通方程求解更为灵活，但它也有一定的局限性，比如说参数方程不能求出曲线上某一点的法向量。

为了弥补参数方程的局限性，数学家们引入了参数方程与普通方程的互化求解，这种求解非常有效，在解一些比较复杂的问题时尤其突出。

参数方程与普通方程的互化求解是一种可以兼顾参数方程和普通方程的求解方法，它从根本上克服了参数方程的局限性，同时也不会降低普通方程的求解精度，能够有效提高求解的速度和准确度。

所以，参数方程与普通方程的互化求解的应用已深入到各种曲线问题的解决中，在特殊情况下也有很大的应用价值。

参数方程与普通方程的互化求解是近几年来微积分学发展中比较热门的话题，目前已经有很多学者对其进行了深入的研究，并取得一定的成果，例如表达参数方程的求解方法、求解准确度的提高、构建普通方程的多解表模型等等。

参数方程与普通方程的互化求解技术也已成功应用在生物科学和物理学等领域，形成了一系列模型，解决了不少实际问题。

未来，参数方程与普通方程的互化求解将进一步深化解决曲线问题的技术研究，并推动曲线在实际应用中的发展。