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城东蜊市阳光实验学校江夏一中高三数学导数的应用培优辅导材料二一、教学内容导数的应用 二、学习指导本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。
根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a 到b(a ＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2〔记△y=y2－y1＞0〕.于是A 〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕两点间连线斜率k =2121x x y y --＞0.从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＞0.由x1的任意性，知〔a ，b 〕内的导函数)x (f '值均正；反之，假设f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.(记△y=y2－y1＜0).那么A 、B 连线斜率k=2121x x y y --＜0，从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。
而导函数值为O 的点xo 有可能〔但不一定就是〕是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能〔但不一定就是〕f(x)的一个极大〔小〕值.但到底是不是极值点，还须看导函数)x (f '在xo 的左、右是否异号，如在xo 左边)x (f '＞0，而在xo 右边)x (f '＜0，那么f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo 左边)x (f '＜0，而在xo 右边)x (f '＞0，那么f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo 左右)x (f '符号一样，那么f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂〔对较复杂的函数更是如此〕.而判断单调区间的界限，那么无明章可循，如今我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结时间：201*-02-2410:5758次利用暑假提高成绩30-80分的秘诀：高一视频，高二视频，高三视频年级高一课程推荐高二课程推荐高三课程推荐课程初升高新学期衔接视频高一全科强化视频新高二新学期双重强化视频高二全科强化视频高考分轮次复习全科套餐高三全科强化视频更多高中辅导课程推荐,点击进入>>导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性的法则：设＝f在（a，b）内可导。
如果在（a，b）内，f"（）>0,则f（）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。
如果在（a，b）内，f"（）arcin"=1/1-^2^1/2arcco"=-1/1-^2^1/2arctan"=1/1^2arccot"=-1/1^2arcec"=1/||^2-1^1/2arccc"=-1/||^2-1^1/2④inh"=hcohcoh"=-hinhtanh"=1/coh^2=ech^2coth"=-1/inh^2=-cch^2ech"=-tanhechcch"=-cothccharinh"=1/^21^1/2arcoh"=1/^2-1^1/2artanh"=1/^2-1||化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．新学期，高中名师视频辅导课程推荐扩展阅读：高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结发布时间：201*-8-12浏览人数：5191本文编辑：高考学习高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
导数的应用一、基础知识1.函数的单调性与其导函数的正负关系：在开区间（a,b ）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求定义域（2）求f ' (x) (3)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(4)确认并写出单调区间 2.导数与极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极大值；如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极小值。
可导函数点x 0处的导数为0是f(x)在x 0处取得极值的 条件 求函数y=f(x) 极值的步骤：（1）确定函数的定义域 (2) 求方程f ' (x)=0（3）解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间 (4)判断 f ' (x)=0的根的两侧f ' (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。
3.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1） （2）二、典型例题（一）函数的单调性与导数例 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）答案：C1.求单调区间——判断导数符号 注意定义域的先决条件（1）设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。
当a=1时，求()f x 的单调区间。
解：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；（2）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.讨论函数()f x 的单调性显然函数定义域:x ∈(0,+∞) 求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x 1.a=0f'(x)=1/x>0故f(x)在全域单增 2.a>0 f'(x)>0故f(x)在全域单增 3.-1<a<0 令f'(x)=0则x=根号下(-(a+1)/2a) 列表x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞) f'(x) + 0 -f(x) ↗ 极大值 ↘ 故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减 4.a≤-1 f'(x)≤0故f(x)在全域单减综上a≥0时，f(x)域上单增-1<a<0时，f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减a≤-1时，f(x)在全域单减（3）已知函数xeb ax x x f -++=)()(2在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性．答案：（1）b=1（2）当0=a 时，)(x f 的单减区间为),(+∞-∞当0>a 时，)(x f 的单减区间为),1(),1,(+∞--∞a ，单增区间为)1,1(a - 当0<a 时，)(x f 的单减区间为),1(),1,(+∞--∞a ,单增区间为)1,1(a -2.已知函数)(x f 在某区间上递增（减），求参数的范围（1）已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直。
120难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′121=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x xf ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′122 (x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2123y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案：B 2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x . 答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①124对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
2010年高等数学竞赛辅导讲义 辅导三 微分中值定理与导数应用主要知识点: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理, 柯西中值定理, 单调性与极值的确定方法, 凹凸性与拐点的确定方法, 最大值与最点值的确定方法.1. 通过构造辅助函数证明(1)设f (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且f (0)=f (1)=0, 试证在(0,1)内必存在一点ξ, 使 f (ξ)+ξ f '(ξ)=0.分析: 我们要分析什么函数的导数为f (x )+x f '(x ), 设该函数为F (x ), 则F '(ξ)= f (ξ)+ξ f '(ξ), 因此要证明的是在[0, 1]上F (x )满足罗尔定理的条件, 从而在(0,1)内必存在一点ξ, 使F '(ξ)=0, 即f (ξ)+ξ f '(ξ)=0. 易知[xf (x )]'= f (x )+x f '(x ), 故设F (x )= xf (x ).证: 令F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0, 由罗尔定理必存在ξ∈(0, 1), 使F '(ξ )=0, 即f (ξ)+ξ f '(ξ)=0(2)设f (x ), g (x )在[a ,b ]上可导, 且g '(x )≠0, 证明必存在ξ∈(a , b ), 使()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-.分析: 显然要证的结论等价于f (ξ)g '(ξ)+f '(ξ)g (ξ)-f '(ξ)g (b )-f (a )g '(ξ)=0, 若能找到函数F (x ),使得F '(x )=f (x )g '(x )+f '(x )g (x )-f '(x )g (b )-f (a )g '(x ), 则可将问题转化为证明F (x )在[a , b ]上满足罗尔定理的条件, 必存在ξ∈(a , b ), 使F '(ξ )=0, 即f (ξ)g '(ξ)+f '(ξ)g (ξ)-f '(ξ)g (b )-f (a )g '(ξ)=0. (3)设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f (a )=f (b )=0, 证明至少存在一点ξ, 使 f '(ξ)+f (ξ)g '(ξ)=0.分析: 若能构造一个函数F (x )使F '(x )= f '(x )+f (x )g '(x ), 则对F (x )利用罗尔定理即可证明结论, 但这样的F (x )难以找到, 于是可考虑构造一个F (x )使F '(x )含有因子f '(x )+f (x )g '(x ), 于是可取F (x )=f (x )e g (x ), 对其在[a , b ]上利用罗尔定理即可.(4)设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 0<a <b , 试证存在ξ,η∈(a , b ), 使得()()2a bf f ξηη+''=. 分析: 由拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(a , b )使得2222()()()(()())()()()()f b f a b a f b f a f b f a f b a b a b a b a ξ-+--'===+⋅---,对f (x )和g (x )=x 2应用柯西中值定理, 则存在η∈(a , b ), 使得22()()()()()2f b f a f f g b aηηηη''-=='-, 从而()()2a bf f ξηη+''=.(5)设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且对一切x ∈(a , b ), f '(x )g (x )-f (x )g '(x )≠0, 证明若f (x )在(a , b )内有两个零点, 则介于这两个零点之间至少有g (x )的一个零点. (提示: 反证法)(6)设f (x )在[a , b ]上有二阶导数且f (a )=f (b )=0, 证明至少存在ξ∈(a , b )使2()()f f b ξξξ'''=-.提示: 2()()f f b ξξξ'''=-等价于f ''(ξ)(b -ξ)-2f '(ξ)=0, 要寻找F (x ), 使其导数F '(x )等于或含有 f ''(ξ)(b -ξ)-2f '(ξ)因子.由罗尔定理, 存在x 0∈(a , b ), 使f '(x 0)=0. 设F (x )=f '(x )(b -x )2, 可验证F (x )在[x 0, b ]上罗尔定理条件, 故存在ξ∈(a , b ), 使F '(ξ)=f ''(ξ)(b -ξ)2-2f '(ξ)(b -ξ)=0, 即f ''(ξ)(b -ξ)-2f '(ξ)=0.(7)设f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且1(1)2f =, f (2)=2, 证明存在ξ∈(1, 2) , 使得2()()f f ξξξ'=.分析: 欲证式等价于ξf '(ξ)-2f (ξ)=0或ξ 2f '(ξ)-2ξf (ξ)=0 即 [x 2f '(x )-2xf (x )]|x =ξ=0, 而此式等价于2()[]0x f x x ξ='=, 故可设2()()f x x x ϕ=, 用罗尔定理. (8)设f (x )在[a , b ](0<a <b )上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a )=b , f (b )=a , 证明至少存在一点ξ∈(a , b ) , 使得()()f f ξξξ'=-.分析: 欲证式等价于f '(ξ)⋅ξ+f (ξ)=0, 此式左端可视为函数xf (x )的导数在ξ 处的值. 于是可设ϕ(x )=x f (x )用罗尔定理.(9)设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a )=f (b )=0, 证明在(a , b )内至少存在一点ξ, 使得f '(ξ)=-λ f (ξ), 这里λ为任意实数.分析: 即证f '(ξ)+λ f (ξ)=0, 由于对任意的x ∈(a , b ), e λx ≠0, 故只需证得 e λξ[f '(ξ)+λ f (ξ)]=0即[e λx f (x )]'|x =ξ=0, 从而需引入辅助函数ϕ(x )= e λx f (x ) .(10)设f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且1(1)f =, f (2)=2, 证明存在ξ∈(1, 2) , 使得2()()f f ξξξ'=.2. 利用f '(x )=0则f (x )=C , 通过构造辅助函数证明恒等式. (1)设f (x )在(-∞, +∞)上可导且f '(x )=2f (x ), f (0)=1, 证明f (x )=e 2x . 分析: 显然要证的结论等价于e -2x f (x )-1=0. 令F (x )=e -2x f (x )-1, 则 F '(x )=e -2x f '(x )-2e -2x f (x )=2e -2x f (x )-2e -2x f (x )=0, 从而F (x )=C =F (0)=0, 从而f (x )=e 2x .3. 利用中值定理证明不等式.(1)设f (x )在[a , b ]上二阶可导且f ''(x )>0, 任给x 1, x 2, ∈[a , b ], 证明1212()()22x x f x f xf ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 提示: 利用泰勒公式知:212121212111()()()()2222x x x x x x x xf x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212121()222x x x x x x f f x +++⎛⎫⎛⎫'≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋ ⋅⋅⋅ (A) 同理 12121222()()222x x x x x x f x f f x +++⎛⎫⎛⎫'≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋ ⋅⋅⋅ (B) (A)加(B)即得结论.(2)证明当b >a >e 时, a b >b a .证1: 利用单调性. 欲证式等价于 b ln a >a ln b , 即ln ln a ba b>.可见只需证得ln ()()x f x x a x=≥单调减少即可.令ln ()()x f x x a x=≥, 因为221ln 1lne()0x f x xx--'=<=, 从而f (x )当x ≥a 时单调减少, 故当b >a >e 时f (a )>f (b ), 即l n l n a b ab>, 或a b >b a .证2: 利用拉格朗日中值定理.在区间[a , b ]上对ln ()x f x x=应用拉格朗日中值定理, 可得2l n l n1l n 0b a b a b a ξξ--=<-, ξ∈(a , b ),从而 l n l n0b a -<, 即a ln b <b ln a ,故 a b >b a .4. 利用一阶导数判定函数的单调性及极值点, 利用二阶导数判定函数的凹凸性及拐点. (1)设f (x )在(0, 1)上, 满足f ''(x )>0, 试将f '(0), f '(1), f (1)-f (0)按从大到小的次序排列为 ______f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0)______.(2)设f (x )在[0, a ]上二阶可导且f (0)=0, f ''(x )>0, 证明()()f x x xϕ=在(0, a )内单调增加.提示: 只须证2()()()0xf x f x x xϕ'-'=>, 只须证F (x )=xf '(x )-f (x )>0. 因为F '(x )=f '(x )+x f ''(x )-f '(x )=x f ''(x )>0,所以F (x )在[0, a ]上单增, 故当x >0时, F (x )>F (0)=0.(3)设函数f (x )对一切实数x 满足x f ''(x )+3x [f '(x )]2=1-e -x , 若f (x )在点x 0处取到极值, 则x 0一定是函数的____极小____值点.(4)设三次曲线y =x 3+3ax 2+3bx +c 在x =-1处取极大值, 点(0,3)是拐点, 则a =__0__, b =__-1__, c =__3__.5. 求函数的最值(1)在抛物线y =x 2找一点,使其到直线3x -4y -2=0的距离最短.提示: 设p (x , x 2)为抛物线上任一点, 则p 到直线3x -4y -2=0的距离2|342|5x x d --=, 易知3x -4x 2-2≤0, 从而24325x x d -+=, 由此可求得38x =, 39(,)864p .(2)证明当x ≥0时,220()()sin x n f x t t tdt =-⎰(n 为正整数)的最大值不超过1(22)(23)n n ++.提示:由f '(x )=(x -x 2)sin 2n x 易知x =1是函数的最大值点,从而函数的最大值1220()sin nm t t tdt =-⎰, 利用t ≥0时, sin t ≤t 可知:12201()sin (22)(23)n m t t tdt n n ≤-=++⎰.(3)过抛物线y =x 2上一点(a , a 2)作切线, 问a 为何值时所作切线与抛物线y =-x 2+4x -1所围图形面积最小.6. 利用函数的单调性、凹凸性、最值证明不等式.(1)设p >1, x ∈[0, 1], 证明1112p pp x x -≤+≤（1-）. 提示: 令f (x )=x p +(1-x )p , 由f '(0)=0得驻点012x =, 与端点值比较可知f (x )在[0, 1]上有最大值1,最小值112p -.(2)设0()lim1x f x x→=, 且f ''(x )>0, 证明当x ≠0时, f (x )>x . 证:由f ''(x )存在可知f (x ), f '(x )连续, 由0()lim1x f x x→=可知f (0), f '(0)=1令g (x )=f (x )-x , 则g '(x )=f '(x )-1, g ''(x )=f ''(x )>0, 从而g '(x )在(-∞, +∞)上单增. 于是当x >0时, g '(x )>g '(0)=0, 当x <0时g '(x )<g '(0)=0, 即g (x )在(-∞, 0)上单减, 在[0, +∞]上单增, 从而当x ≠0时g (x )>g (0)=0, 即f (x )>x .(3)设f (x )在[a , b ]上二阶可导且f ''(x )>0, 证明()()()()2b a f a f b f x dx b a +<-⎰.证:令()()(t a g t f x dx t a =--⎰ ∈[a , b ], 则()('()()()22f a f tg t f t +'=--'()'()()()()0222f t f t t ag t f t -''''=--< 故g '(x )在[a , b ]上单减, 因此有g '(t )<g '(a )=0, 故有g (x )在[a , b ]上单减, 从而g (b )<g (a )=0, 即()()()()2b a f a f b f x d x b a +<-⎰.(4)设f ''(x )>0, f (0)=0, 证明对任意的x 1>0, x 2>0, 有 f (x 1+x 2)>f (x 1)+f (x 2).证1: 不妨设0<x 1≤x 2, 将f (x )分别在区间[0, x 1]与[x 2, x 1+x 2]上应用拉格朗日中值定理, 有 f (x 1)-f (0)=x 1f '(ξ1) (0<ξ1<x 1),f (x 1+x 2)-f (x 2)=x 1f '(ξ2) (x 2<ξ2<x 1+x 2),显然ξ1<ξ2, 又由f ''(x )>0知f '(x )单调增加, 从而 f '(ξ1)<f '(ξ2), 而x 1>0, f (0)=0所以f (x 1+x 2)-f (x 2)=x 1f '(ξ2)> x 1 f '(ξ1)= f (x 1)-f (0)= f (x 1), 即 f (x 1+x 2)>f (x 1)+f (x 2). 证2: 作辅助函数F (x )=f (x 1+x 2)-f (x 1)-f (x 2), x >0.因为x 1+x >x , f '(x )单调增加, 所以F '(x )=f '(x 1+x )-f '(x )>0, 从而F (x )>F (0)=0, 故有 f (x 1+x )>f (x 1)+f (x ), 取x =x 2即得f (x 1+x 2)>f (x 1)+f (x 2).7. 方程根的讨论主要方法有: (i)利用介值定理, 罗尔定理说明方程在某一区间上至少有一根. (ii)利用f (x )的单调性说明方程在某一区间上至少有一根.(1)设f (x )在(-∞, +∞)内可微且f (a )=f (b )=0, 其中a <b , 证明方程f (x )+f '(x )=0在(a , b )内至少有一根.提示: 只须构造一个函数F (x )使F '(x )=f (x )+f '(x )或F '(x )含有因子f (x )+f '(x ), F (x )在[a , b ]上满足罗尔定理的条件, 即可由罗尔定理得到结论. 本题可取F (x )=f (x )e x . (2)证明当a 2-3b <0时, 方程x 3+ax 2+bx +c =0有唯一实根.提示: 令f (x )=x 3+ax 2+bx +c , 则lim ()x f x →-∞=-∞, lim ()x f x →+∞=+∞, 于是存在x 0, 使f (x 0)<0,存在x 1使f (x 1)>0, 由介值定理知方程至少有一根, 又f '(x )=3x 2+2ax +b , 其判别式为4a 2-12b <0, 从而f '(x )>0, f (x )在(-∞, +∞)上单增, 因此方程在(-∞, +∞)内有唯一根.(3)设f (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 0<f (x )<1, 又对任意的x ∈(0, 1)有f '(x )≠-1, 证明方程f (x )=1-x 在(0, 1)内有唯一实根. 证: 先证根的存在性.设F (x )=f (x )+x -1, 显然F (x )在[0, 1]上连续, 因0<f (x )<1, 所以F (0)=f (0)-1<0, F (1)=f (1)>0, 由零点定理知F (x )在(0, 1)内至少有一个零点, 即方程f (x )=1-x 在(0, 1)内至少有一个根. 再证根的唯一性.用反证法 假设方程f (x )=1-x 在(0, 1)内有两个根x 1, x 2, 不妨设0<x 1<x 2<1, 即f (x 1)=1-x 1, f (x 2)=1-x 2. 对f (x )在[x 1, x 2]⊂[0, 1]上应用拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(x 1, x 2)使得 21212121()()1(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----'===---, 这与题设f '(x )≠-1矛盾.综上所述, 方程f (x )=1-x 在(0, 1)内有唯一实根.(1)设在区间[a , b ]上f (x )连续且大于零, 证明:21()().()bbaaf x dx dx b a f x ≤-⎰⎰(2)设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=a , 22()2bab a f x dx -=⎰, 求证: 在(a , b )内至少存在一点ξ, 使f '(ξ)=f (ξ)-ξ+1.(3)设f (x )在[0, +∞]上连续, 单调减少, 0<a <b , 求证: 0()().baa f x dxb f x dx ≤⎰⎰(4)设f (x )在[a , b ]上连续,()()0bbx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰, 求证f (x )在(a , b )内至少有两个零点.(5)设f (x )在[a , b ]上有二阶导数且f '(a )=f '(b )=0, 证明存在ξ∈(a , b ), 使24()()().()f f b f a b a ξ''≥-- (6)证明函数2()()sin 32f x x x π=-在(0,)2π内有唯一的零点. (7)某酒厂有一批新酒, 如现在出售(t =0), 总收入为R 0,如窖藏到来日按陈酒出售, 在t 年来总收入为0R R = 假定银行年利率为r , 并以连续复利计息, 试求窖藏多少年后出售可使总收入的现值为最大, 并求r =6%的t 值.(8)设f (x )在[0, 1]上连续, (0,1)内可导, 且1233()(0)f x dx f =⎰, 证明在(0,1)内存在ξ, 使f '(ξ)=0.(9)设在(a , b )内f ''(x )>0, a <x 1<x 2<b , 0<α<1, 证明: αf (x 1)+(1-α)f (x 2)≤f [αx 1+(1-α)x 2]. (10)设f (x )在[0, 1]上有连续导数且0<f '(x )<1, f (0)=0求证: 11230[()]().f x dx f x dx ≥⎰⎰。
