高二数学 《等差数列》教案 沪教版

7.2(1)等差数列一、教学内容分析本小节的重点是等差数列和等差中项的概念，理解的关键是发现相邻项之间的关系．本小节的难点是等差数列的递推公式．突破难点的关键是掌握相邻两项或三项之间运算关系．二、教学目标设计理解等差数列和等差中项的概念; 能正确计算公差及相关的项；通过对等差数列的学习，培养观察、分析能力．三、教学重点及难点重点：等差数列和等差中项的概念；难点：等差数列递推关系．四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题什么叫数列？递推数列？研究递推关系有何意义？二、讲授新课１、等差数列（１）等差数列的概念引入研究下面3个数列的递推公式及其特点（课本P10）2，5，8，11，14，17，…； ①21，41，0，41-，21-，43-，…； ② -7，-5，-3，-1，1，1，3， …； ③解答：数列①②③的递推公式分别是数列①：()⎩⎨⎧=≥+=-22311a n a a n n ， 数列②：()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-2124111a n a a n n ， 数列③：()⎩⎨⎧-=≥+=-72211a n a a n n ．[说明]启发学生观察并发现如下结论：这三个递推公式都可以写成()为常数d n d a a n n ,21≥=--的形式，得出相邻两项之间的关系．（２）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d 表示． ２、等差中项（１）等差中项的概念引入观察下面三个等差数列：3，5，7；-5，10，25；52，57，512 讨论：这三个等差数列都具备什么共同特点？[说明]启发学生观察并发现如下特点：中间项的2倍等于首、末两项的和.（２）等差中项的概念形成等差中项的定义一般地，由b A a ,,成等差数列，可得A b a A -=-即 b a A +=2 2b a A +=反过来，如果2b a A +=，那么b a A +=2，A b a A -=-，即b A a ,,成等差数列. 定义：如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做b a 与的等差中项.等差中项的性质（1） 如果三个数成等差数列，那么等差中项的2倍等于另两项的和.（2） 在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.（3） 以A 为等差中项的三个数可表示为：d A A d A +-,,，体现了和谐性与对称性.3、例题解析例1.在数列{}n a 中，如果数列{}n a 为等差数列，5.23,10021-=-=a a ，求公差d 及3a ，并用计算器计算5a 、8a ．解：5.76=d ，3a =53， 5a =206，8a =435.5[说明]①启发学生利用等差数列的定义，即相邻两项的关系解决问题．②让学生回味计算过程，为研究通项公式作铺垫．例2．求9与25的等差中项A ．解：Ａ＝17．三、巩固练习练习7.2（1）四、课堂小结等差数列与等差中项的概念，探究它们的递推关系，利用定义进行正确的计算；.五、课后作业书面作业： 习题7.2 A 组 1、 6、7、10。

17.2.1等差数列（1）教学目标:1．通过现实生活中的具体实例，概括出等差数列的概念，推导出等差数列的通项；2．掌握等差数列的概念，能判断一个数列是否为等差数列；理解通项公式的推导过程及其中蕴含的数学方法，会求等差数列的通项公式并加以应用；3．在探索活动中锻炼学生观察分析能力，帮助学生形成由特殊到一般的归纳能力。

教学重点：等差数列概念的理解和使用概念解决问题；教学难点：通项公式的推导过程及其中蕴含的数学方法，从函数的角度理解通项公式。

教学过程设计:㈠情景导入引例1：教材P8例3（2）根据()⎩⎨⎧=≥∈-=*-1002,1511a n N n a a n n 写出此数列的前4项。

【问题1】此数列特别之处在于哪里？依据此规律，可以对这个数列如何命名？引例2:：⑴奥运会举办的年份： 2004,2000,1996,1992,1988,1984⑵鞋子的尺码： ,5.36,37,5.37,38,5.38,39⑶一学期内每天在校做眼保操的次数： ,2,2,2,2,2,2【问题2】观察以上3个数列，说说它们有哪些共同特点？（数列中相邻两项差都相等）追问1：你所指的相邻两项是什么意思？请结合引例2的第一个数列具体地说。

（41988199219841988==-=- ）1追问2：可以用数学语言描述吗？（数列中每一项与前一项的差都相等）追问3：数列{}n a 中每一项都可以和它的前一项作差吗？（第一项与前一项无法作差，所以应该明确规定从第二项起）追问4：如果对于数列{}n a 满足上述规律，可以用怎样的代数式来表示上述规律？（d a a a a a a ==-=-=- 342312）㈡探求新知⑴等差数列的定义：【问题3】像引例2中这样的数列，我们应该对其如何命名？如何定义呢？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差（common difference ），用d 表示。

●课 题等差数列（一）●教学目标（一）教学知识点1.等差数列的定义.2.等差数列的通项公式.（二）能力训练要求1.明确等差数列的定义2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题（三）德育渗透目标1.培养学生观察能力.2.进一步提高学生推理、归纳能力.3.培养学生的应用意识.●教学重点1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.●教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.●教学方法启发式教学启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.●教具准备投影片一X记作§Ⅰ.复习回顾［师］上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子（打出投影片）Ⅱ.讲授新课［师］首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）［师］（提问）：大家是否已考虑成熟？［生］（回答）：学生甲：数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a n =n （1≤n ≤6）. 学生乙：数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a n =12－2n （n ≥1）.学生丙：数列③是一递增数列，后一项总比前一项多51，其通项公式为：a n =5n （n ≥1）.学生丁：数列④是一常数数列，即每一项均相等，其通项公式为：a n =2（n ≥1）. ［师］综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？［生］它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.［师］也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，51，0. 2.等差数列的通项公式［师］等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：（n －1）个等式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-+da a d a a d a a d a a n n 1342312 若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1=（n －1）d 即：a n =a 1+（n －1）d当n =1时，等式两边均为a 1,即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列｛a n ｝的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1=d 即：a 2=a 1+d ；a 3－a 2=d 即：a 3=a 2+d =a 1+2d ；a 4－a 3=d 即：a 4=a 3+d =a 1+3d ；……；a n －a n －1=d ,即：a n =a n －1+d =a 1+（n －1）d［师］看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①:a n =1+（n －1）×1=n （1≤n ≤6）,数列②：a n =10+（n －1）×（－2）=12－2n（n ≥1）,数列③：a n =51+（n －1）×51=5n （n ≥1），数列④：a n =2+（n －1）×0=2（n ≥1） 由通项公式可类推得：a m =a 1+（m －1）d ，即：a 1=a m －（m －1）d ，则：a n =a 1+（n －1）d =a m －（m －1）d +（n －1）d =a m +（n －m ）d .如：a 5=a 4+d =a 3+2d =a 2+3d =a 1+4d3.例题讲解［例1］（1）求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项. 解：由题意可知：a 1=8,d =5－8=2－5=－3∴该数列通项公式为：a n =8+（n －1）×（－3）,即：a n =11－3n （n ≥1）,当n =20时，则a 20=11－3×20=－49.答案：这个数列的第20项为－49.（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n ，可使得a n =－401.解：由题意可知：a 1=－5,d =－9－（－5）=－4,∴数列通项公式为：a n =－5－4（n －1）=－4n －1.令－401=－4n －1,解之得n =100. ∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5=10,a 12=31,求首项a 1与公差d .解：由题意可知，a 1+4d =10,①,a 1+11d =31,②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1=－2,d =3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{a n }中，已知a 5=10,a 15=25,求a 25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：a 1+4d =10,a 1+14d =25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1=4,d =23. ∴这个数列的通项公式为：a n =4+23×（n －1）,即：a n =23n +25.∴a 25=23×25+25=40. 思路二：若注意到已知项为a 5与a 15,所求项为a 25,则可直接利用关系式a n =a m +（n －m ）d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15=a 5+10d ,即25=10+10d ,∴10d =15.又∵a 25=a 15+10d ,∴a 25=25+15=40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5,a 15,a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5,a 15,a 25成等差数列∴2a 15=a 5+a 25,即a 25=2a 15－a 5,∴a 25=2×25－10=40.Ⅲ.课堂练习［生］（书面练习）课本［师］（提问并结合学生所答进行讲评）1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a 1=3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：a n =3+（n －1）×4,即a n =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴a 4=4×4－1=15,a 10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a 1=10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（n －1）×（－2）,即：a n =－2n +12,∴a 20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规X 性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：根据题意可得：a 1=2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：a n =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：a 1=0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：a n =－27n +27, 令－27n +27=－20,解得n =747 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. ［生］（板演练习）课本P 117练习22.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4=10,a 7=19,求a 1与d ;（2）已知a 3=9,a 9=3,求a 12. 解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a ∴该数列的通项公式为：a n =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴a 12=0 解法二：由已知得：a 9=a 3+6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1又∵a 12=a 9+3d ,∴a 12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1=d （n ≥2）.其次，要会推导等差数列的通项公式：a n =a 1+（n －1）d （n ≥1），并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n =a m +（n －m ）d 的理解与应用.Ⅴ.课后作业（一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：（1）如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?（2）等差数列有哪些性质?●板书设计。

高二数学：7.2《等差数列前n项和》教案1沪教版高中数学辅导网 :// shuxuefudao●课题等差数列的前n项和〔一〕●教学目标〔一〕教学知识点等差数列前n项和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22〔二〕能力训练要求1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 〔三〕德育渗透目标 1.提高学生的推理能力. 2.增强学生的应用意识. ●教学重点等差数列前n项和公式的推导、理解及应用. ●教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题. ●教学方法启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握. ●教具准备投影片一张：记作例:如图〔课本〕，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?●教学过程Ⅰ.复习回忆［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：〔1〕an－an－1=d〔n ≥1〕，d为常数. 〔2〕假设a，A，b为等差数列，那么A=a?b. 2〔3〕假设m+n=p+q,那么am+an=ap+aq.〔其中m,n,p,q均为正整数〕Ⅱ.讲授新课［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. 〔打出投影片〕这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？高中数学辅导网 :// shuxuefudao首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×100=5050. 2这个问题，它也类似于刚刚我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an－1+…+a1 ②①+②?2Sn=〔a1+an〕+〔a2+an －1〕+…+〔an+a1〕又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n〔a1+an〕,即：Sn= n(a1?an) 2假设根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+〔a1+d〕+…+［a1+〔n－1〕d］①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+〔an－d〕+…+［an－〔n－1〕d ②］,把①、②两边分别相加，得2Sn=由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn==n〔a1+an〕,即：Sn=n(a1?an). 2n(a1?an). 2也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.100(1?100)=5050.2n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)又∵an=a1+〔n－1〕d,∴Sn=??na1?d222n(a1?an)n(n?1)∴Sn=或Sn=na1+d22用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S100=有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？〔打出投影片〕［师］分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.那么：S120=120(1?120)=72602答案：这个V形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的Sn，由题意可知：a1=－10,d=〔－6〕－高中数学辅导网 :// shuxuefudao〔－10〕=4，Sn=54由等差数列前n项求和公式可得：－10n+n(n?1)×4=54 2解之得：n1=9,n2=－3〔舍去〕答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54. Ⅲ.课堂练习［生］练习课本1.根据以下各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn; 〔1〕a1=5,an=95,n=10; 解：由Sn=n(a1?an)10?(5?95),得Sn==500.22〔2〕a1=100,d=－2,n=50;n(n?1)d, 250?(50?1)得S50=50×100×+×〔－2〕=2550.2解：由Sn=na1+〔3〕a1=14.5,d=0.7,an=32解：由an=a1+〔n－1〕d,得32=14.5+〔n－1〕×0.7,解之得n=26 由Sn=na1+n(n?1)26(26?1)d,得S26=26×14.5+×0.7=604.5 22评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.2.〔1〕求正数数列中前n个数的和.解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…, ∴Sn=n(n?1) 2〔2〕求正整数列中前n个偶数的和.解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正整数列中前n个偶数的和为Sn，那么Sn=评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解. 3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？解：由题意可知，a1=5,d=4－5=－1. 由Sn=na1+n(2?2n)=n〔n+1〕. 2n(n?1)n(n?1)d,得－30=5n+×〔－1〕,解之得：n1=15,n2=－4〔舍去〕 22评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Sn=n(a1?an)n(n?1)=na1+d及其获22取思路.Ⅴ.课后作业〔一〕课本〔二〕1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题?高中数学辅导网 :// shuxuefudao●板书设计课题等差数列求和公式： Sn=。

等差数列教材：等差数列（一）目的：要求学生把握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。

进程：一、引导观看数列：4，5，6，7，8，9，10，……3，0，3，6，…… 21，102，103，104，…… )1(312--=n a n 12，9，6，3，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”二、得出等差数列的概念：注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一．．个常数．．．。

1．名称： 首项 )(1a 公差 )(d2．假设0=d 那么该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立）注意: 1 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数2 若是通项公式是关于n 的一次函数，那么该数列成AP证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=它是以B A +为首项，A 为公差的AP 。

3 公式中假设 0>d 那么数列递增，0<d 那么数列递减4 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个能够求出另一个。

例一 （见教材）例二 （见教材）四、 关于等差中项： 若是b A a ,,成等差数列 那么2b a A += 证明：设公差为d ，那么d a A += d a b 2+=∴A d a d a a b a =+=++=+222 例四 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间按序插入三个数c b a ,,使这五个数成AP ，求此数列。

五、小结：等差数列的概念、通项公式、等差中项六、作业：。

等差数列概念【教学目标】1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断和证明方法；2、会用等差数列的性质解决一些实际问题；3、掌握等差数列的前n 项和公式及其推导方法【教学重点】等差数列的通项公式、求和公式及性质的应用 【教学难点】灵活应用前n 项和公式及性质解题 【教学方法】讲练结合 【教学过程】 一、主要知识：1．定义：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． （1）通项公式：()11n a a n d =+- （2）函数的角度看通项公式：()11n a a n d =+-是关于n 的一次函数()0d ≠或常数函数()0d =。

即它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立点，公差是该射线所在直线的斜率。

（3）等差中项：若ａ，b ，c 成等差数列，则称b 为ａ和c 的等差中项，且有__________ 2.等差数列的性质：（1）0d >时，{}n a 是递增数列；0d <时，{}n a 是递减数列；0d =时，{}n a 是常数列。

（2）若(),,,m n p q m n p q N *+=+∈，则m n p q a a a a +=+（3）若{}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和。

（4）下标成等差数列且公差为m 的项2,,k k m k m a a a ++…，(),k m N *∈组成公差为md 的等差数列。

3.等差数列的前n 项和公式： ()12n n n a a S +=；()1112n S na n n d =+- 注意：（1）抓住首项与公差，是解决等差数列的关键（2）等差数列的通项公式和前n 项和公式共涉及五个量：1,,,,n n a d n a S ，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（知三求二）。

（3）等差数列的前n 项和公式可变形为：2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点。

等差数列【教学要求】了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件。

【教学目标】一、知识目标能根据定义判断一个数列是等差数列；二、技能目标能灵活运用通项公式求等差数列的公差、项数、指定的项；三、情感态度价值观培养学生观察、分析能力，积极思维，追求新知的创新意识。

【教学重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式。

【教学难点】等差数列的性质。

【教学过程】一、课题导入[创设情境]上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图像法。

这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子。

①0，5，10，15，20，25，…②48，53，58，63③18，15．5，13，10.5，8，5．5④10072，10144，10216，10288，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

（1）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{}，若－=d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2．等差数列的通项公式：（或）等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得一等差数列的首项是，公差是d ，则据其定义可得：即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d ，便可求得其通项。

由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式∴ d=[范例讲解]例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由 n=20，得（2）由得数列通项公式为：n a n a 1-n a +d n a a n )1(1-+==n a d m n a m )(-+{}n a 1a d a a =-12d a a +=12d a a =-23d a d a a 2123+=+=d a a =-34d a d a a 3134+=+=d n a a n )1(1-+=1a n a d m a a m )1(1-+=d m a a m )1(1--==n a d n a )1(1-+d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--=n a d m n a m )(-+n m a a nm --35285,81-=-=-==d a 49)3()120(820-=-⨯-+=a 4)5(9,51-=---=-=d a )1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。

沪科版数学高中数列教案教案内容：
一、授课目标
1.了解数列的概念和基本性质；
2.掌握等差数列和等比数列的求和公式；
3.能够判断数列的公式及求解未知数；
4.能够应用数列在实际生活中解决问题。

二、教学重点
1.等差数列和等比数列的求和公式；
2.数列的概念及基本性质。

三、教学难点
1.判断数列的公式及求解未知数；
2.数列在实际问题中的应用。

四、教学准备
1.教师准备：课件、板书笔、教案；
2.学生准备：课本、笔记本、作业本。

五、教学过程
1.导入：通过举例子引入数列的概念，引起学生的兴趣；
2.讲解等差数列和等比数列的概念和性质；
3.介绍等差数列和等比数列的求和公式和推导过程；
4.解答学生提出的疑问，并做一些相关练习；
5.让学生进行课堂练习，巩固所学知识；
6.布置作业，让学生在家继续练习。

六、教学反思
1.本节课教学中，学生对数列的基本概念和性质有了初步了解，但在求解未知数和应用数列问题方面仍存在一些困难，需要在以后的课堂上多加练习和讲解；
2.教师应根据学生的学习情况及时调整教学方法，提高教学效果。

七、作业
1.完成课堂练习；
2.做好课后作业，并准备下节课的知识点。

八、教学反馈
1.收集学生作业，查看学生的掌握情况；
2.针对学生的错误和不懂之处进行讲解和强化。

以上是本节课的教案范本，希望对您有所帮助。

如果有其他问题，请随时与我们联系。

高二数学上 7.2《等差数列的前N项和》教案沪教版一、教学内容分析本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法.二、教学目标设计1．掌握等差数列前n项和公式推导思路和方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题三、教学重点及难点等差数列n项和公式的理解、推导及简单应用灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…+100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10;…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050”教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…;50+51=101，所以101×50=5050.”2．思考这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法.这就是“倒序相加”法3．讨论如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前120项的和.在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的V 形架.我们将它倒置拼在一旁,那么这时每层铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前n 项的和公式.如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解.二、学习新课1．公式推导等差数列的前n 项和公式1:2)(1n n a a n S +=. 推导过程： 证明：n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- .∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a .∴)(21n n a a n S +=. 由此得：2)(1n n a a n S +=. 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1.把d n a a n )1(1-+= 入公式1即得：2)1(1d n n na S n -+=.此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求n S ,必须已知n a d a n ,,,1中三个公式2又可化成式子：21().22n d d S n a n =+-当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 2．例题分析 例1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S . 答：V 形架上共放着7260支铅笔3．问题拓展例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项的和为n S ,则54,4)10()6(,101==---=-=n S d a . 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解得3,921-==n n （舍）.故等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.三、巩固练习1．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和 解：由1007<n 得 72147100=<n . ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素.即7，14，21，…，98是为首项71=a 1498a =的等差数列.∴7352)987(14=+⨯=n S .四、课堂小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=. 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. 3.21(),22n d d S n a n =+-，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式. 五、作业布置课本练习:p19,1,2,3.补充练习:1.已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n 项和的公式. 补充练习参考答案1.3()b a -2. 23n S n n =+七、教学设计说明该节课是通过对于1+2+3+…+100的算法，发现等差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前n 项和的思路，获得求和的一般思路.关键是通过具体的例子发现一般规律，然后导出前n 项和公式.教师应多创造机会让学生自己去发现、推导，逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.。

等差数列的前n 项和【教学目标】一、知识与技能理解等差数列前n 项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n 项和公式；了解倒序相加法的原理。

二、过程与方法通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想（知三求二），培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流能力。

三、情感态度与价值观通过等差数列前n 项和公式的应用，让学生感受到数学来源于生活并服务于生活，培养学生善于观察生活，善于思考的能力。

【教学重难点】教学重点是掌握等差数列前n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题； 教学难点是等差数列前n 项和公式推导思路的获得，利用方程思想建立模型。

【教学过程】一、复习导入复习等差数列的定义和等差数列的通项公式n a =d 1n a 1）（-+二、情境引入出示问题1+2+3+4+……+100=？，让学生思考问题，寻求简便运算。

最后利用数学家高斯的故事，得出简便方法。

利用变式引导学生用倒序相加来解决该问题1+2+3+4+……+100=？，100+99+98+97+……+1=？两式相加除以2就可以得到答案。

505021001001=⨯+）（ 出示以下图一要求学生计算出这一堆钢管的数量。

（学生回答：一层一层加） （图一）（图二）教师出示简便计算方法如图二，再来一堆这样的钢管倒放排列，这样每层数目一样，可以引导算式（根））（352595=⨯+。

三、新课讲授 让学生通过观察前面两个例子的算式，有什么共同特征？提出能否利用以上思想，小组讨论推导出等差数列前n 项和公式n s ，当然事先告诉学生n s 的符号意义，及n 4321n a a a a a S +⋯⋯++++=。

引导学生得出解法，因为加法满足交换律n 4321n a a a a a s +⋯⋯++++=，13-n 2-n 1-n n n a a a a a S +⋯⋯++++=，把两算式相加)a +n(a =)a +(a +)a +(a +)a +(a +…+)a +(a +)a +(a +)a +(a 2S n 11n 21-n 32-n 2-n 31-n 2n 1n =利用等差数列通项公式或者等差数列的性质⋯⋯==)a +(a )a +(a )a +(a 2-n 31-n 2n 1故)a +n(a 2S n 1n = 2)a +n(a n 1n =。

江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《等差数列的前n 项和》学案沪教版一、学习目标：理解数列前n 项和的概念，了解等差数列前n 项和公式的推导技巧和过程；熟记等差数列前n 项和公式，会用等差数列前n 项和公式解“知三求二”问题；知道等差数列前n 项和的特征。

二、学习重难点：等差数列的前n 项和公式的推导 三、课堂导抗： （一）引入新课：在研究数列的过程中，经常遇到将数列中的项相加求和的问题。

例如：引例：一个堆放铅笔的U 形架，如图，其最下面一层放4支铅笔，每往上一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放103支。

这个U 形架上共放着多少支铅笔？分析：该问题就是求数列4,5,6,,3,n +的前100项和456103?++++=。

给出数列前n 项和定义：一般地，对于数列{}n a ，我们把12n a a a +++叫做数列{}n a 的前n 项和，记作： 。

（二）新课讲解：1．先让学生尝试解决上面的引例。

2．通过学生尝试，互相讨论、比较，引导学生运用逆序相加法求等差数列的前n 项和。

公式推导：3．等差数列的前n 项和公式=n S = 。

4．数列的前n 项和n S 的特点：（三）例题讲解：例1、已知数列{}n a 为等差数列。

(1)若150a =，815a =，求8S ； (2)若10.5a =，2 1.5a =，求7S ； （3）若156a =，16d =-，5=-n S ，求n 和n a ； （4）若22=a ，36=a ，求n S 。

小结：（四）学生练习：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）3d =-，8n =，28n S =-，求1a 和n a ； （2）11a =，35n a =，2d =，求n 和n S ； （3）36=S ，630=S ，求n S 。

（五）巩固练习：例2、等差数列求和：（1）656259(25)++++-；（2）246(24)n +++++。