江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考试卷(数学)

2024-2025学年江苏省无锡市锡山区天一中学七年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−2024的绝对值是( )A. 2024B. −2024C. 12024D. −120242.如图．检测4个足球．其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是( )A. B. C. D.3.若数轴上的点A表示的数−2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是( )A. ±7B. ±3C. 3或−7D. −3或74.下列各组数中，相等的一组是( )A. −(−1)与−|−1|B. −32与(−3)2C. (−4)3与−43D. 223与(23)25.下列说法中，正确的是( )A. 不带负号的数都是正数B. 最大的负有理数是−1C. 一个有理数不是正的就是负的D. 一个有理数不是整数就是分数6.如图，则下列判断正确( )A. a+b>0B. a<−1C. a−b>0D. ab>07.如图是一个计算程序，若输入a的值为−1，则输出的结果b为( )A. −5B. −6C. 5D. 68.下列各说法中，正确的个数有( )①若|x|=−x，则x一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若|a|=|b|，则a=±b；⑤若ab≥0，则a≥0且b≥0；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.规定以下两种变换：①f(m,n)=(m,−n)，如f(2,1)=(2,−1)；②g(m,n)=(−m,−n)，如g(2,1)=(−2,−1).按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(−3，−4)=(−3，4)，那么g[f(−2,3)]等于( )A. (−2,−3)B. (2,−3)C. (−2,3)D. (2,3)10.探究：22−21=2×21−1×21=2123−22=2×22−1×22=2224−23=2×23−1×23=23⋯请你找规律，计算：22023−22022−22021−⋯−23−22−21=( )A. 0B. 2C. −2D. 1二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

江苏省无锡市锡山区天一中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，折痕l 与边BC 交于点D ，连接AD ，则AD 是ABC 的（）A ．角平分线B ．高线C ．中线D ．无法确定3．若等腰三角形有一个内角为110︒，则这个等腰三角形的底角是（）A ．70︒B ．45︒C ．35︒D ．50︒4．如图，点F ，B ，E ，C 在同一条直线上，ABC DEF ≌△△，若34A ∠=︒，36F ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD 的面积是()A ．36B ．24C ．12D ．107．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边中垂线的交点8．下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知：如图ABC 中，=60B ∠︒，80C ∠=︒，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个10．如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，2OA =，以OA 为边在OP 右侧作23AOF ∠=︒，且满足4OF =，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连接AB ，作AOB 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为（）A ．90︒B ．67︒C ．23︒D ．68︒二、填空题13．如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，还需添加一个条件，这个条件可以是14．如图，在Rt ABC △中，BAC ∠=的平分线分别交DE 于点E 、D ．若15．如图，已知线段20m AB =，射线点向A 运动，每秒走1m ，Q 点从B 点向出发秒后，在线段MA 上有一点17．如图，在四边形ABCD 中，若2CD AB =，四边形ABCD 的周长为18．如图，在ABC 中，AB AC ==点M N 、分别是边AD 和AB 上的动点，连接为．三、解答题19．已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE DF =，AF CE =，AF CE ∥.求证：ABF CDE ≌△△.20．已知在ABC 中，20AB =，8BC =，22AC m =-．(1)求m 的取值范围；(2)若ABC 是等腰三角形，求ABC 的周长．21．利用网格线作图．(1)如图1，ABC 为格点三角形，在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等，然后在射线AP 上找一点Q ，使QB QC =．(2)如图2，四边形ABCD 为格点四边形，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．22．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在AC AB ，上，且AD AE =，BD 和CE 相交于点O ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．23．如图，已知 ABC ．(1)用直尺和圆规按下列要求作图：①作 ABC 的角平分线AD ；②作∠CBE ＝∠ADC ，BE 交CA 的延长线于点E ；③作AF ⊥BE ，垂足为F ．(2)直接判断图中EF 与BF 的数量关系．24．如图，在ABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．(1)若ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，求AB 的长．(2)若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，求∠CDE 的度数．25．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．【感悟】（1）如图1，AD 是ABC 的高线，2C B ∠=∠，若2CD =，5AC =，求BC 的长．小明同学的解法是：将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处．……请你画出图形并直接写出答案：BC =___________．【探究】（2）如图2，2ACB B ∠=∠，AD 为ABC 的外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB AC CD 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，8AD =，10DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②若2D B ∠=∠，则AB 的长为___________．26．已知等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接DE ，以D 为直角顶点在DE 右侧作等腰直角DEF 中，连接FC ．(1)如图1，点D 与点B 重合时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由；(2)如图2，BD CD =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，①探究AE FC 、和AC 三条线段之间的数量关系并证明；②若10BC =，直接写出MN 的最小值．。

2016届高三阶段调研检测（2015、12）出卷：孙锂审核：褚艳第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从试题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where do you think this conversation takes place?A. In the police station.B. In a university.C. In the street.2. How did the man feel when the woman guessed it?A. Nervous.B. Shocked.C. Disappointed.3. Why didn’t the boy attend Jenny’s birthday party?A. Because he had to go and see his friend.B. Because he had to stay with his friend.C. Because he had to go home.4. What is the man’s opinion?A. Most websites are safe.B. Most websites steal money.C. More and more people shop online.5. How old is the man’s son?A. 11.B. 13.C. 15.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

江苏省无锡市锡山区天一实验学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．35°6．如图，用矩形ABCD面半径为()A．47．在△ABC中，已知．．．．B．A．12中，∠10．如图，在ABCBC边上运动（点E不与点运动变化过程中，下列结论：①正方形；③四边形CEDF的面积随点点在同一个圆上，且该圆面积最小为确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．117．如图，四边形ABCD内接于⊙线相交于点F．若∠E＋∠F18．如图，在平面直角坐标系中，已知，为直线AB上一动点，若∠OPC三、解答题（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：3 1.73，结果精确到0.01米）24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点MBC于点N.（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示现怎样的结论？(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，过点M 作y 轴的平行线l 交BC 于点F ，交二次函数于点E ，记CEF 的面积为1S ，BMF 的面积为2S ，当。

江苏省无锡市天一中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的公差，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A. 9B. 10C. 10和11D. 11和12参考答案：C【分析】利用等差数列性质得到，再判断或是最大值.【详解】等差数列的公差，且，根据正负关系：或是最大值故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，的最大值，将的最大值转化为中项的正负是解题的关键.2. 已知，，，则，，的大小关系为（）A B C D参考答案：B略3. （5分）函数f（x）=|x|﹣cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无究多个零点参考答案：C考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数可转化为函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．结合它们的图象特征即可作出判断．解答：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数，即方程|x|﹣cosx=0的根的个数，也即函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．当0≤x≤时，y=|x|=x从0递增到，y=cosx从1递减到0，所以两函数图象在上只有一个交点，当x＞时，y=|x|=x＞＞1，y=cosx≤1，所以两函数图象在（，+∞）上没有交点，所以y=|x|与y=cosx的图象在上也只有一个交点，综上，函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数是2，故函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数为2．故选C．点评：本题考查函数的零点问题，即相应方程根的问题，注意体会转化思想与数形结合思想在本题中的运用．4. 函数的部分图象如图所示，若，且，则（）A. B. C. D.1参考答案：C根据题意，函数中，，周期，所以，又函数图像过点，即，又，所以，所以，所以，即图中最高点的坐标为，又且，所以，所以.5. 若直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由于曲线表示原点为圆心，半径为2的半圆，根据题意画出图形，找出两个特殊的位置：1.直线y=x+m与半圆相切；2.直线y=x+m过点(2,0)，当直线与半圆相切时，利用点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值，写出满足题意的m的范围即可.【详解】由，得到，如图，当直线与圆相切时，因此：若直线与圆有两个公共点，则实数的取值范围是：.故选：B【点睛】本题考查了直线和半圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.6. 若函数在处取最小值，则等于（）A. 3B.C.D. 4参考答案：A【分析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.7. 设全集，，，则( )A． B． C． D．参考答案：B略8. 已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：①若m∥，n∥，则m∥n；②若m∥，n⊥，则n⊥m；③若m⊥，m∥，则⊥．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：C9. 已知点，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（）A. 2B.C. 3D. 4参考答案：D【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.【详解】如图：依题意得点在直线上，点关于直线对称的点,点在圆关于直线对称的圆上，则，设圆的圆心为，因为，，所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.因此，的最大值为4.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.10. 已知等差数列的公差为，若，和成等比数列，则可以等于（）．A．B．C．D．参考答案：C【考点】8F：等差数列的性质．【分析】依题意，，可求得．【解答】解：∵等差数列的公差，，和成等比数列，∴， ∴，∴，故选：．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy -+=；③211x x -=；④20x =；⑤233x x +=． A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个． 2．若一元二次方程230x x a -+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3．如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A ．3B ．1C ．9-D ．3 4．方程2230x x --=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．15．如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A ．AB AC AD AE = B ．B D ∠=∠ C ．AB BC AD DE = D ．C AED ∠=∠6．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≥B ．54k >C ．54k >且1k ≠D ．54k ≤且1k ≠ 7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个正方形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个平行四边形 8．如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1039．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A ．()222101x x +=+B ．()222110x x ++= C ．()222104x x +=- D ．()222410x x -+= 10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP V 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP !沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP V的周长始终不变： ③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM ：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．已知23a b =，则b a =． 12．关于x 的方程()222310m m x x --+-=是一元二次方程，则m 的值为．13．如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为cm ．14．若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为．15．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =．16．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为．17．如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是．18．如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=︒，0t ≤≤（1）如图①，当0t =时，PM PN=；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =点T 所走过的路线长是．三、解答题19．按要求解下列方程：(1)23610x x +-=（配方法）(2)2650x x -+=(3)290x --=（公式法）(4)()()()2243225x x x x +--=+．20．化简再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中a 是方程280x x --=的根． 21．已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=(1)求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰ABC V 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC V 的周长． 22．如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的延长线上一点，连接BE 交CD 于点F ，交对角线AC 于点G ．(1)若12DE AD ==，，求CF DF的值； (2)求证：BCF EAB ∽V V ．24．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？25．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠-≥的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a +=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m --=、210n n --=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x --=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：(1)①已知一元二次方程22350x x --=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +-=，2430b b +-=（a b ≠），则11a b+=_______． (2)已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t -=+，2411n n t -=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．26．每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．27．阅读感悟：已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭． 化简，得2440y y +-=，故所求方程为2440y y +-=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：(1)已知方程230x x --=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；(2)方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠-≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数．(3)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12-，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c -+-=-≠的两个实数根．28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A ={x |−2<x <5}，B ={x |1−2x >3}，则A B =( )A ．(−2,−1) B ．(−2,1) C ．(1,5) D ．(−1,5)2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BCAC=上面可得sin126(°= )ABC D 江苏省天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A ab c=+，tan 2B b a c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．38．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形12．（5分）设1e，2e 为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为 ．14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 ．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．天一高二上第一次检测数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合{|25}A x x =−<<，{|123}B x x =−>，则(A B = ) A ．(2,1)−−B ．(2,1)−C ．(1,5)D ．(1,5)−【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解． 【解答】解：{|25}A x x =−<<，{|123}{|1}B x x x x =−>=<−， 则{21}A B x =−<<− ． 故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<【分析】不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，由此求得不等式的解集． 【解答】解：不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，解得11x −< ， 故不等式的解集为{|11}x x −< ， 故选：D ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−【分析】利用偶函数的性质，将方程转化为2(||)(||)3x f x f x +=+，再利用()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，从而得到23x x x +=−+或23x x x +=+，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可． 【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()(||)f x f x f x =−=，又函数的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上为单调递增函数，则2()()3x f x f x +=+等价于2(||)(||)3x f x f x +=+， 所以23x x x +=−+或23x x x +=+，即2420(3)x x x ++=≠−或2220(3)x x x +−=≠−， 设2420(3)x x x ++=≠−的两个根为m ，n ，则4m n +=−， 设2220(3)x x x +−=≠−的两个根为a ，b ，则2a b +=−， 所以满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为426−−=−． 故选：A ．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果． 【解答】解：函数()2cos f x x x =，()2cos ()f x x x f x −=−=−，所以函数是奇函数，排除B 、D ， 当0x →时，函数()2cos 0f x x x =>，函数的图象在第一象限，排除C ， 故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，这类问题，一般通过函数的定义域，值域，单调性、奇偶性，以及函数的图象经过的特殊点判断．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BC AC=上面可得sin126(°= )A BC D 【分析】由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin126cos36°=°，再由二倍角公式，求出126°的正弦值．【解答】解：由BC AC =ABC ∆为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°，2sin126cos3612sin 18°°−° 故选：C ．【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A a b c=+，tan 2B ba c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理可得sin sin 1cos B C A +=+与sin sin 1cos A C B +=+，两式作差后平方，可得sin 2sin 2A B A B =⇒=或2A B π+=，从而可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，若tan 2A a b c=+，则sin sin 1cos sin sin A AA B C =++，整理得sin sin 1cos B C A +=+①； 又tan2B ba c=+，同理可得sin sin 1cos A C B +=+② ①−②得，sin sin cos cos B A A B −=−，即sin cos sin cos A A B B +=+， sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形， 故选：C ．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．3【分析】将立体图展开成平面图，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，即可得到AC ′即为1AP PC +的最小值，解三角形即可．【解答】解：连接1BC ，得△11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将△11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ， 设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，则AC ′即为1AP PC +的最小值，由题意可知11AA =，AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，得112A B BC A C′′===， 1160AA B BA C ′∠=∠=°，所以在△1AA C ′中，AC ′=故选：B ．【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题． 8．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 【分析】设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，外层椭圆设为22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，分别与两个椭圆方程联立，求解42221249()16b k k a −，然后求解离心率即可．【解答】解：设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，切线的方程为1()y k x a =+与22221x y a b +=联立得，22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +++−=， 由△0=，则221221(1)b k a m =×−，同理22222(1)b k m a =−，所以42221249()16b k k a −，因此e =．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【分析】根据基底的含义，非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，从而可得结论．【解答】解：因为{OA ，OB ，}OC是空间的一个基底， 所以非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误． 故选：ACD ．【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=【分析】四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××，再根据内切圆的周长可以求出内切圆的半径，再利用内切圆半径×周长2÷=四边形12A PA Q 的面积，进而得到关于a ，b 的两个方程，求解即可得答案．【解答】解：四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××ab = 记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则2r π=，得r =∴2cr =，∴c =，又2223c a b =+= ，得1a b ==，或1a b = =C 的方程为2212x y −= 或2212y x −=． 故选：AB ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形12A PA Q 的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题．11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>，可判断；选项D ，设PA x =，PB y =，PC z =，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断． 【解答】解：如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，则PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是αβγ，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设DE a =，DI b =，DP c =则222222sin sin sin 1αβγ++=++，故选项A 正确；222222cos cos cos 2αβγ++=++，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ， 由三垂线定理可得，MN AB ⊥，由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON >， 故PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>， PAB PAC PBC ABC OBC OAC OAB S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++，故选项C 正确；不妨设PA x =，PB y =，PC z =，则AB AC BC 在ABC ∆中，cos 0,cos 0,cos 0A BC=>>>，因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力等知识，属于中等题．12．（5分）设1e，2e为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出12e e ⋅的范围，然后结合向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【解答】解：因为1e ，2e为单位向量，且满足12|2|e e −所以124412e e −⋅+ ，即1234e e ⋅ ，所以121212()(3)44a b e e e e e e ⋅=+⋅+=+⋅，221212||()22a e e e e =+=+⋅ ，221212||(3)106b e e e e =+=+⋅ ， 则22212122212121212(44)4(1)()424228cos (1)(1)33329||||(22)(106)5353534e e e e a b a b e e e e e e e e θ+⋅+⋅⋅====−−=+⋅+⋅+⋅+⋅+×故选：CD ．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为【分析】利用对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为115， 所以至少取得一个红球的概率为11411515−=． 故答案为：1415． 【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题． 14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 4 ．【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可．【解答】解：因为复数z 满足|32|1z i −+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆， 又|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，所以|62|z i −−的最小值为11514PC −=−=−=．故答案为：4．【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 1− ．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21s ， 一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，∴131x x =+，2219s s =， 131x + ，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，∴23194x s +=+， ∴21133s x =−， 222211111()33636s x x x x −=−−=−−−， 又 211033s x =− ，∴1x ，故当1x =时，22s x −取得最大值，最大值为1−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查方差与平均数的求解，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=3− ． 【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再将AO xAB y AC =+ 的两边点乘AB ，AC，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程组得x ，y 的值，计算即可．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +，sin cos cos sin C A C A C +，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +−+−===−， 可得120B =°，30A C ==°，若AO xAB y AC =+可得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即有22212c xc y =，化为231x y +=，...①又可得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ， 即有22233322c xc y c =+⋅，化为21x y +=，...② 由①②解得1x =−，1y =， 所以21213x y −=−−×=−． 故答案为：3−．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值问题，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值，结合直线的弦长公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m −+−=− …（2分） 令50m −>，得5m <．…（4分）（Ⅱ）圆22:(1)(2)5C x y m −+−=−，圆心(1,2)C ，半径r=圆22:(3)(1)16D x y +++=，圆心(3,1)D −−，半径4R =…（6分） 圆C 与圆D 相外切∴4=+，解得4m = …（8分）圆心(1,2)C 到直线:240l x y +−=的距离为d =…（10分）||MN ∴= …（12分） 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 【分析】（1）根据题意，可得(,2)b a λλλ==−，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案； （2）根据题意，求出a b ⋅的值，又由数量积的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若b a λ=，则(,2)b a λλλ==− ，又由||b =2520λ=，解可得2λ=±，又由0λ<，则2λ=−，则(2,4)b −；（2）根据题意，向量(1,2)a =−，则||a = ，又由||b = a 与b 的夹角为23π，则2cos 53a b π⋅=− ，22()(2)2102055a b a b a b a b −⋅+=−−⋅=−+=− ．【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，5342b b b =− ，221q q ∴=−，得12q =，1q =−（舍)，又112b =，∴1112n n n b b q −==． 949S b = ，∴541992a ×=，解得516a =， 又14a =，∴51123514a a d−===−， 4(1)331n a n n ∴=+−×=+．（2）由（1）得31na n =+，12n nb =． n n OP OQ ⊥ ，∴210n n n n n a b bc +−−=，∴312n n n c +=． ∴234710312222n n n T +=+++…+，① ①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++…+，②①−②得2312311111(1)4333311111131131737223()31222222222222222212n n n n n n n n T n n n n ++++−++++=+++…+−=++++…+−=+×−=−−． ∴3772n nn T +=−． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于 中档题． 20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈【分析】（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，根据条件中的数列{}n a 的首项和公比直接写出通项公式，设数列{}n b 的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列， 数列{}n a 的首项为1200，公比为4120%5−=，所以141200()5n n a −=⋅，设数列{}n b 的公比为q ，显然q 0>，q ≠1．所以三年内旅游业总收入为3400(1)15251q q−=−，即261116q q ++=，所以21616450q q +−=，解得54q =或94q =−（舍) 所以15400()4n n b −=⋅．（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入． 则经过n 年，总投入为41200[1()]456000[1()]4515n n −=−−，经过n 年，旅游业总收入为5400[1()]541600[()1]5414n n −=−−，所以541600[()1]6000[1()]45n n −>−，化简得4515()4()19054n n ⋅+⋅−>，设4()(01)5n tt <<，代入上式得2151940t t −+>， 解此不等式，得t 1>（舍去）或t 415<， 即44()515n <，解得45422(35)3231 5.915225321lg lg lg lg lg n log lg lg lg −+−−>==≈−−， 由此得n 6 ．所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入．【点评】本题考查等比数列及其前n 项和的实际应用，考查学生的应用数列模型的能力和运算能力，属中档题．21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．【分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【解答】解：( 1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,ABBC AC ===90,ABC BO ∠=°，OB AC ⊥． 在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB =，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示．因为MA MB MC AC ====，2ABBC ==则(0,A B C M ， 由23BN BC =所以，N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)0,(,,)0AN m x y z x y AM m x y z ⋅=⋅= ⋅=⋅=+令y =(1)m −− ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB = 为平面AMC 的法向量，所以(1)m −− 与OB = 所成角的余弦为cos ,m OB <>= ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>== ． 【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【解答】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取(1,0)A ′−．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以||2||A P OC ′=．所以||||222224||2PA PA OC AC OC CD OD AA ′+=+=+==>′=，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =−=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=； （2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(4)3412y k x x y =− +=，得2222(34)3264120k x k x k +−+−=，依题意△2222(32)4(34)(6412)0k k k =−−+−>，即2104k <<， 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k −=+， 为12121212121212(4)(4)[5()8]1111(1)(1)MA NA y y k x k x k x x x x k k x x x x x x −−−+++=+=+=−−−−−− 222212641232[2()5()8]34340(1)(1)k k k k k x x −⋅−⋅+++=−−， 所以直线MP 倾斜角与直线NQ 倾斜角互补，即OAP OAQ ∠=∠．因为OA PQ ⊥，所以||||AP AQ =．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2024—2025学年第一学期期中试卷九年级数学考试时间：20分钟 满分分值：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程的解是（）A ．B ．C ．，D ．，2．已知的半径为5，点P 在外，则OP 的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，下列条件不能判定的是（）第3题图A ．B ．C ．D．4．下列说法：有下列说法：①长度相等的弧是等弧，②直径是圆中最长的弦，③圆的内接平行四边形是矩形，④三角形的外心到三角形三条边的距离相等，⑤相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）第6题图A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知一元二次方程的两根为、，则的值是（）A ．－4B ．－2C ．2D ．46．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m 的住房墙，另外三边用34m 长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m 的木门，当羊舍的面积是160m 2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为x m ，则根据题意可得方程为（）A ．B ．C ．D ．7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块多边形碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）23x x =3x =0x =13x =20x =13x =-20x =O e O e ADB ABC ∽△△ABD ACB ∠=∠ADB ABC ∠=∠2AB AD AC =⋅AD AB AB BC=2310x x ++=1x 2x 1212x x x x ++()34160x x -=3421602x x +-⋅=341602x x -⋅=()18160x x -=（第7题图）A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图，点O 是三边均不等的三条角平分线的交点，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，若D 、O 、E 三点共线且，设，，，关于x 的方程根的情况（ ）（第8题图）A ．一定有两个相等实数根B ．一定有两个不相等实数根C ．有两个实数根，但无法确定是否相等D ．没有实数根9．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将沿EF 折叠得到，延长FH 交BC 于点M ，连接EM ．下列结论：①是直角三角形；②；③当点M 与点C 重合时，；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤．其中结论正确的个数有（ ）（第9题图）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，点C 是半圆O 的中点，AB 是直径，弦AD 于点E ，交AB 于点F ，若，，则BF 的长为（ ）第10题图AB ．1CDABC △AD AE =BD a =2DE b =CE c =20ax bx c ++=AEF △HEF △EFM △BEM HEM ≌△△3DF AF =24FH MH AB ⋅=CF ⊥1CE =103EF =二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．在一张比例尺1:800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是______千米．12．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为______．13．若a 是方程的一个根，则代数式的值为______．14．已知线段MN 的长是10cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长______．15．如图，与正八边形ABCDEFGH 相切于点A ，E ，则劣弧的度数为______．第15题图16．在半径为3的中，弦AB 的长是，则弦AB 所对的圆周角的度数是______．17．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知，与之间的距离为2．“等高底”的“等底”BC 在直线上，点A 在直线上，有一边的长是BC倍．将绕点C 按顺时针方向旋转45°得到，所在直线交于点D ，则______．（第17题图）18．如图，将两块三角板和三角板放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，．若点O 到BC，则点O 到EF 的距离为______；若，则外接圆的半径为______．（第18题图）210x x --=2332024a a -++O e »AE O e 12l l ∥1l 2l ABC △1l 2l ABC △ABC △A B C ''△A C '2l CD =()45OAB OAB ∠=︒()30OCD OCD ∠=︒6AB =3BC AD =OCD △三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．20．（8分）计算：（1）；（2）．21．（8分）如图，已知和，边AB ，DE 交于点F ，AD 平分，AF 平分，．（1）求证：；（2）若，，求AB 的长．22．（8分）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；（2）已知关于x 的一元二次方程：（m 是常数）是“倍根方程”，请求出m 的值．23．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．（1）图①中，在边AD 上画点E ，使；（2）图②中，画的角平分线CF ，交AD 于F ；（3）图③中，点O 在格点上，与AB 相切，切点为A ，交AD 于G ，BC 与相切，切点为M ，CD 与相切，切点为N ，画出点M 、N ．24．（10分）如图，AB 是直径，点C 在上，在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使()23140x +-=2670x x +-=()23202421124233⎛⎫-+÷--⨯ ⎪⎝⎭212+ABC △AED △BAC ∠EAD ∠AE AD AB AC=AED ABC ∽△△3BD =2BF =()200ax bx c a ++=≠2680x x -+=12x =24x =2680x x -+=2320x x -+=()21320x m x --+=86⨯AE DE =BCD ∠O e O e O e O e O e O e．（1）求证：直线CD 是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．25．（10分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．26．（12分）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，动点D 从点O 出发沿O →A 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A 停止．在运动过程中，的外接圆交OB 于点P ．连接CD 交OB 于点E ，连接PD ，得到．（1）求；（2）如图2，移动过程中，当点P 恰好落在OB 的中点时，求此时点D 的坐标；（3）①设点D 运动的时间为t 秒，直接写出点P 的坐标______（用含t 的代数式表示）；②设的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．27．（10分）【特例感知】（1）如图1，是的圆周角，BC 为直径，BD 平分交于点D ，，若，，则______，______．【类比迁移】BCD A ∠=∠O e 120ACD ∠=︒4AB =()8,6B COD △PED △CP DPPED △ABC ∠O e ABC ∠O e DE AB ⊥5BC =4BD =AD =DE =（2）如图2，是的圆周角，BC 为的弦，BD 平分交于点D ，过点D 作，垂足为F ，写出线段AB 、BF 、BC 之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，是的圆周角，BC 为的弦，BD 平分交于点D ，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．28．（12分）在中，，于点M ，D 是线段BC 上的动点（不与点B ，C ，M 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转得到线段DE ．（1）如图1，若点E 在线段AC 上且，时，求ME 的长；（2）如图2，若D 在线段BM 上，在射线MB 上存在点F 满足，连接AE ，AF ，EF ，请证明：；（3）如图3，若，过M 作直线交边AB 于点N ，再作点N 关于AM 的对称点，点P 是直线MN 上一动点，将沿AP 所在直线翻折至所在平面内得到，连接BG ，点H 为BG 的中点，连接MH ，当MH 取得最大值时，连接AH ，将沿AM 所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．ABC ∠O e O e ABC ∠O e DF BC ⊥ABC ∠O e O e ABC ∠O e 90ABC ∠=︒BD =3AB =ABC △ABC △()045B C αα∠=∠=<<︒AM BC ⊥2α3AM =2DM =DF DC =AE FE ⊥30α=︒MN AB ⊥N 'APN '△ABC △APG △AHM △ABC △AMQ △GQ BM。