沪教版(上海)高二数学第二学期-12.2 圆的方程-教案

1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．2. 圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点O 为圆心、半径为r 的圆．注：点和圆的位置关系（1）点在圆上：d ＝r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；（2）点在圆外：d ＞r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2；（3）点在圆内：d ＜r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.3. 求圆的标准方程的方法（1）几何法利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程．（2）待定系数法①设：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；②列：由已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；③解：解方程组，求出a ，b ，r ；④代：将a ，b ，r 代入所设方程，得所求圆的方程．题型一、圆的标准方程【例1】以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为 .【难度】★第17讲 圆的方程 知识梳理例题分析模块一：圆的标准方程 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】圆心在第一象限，半径为1，且同时与x ，y 轴相切的圆的标准方程为 ．【难度】★【例3】已知圆的圆心M 是直线2x ＋y －1＝0与直线x －2y ＋2＝0的交点，且圆过点P (－5,6)，圆的标准方程为____________.【难度】★【难度】★【例5】以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +−=相切的圆的方程是 ．【难度】★【难度】★★【例8】已知某圆圆心在x 轴上，半径为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【难度】★★题型二、点和圆的位置关系 【例1】若点(,0)P m 在圆22(1)4x y −+=内，则实数m 的取值范围为 ．【难度】★【例2】已知点(1,1)在圆220x y ax a +++=外，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)−+∞B ．(1,0)−C ．(1−，0)(4⋃，)+∞D ．(−∞，0)(4⋃，)+∞ 【难度】★★1. 圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，圆的半径为r ＝12D 2＋E 2－4F .2. 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆．②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③D 2＋E 2－4F ＜0时，不表示任何图形．注：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是为A ＝C ≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4F ＞0.3. 与圆有关的最值问题的常见类型及解法（1）形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x, y )和(a, b )的动直线斜率的最值问题． （2）形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． （3）形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x, y )到定点(a, b )的距离的平方的最值问题．模块二：圆的一般方程 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理题型一、圆的一般方程【例1】已知方程2220x y x my m +−++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．(),2−∞C ．[)2,+∞D ．()(),22,−∞+∞【难度】★【例2】圆22230x y x +−−=的半径为__________.【难度】★【例3】若22240x y x y +−−=，求圆心坐标为__________．【难度】★【例4】圆22240x y x y +−+=的圆心到直线3450x y +−=的距离等于 ．【难度】★【例5】已知()()()2,0,3,3,1,1A B C −，则△ABC 的外接圆的一般方程为 .【难度】★★【例6】对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +−−+−=恒过定点，则其坐标为 ．【难度】★★【例7】已知一圆经过点(2,3)A −和(2,5)B −−，且圆心C 在直线:230l x y −−=上，求此圆的标准方程．【难度】★★例题分析题型二、圆的对称性【例3】圆2224110x y x y +−−−=关于点(2,1)P −对称的圆的方程是 ．【难度】★★题型三、圆系方程题型四、与圆有关的最值问题【例1】已知P 为圆22(3)(4)4x y −+−=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P的距离的最大值为 .【难度】★★【例2】已知实数x ，y 满足2246120x y x y +−++=，则22x y −−的最小值是（ ）A ．1−+B ．4−C ．5−D ．【难度】★★题型五、圆的轨迹【例1】直角坐标平面xoy 中，若定点A （1，2）与动点P （x ，y ）满足4OP AP ⋅=，则点P 的轨迹方程是___________.【难度】★★【例2】从定点()6,8A 向圆2216x y +=任意引一条割线交圆于1P 、2P 两点，求弦12P P 的中点P 的轨迹．【难度】★★【例3】△ABC 的三个顶点坐标是A （0，1），B （2，1），C （3，4）.（1）△ABC 的外接圆方程；（2）若线段MN 的端点N 的坐标为（6，2），端点M 在△ABC 的外接圆的圆上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．【难度】★★1. 以(1,1)C 为圆心，且经过(2,3)M 的圆的方程是 ．【难度】★2. 已知圆C 经过点()4,0，()3,1，且圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 ．【难度】★3. 已知圆C 的方程为22240x y x y +−+=，则圆C 的半径为 .【难度】★4. 圆22240x y x y ++−=的圆心坐标是 .【难度】★5. 已知两点()3,1P 、()5,3Q −，则以PQ 为直径的圆的方程是 .【难度】★6. 若点()2,1在圆220x y x y a +−++=的外部，则a 的取值范围是 .【难度】★7. 方程22420x y kx y k ++++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是____________.【难度】★★8. 若2222()20x m m y mx m ++++=表示圆，则实数m 的值为 .【难度】★★师生总结 巩固练习10. 已知两点(5,0)A −，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是___________.【难度】★★11. 若曲线()()22124x y −+−=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y −−=对称，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★满足2PM QM =，求点【难度】★★1. 在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(),d P l ．（1）设点()2,0P ，线段():02l y x x =≤≤，求(),d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形面积．【难度】★★★ 能力提升。

“圆的标准方程”教学设计与反思一．教学目标知识与技能： 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程 写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

过程与方法 ：培养学生用坐标法研究几何问题的能力；使学生加深对数形结合 思想和待定系数法的理解；增强学生用数学的意识。

情感、态度与价值观： 通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来的，培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的求法及其应用难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

三、学情分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程r b x a x 222)()(=+--(含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a 、b 、r ，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

四．教学过程设计1、情境设置：圆在我们的生活中无处不在，初中我们已经对圆从形的角度有了初步了解,用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中回忆出圆的定义。

平面内,与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？之前我们学习了求曲线的方程的一般步骤，下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．2、探索研究：建立圆的标准方程由学生在黑板上板演，确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件rbxax=+--)()(22化简可得：rbxax222)()(=+--引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的标准方程，得出结论。

圆的方程
【学习目标】
1．理解并且掌握圆的标准方程和一般方程。

2．能够根据圆的方程找到圆心和半径。

【学习重难点】
1．根据圆心和半径写出圆的标准方程
2．将一般方程转化为标准方程
【学习过程】
一、新知学习
1．两点间的距离公式：
已知()
p x y
,
12_____
22,则p p=
,
p x y
111,()
2．如何配方：
+6写成完全平方的形式_____；
x x
²
y y
-3写成完全平方的形式_____。

²
3．在平面直角坐标系中，确定一个圆需要知道哪些要素？
4．圆上任意一点到圆心的距离=_____
5．将圆的标准方程展开同项归类整理：
222
-+-=
()(y b)
x a r
二、达标检测
1．思考x²+y²+Dx+Ey+F=0是否一定是圆的方程？
2．圆的一般方程为_____
3．圆的一般方程配方得_____圆心为_____半径为_____。

4．判断方程²²x y x y +-+-=4210是否表示圆，如果是，求出圆心的坐标和半径。

5．求下列圆的圆心坐标和半径
²² x y x y ++-=-461。

高二数学圆的方程教学设计导语：圆是数学中非常重要的一个几何形状，它在生活中无处不在。

了解圆的方程及其相关概念对于高中数学学习者非常关键。

本文将以高二数学学生为目标群体，设计一堂关于圆的方程的教学活动。

通过本教学设计，学生将能够理解圆的基本特性及其方程，掌握圆的一般方程、标准方程以及与坐标系相关的圆的方程，能够灵活运用相关知识解决圆的相关问题。

一、教学目标：1. 理解圆的基本定义及其特性；2. 掌握圆的一般方程，能够将一般方程转化为标准方程；3. 理解与坐标系相关的圆的方程；4. 能够灵活运用所学知识解决圆的相关问题。

二、教学重点：1. 圆的一般方程的转化；2. 与坐标系相关的圆的方程。

三、教学难点：1. 能够将一般方程转化为标准方程；2. 理解与坐标系相关的圆的方程。

四、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔、投影仪等教学用具；2. 准备题目库，包含一些综合性的圆的方程问题；3. 打印学生教材以及练习册。

五、教学步骤：步骤一：导入新知识（5分钟）教师可通过展示一些日常生活中与圆有关的图片，引起学生对圆形的注意，并简要介绍圆的定义和相关特性。

步骤二：讲授圆的一般方程（10分钟）1. 通过示意图展示一般方程的表达形式，并解释各个参数的含义；2. 举例说明如何根据已知条件推导出圆的一般方程；3. 讲解一般方程的标准形式，即$x^2+y^2+r^2+2gx+2fy+c=0$。

步骤三：练习一（10分钟）1. 放映练习题，并让学生尝试将一般方程转化为标准方程；2. 复习并纠正学生在转化过程中可能出现的常见错误。

步骤四：讲授与坐标系相关的圆的方程（15分钟）1. 引导学生了解平面直角坐标系，并讲解圆心与半径的坐标表示方法；2. 探讨圆在不同位置和大小的平移、缩放等运动中方程的变化。

步骤五：练习二（15分钟）1. 放映练习题，要求学生根据给定的条件写出相应的圆的方程；2. 强调解题思路和方法，引导学生独立思考和解决问题。

沪教版高中数学12.2 圆的方程（1）一、选择题（本大题共17小题，共85.0分）1. 已知三点A (1,0)，B(0,√3)，C(2,√3)则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. √213C. 2√53D. 43 2. 圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A. (x −1)2+(y −2)2=2B. (x +1)2+(y +2)2=2C. (x −1)2+(y −2)2=5D. (x +1)2+(y +2)2=53. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2 B. √22 C. 3√32 D. 2√24. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )．A. −53或−35B. −32或−32C. −54或−45D. −43或−34 5. 平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( )．A. 2x +y +5=0或2x +y −5=0B. 2x +y +√5=0或2x +y −√5=0C. 2x −y +5=0或2x −y −5=0D. 2x −y +√5=0或2x −y −√5=06. 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2−2x =0相切，则a 的值为( )A. −1，1B. −2，2C. 1D. −17. 已知直线l:x +ay −1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2−4x −2y +1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =( )A. 2B. 4√2C. 6D. 2√108. 圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x −6y +4=0相外切，则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x +2=0B. x 2+y 2−4x +2=0C. x 2+y 2+4x =0D. x 2+y 2−4x =09. 若直线(1+a)x +y −1=0与圆x 2+y 2+4x =0相切，则a 的值为( )A. 1或−1B. 14或−14C. 1D. −1410.已知圆的方程为x2+y2−2x=0，则圆心坐标为()A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)11.曲线x2+y2+4x−4y=0关于()A. 直线x=4对称B. 直线x+y=0对称C. 直线x−y=0对称D. 直线(−4,4)对称12.圆x2+y2−4x−2y+4=0上的点到直线x−y=2的距离最大值是()D. 1+2√2A. 2B. 1+√2C. 1+√2213.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=014.过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A. 2x+y−3=0B. 2x−y−3=0C. 4x−y−3=0D. 4x+y−3=015.直线3x+4y=b与圆x2+y2−2x−2y+1=0相切，则b的值是()A. −2或12B. 2或−12C. −2或−12D. 2或1216.圆x2+y2+2x−2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a=()A. 4B. −4C. 2D. −217.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）18.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx−y−2m−1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．19.若过点P(2,3)作圆M:x2−2x+y2=0的切线l，则直线的方程为_______________．20.圆心为(3,−4)，半径为√5的圆的标准方程为_______．21.在平面直角坐标系xoy中，直线mx−y−3m−2=0(m∈R)被圆(x−2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．22.已知直线y=x+a和直线y=x+b将单位圆x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=______ ．23.圆心在直线x−2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2√3，则圆C的标准方程为_______．24.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．25.若直线3x−4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=1200(O为坐标原点)，则r=．26.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.如图，ΑΒ切☉O于点Β，直线AO交☉O于D，Ε两点，ΒC⊥DΕ，垂足为C．(1)证明：∠CΒD=∠DΒΑ．(2)若ΑD=3DC，ΒC=√2，求☉O的直径．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．29.如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O．正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？30. 已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，其中O 为坐标原点，求MN ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查两点间的距离公式，利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x =1上，可设圆心P(1,p)，由PA =PB 得|p|= √1+(p − √3 )2， 解得p =2√33， 因此圆心坐标为P (1,2√33)，所以圆心到原点的距离|OP|=√1+(2√33)2=√213故选B ．2.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．解：由题意可知，圆的半径为r =√12+22=√5．∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x −1)2+(y −2)2=5．故选C ．3.答案：A解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上，显然|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用． 4.答案：D解析：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，利用直线与圆相切的性质即可得出．解：点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，化为kx −y −2k −3=0．∵反射光线与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，∴圆心(−3,2)到直线的距离d =√k 2+1=1，化为24k 2+50k +24=0，∴k =−43或−34． 故选D .5.答案：A解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．利用直线平行的关系，设切线方程为2x +y +b =0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可，属于基础题．解：设所求直线方程为2x +y +b =0，=√5，所以b=±5，所以√5所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y−5=0故选A．6.答案：D解析：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．解：x2+y2−2x=0即(x−1)2+y2=1，表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆，∴圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离d=，√(a+1)2+1∵直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，∴d==1，√(a+1)2+1解得a=−1．故选D．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据圆的性质以及直线与圆的位置关系求即可．解：由题意知圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4，故半径r=2．因为直线l是圆C的对称轴，即过圆心C(2,1)，所以2+a−1=0，解得a=−1，所以A(−4,−1)，CA=√(2+4)2+(1+1)2=2√10，则AB=√CA2−r2=√40−4=6．故选C．8.答案：D解析：本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．根据两圆关系求出圆C的半径，从而得出圆C的方程．解：圆x2+y2+4x−6y+4=0，(x+2)2+(y−3)2=9的圆心为M(−2,3)，半径为r=3，CM=√(2+2)2+(−3)2=5，∴圆C的半径为5−3=2，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．故选D．9.答案：D解析：解：圆x2+y2+4x=0的圆心坐标为(−2,0)，半径r=2∵直线(1+a)x+y−1=0与圆x2+y2+4x=0相切，∴圆心到直线的距离等于半径即√(1+a)2+1=2，解得a=−14，故选：D．由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，根据圆的切线的性质，圆心到直线的距离等于半径，就可求出a的值．本题主要考查了圆的切线的几何性质，以及点到圆的距离公式的应用．考查转化思想的应用．10.答案：C解析：解：圆的方程x2+y2−2x=0可化为(x−1)2+y2=1，∴圆心坐标为(1,0)故选：C．将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：曲线x2+y2+4x−4y=0化为：(x+2)2+(y−2)2=8，圆的圆心坐标(−2,2)．由于(−2,2)满足直线x+y=0，所以曲线x2+y2+4x−4y=0关于直线x+y=0对称．故选：B．求出圆的圆心坐标，即可判断选项．本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的对称性问题，基本知识的考查．12.答案：C解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−2)2+(y−1)2=1，所以圆心坐标为(2,1)，圆的半径r=1，所以圆心到直线x−y=2的距离d=√2=√22，则圆上的点到直线x−y=2的距离最大值为d+r=√22+1．故选：C．把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，求出d+r即为所求的距离最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．13.答案：D解析：本题考查圆的标准方程，直线垂直的条件，以及直线的点斜式方程、一般式方程，考查了学生的计算能力，求出圆心及直线l的斜率是解题的关键．解：由题意得，圆x2+(y−3)2=4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y−3=x−0，即x−y+3=0．故选D．14.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，属于基础题．由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D，推出另一个切线斜率，得到选项即可．解：因为过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．15.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．由圆的方程求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．解：由圆x2+y2−2x−2y+1=0，得(x−1)2+(y−1)2=1，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，∵直线3x+4y−b=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，∴圆心(1,1)到直线3x+4y−b=0的距离等于圆的半径，即√32+42= |7−b|5=1，解得：b=2或b=12．故选D．16.答案：B解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解：圆x2+y2+2x−2y+a=0即(x+1)2+(y−1)2=2−a，故弦心距d=√2=√2．再由弦长公式可得：2−a=2+4，∴a=−4．故选B．17.答案：C解析：本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题，圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a,a)，则有|a|=√(a−4)2+(a−1)2，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．解：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a,a)，(b,b)，则有(4−a)2+(1−a)2=a2，(4−b)2+(1−b)2=b2，即a，b为方程(4−x)2+(1−x)2=x2的两个根，整理得x2−10x+17=0，∴a+b=10，ab=17．∵(a−b)2=(a+b)2−4ab=100−4×17=32，∴|C1C2|=√(a−b)2+(a−b)2=√32×2=8．18.答案：(x−1)2+y2=2解析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解：由题意得r=√m2+1=√m2+1=√m2+2m+1m2+1=√1+2mm2+1≤√1+2m2|m|≤√2，当且仅当m=1时等号成立，故此时的圆的标准方程为(x−1)2+y2=2．19.答案：4x−3y+1=0或x−2=0解析：本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题．过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，解出k即可．解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为C(1,0)，半径为1，过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，得k=43，所以方程为43x−y+13=0即4x−3y+1=0，综上：直线的方程为4x−3y+1=0或x−2=0．故答案为4x−3y+1=0或x−2=0．20.答案：(x−3)2+(y+4)2=5解析：本题考查已知圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题．由已知得到圆心与半径，即可求出圆的标准方程．解：因为圆心为(3,−4)，半径为√5，所以圆的标准方程为(x−3)2+(y+4)2=5．故答案为(x−3)2+(y+4)2=5．21.答案：2√2解析：本题考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系，求出已知圆的圆心为C(2,−1)，半径r =2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线mx −y −3m −2=0被圆截得的弦长．解：圆(x −2)2+(y +1)2=4的圆心为C(2,−1)，半径r =2，又因为直线mx −y −3m −2=0过定点A(3,−2)，且定点在圆内，当过定点A(3,−2)的直线mx −y −3m −2=0与圆心垂直时，弦长最短，所以|AC |=√(3−2)2+(−2+1)2=√2，∴根据垂径定理，得直线mx −y −3m −2=0被圆(x −2)2+(y +1)2=4截得的弦长的最小值为2√r 2−|AC |2=2√4−2=2√2．故答案为2√2．22.答案：2解析：本题考查了点到直线的距离，和直线和圆的位置关系，由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，即√2=√2=cos45°，由此求得a 2+b 2的值． 解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14， ∴√2=√2=cos45°，∴a 2+b 2=2， 故答案为2．23.答案：(x −2)2+(y −1)2=4解析：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．由圆心在直线x−2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：设圆心为(2t,t)，半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2√3，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=−1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴(x−2)2+(y−1)2=4．故答案为(x−2)2+(y−1)2=4．24.答案：−1−√2解析：本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．由题意，得B(0,1+√2)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．解：由题意，圆的半径为√2，圆心坐标为(1,√2)，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−√2)2=2；所以B(0,1+√2)，∴圆C在点B处切线方程为(0−1)(x−1)+(1+√2−√2)(y−√2)=2，令y=0可得x=−1−√2.故答案为−1−√2．25.答案：2解析：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =12r 是解答的关键．解：若直线3x −4y +5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB =120°，则圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =rcos60°=12r ， 即√32+42=12r ，解得r =2，故答案为2．26.答案：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4解析：本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．解：设圆的圆心坐标(a,b)，半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y =1相切，所以 {a 2+b 2=r 2 (a −4)2+b 2=r 2|b −1|=r，解得 {a =2 b =− 32 r = 52 ， 所求圆的方程为：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4．故答案为(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4． 27.答案：(1)证明：∵DE 是⊙O 的直径，则∠BED +∠EDB =90°，∵BC ⊥DE ，∴∠CBD +∠EDB =90°，即∠CBD =∠BED ，∵AB 切⊙O 于点B ，∴∠DBA =∠BED ，即∠CBD =∠DBA ；(2)解：由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC =AD CD =3，∵BC =√2，∴AB =3√2，AC =√AB 2−BC 2=4，则AD =3，由切割线定理得AB 2=AD ⋅AE ，即AE =AB 2AD =6，故DE =AE −AD =3，即可⊙O 的直径为3．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．(1)根据直径的性质即可证明：∠CBD =∠DBA ；(2)结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．28.答案：解：(1)联立得：{y =x −1y =2x −4，解得：{x =3y =2,∴圆心C(3,2)，若k 不存在，不合题意；若k 存在，设切线为：y =kx +3，可得圆心到切线的距离d =r ， 即√1+k 2=1，解得：k =0或k =−34，则所求切线为y =3或y =−34x +3；(2)设点M(x,y)，由MA =2MO ，知：√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2，化简得：x2+(y+1)2=4，∴点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C(a,2a−4)，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=√a2+(2a−3)2，∴1≤√a2+(2a−3)2≤3，解得：0≤a≤12．5解析：本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l与直线y=x−1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；(2)设M(x,y)，由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．29.答案：解：(1)如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴tan∠ABF=tan∠BCO=4．3设AF=4x(m)，则BF=3x(m)．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x(m)，EF=AO=60(m)，∴BE=(3x+60)m．∵tan∠BCO=43，∴CE=34BE=(94x+45)(m)．∴OC=(4x+94x+45)(m)．∴4x+94x+45=170，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；(2)如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=43xm，PM=53xm.∴PC=(43x+170)m，PQ=(1615x+136)m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=(1615x+136−53x)m=(136−35x)m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R−AM≥80，R−OM≥80，∴136−35x−(60−x)≥80，136−35x−x≥80．解得：10≤x ≤35．∴当且仅当x =10时R 取到最大值．∴OM =10m 时，保护区面积最大．解析：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)在四边形AOCB 中，过B 作BE ⊥OC 于E ，过A 作AF ⊥BE 于F ，设出AF ，然后通过解直角三角形列式求解BE ，进一步得到CE ，然后由勾股定理得答案；(2)设BC 与⊙M 切于Q ，延长QM 、CO 交于P ，设OM =xm ，把PC 、PQ 用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得x 的范围，得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．30.答案：解：(1)由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A(0,1)的直线方程：y =kx +1，即：kx −y +1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径R =1． 故由√k 2+1<1， 故4−√73<k <4+√73．(2)设M(x 1,y 1)；N(x 2,y 2)，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程(x −2)2+(y −3)2=1， 可得(1+k 2)x 2−4(k +1)x +7=0，∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1⋅x 2=71+k 2，∴y 1⋅y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =71+k 2⋅k 2+k ⋅4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得k =1， 故直线l 的方程为y =x +1，即x −y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以MN =2．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．(1)由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．(2)由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．。

曲线和方程【教学目标】1．使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念。

2．使学生掌握证明已知曲线C的方程是f（x，y）=0的方法和步骤。

3．通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力。

【教学重难点】对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个关系的理解。

【教学过程】解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题。

即：通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质。

为此，本节先建立曲线和方程的关系。

例1：（1）画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程。

（2）画出函数y=2x2（-1≤x≤2）的图象C。

本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线（图形）”的定义是这样：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x0，y0）=0的解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）。

例2：证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1（3，-4），M2（-25，2）是否在这个圆上。

证明已知曲线的方程的方法和步骤：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f（x，y）=0.证明中分两个步骤；第一步，设M（x0，y0）是曲线C上任一点，证明（x0，y0）是f（x，y）=0的解；第二步，设（x0，y0）是f（x，y）=0的解，证明点M（x0，y0）在曲线C上。

例3：求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程。

例4：求曲线y=x3-x关于点（1，2）的对称曲线的方程。

【作业布置】1．证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x。

高中高二数学教案：圆的方程教学目标：1. 理解圆的定义及其特征；2. 掌握圆的一般方程和标准方程的推导与应用；3. 能够利用圆的方程解决与圆相关的问题。

教学重点：1. 圆的一般方程和标准方程的推导；2. 掌握圆的方程的特点及应用。

教学难点：1. 掌握圆的标准方程与一般方程之间的转化；2. 运用圆的方程解决与圆相关的实际问题。

教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、教案；2. 学生准备：教材、习题集。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 提问：你们对圆有什么了解？圆是什么？有哪些特征？2. 学生回答问题。

二、理论讲解（15分钟）1. 讲解圆的定义与特征：圆的定义是：平面上到定点距离相等的点的轨迹。

圆有以下特征：- 圆心：到圆上任意一点的距离相等的点，通常用字母 O 表示；- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母 r 表示；- 直径：通过圆心并且两个端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍；- 弦：圆上的任意两个点连接形成的线段，不经过圆心；- 弧：圆上的两个点之间的部分，也可以看作是弦所对应的圆周的一部分。

2. 推导圆的一般方程：- 选取圆心为原点，并选取平面上的任意一点坐标为 (x, y)；- 由圆的定义可知，点 (x, y) 到圆心 (0, 0) 的距离为 r；- 则根据勾股定理，有 x² + y² = r²；- 这就是圆的一般方程，其中 r 表示半径的长度。

3. 讲解圆的标准方程：- 圆的标准方程是指以圆心为原点的圆的方程，形式为 (x - a)² + (y - b)² = r²；- 其中 (a, b) 表示圆心的坐标，r 表示半径的长度。

三、例题演练（20分钟）1. 指导学生根据一些已知条件，列立圆的方程，并解答问题。

例题1：圆心为 (-3, 2)，过点 (1, 4) 的圆的方程是多少？解析：根据圆的标准方程 (x - a)² + (y - b)² = r²，带入已知条件，得到 (1 - (-3))² + (4 - 2)² = r²，整理得到 16 + 4 = r²，所以 r² = 20，圆的方程是 (x + 3)² + (y - 2)²= 20。

曲线和方程【学习目标】1．从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念。

2．会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系。

【学习重难点】1．感受“数”与“形”的结合的思想。

2．会用曲线知识解决实际问题。

【学习过程】一、自主预习1．填空：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 满足______________）来表示；（2）过点(3，-2)且平行于x 轴的直线方程是______________；（3）点（1，7）________（填：在或不在）直线2x-4y+1=0上。

思考以下两个问题：问题1：画出二元一次方程x –y = 0 表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的关系。

问题2：以C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？______________________________________________________________________。

二、分析特例，归纳定义（曲线与方程之间有什么对应关系呢？）定义：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标，都是__________的解；（2）以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是__________的点。

那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线。

解决例题、巩固定义：例1．判断下列结论的正误，并说明理由。

（1）过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3；______________________________________________________________________。

（2）到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2；______________________________________________________________________。

曲线和方程【学习目标】1．了解曲线和方程的概念。

2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义。

【学习重难点】理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。

【学习过程】一、复习旧知1．经过(1,3)、(2,5)的直线方程为_____________.2．与定点的距离等于定长的点的轨迹是．3．已知P1(1,1)、P2(2,5)，则P1_______圆(x－1)2＋y2＝1上，而P2___________圆(x－1)2＋y2＝1上．二、预习新知（一）曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都___________________；（2）以这个方程的解为坐标的点都是_________________那么，这个方程叫做________________；这条曲线叫做_______________思考：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0。

（二）应用：求交点例1．求直线l：x-y+m=0（m∈R）和曲线+2的交点点评：直线与二次曲线的交点，往往求解由直线方程与二次曲线方程联立组成的方程组并消去x或y后，得到一个形式上为二次的一元二次方程。

这个方程是否为二次方程要看最高次项的系数是否为0（有时须讨论），是二次方程时还要判断判别式∆与0的大小关系。

2．求参数的范围例2．已知直线l：y=x+b，曲线C：y=有两个公共点，求b的取值范围。

点评：本题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题。

二、课堂检测1．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()A．y＝x与y2＝x B．y＝x与xy＝1C．y2－x2＝0与|y|＝|x| D．y＝lg x2与y＝2lg x 2．如图中方程表示图中曲线的是()A B C D3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为________．4．已知方程x2＋(y－1)2＝10．（1）判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；（2）若点M(m2，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值。

第二章圆锥曲线与方程2.2.1 抛物线及其标准方程一、复习与引入过程回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，那么当e=1时，它又是什么曲线？二、简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．三、新课讲授过程（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为2y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为2x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(iii)例题讲解与引申例1、(1)已知抛物线的标准方程是2y=6x，求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程解 (1)因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2(2)因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是2x=-8y例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。

圆的 方程【教学目标】在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

进一步提高用解析法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强用数学的意识。

【教学重难点】圆的标准方程的推导；圆的一般方程及其代数特征。

【教学过程】（一）圆的标准方程问题1：已知一定圆C 的半径为r ，求此圆的方程。

分析：设M 是圆上任意一点，根据圆的定义，可知点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}如左图，以圆心C 原点建立平面直角坐标系，设圆上任意一点),(y x M ， 因为r MC =，所以r y x =+22 整理得： 222r y x =+ （1）这里边我们要注意点M 的坐标与方程（1）的关系：由方程（1）的推导过程可知，若点M 在圆上，则M 的坐标满足方程（1）；反之，若点M 的坐标是方程（1）的解，即222r y x =+，则有r y x =+22，即r MC =，可知点M 在圆上。

综上可知，圆C 的方程是222r y x =+。

说明：求圆的方程应需考察以下两个方面：首先应建立一个合适的平面直角坐标系（若没有给出直角坐标系）；其次，所得方程是否为轨迹（圆）方程，可由曲线方程的定义验证。

问题2：若设一定圆C 的圆心在),(b a 半径为r ，求此圆的方程。

设圆上任意一点),(y x M ，因为r MC =，所以r b y a x =-+-22)()(， 整理后得：222)()(r b y a x =-+-。

同问题1，可以验证方程222)()(r b y a x =-+-是圆心在),(b a 半径为r 的圆的方程。

可以看到只要知道了圆心坐标和半径，就可以得出其相应的圆方程。

我们称方程222)()(r b y a x =-+- 是圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程。

说明：这种对应关系把圆和方程联系起来，我们把圆的定义从文字语言转化为数学语言，把圆的几何性质代数化，从而体现了解析几何的特点。

§12.3 椭圆的标准方程教学内容分析《椭圆的标准方程》的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键句“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难。

结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，加强对概念的理解。

本小节的难点是椭圆标准方程的推导，在推导过程中应注意以下两点：1、所谓“标准”的两层含义①椭圆的两个焦点均在坐标轴上，②这两个焦点的中点（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的特殊位置的直角坐标系中的方程。

2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性。

学情分析及教学设计思路《椭圆的标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义。

在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、实践、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力。

（2）由动手画图和几何画板演示两个直观的感受出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，推导椭圆标准方程。

教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦。

说明：本节课容量很大，有学生探究和体验推导，耗时会很长，所以时间把控会很难。

教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；2、经历椭圆标准方程的推导过程；3、掌握椭圆的标准方程及a、b、c之间的关系，能根据条件解决一些简单的求椭圆方程问题。

（二）过程与方法经历椭圆的形成过程，提高观察和归纳问题的能力；通过椭圆标准方程的推导，体会数学的求简意识及分类讨论的思想方法。

1.22(1)(2)4x y ++-=的圆心为________，半径为________．2.圆心为(2,2)-，半径为5的圆的标准方程为__________3.圆心为C ，过点(A -的圆的标准方程为__________4.经过点且与圆2216x y +=相切的直线的方程是_________________.5.以(1,2)C -为圆心，并与直线10x y +-=相切的圆的标准方程为____________.6.已知圆27y +=2x 和点)P θθ，则点P 和圆的位置关系是（ ） A.P 在圆上 B.P 在圆外 C.P 为圆心 D.P 在圆内但不是圆心7.已知圆心为(1,3)C ，半径为165，且该圆与直线340x y b -+=相切，求b 的值.8.已知(3,4),(5,6)P Q -，求以线段PQ 为直径的圆的方程是．9.已知圆C 过原点，且与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)、(0,4)，求圆C 的方程.10.求圆心在直线230x y --=上，并且经过点(2,3)A -和点(2,5)B --的圆的标准方程.1.若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a =_____2.若直线30ax y -+=被圆22(1)(2)4x y -+-=截得的线段长为a =_______3.直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是_______4.直线0x y m -+=和曲线y =有两个交点，则m 的取值范围是_______5.已知圆2226825x y x y r ++-+=与x 轴相切，则这个圆截y 轴所得的弦长为_______.6.已知圆22:(3)25C x y -+=，求圆C 过点5(2,)2M -的切线方程.7.已知直线l 与直线43180x y -+=垂直，且它被圆2224200x y x y +-+-=所截得的弦长为8，求直线l 的方程.8.一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上,且被直线y x =截得的弦长为72,求此圆的方程.9.由圆外一点(4,0)M 向圆224x y +=作割线，交圆于A 、B 两点，求AB 中点P 的轨迹.10.求与圆22:25C x y +=外切于点(4,3)P -，且半径为1的圆的方程.1.若曲线22y x x =-+和y x m =+有两个交点，则m 的取值范围是____________.2.若圆22(1)(4)3x y -+-=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =_______3.圆心既在直线0x y -=上，又在直线4x y +=上，且经过原点的圆的方程是__________.4.点M 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点M 到直线342x y +=的最短距离为_______.5.己知直线111:40l a x b y +-=，222:40l a x b y +-=的交点为(2,3)M ，则经过两点1122(,),(,)a b a b 的直线方程是_________6.若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:(1)(1)4M x y +++=，则ab 的最大值为_____.7.求圆心在直线40x y +=上，且与直线:10l x y +-=切于点(3,2)P -的圆的方程.8.圆过点(1,2)A -、(1,4)B -，求圆心在直线240x y --=上的圆的方程．9.点(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，求直线AB 的方程.10.定长为4的线段AB 的两端点分别在y x 、轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程是________．11.圆心坐标为(2,1)M -的圆在直线:10l x y --=上截得的弦长为，求圆M 的方程.12.直线kx y =交曲线x y 82=于,O A 两点,若OA 中点的横坐标为2，求k 的值。

椭圆的几何性质【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中,,a b c的几何意义；2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立ba与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用ba与ca的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程2212516x y+=画出它的简图吗？【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法. 二、问题驱动 合作探究问题2 一般地，以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知22221(0)x y a b a b+=>>，求y x ,的取值范围.探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？ 方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点(,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴也在曲线上⇒图形关于y 轴对称. 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1：椭圆221259x y+=的长轴长为_______，短轴长为_________，顶点坐标是__________，_________.【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆221 259x y+=.【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3 观察所画椭圆2212516x y+=和221259x y+=，它们在形状上有什么显著不同？问题3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2 你能说出两个比221259x y+=更“扁”的椭圆吗？问题3.3 是不是方程中的,a b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？问题3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？问题3.5 利用基本量,,a b c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.并在探究过程中阐明以下事实：（Ⅰ）可行性：用比值ca和ba都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均相似.（Ⅱ）一致性：c a =； （Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景. 【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由b a 到ca符合学生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知问题4 请你写出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.【学生活动】类比研究椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的方向、方法，自主归纳出了焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关.【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力. 四、典例剖析，深化理解例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； （2）长轴长为4，离心率为2；【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），加深对椭圆几何性质的应用和理解.【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与“数”的关系．五、总结提升 形成体系结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？ （1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率； （2（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈1. 椭圆22132y x +=的范围是_______________，顶点坐标为______________， 离心率为___________.2. 已知椭圆的长轴长为，焦距为，则该椭圆的标准方程为___________.3. 椭圆2212x y +=与22143x y +=哪一个更“扁”一些？ 4. 试判断曲线2222=+-y xy x 的对称性.课后作业：1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本P37 习题2.2（2）1,2,4,5,8；3．选做题：已知)0(12222>>=+b a by a x ，求22y x +的最大值，并解释该结论的几何意义.。

12.5双曲线的标准方程一、教学内容分析本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，c b a ,,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备. 二、教学目标设计理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在x 轴和y 轴上的双曲线的标准方程，会求给定条件下的双曲线的标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、推理等能力.三、教学重点及难点双曲线的定义和双曲线的标准方程. 双曲线的标准方程的推导. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆定义中有哪些注意点？ 3、椭圆的标准方程是怎样的？ 二、讲授新课 1、概念引入问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或21||||2PF PF a -=,即:12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是线段21F F 的延长线；若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是线段12F F 的延长线；②若21212MF MF a F F -=<，则无轨迹；③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线. [说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a 2与21F F 的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.2、概念形成 ⏹ 双曲线定义定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距.⏹ 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支， 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设M 是所求轨迹上的点.依已知条件有aMF MF 221±=-，221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=，22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，移项得：22)(yc x ++22)(2y c x a +-+±=，平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b则222222b a y a x b =-，即12222=-by a x反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(2222-=ax b y ， aa cx a cx x a c ax b b c cx x y c x MF +=++=+-++=++=222222222222122)(222)(y c x MF +-==a acx-，x a c a ≤<, ， ∴当a x ≥时，a a cx MF +=1 ，a a cx MF -=2，有a a acxa a cx MF MF 221=+-+=-；当ax -≤时，a a cx MF --=1，a acxMF +-=2，有a a acxa a cx MF MF 221-=-+--=-综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-by a x ①，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共同完成.同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么双曲线只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上的标准方程是12222=-bx a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()ca x a c y c x 222-=+-，即()acca x y c x =-+-222，且1>a c ，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线ca x 2=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足()acca x y c x =-+-222，且1>a c ，即点P 到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线c a x 2=的距离之比是一个大于1的常数，则点P 的轨迹是双曲线吗？这个问题留给课后思考.[说明] 思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间，与圆锥曲线的第二定义联系起来，使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.4、例题解析 例1 课本P55例1.[说明] 本题主要是让学生正确理解双曲线的定义，熟悉双曲线的标准方程，标准方程中三个量c b a ,,的意义与方程的关系.例2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；（2）已知双曲线过定点()()03,2≠m m m ，且2=ac，求双曲线的标准方程. （3） 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P 在此双曲线上，求双曲线的标准方程.[说明] 本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法，注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程. 例3：课本P56例2.[说明] 本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题，注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增加一个观察点C ，利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置了. 例4：课本P56例3.[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.三、课堂小结1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F .注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述.2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上.3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同. 四、巩固练习 1．课本P57练习12.52．（补充）填空：已知方程11222=+--m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是 ；若表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 .3．已知圆()13:221=++y x C 和圆()93:222=+-y x C ，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 五、课后作业1．练习册P29习题12.5 A 组1、2、3 2、练习册P29习题12.5 A 组4，B 组1、2六、教学设计说明1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神. 2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性. 3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2. 4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、c b a ,,三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格，让学生填写内容.见下表：。

上海市2019-2020学年度高二数学第二学期精品讲义圆的方程知识汇编与典型例题分析【知识梳理】写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=． （二）新课讲解： 1．圆的一般方程将上述标准方程展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，可见，任何一个圆的方程都可以写成 220x y Dx Ey F ++++= ① 的形式。

反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=． ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E--； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了． 3、二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ； ②没有x 、y 项，即B=0； ③0422>-+AF E D 。

4、点与圆的位置关系（1）已知圆()()222x a y b r -+-=，圆心(),C a b ，则点()000,P x y 在()()()()()()222002220022200x a y b r x a y b r x a y b r ⎧⇔-+-=⎪⎪⇔-+->⎨⎪⇔-+-<⎪⎩圆上圆外圆内 （2）若点P 是圆C 外一定点，则该店与圆上的点的最大距离为PC r +，最小距离为PC r -.5、直线和圆位置关系的判定方法：（1）方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。