2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：2.4指数与指数函数含解析

课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练1.3·332·612的化简结果为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 原式＝312·⎝ ⎛⎭⎪⎫3213·1216＝312·313·2-13·416·316＝312＋13＋16·211-+33＝3·20＝3.2.函数f ()＝a －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 法一：由题图可知0＜a ＜1，当＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得b ＜0.故选D.法二：由图可知0＜a ＜1，f ()的图象可由函数y ＝a 的图象向左平移得到，故－b ＞0，则b ＜0.故选D.3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ⎛⎫⎪⎝⎭21-33b -12-33＝－6ab －1＝－6a b ，故选C. 4．设＞0，且1＜b ＜a ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C 因为1＜b ，所以b 0＜b ， 因为＞0，所以b ＞1， 因为b ＜a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＞1，因为＞0，所以a b＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a .故选C.5．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝214×23＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ， 由函数y ＝2在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .故选A.6．函数f ()＝a ＋b －1(其中0＜a ＜1，且0＜b ＜1)的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由0＜a ＜1可得函数y ＝a 的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b ＜1，所以－1＜b －1＜0，所以0＜1－b ＜1，y ＝a 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a ＋b －1的图象，所以y ＝a ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f ()＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f ()是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当＞0时，f ()＝1－2－，－f ()＝2－－1，此时－＜0，则f (－)＝2－－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2－1，－f ()＝1－2，此时－＞0，则f (－)＝1－2－(－)＝1－2＝－f ()．即函数f ()是奇函数，且单调递增，故选C.8．二次函数y ＝－2－4(＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的交点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C 因为二次函数y ＝－2－4＝－(＋2)2＋4(＞－2)，且＝－1时，y ＝－2－4＝3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2， 在坐标系中画出y ＝－2－4(＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.9．已知函数f ()＝－4＋9x ＋1，∈(0,4)，当＝a 时，f ()取得最小值b ，则函数g ()＝a |＋b |的图象为( )解析：选A 因为∈(0,4)，所以＋1＞1， 所以f ()＝－4＋9x ＋1＝＋1＋9x ＋1－5≥2 9x ＋1x ＋1－5＝1，当且仅当＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g ()＝2|＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间为________．解析：设u ＝－2＋2＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间即为函数u ＝－2＋2＋1的单调递增区间．又u ＝－2＋2＋1的单调递增区间为(－∞，1]， ∴f ()的单调递减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]11．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12是减函数，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，所以2＋a ＞2＋a －2恒成立， 所以2＋(a －2)－a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)12．已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f ()的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f ()＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于a －1≠0，则a ≠1，得≠0， ∴函数f ()的定义域为{|≠0}． 对于定义域内任意，有 f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x＋12(－)3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123＝f ()， ∴函数f ()是偶函数． (2)由(1)知f ()为偶函数，∴只需讨论＞0时的情况，当＞0时，要使f ()＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x－1＋123＞0， 即1a x －1＋12＞0， 即a x ＋12a x －1＞0，则a ＞1. 又∵＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f ()＞0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y ＝f ()在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数，定义f ()＝⎩⎨⎧f xf x K ，K ，f xK .给出函数f ()＝2＋1－4，若对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则( )A ．的最大值为0B ．的最小值为0C ．的最大值为1D ．的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则f ()≤在≤1上恒成立，即f ()的最大值小于或等于即可．令2＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴≥1，故选D.2．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，故2a ＜b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4.由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b 2＜2，故1＜a ＜2,2＜b ＜4. 对于选项A 、B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)＞0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1＜a ＜2,2＜b ＜4，故该式的符号不确定，故C 、D 错误．故选B.3．设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2＋2a －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a (a ＞0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1，∈[－1,1]时，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a ＞1时，∈[－1,1]，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )ma ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与基本不等式交汇]设f ()＝e ,0＜a ＜b ，若p ＝f()ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选C ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又f ()＝e 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f a f b ＝e a e b ＝e－a b 2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.5．[与一元二次函数交汇]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1在区间[－3,2]上的值域是________．解析：令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因为∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y ma ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，576．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R 的函数f ()＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0恒成立，求的取值范围． 解：(1)因为f ()是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f ()＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f ()＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f ()在R 上为减函数，又因为f ()是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－)＝f (－2t 2＋)．因为f ()是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －＞0， 从而Δ＝4＋12＜0，解得＜－13.故的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

2.5 指数与指数函数A组基础题组1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )答案 D 令f(x)=a x-,当a>1时,f(0)=1-∈(0,1),所以A与B均错;当0<a<1时,f(0)=1-<0,所以C错D对,故选D.2.若函数f(x)=(2a-5)·a x是指数函数,则f(x)在定义域内( )A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增答案 A 由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数,故选A.3.已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能．．．成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B 如图,令y 1=,y2=,由=得a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选B.4.(2017浙江高考模拟训练冲刺)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( )A. B.3 C.9 D.答案 A 由f(lo 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>0,故a=.5.(2018浙江宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞, ]B.[ ,+∞)C.[- ,+∞)D.(-∞,-2]答案 B 由f(1)=得a2=.又a>0,所以a=,因此f(x)=-.设g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[ ,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[ ,+∞).6.已知a∈R,则“|a-1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 由绝对值的几何意义知,|a-1|+|a|≤1的解集是{a|0≤a≤1};函数y=a x在R上为减函数,则a的取值构成的集合是{a|0<a<1},所以B⫋A,根据充分条件与必要条件的定义知选B.7.已知4a=2,lgx=a,则a= ,x= .答案; 0解析由4a=2,得a=,由lgx=,得x= 0.8.计算:·)= ,= .答案1;6解析·)=··-=-=m0=1;=× = × = .9.(2019衢州质检)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .答案-解析①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则-b- ,0b0,无解.②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则-b0,0b- ,解得,- ,∴a+b=-.10.已知函数f(x)=-.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是 0,+∞),求实数a的取值范围.解析(1)当a=-1时,f(x)=--,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(- ,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,因此f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(- ,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间为(- ,+∞),单调递减区间为(-∞,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=),由于f(x)有最大值3,因此h(x)应有最小值-1,所以-=-1,解得a=1.(3)由指数函数的性质知,要使函数f(x)的值域是 0,+∞),则需函数h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因为二次函数的值域不可能为R,所以a=0.B组提升题组1.无论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是( )A. ,-B. ,C.- ,-D.- ,答案 C y=(a-1)2x-=a--2x,令2x-=0,得x=-1,故函数y=(a-1)2x-恒过定点- ,-,故选C.2.(2017浙江温州十校期末)设函数f(x)=- ), 0,, 0,若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B. 0,+∞)C. ,+∞)D.[ ,+∞)答案 D 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.显然f(x)=0只有1个实数根,所以只需f(x)=a有2个不同的实根即可.利用图象可得实数a的取值范围是[ ,+∞).3.设n∈N*,x=,y=,则下列结论成立的是( )A.y x>x yB.y x<x yC.y x=x yD.x,y的大小关系与n的取值有关答案 C 由x=,得lnx=(n+1)ln,由y=,得lny=nln,则=,又==,因而=,xlny=ylnx,即y x=x y,故选C.4.已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为.答案(-∞,-18]解析设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈, .又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,即y=t2+mt-3在区间, 上单调递减,故有-≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18].。

第五节指数与指数函数知识点一指数与指数幂的运算1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①(na)n＝a(n>1，且n∈N＋)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n为奇数，|a| n为偶数.2．有理指数幂(1)分数指数幂的含义：③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算法则：设a>0，b>0，对任意有理数α，β，有以下运算法则aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．1．判断正误(1)(4－2)4＝－2.(×)(2)na n＝a.(×)2．(必修1P59A组第1题改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得(D)A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.3．若x＋x－1＝3，则x2－x－2＝±3 5.解析：由(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，得x2＋x－2＝7.又(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±5，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±3 5.知识点二指数函数的图象与性质4．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞)． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)．5．(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝ 3. 解析：依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 6．(必修1P58第2题改编)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：要使该函数有意义，解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．考向一指数与指数幂的运算【例1】化简、求值：幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式根据a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)可以相互转化．(2)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a 24写成a12必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)24＝4(－1)2＝1，而(－1)12＝－1无意义．(3)在进行幂的运算时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行运算．(4)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求： (1)a －1＋b －1(ab )－1；解：因为a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ， 所以a ＝19，b ＝9， (1)a －1＋b－1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab＝a ＋b＝19＋9＝829.考向二 指数的图象及应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为()(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2【解析】 (1)解法1：因为f (x )的定义域关于原点对称且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，排除A 选项；由f (2)＝e 2－1e 24>1，排除C 、D 选项．故选B.解法2：当x <0时，因为e x －e －x <0， 所以此时f (x )＝e x －e －xx 2<0， 故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e >2，故排除C，选B.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.【答案】(1)B(2)D函数图象的识辨方法(1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)由函数的周期性识辨图象；(5)由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(D)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.考向三 指数函数的性质及应用方向1 指数函数的单调性【例3】 (1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 14 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a(2)已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3 .①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值． 【解析】 (1)因为－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝1，即a >b >1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34 <⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，所以c <1，综上，c <b <a .(2)①当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【答案】 (1)D (2)见解析 方向2 指数函数性质的综合应用【例4】 (1)函数f (x )＝a ＋be x ＋1(a ，b ∈R )是奇函数，且图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数f (x )为奇函数，则f (0)＝a ＋b2＝0①，函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则f (ln3)＝a ＋b 4＝12②.结合①②可得a ＝1，b ＝－2，则f (x )＝1－2e x＋1.因为e x >0，所以e x ＋1>1，所以0<2e x ＋1<2，所以－1<1－2e x ＋1<1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为a >－34. 【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞1.比较指数式大小的问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1，0等中间量进行比较.2.解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.3.对于指数函数性质的综合应用，应首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解，关键是指数型函数的单调性要抓住“同增异减”.1．(方向1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是(B)A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2.∴0.6－1>0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2.∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.2．(方向2)(2019·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( B )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 解析：∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝{ 2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. 3．(方向2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.。

指数与指数函数
挖命题 【考情探究】
分析解读 .指数函数是重要的基本初等函数,也是高考的常考内容.
.考查指数的计算、指数函数值的求法、比较大小等(例浙江题).
.考查指数函数与函数的基本性质、二次函数、不等式等相结合的题目(例浙江文题).
.预计年高考试题中,仍会对指数函数及其性质进行考查,特别是指数函数的图象在复习时应重视. 破考点 【考点集训】
考点一指数幂及其运算
.(浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试)已知,则. 答案 ;
.(浙江温州二模(月))已知,则的大小关系是.
答案>
考点二指数函数的图象与性质
.(浙江新高考调研卷三(杭州二中))设函数()π()·(≠),若存在∈[],使得()()成立,则实数的取值范围是( )
.∪.∪
.∪.∪
答案
.(浙江镇海中学测试卷一)已知函数()若存在两个不相等的实数,使得()(),则实数的取值范围为.
答案()
炼技法
【方法集训】
方法指数式值大小比较的方法
.(山东分)设,则的大小关系是( )
<<<<<<<<
答案
.(浙江浙东北联盟期中)已知∈,且≤,则( )
≤≤
≤≤
答案
方法指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略。

2.4指数与指数函数挖命题【考情探究】分析解读 1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一指数及指数幂的运算1.(2017河北八所重点中学一模,6)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是()A. B. C. D.答案C2.(2018河南南阳第一中学第二次考试,13)计算0.02+2560.75---72=.答案60.7考点二指数函数的图象与性质1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=-的值域为()A. B.- C. D.(0,2]答案D2.(2018河南八市第一次测评,10)设函数f(x)=x2-a与g(x)=a x(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是()A.M=NB.M≤NC.M<ND.M>N答案D3.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为.答案-1炼技法【方法集训】方法1比较幂值的大小(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0<a<b<1,则()A.(1-a>(1-a)bB.(1-a)b>(1-aC.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b答案D方法2 探究指数型函数的性质1.(2019届黑龙江哈尔滨第三中学第一次调研,6)函数f(x)=-的单调增区间是()A.(-∞,2]B.[0,2]C.[2,4]D.[2,+∞)答案B2.(2017河北承德实验中学期中,21)已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)当x≤0时,f(x)=0,当x>0时,f(x)=2x-,由题意可得,2x-=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±,∵2x>0,∴2x=1+,∴x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t-+m-≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案DB组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C2.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-C组教师专用题组1.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P、Q-.若2p+q=36pq,则a=.答案62.(2015江苏,7,5分)不等式-<4的解集为.答案{x|-1<x<2}【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,9)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,且[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]的值域是()A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}答案D2.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是()A.[2,4]B.(-∞,0]C.(0,1]∪[2,4 ]D.(-∞,0]∪[1,2]答案D3.(2019届四川绵阳高中高三第一次诊断性考试,10)若a=,b=,c=5e-2,则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c答案D4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y=sin xB.y=x3C.y=D.y=log2x答案B5.(2018福建泉州晋江平山中学期中,6)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是()A.m≥0或m<-1B.m>0或m<-1C.m>1或m≤0D.m>1或m<0答案A6.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()答案C7.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定答案A8.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l()A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条答案B二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点对称,则a=.答案110.(2018广东六校第三次联考,14)已知函数f(x)=asin x-bcos x,若f-=f,则函数y=3ax+b+1的图象恒过点.答案(1,3)三、解答题(共25分)11.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x-,其中a>0,且a≠1.(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若关于x的不等式f(x)≤|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R.任取x∈R,则-=x-,f(-x)=-x-∴f(x)-f(-x)=x--x-=x-=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)≤|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤x在[0,1]上恒成立,显然,当x=0时,上述不等式恒成立;当x≠0时,上述不等式可转化为-≤,∴a x≥在[0,1]上恒成立,∴≤a<1或a>1,∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).12.(2017山东潍坊期中,20)已知函数f(x)=1-(a>0,且a≠1)且f(0)=0.(1)求a的值;(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)对于函数f(x)=1-(a>0,且a≠1),由f(0)=1-=0,得a=2.(2)由(1)知f(x)=1-=1-.因为函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,∴1-k>0,即k<1.(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,即1->m·2x-2恒成立,亦即m<-恒成立,令t=2x,则t∈(1,2),且m<-==+.由于y=+在t∈(1,2)上单调递减,∴+>+=,∴m≤.思路分析(1)由f(0)=0求出a;(2)分离参数,转化为y=2x与y=1-k的图象有交点;(3)转化为m<-,换元,转化为最值问题.。