2011年高二数学教案：《平面向量概念及运算》(沪教版)

8．4（2）向量的应用（2）一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用．本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用．二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路．2、了解构造法在解题中的运用．三、教学重点及难点重点：平面向量知识在各个领域中应用．难点：向量的构造．四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量？（1）力 （2）功 （3）位移 （4）力矩2、上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？［说明］复习数量积的有关知识．二、学习新课例1（书中例5）向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看例2（书中例3）证法（一）原不等式等价于)1(2212122212121x y y x y y x x +≤，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立．证法（二）向量法［说明］本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现→→→→≤⋅b a b a （等号成立的充要条件是b a //）例3（书中例4）［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明．二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为34 km/h.（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？答案：沿北偏东︒30方向前进，实际速度大小是8 km/h ．（2） 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少？ 答案：朝北偏西33arcsin 方向前进，实际速度大小为24km/h ． 三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用．2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系．四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4２、（补充）（1）已知作用于同一物体的两个力→1F 、→2F ，|→1F |=5N ，|→2F |=3N ，→1F 、→2F 所成的角为︒60，则|→1F +→2F |= 7 ; →1F +→2F 与→1F 的夹角为1413arccos ．［说明］力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一．（2）上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法．［说明］①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性．②以小组形式，时间为一星期为宜．。

8.3平面向量的分解定理【教学目标】1．掌握平面向量的分解定理及其应用；掌握基的概念；理解并会应用平面向量的三点共线条件；2. 理解平面向量的分解定理的证明；3.经历平面向量分解定理的探究过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.【教学重点】平面向量分解定理的理解与应用，用给定基向量表示其它向量.【教学难点】平面向量分解定理的理解、基向量的选择.【教学过程】一、情境引入前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？情境1：静止在斜面的物体所受的重力G可以分解为______________________和_________________.情境2：光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上，其重力G可以分解为________________________和_______________________.思考：从这两个情境中我们看出了什么？22二、新知探索问题1：如果向量12,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量12,e e 表示向量a ？动手试试给定平面内的两个不平行向量12,e e ，对于给定的非零向量a 是否能分解成12,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？问题2：既然可以分解，并且是唯一的，能否把a 和12,e e 的关系用数学式子表示出来？问题3：对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a 是否也可以得到同样的结论呢？2平面向量分解定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+.我们把不平行的向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.三、典型应用例1：已知向量12,e e 是平面内所有向量的一组基向量，且1212,32a e e b e e =+=-，1223c e e =+.若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），求,λμ的值.例2：如图，已知,OA OB 是不平行的两个向量，k 是实数，且()AP k AB k R =∈，用,OA OB 表示OP .22拓展（平面向量的三点共线条件）：已知A B C 、、是平面上不同三点，O 是平面上任意一点，求证：A B C 、、三点共线的充要条件是：存在,,1R λμλμ∈+=，使得OC OA OB λμ=+.练习：1.已知ABC ∆中，N 是AC 上一点，3CN NA = ，点P 在BN 上，311AP AB mAC =+，求实数m 的值.22.已知ABC ∆中，CP mCA =，CQ nCB =，直线PQ 过ABC ∆的重心G ，求11m n+的值.四、课堂小结五、作业布置《导学先锋》相关练习.2。

平面向量及其加减运算教案【学习目标】1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3. 理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：uuur uuur（1）“有向线段AB”符号标记为AB ，且AB 表示点B 相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2. 平面向量的定义及表示（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. 其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:rrr ①小写英文字母表示法: 如a,b,c,L 等.uuur uuur②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3. 特殊的向量零向量: 长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1 个单位的向量. 相等向量: 长度相等且方向相同的向量.互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.平行向量: 方向相同或相反的非零向量，叫平行向量（平行向量又称为共线向量）.规定: 0 与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意0r与0 的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（3）零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2. 运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 这样的规定叫做向量的加法的三角形法则. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢAB BC AC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果a r、r b 是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a r、b r相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就rr是a 、b 和的向量. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢABAD AC要点诠释：r r r r r1. 两个向量的和是一个向量，规定a 0 0 a a .2. 可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3. “向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4. |a r | |b r | |a r b r | |a r | |b r |.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3. 运算律：1）交换律： a b b a ； 要点三、向量的减法运算1. 定义： 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 .2. 运算法则：在平面内任取一点， 以这点为公共起点作出这两个向量， 那么它们的差向量是以减向量的 终点为起点、 被减向量的终点为终点的向量， 这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法 的三角形的法则 . 要点诠释：用加法法则来解决减法问题2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定a a 0.uuur3）与 AB 长度相等、方向相反的向量，叫做【典型例题】 类型一、向量的基本概念件；r r r r r r (3) 若 a b,b c ，则 a cr r r r r r(4) 两向量 a, b 相等的充要条件是 a b 且 a//b .【思路点拨】 对于有关向量基本概念的考查， 可以从概念的特征入手， 也可以从反面进行考 虑，要注意这两方面的结合 . 【答案与解析】解： （1） 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由a rb r 推不出a b .uuur uuur uuurDC 且 AB// DC .又 A 、B 、C 、D 是不共线的四点，四边uuur uuur uuur uuur 形 ABCD 是平行四边形，则 AB//DC,AB DC 且 AB 与DC 方向相同 .因此AB DC .rr ab，则 a b ； 2）结合律： (a b) ca (b c)1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：uuur uuur AB ADuuur uuur uuur AB DA DB ，从而uuur uuurAB 的相反向量，即 ABuuur BA .(2) 若 A 、 B 、C 、D 是不共线的四点，则uuu r ABuD u C ur 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条uuur uuur (2) 正确， Q AB uuurDC,∴ AB. 判断下列各命题是否正确：(1) 若（3） 正确， Q a b,∴a, b 的长度相等且方向相同；又 Q b c,∴b, c 的长度相等且方向相同，r r r r ∴a , c 的长度相等且方向相同 .故 a c .的充要条件 .【总结升华】 我们应该清醒的认识到， 两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相 同，向量相等是可传递的 . 复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实 数运算区别开来 . 举一反三：【变式】下列说法正确的个数是 （ ）uuur uuur①向量 AB // DC ，则直线 AB// 直线 CD;②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； uuur uuur ③向量 AB 既是有向线段 AB ；uuur uuur④在平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 【答案】 C类型二、向量的加法运算2. （2016?闵行区一模）如图，已知四边形 ABCD ，点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，设 = ， = ．1）试用 ， 的线性组合表示向量 ；（需写出必要的说理过程） 2）画出向量 分别在 ， 方向上的分向量．思路点拨】 （1）由点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，直接利用三角得答案；（4） 不正确，当 a r //b r 但方向相反时，即使 ab r ，也不能得到 a rrbrrr 不是 a b形中位线的性质，即可求得 ==﹣ ， ， = = ，再利用三角形法则求解即可求2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵点P、Q、R 分别是对角线AC、BD 和边AB 的中点，∴ = = ﹣，= = ，∴ = + = ﹣+ ；2）如图：与即为所求．【总结升华】此题考查了平行向量的加法运算．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．举一反三：【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形uuur uuur uuur uuur 已知：四边形ABCD中，AO OC，DO OB 求证：ABCD 是平行四边形.答案】证明：由向量的加法法则：Ｃuuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AO OB ，DC DO OCuuur uuur uuur uuur uuur uuurAO OC ，DO OB ，∴ AB DC ，即线段AB与DC 平行且相等，∴ ABCD是平行四边形类型三、向量的减法运算3. 三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的【答案与解析】已知：如图，ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE //BC且DEB1证明：∵ D ， E 分别是边 AB ，AC 的中点，∴ AD AB ， AE2∴ DE AE AD 1(AC AB)1BC ，221∵D ， B 不共点，∴ DE//BC 且DE 1BC .2【总结升华】 两个向量相减， 则表示两个向量起点的字母必须相同； 向量的终点 .类型四、向量加减综合运算b ，∠ DAB ＝ 120°，且a思路点拨】 利用三角形法则和数乘运算， br3 ，求 a和ab r.量表示其他向量，本题的基底就是 a, 用向量法讨论几何问题， uuur uuur 由它可以“生”成AC,DB,L L .关键是选取适当的基向 答案与解析】 解：以 AB 、 AD 为邻边作平行四边形 uuur uuur由于 |AD | |AB | 3，故此四边形为菱形 由向量的加减法知 uuur r r uuur r rAC a b ，DB a buuur r r uuur r 故 | AC ||a b |，|DB | |a因为 DAB 120O，所以所以 ADC 是正三角形，则 |AC| 3DAC 60OuuurABCD ，由于菱形对角线互相垂直平分 , 所以 AOD 是直角三角形， 3 3 3uuur uuur o|OD| | AD |sin 60o 3 所以 |a【总结升华】 数乘向量外， 形或三角形中， 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 运用向量加、 减法运算 及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、 平行四边形法则， 运用减法三角形法则， 充分利用三角形的中位线， 相似三角形对应边成比 例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 .用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功， 还应充分利用平面几何的一些定理， 因此在求向量时要尽可能转化到平行四边 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 除利用向量加、 减法、 2 AC .差向量的终点指向被减举一反三：变式1】如图，已知点D,E,F分别是ABC三边AB, BC ,CA的中点，uuur uuur uuur r 求证：EA FB DC 0.证明：连结DE,EF,FD.因为D,E,F分别是ABC三边的中点，所以四边形ADEF 为平行四边形.uuur uuur uuur 由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA(1) ，uuur uuur uuur同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB(2) ，uuur uuur uuur在平行四边形CFDE 在中，DF DE DC (3)将(1)(2)(3) 相加，得uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuurEA FB DC ED EF FD FE DE DF变式2】（2015?上海模拟）如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（【答案】D.解：A 、+ =﹣，故本选项错误；B、+ =﹣，故本选项错误；D 、+ = ﹣，故本选项正确．故选D ．uu u u u u u u uu uuruuuuuuurA．D．C、+ = ﹣，故本选项错误；答案】。

个性化辅导教案教师：学生：时间：年月日(1,2)a =.）在坐标平面上，画出向量a ；并求a = a 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a 的始点P a 的模与两点P 、Q 间距离关系是 .(,)Q P a PQ x x ==-，则(Q a PQ x ==练习1：已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-，求2a b -说明] 在问题一中，先给出向量(1,2)a =，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概,a b ，若存在一个常数a b λ=⋅成立，则两向量a 与向量b 平行，记为：//a b .问题探究反思问题二.在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),A B 完成下列问题：（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：AB BC AC (1,2) (2,4) (3,6) 5 25 35）通过画图，你得出什么结论？AB BC AC +=2BC AB =，3AC AB =，] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？,a b 用坐标表示为 B 、充分不必要 D ,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，//a b 的充要条件是21x y =.分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//a b 12x y ⇒//a b ⇔存在非零实数λa b λ=，即 22(,)x y λ，化简整理可得：1212x x y y λλ==，消去λ（Ⅱ）再证充分性：1x //a b、1y 、2y 全不为零，显然有a b λ=//a b ⇒a 是非零向量得出一定有b 是非零向量得出20y ≠，从而，此时存在a b λ=//a b ⇒②如果10x ≠，则有20y =//a b综上，当1221x y x y =时，总有//a b所以，命题得证.本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（存在一个实数λ，使a =λb 或b =λ； ②21y y x x = D 、3个0a 为单位向量，有以下三个命题：a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.知识拓展应用问题三：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-、B 、C 三点共线，（学生讨论与分析）三点共线的证明方法总结：法一：利用向量的模的等量关系AB AC λ=，则A。

课 题：平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。

教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

2．向量加法的交换律：a +b =b +a 3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差。

即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

6．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 7．运算定律 λ(μa ρ)=(λμ)a ρ，(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ8． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ。

9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量10．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

8．4（1）向量的应用（1）一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。

本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题，以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题，突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.二、教学目标设计运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.三、教学重点及难点教学重点：利用平面向量知识证明平行、垂直等问题； 教学难点：数形结合方法的渗透，思维能力的提高. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾思考并回答下列问题1．判断：（平行向量的理解）（1）若A、B、C、D四点共线，则向量//；（）（2）若向量//，则A、B、C、D四点共线；（）（3）若=，则向量=；（）（4）只要向量→→ba,满足→→=ba，就有→→=ba；（）2．提问：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？[说明] 教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.二、学习新课例题分析例1、证明：菱形对角线互相垂直。

（补充）证：设==→a , ==→b∵ABCD为菱形∴|→a| = |→b|∴⋅= (→b +→a)(→b-→a) =→b 2 -→a2 =|→b|2 - |→a|2 = 0 ∴AC⊥BD证法二：设B(b ,0)，D(d1,d2)，则AB= (b ,0), AD= (d1,d2)于是=AB+AD= (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2)C A=-= (d 1 -b ,d 2)∵•= (b +d 1)(d 1 -b ) + d 2d 2 = (d 12+ d 22)- b 2= ||2- b 2= ||2- b 2= b 2- b 2= 0∴AC ⊥[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.例2、已知)2,1(A ，)3,2(B ，)5,2(-C ，求证ABC ∆是直角三角形.(补充).,900),3,3(),1,1(:0是直角三角形即证明ABC BAC ∆=∠∴=⋅-==Θ例3、.,,.AC BH BC AH ABC ⊥⊥∆已知中在如图.:AB CH ⊥求证(课本P72例2)[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系. 例4、证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)三、课堂练习例5、用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4 A 组1)四、课堂小结1.用向量知识证明平行、垂直问题.2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.四、作业布置1、书面作业:课本P73, 练习8.4 1, 2, 32、习题册P39，习题8.4 A 组/1；习题册P40，习题8.4 B 组/13、思考题:如图,在ABC 中，D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，F ，G 分别是DB 、EC 的中点， 求证：向量与共线.3、思考题:如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点.七、教学设计说明1．注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻. 2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口. 3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.EB C。

8.3平面向量的分解定理一、教学目标1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。

4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

三、教学过程设计（一）、 设置情景，引入课题（1）观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例： 实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F1和 F2 .B思考：从这个实例我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型j P（二）、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：e 1a=入1e 1 +入2e 2.1如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？数学实验1 实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量a 是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和a ；b.每个同学先独立作图；c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论. (3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？生：21,e e 是不平行向量，a 是平面内给定的向量，在平面内任取一点O （1）作1,OA e =2,OB e =OC a =；（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与直线OA 相交于点M ；（3）过C 作平行于直线OA 的平行线与直线OB 相交于点N ；（4）四边形ONCM 为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数21,λλ，使得11OM e λ=，22ON e λ=，则2211e e ON OM a OC λλ+=+==.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a 是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.数学实验2 实验设计：(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.(2)实验步骤： a.利用几何画板画出两个不平行向量21,e e ，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置0，1a e ，2a e ） (3)实验报告：DCBA3．探究结果几何角度：平面内的任一向量a 都可以表示为给定的两个不平行向量21,e e 的线性组合，即2211e e a λλ+=，且分解是唯一的. 代数角度：说明唯一性：说明：（1）当0=a 时，21000e e ⋅+⋅=（2）当0≠a 时，假设1122a e e λλ''=+，则有1122e e λλ+=1122e e λλ''+111222()()0e e λλλλ''-⋅+-⋅=.由于21,e e 不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即1122,λλλλ''==.4．概括得出定理平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.我们把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基. 注意（1）基底不共线； （2）将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被a，1e ，2e 唯一确定的数量（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.） （三）．例题分析例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==, ，分别用b a ,表示MC MB MA ,,和MD .解： 在平行四边形ABCD 中，,b a AD AB AC +=+= ,b a AD AB DB -=-=)(21b a MA -=+-=-=∴)(21b a MB -=-==∴)(21b a MC +==，MB MD +-==-= 注：（1）把b a ,作为一组基，用向量b a ,表示平面内的任何一个向量 （2）平行四边形法则简化为三角形法则。