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高二数学抛物线的简单几何性质

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3.3.2 抛物线的简单几何性质(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
1
3
4
16
5
cos , sin
, AB x1 x2 2
, 即2 xM 2 , xM .
2
2
2
sin
3
3
M
AB 4 BF
小结：抛物线焦点弦的性质
(4)以焦点弦AB为直径的圆与准线相切.
析 : MM '
AA' BB '
2

AF BF
1
BF 1 cos
2 3 ( 60)



AF 1 cos 1 AF
,
1 cos
1 cos

3
p
(定义法)设l : y
x , 联立x 2 2 py, 消x得12 y 2 20 py 3 p 2 0,
3
2
p 3p p
1
1
4
4
1
1
2


1, BF .

1,
3 BF
BF 3 BF
3
AF
BF
p
5
16
, x1 x2 2 2 xM 2, xM .
3
3
AB 8

AF
1 cos
p
p
2
3

3
,
(法2)析 : AF
, BF
BF
1 cos
1 cos
1 cos
y 4x
2(k 2 2)
AB x1 x2 2
2 8, 解得k 1(1舍去).
2
k

度上学期高二数学3.3《抛物线的简单几何性质》课件

度上学期高二数学3.3《抛物线的简单几何性质》课件

图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
焦半径
图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
(3) 若直线AB与x轴的夹角为，弦长|AB| 如何 用表示?
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【例4】
直线y x 2与y2 2x交于A, B, 求证：OA OB.
【例5】
已知抛物线y2=4x上求一点P,使得P点到直线 y=x+3的距离最短.
【变式】
已知P点是抛物线y2 2x上的一个动点，则点 P到点A(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为__________ .
只有一个公共点；有两个公共点； 没有公共点.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．

归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；

抛物线的简单几何性质(课件)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

抛物线的简单几何性质(课件)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

核心素养 通过抛物线的标准方程的推导，培养数学运算的 通过抛物线的几何性质的研究，培养数学运算
培养
核心素养；通过对抛物线的定义理解，培养数学 的核心素养；通过直线与抛物线的位置关系的
抽象的核心素养。
判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 抛物线的标准方程、几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系
运算求解．
【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l，与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足
条件的是(
A．y＝1
)
B．x＋2y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x－2y＋4＝0
（三）典型例题
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，


则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋2＋x2＋2，即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由，消去y得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.


的定义知，|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，故|AB|＝x1＋x2＋p.
【做一做2】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，
则|AB|＝(
)
A．10
B．8
C．6
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：B
D．4
（三）典型例题
因为点P在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.

高二数学抛物线的简单几何性质2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

高二数学抛物线的简单几何性质2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
M
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径旳圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一种公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线
线
相交于两点
，
问在直线MN：x=2上能否找到一定
点P（坐标与b 旳值无关），使得直
线PA与PB旳倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线
，
过点P(1,0)作斜率为k旳直线l交抛物
线于A、B两点，A有关x轴旳对称点
为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化
时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3旳线段AB旳两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB旳中点为M，求点M到y 轴旳最短距离。
练习2：正三角形旳一种顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形旳边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C构成一种等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC旳斜率为k，求顶点 B旳坐标；
(2)求等腰直角三角形旳面积旳最 小值。
抛物线旳对称性问题
例.已知直线过原点，抛物线旳顶点 在原点，焦点在x轴旳正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）有关直 线旳对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线旳方程。
； 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地域上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们怎样寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："

3.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

范围
x≥0，y∈R
x ≤0，y∈R
y ≥0，x ∈R
y≤0，x ∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点 性质
离心率
O（0，0） 1
开口
右
左
上
下
方向
抛物线与椭圆、双曲线性质的差异
椭圆
双曲线
抛物线
范围
封闭
无限伸展 但有渐近线
无限伸展 没有渐近线
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
对称中心为原点 两条对称轴
无对称中心 一条对称轴
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝2py(p>0)
图象
焦点 性质
准线
p ( ，0) 2
p x ＝－
2
p (－ ，0)
2 p
x＝ 2
p (0， )
2 p y＝－ 2
p (0，－ )
2 p y＝ 2
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
B．y2＝±6x
C
C．x2＝±12y
D．y2＝±12x
抛物线的简单几何性质
典例：设抛物线的焦点到准线的距离为 12，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围
是( ) A．(6，＋∞)
A
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
抛物线的几何性质的应用
例 1：已知等边三角形 AOB 的顶点 A，B 在抛物线 y2＝x 上，O 为坐标原点，又点 A 13

抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第一册)

4
2
1
1
2
(2)
＋
＝ ；
|FA| |FB| p
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
p
，0
p
证明：(1)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F 2
，准线方程为 x＝－ .
2
p
设直线 AB 的方程为 x＝my＋ ，把它代入 y2＝2px，
2
化简，得 y2－2pmy－p2＝0.
上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段 AB 的垂直平分线恒
经过点 Q(6，0)，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)，则其准线方程为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，
p
p
∴x1＋ ＋x2＋ ＝8，
2
2
p
x＝－ .
1
则|CC1|＝ (|AA1|＋|BB1|)
2
1
1
＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.
2
2
∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐
标原点,则其方程为(
)
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质

高二数学抛物线的简单几何性质1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件


PF QF
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得：x1x2
p2 4
Py A
O •F
x
Q
B
12/15
例5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2/15
2、抛物线标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
8/15
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点
M(2, 2 2 )抛物线有几条,求它标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 防止讨论！
1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线离心率是确定e=1; 5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.

3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.

o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )

抛物线的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0, y R
2.对称性
以−代，方程 = ( > )不变，所以抛物线
关于轴对称．
把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
在方程 = ( > )中，
当 = 时， =
因此抛物线的顶点就是原点.
|PQ|=x ,

|QH|=


|| = +

焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y
Q
P (x,y)
F
x
6.焦点弦
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
思考: 如图直线过焦点，点A , 、 ,
是两个交点，如何求焦点弦 ？
= +

= ′ = 1 +
题型二：抛物线的焦点弦问题
例 3.已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，
直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，
B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，
物线的通径.
|AB|=2p
越大，抛物线张口越大
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可
y2=2px
y
A p , p
2


2p
x
F
较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
B
p

,

p


2


10
方程
y2 = 2px
y
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2016年7月7日星期四
抛物线的开口方向 与标准方程
y y
2 2 22 2 py x 2 2px px py 标准方程 yy
对ห้องสมุดไป่ตู้轴
o o
x x
y 轴 x 轴 y x 轴
x
pp p （ 0, , ) ) （ 0) 焦点坐标 （ 22 2 p p p y x y x2 准线方程 2 2
抛物线 y2=2px(p>0)的简单几何性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点 4、离心率 x0
N l
y
M
关于x轴对称 (0,0) e=1
K
x
o
F
抛物线上的点Ｍ到焦点的距离和它到准 线的距离的比，叫做抛物线的离心 率．由定义可知，这两个距离相等．
图 形
y o F y
F o
范 围 顶点坐标
x
对称轴
1 (1) y x; 2 (2) y 2 x;
2
(3) y 2 2 x; (4) y 2 4 x.
x的系数越大，抛物线的开口越大． 一般地，p越大，抛物线开口越大．
已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐 标原点，并且经过点 M( 2 , 2 2 ) ，求它的标 准方程，并用描点法画出图形. 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点， 并且过M( 2 , )2 2
(3) 顶点在原点，准线是 x=4;
5
y 16 x
2
(4) 焦点是F(0,-8)，准线是 y=8. x2 32 y
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y A 解:由已知得抛物线的焦点为(1,0) 所以直线AB的方程为y=x -1 x 2 o F 联立方程组得 y 4 x ① B y x 1 ② ②代入①得 (x-1)2=4x 整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2 2 , x2 3 2 2 将x1 , x2代入y=x-1得AB坐标为
所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0)
y
因为点M在抛物线上，所以
(2 2) 2 p 2
2
即: p=2.
o
M
x
因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
求适合下列条件的抛物线方程： (1) 顶点在原点，关于x 轴对称，并且经 16 2 过点M(5,-4) ; y x
(2) 顶点在原点，焦点是F(0,5) ; x 2 20 y
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@
新疆奎屯
· 2007·
王新敞
奎屯
新疆
x≥0
x≤0 y≥0
(0,0) (0,0) (0,0)
y=0 y=0 x=0 x=0
x
y
F
o y o
F
x x
y≤0
(0,0)
抛物线开口大小与方程中一次项系数的关系：
Ctrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；
在同一坐标系中画出下列抛物线， 观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小 与方程中x 的系数有怎样的关系：
A (3 2
2,2 2 2)
B (3 2 2,2 2 2)
由两点间距离公式得:AB=8 .
图 形
y o F y
F o
范 围 顶点坐标
x
对称轴
x≥0 x≤0 y≥0
(0,0)
y=0
x
(0,0)
(0,0)
y=0 x=0
x=0
y
F
o y o
F
x x
y≤0
(0,0)
离心率 e=1 开口大小 p越大开口越大