高考数学 参数方程化成普通方程

参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。

参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。

参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。

首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。

假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。

这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。

2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。

这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。

3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。

4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。

5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。

最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。

接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。

假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。

2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。

3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。

4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。

需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。

参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。

例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。

§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r2（1＋k 2）2＝r 2. ∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段 D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。

2020-2021学年高考数学（理）考点：参数方程与普通方程的互化与应用1.必记的曲线参数方程抛物线y2＝2px(p＞0)2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t 前面的系数相同或成相反数后相加减。

例如：曲线C ：(t为参数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 221222 解：思路一：代入消元：∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.思路二：加减消元：两式相减，x －y －1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同：把三角函数前面的系数化成相同 平方：两道式子左右同时平方 相加：平方后的式子进行相加 （注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.解：移项：⎩⎨⎧=+=-θθsin 2cos 1y x （三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）平方：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-θθ2222sin 2cos 1）（）（y x 相加：12)y 1-x 22=++（）（ 3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一直线参数方程的几何意义.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|；(4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】1.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at 第三步：韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

参数方程怎么化成普通方程
参数方程是一种特殊的方程，它的变量是一个参数。

要将参数方程化成普通方程，最简单的方法是将参数用某个具体的数值代替，然后求解出方程的解。

例如，有参数方程
x+2ay=3，将a用数值3代替，则变成x+6=3，解得x=-3。

另一种方法是将参数方程转化成一组普通方程，这样可以求出参数的值，从而解出参数方程的解。

例如，有参数方程x+2ay=3，可以把它化成两个普通方程：x+2ay=3，y=1，求解出a=1.5，再代入参数方程，解得x=-3。

参数方程怎么化成普通方程，可以有两种方法：一是将参数用某个具体的数值代替，求解出方程的解；二是将参数方程转化成一组普通方程，求解出参数的值，从而解出参数方程的解。

参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。

一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。

然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。

参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。

对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。

一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。

这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。

以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。

在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。

通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。

二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。

这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。

2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。

3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。

以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。

直线参数方程普通方程互化一、直线的参数方程在平面几何中，直线是由无数个点组成的集合。

为了描述这个集合，我们通常使用直线的参数方程。

直线的参数方程表示为：x = x₀ + at y = y₀ + bt其中，(x₀, y₀)为直线上的一个已知点，a和b是常数，t是参数。

以直线上的某一点(x, y)为起点，我们可以根据参数方程，选择适当的a、b和参数t的取值，找到直线上的其他点。

二、直线的普通方程直线的普通方程是另一种描述直线的形式，也常被称为斜截式方程。

直线的普通方程表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

普通方程中的系数A、B和C 决定了直线的位置和方向。

三、直线的参数方程转化为普通方程我们可以通过将直线的参数方程转化为普通方程来描述直线。

下面以直线参数方程中的一点(x, y)为例进行转换。

根据直线的参数方程：x = x₀ + at y = y₀ + bt将x代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到A(x₀ + at) + By + C = 0对上式进行展开化简，得到：Ax₀ + Aat + By + C = 0进一步化简，得到：(Aa + B)t + (Ax₀ + By + C) = 0由于(Aa + B)和(Ax₀ + By + C)是常数，我们可以将其分别记为D和E，得到最终的普通方程：Dt + E = 0这就是将直线的参数方程转化为普通方程的过程。

从这个普通方程中，我们可以知道直线的位置、方向以及直线上的其他点。

四、直线的普通方程转化为参数方程同样地，我们也可以通过将直线的普通方程转化为参数方程来描述直线。

下面以直线普通方程Ax + By + C = 0为例进行转换。

我们可以假设直线上的一点为(x₀, y₀)。

根据直线的普通方程：Ax₀ + By₀ + C = 0我们可以得到：Ax₀ + By₀ = -C再假设直线上的另一点为(x, y)，则直线上的点可以使用(x₀, y₀)和(x, y)间的线段长度t来表示：x = x₀ + at y = y₀ + bt要使上述点满足直线的普通方程，我们将(x, y)代入普通方程中：Ax + By + C = 0得到：A(x₀ + at) + B(y₀ + bt) + C = 0进一步化简，得到：(Aa + Bb)t + (Ax₀ + By₀ + C) = 0由于(Aa + Bb)和(Ax₀ + By₀ + C)是常数，我们可以分别记为D和E，得到最终的参数方程：Dt + E = 0这就是将直线的普通方程转化为参数方程的过程。

参数方程普通方程互化参数方程和普通方程是描述曲线的两种常用方式。

参数方程以参数的形式给出曲线上的点的坐标，而普通方程则以变量的形式给出曲线上的点的坐标。

这两种表达方式之间的互化可以通过代数的方法实现。

下面将对参数方程和普通方程之间的互化进行详细的说明。

首先，我们来讨论如何从参数方程转换为普通方程。

假设有一个参数方程：x=f(t)y=g(t)要将其转换为普通方程，我们需要将参数t消去。

为此，我们可以将x和y用t的形式表示出来，然后将它们代入到一个合适的方程中。

首先，将x用t表示为：t=f^(-1)(x)其中，f^(-1)表示函数f的反函数。

然后，将y用t表示为：y=g(f^(-1)(x))这样，通过将x和y用t表示，并将它们代入到一个关系式中，我们就可以得到一个普通方程。

举个例子来说明。

假设有一个参数方程：x=2t+1y=t^2-3我们需要将其转换为普通方程。

首先，将x用t表示：t=(x-1)/2然后，将y用t表示：y=((x-1)/2)^2-3这样，我们就得到了一个普通方程。

接下来，我们来讨论如何从普通方程转换为参数方程。

假设有一个普通方程：F(x,y)=0要将其转换为参数方程，我们需要引入一个参数，通常用t表示。

然后，我们将x和y表示为t的函数，并将它们代入到方程F(x,y)=0中。

这样，我们就可以通过确定参数t来得到曲线上的点的坐标。

举个例子来说明。

x^2+y^2=1我们需要将其转换为参数方程。

首先，引入参数t，并将x和y表示为t的函数：x = cos(t)y = sin(t)然后，将x和y代入到方程x^2+y^2=1中：cos^2(t) + sin^2(t) = 1由于三角函数的性质，上述等式恒成立，因此得到了一个参数方程。

综上所述，参数方程和普通方程之间可以通过代数的方法进行互化。

从参数方程转换为普通方程时，将x和y用参数t表示，并将它们代入到一个关系式中。

从普通方程转换为参数方程时，引入一个参数t，并将x 和y表示为t的函数，并将它们代入到普通方程中。

17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2, sin 4 cos y x (θ为参数)； (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (t t t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x2＋4xy ＋17y2－81＝0.(2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t t t b y a x所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x ＞0. 【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x【解析】(1)x2＝2(y ＋12)，－2≤x≤2，图形为一段抛物线弧. (2)x ＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.(3)x2＋y2－3y ＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).(4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线. 题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).② 把②代入①得(2＋t 2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t －6＝0. 设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)，代入x2－y2＝1，得2x2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝132， 所以|AB|＝1＋3·(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0. 将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x2＋y2－x ＋y ＝0. 表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆， 则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75. 题型三 参数方程综合运用【例3】已知曲线C1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C2：⎩⎨⎧==θθ sin 3, cos 8y x (θ为参数). (1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C2上的动点，求PQ 中点M 到直线C3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C2：x264＋y29＝1. C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ). C3为直线x －2y －7＝0，M 到C3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2, cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C1与x 轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C2的切线l ，求切线l 的方程.【解析】(1)曲线C1：x216＋y24＝1；曲线C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5. 曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆.(2)曲线C1：x216＋y24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m ＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k(x －4).由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k|k2＋1＝5， 解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4). 总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。

§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r 2（1＋k 2）2＝r 2.∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A.直线B.圆C.线段D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。

参数方程化普通方程[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。

[例题分析]1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3,∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)(2)(θ∈R，θ为参数）解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。

又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ∴|x|≤，|y|≤。

∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。

消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。

在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。

(3)(t≠1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。

x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2,∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。

法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。

由x=, ∴x+xt=1-t,∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。

(4)(t为参数)分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。

法二:解得t2=≥0, ∴-1<x≤1,同理可得出y的范围。