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人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计一、课程设计背景导数是高中数学中的重要内容，也是数学分析中的基础概念之一。
通过对导数的学习，可以更深入地了解函数的性质和图像的特征，也有助于我们更好地掌握微积分的相关知识。
因此，在高中数学选修课中，导数的教学是必不可少的。
本次课程设计是针对人教版高中选修1-1第三章导数及其应用这一主题进行模拟教学设计，旨在帮助学生深入理解导数的概念和应用，提高他们的数学素养和分析能力。
二、教学目标本节课的教学目标如下：•理解导数的概念及其在函数中的应用；•掌握导数的求法和计算方法；•学习导数在函数图像上的几何意义和物理意义；•培养学生的分析思维和解决问题的能力。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引入导数的概念和相关概念，例如函数、极限，引出导数的计算方法和应用场景。
2. 课堂讲解（40分钟）A. 导数的概念及其计算方法讲解导数的定义及其求法，强调导数的物理意义和几何意义，并且通过例题演示求导法则。
B. 导数在函数图像上的应用通过讲解导数在函数图像上的应用，学生可以更直观地理解导数的实际意义。
做完例题后，老师可以引导学生自己思考并且提出问题，激发他们的分析思维。
C. 导数在物理学中的应用导数在物理学中的应用也是很重要的，老师可以突出讲解一些物理问题并尝试与导数联系起来。
3. 练习环节（30分钟）安排学生在课下做一些练习题，巩固所学知识，并且在下一节课讲解之前准备问题。
4. 总结环节（5分钟）让学生回答问题和分享反思，老师通过总结，强化所学知识，教育学生总结归纳能力。
四、教学方法•以问题为导向，让学生自己思考和分析，发挥其主动学习能力；•引导学生完成任务，并且通过合作完成需求；•突出案例和实例的学习，通过具体的例子强化知识的应用；•开展课堂讨论和合作式学习，激发学生的学习兴趣和思维方式。
五、教学评估针对本次课程设计，我们可以采用一下几种方式进行评估：•学生课堂表现；•作业完成情况；•课程收获反馈。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。
过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。
情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。
【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。
本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。
【教学过程】一、 问题导学：1、 依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、 总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、 自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ， 则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ， 则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计，主要面向高中一年级学生，介绍导数的概念、性质以及其在几何、物理等领域中的一些应用。
在基础知识的掌握上，重点突出了导函数的求法和利用导数解决问题的方法。
二、课程目标1.掌握导数的概念、性质，并能正确运用导数的基本公式求导；2.理解导函数的概念，在实际应用中能正确求解；3.能够应用导数的求法，解决几何、物理等相关问题；4.提高学生对数学的兴趣，增强数学思维能力。
三、教学内容1. 导数的概念与求法（1）导数的定义导数的定义、几何意义和物理意义。
（2）导数的求法应用导数的基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导法则。
（3）导数的性质对导数的加法、减法、乘法、除法运算法则的学习。
2. 导函数的求法与应用（1）导函数的概念导函数的概念及其几何意义。
（2）导函数的求法应用导数的运算法则，求出函数的导函数。
（3）导函数的应用介绍导数在极值、凸性、函数图像研究、边界条件问题等方面的应用。
3. 积分与微积分基本定理（1）积分的概念积分的基本概念及其场景应用。
（2）微积分基本定理微积分基本定理的概述及其在求不定积分和定积分中的应用。
四、教学方法1. 探究式学习法利用问题导向的学习方法，启发学生思考，提高学生自主学习能力。
2. 教师引导法教师根据学生的基础与能力，引导学生进行分析、反思和总结。
3. 交互式教学法教师与学生之间进行交互式的教学模式，营造积极、健康的课堂气氛。
五、教学评估1. 平时评估平时成绩占全年总成绩30%；包括课堂表现、作业完成情况、参与课外活动等。
2. 期中期末考试期中考试占全年总成绩30%；期末考试占全年总成绩40%。
六、教学资源1. 学生教材人教版高中选修1-1教材。
2. 实验器材教师准备导数计算器、积分计算器、激光仪等。
七、教学反思通过教学实践，本教案把“探究式学习法”、“教师引导法”、“交互式教学法”等多种教学方法融合在一起，形成了自我启发、团队学习、交互参与等特点鲜明的“高中选修1-1导数及其应用”互动教学模式，活跃了课堂气氛，激发了学生学习的兴趣，提升了他们的学习成绩和自主学习能力。
高中数学人教A版选修1-1第三章导数及其应用3.2.2 探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解一、教学目标：1.知识与技能（1）复习和巩固用二分法求方程的近似解（2）探究并总结牛顿法求方程的近似解2.过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）培养学生在数学学习的过程中的迁移，类比。
3.情感与价值观让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。
二、教学重点、难点：教学重点：牛顿法的迭代思想和过程。
教学难点：理解牛顿法的逼近和迭代原理。
三、学法与教学用具：1.通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿法的迭代原理，提高了学生解决实际问题的能力；2.教学用具：投灯片、多媒体。
四、教学过程：（一）创设情景、导入课题（展示ppt，中外历史上的方程求解）1.从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育，引起学生对我国古代数学的自豪感。
（二）复习巩固，启发引导1.求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。
2.（师生活动）提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。
3.思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？4.学生回答问题，总结二分法的优缺点，并以其缺点入手，引出今天的课题，（板书主题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解）。
〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿法进行类比提供了很好的基础。
（三）师生互动、探究新知1.层层设问：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？ （3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？ （4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？2. 归纳方法，总结整理（小组讨论，选一个小组先展示，老师再板书）给定函数为()y f x =，迭代初始值为0x ，其切线方程可以写为：()()()000'y f x f x x x -=-，求其零点，令0y =，得()()000'f x x x f x =-。
3.1 导数课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y =2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解析：当自变量从x 0到x 0+Δx 时函数的平均变化率为：x x x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+)12()]1(2[)()(20000 =4x 0+2Δx温馨提示求函数f (x )平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)(2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆ 二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y =x 2+ax +b ;(2)y =.1x 解析：Δy =(x +Δx )2+a (x +Δx )+b -x 2-ax -b=(Δx )2+a (Δx )+2x Δx . xx x x a x x y ∆∆+∆+∆=∆∆·2)()(2=Δx +a +2x . y ′=0lim →∆x (Δx +a +2x )=2x +a . (2)Δy =xx x 11-∆+ .21,21·21lim .)(··1.)(··23230222--→∆-='-=-=∆∆∴∆++∆+-=∆∆∴∆++∆+∆-=∆+∆+-=x y x x x x y x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x 即利用定义求导数分三步：①求Δy ;②求x y ∆∆;③求x y x ∆∆→∆0lim . 三、利用导数求切线方程【例3】 求函数y =41x 2在点P (2,1)处切线的方程. 思路分析：利用导数求切线方程的步骤：①先求出函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0);②根据直线方程的点斜式，得切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 解：欲求切线方程需先求过点P 的切线的斜率K =.lim0x y x ∆∆→∆而Δy =41(2+Δx )2-41×22=21×2Δx +41(Δx )2, ∴1)41221(lim lim 00=∆+⨯∆∆→∆→∆x x y x x ∴过点p 的切线方程为y -1=x -2.即x -y -1=0.温馨提示f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.各个击破类题演练1求函数y =x 3-2,当x =2时，x y ∆∆的值. 解：Δy =(x +Δx )3-2-(x 3-2)=(2+Δx )3-23=(Δx )3+6(Δx )2+12Δx ∴x y ∆∆=(Δx )2+6Δx +12变式提升1自由落体运动方程为s =21g t 2,计算从3 s 到3.1 s 内的平均速度. 解：Δt =3.1-3=0.1(s)Δs =s (3.1)-s(3)=21g×3.12-21g×32=0.305g cm ∴1.0305.0g t s v =∆∆==3.05g(m /s)求函数y =x 在x =1处的导数.解析：Δy =11111,11+∆+=∆-∆+=∆∆-∆+x x x x yx|21|,21111lim 10='=+∆+=→∆x x y x变式提升2已知f (x )在x 0处可导，则h h x f h xf h 2)()(lim 000--+→等于() A.21f ′(x 0) B.f ′(x 0)C.2f ′(x 0)D.4f ′(x 0)解析：转化成导数的定义.).()]()([21])()(lim )()(lim [21])()()()([21lim 2)]()([)()(lim 2)()(lim 0000000000000000000000x f x f x f h x f h x f h x f h x f h x f h x f h x f h x f hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h h h h '='+'=---+-+=---+-+=----+=--+→→→→→答案：B类题演练3求曲线y =x x -1上一点p (4,-47)处的切线方程.解析：由导数的定义，求得y ′=-.165)4(,32112-='∴-f x∴所求切线的斜率为-165.所求切线方程为5x +16y +8=0已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.解：∵直线l 过原点，则k =00x y (x 0≠0). 由点(x 0,y 0)在曲线c 上得y 0=x 30-3x 20+2x 0, ∴.2302000+-=x x x y 由导数的定义，求得 y ′=3x 2-6x +2,∴k =3x 20-6x 0+2.又k =x 20-3x 0+2,∴3x 20-6x 0+2=00x y =x 20-3x 0+2 整理得2x 20-3x 0=0.∵x 0≠0,∴x 0=23.此时y 0=83-,k =-41. 因此直线l 的方程为y =-41x , 切点坐标为(83,23-,).。
探究与发现牛顿法—用导数方法求方程的近似解一. 教材分析本节课选自人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》探究与发现“牛顿法—用导数方法求方程的近似解”。
属于拓展学生知识宽度和思维活跃的课程。
在必修一中，我们学习了方程的根与零点的关系，以及第一次接触到了利用零点找方程近似解的二分法，学生初次有了利用数值去逼近方程的解的思想。
在必修三中，教材安排了大量的案例让学生体会计算机在现代社会的强大功能。
在数学选修1-1，教材安排了导数的几何意义和求切线方程，体会以直代曲的思想，为牛顿法球方程的近似解提供了理论依据。
因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，作为一堂探究与发现的课，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.二．学情分析学生已经掌握了函数的零点，也学习了二分法求方程的近似解，理解了导数的几何意义，并能用导数求切线方程，具有一定的推理能力、运算能力的能力，但以直代曲的微积分思想不太熟稔，学生在探求牛顿法原理的过程中容易产生障碍，教学时需要引导学生用切线去逼近零点这个过程。
同时由于教学条件的问题，大部分的计算机工作须由教师实现，确也算遗憾。
三. 教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“牛顿法的公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能.2. 过程与方法：通过牛顿法的探究过程，体会近似代替精确。
逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；3. 情感态度：通过课题的设计，增强学生的探究、应用意识，了解更多数学文化，激发学生的学习积极性. 体会数学在其他领域的价值.四．教学重、难点1. 重点：牛顿迭代的迭代思想和原理，用牛顿法求方程的近似解的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.五. 教法、学法（一）忆古观今，引发兴趣由于生产生活的需要，人们在很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。
而在17世纪牛顿就给出了高次方程的一种数值求解办法——牛顿法。
导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念嘚某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线嘚斜率等）；掌握函数在一点处嘚导数嘚定义和导数嘚几何意义；理解导数嘚概念。
2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 嘚导数；掌握两个函数和、差、积、商嘚求导法则和复合函数嘚求导法则，会求某些简单函数嘚导数。
3、理解可导函数嘚单调性与其导数嘚关系；了解可导函数在某点取得极值嘚必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)嘚最大值和最小值。
[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。
2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法嘚综合运用。
[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现嘚问题有针对性嘚讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数嘚概念、四则运算、常用函数嘚导数，导数嘚应用理解运动和物质嘚关系、教学难点：导数嘚定义，导数在求函数嘚单调区间、极值、最值、证明中嘚应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数嘚内容，在2000年开始嘚新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本嘚，以后逐渐加深，考查嘚基本原则是重点考查导数嘚概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格嘚逻辑证明。
本部分嘚要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数嘚概念，求导嘚公式和求导法则；第二层次是导数嘚简单应用，包括求函数嘚极值、单调区间、证明函数嘚增减性等；第导数定义 导数嘚几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数嘚导数 导数嘚应用 导数嘚实际背景 判断函数 嘚单调性 求函数嘚 极大(小)值 求函数嘚 最大(小)值基本求 导公式三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数嘚单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛嘚实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题嘚方法，这类问题用传统教材是无法解决嘚。
选修1-1第三章-导数及其应用导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组§3.1.1 变化率问题【使用课时】：1课时【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】：一、课前准备（预习教材P 72~ P 74，找出疑惑之处） 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πVV r =在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________问题3 平均变化率 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑hto同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容二、新课导学学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆= 例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]沈丘三高高二数学导学案编写人：周方 审稿人：高二数学组§3.1.2 导数的概念【使用课时】：1课时【学习目标】：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义； 2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 【学习重点】：导数概念的形成，导数内涵的理解 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 74~ P 76，找出疑惑之处）复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4Vr V π=，求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即tsv x ∆∆=→∆0lim=___________________ ()105.69.42++-=t t t h0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东 审稿人：高二数学组§3.1.3 导数的几何意义【使用课时】：1课时【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 76~ P 79，找出疑惑之处）1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 .（2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= . 二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义1.曲线的切线及切线的斜率图3.1-2（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？(4)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？（2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？3.导函数（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？区别： 联系：典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)当堂检测1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.2. 求2y x =在点1x =处的导数.※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()limx t y v f x x∆→∆'==∆ 而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，其切线方程为三、课后练习与提高1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 2 3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组§3.2.1几个常用函数导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1.握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题 【学习重点】：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 81~ P 82，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ∆= （2）求平均变化率yx∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim =二、新课导学学习探究 探究任务一：1．利用导数定义求函数()y f x c ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数.5．利用导数定义求函数y =.6．你能从一般角度推广函数*()()n y f x x n Q ==∈的导数吗？探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.当堂检测练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x =学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.沈丘三高高二数学导学案编写人：周方 审稿人：高二数学组§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【使用课时】：1课时 【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 83~ P 84，找出疑惑之处） 1．基本初等函数的导数公式表函数导数 y c =*()()n y f x x n Q ==∈sin y x =cos y x =()x y f x a == ()x y f x e ==2.导数的运算法则（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ） 二、新课导学学习探究(完成课前准备)典型例题例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）分析：商品的价格上涨的速度就是：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？ 当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、课后练习与提高1. 函数1y x x =+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos xy x =的导数是（ ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +-4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A 18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n +D 17.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为------------------- 8. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x = 9.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.12. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东 审稿人：高二数学组§3.3.1函数的单调性与导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【学习重点】：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 89~ P 93，找出疑惑之处）复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；二、新课导学学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数； 在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？典型例题例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.当堂检测.求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.学习小结用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的定义域；②求函数f (x )的导数()f x '.③令()0f x '=，求出全部驻点；④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组§3.3.2函数的极值与导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【学习重点】：利用导数求函数的极值 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 二、新课导学学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值 (2)a ，b ，c 的值.o 1 2 y小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.变式2：已知函数32=--+.()3911f x x x x（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.沈丘三高高二数学导学案编写人：周方审稿人：高二数学组§3.3.3函数的最大（小）值与导数【使用课时】：1课时【学习目标】：⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.【学习重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P96~ P98，找出疑惑之处）复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗最大值，最小值呢在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . 新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.试试：上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.典型例题例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值小结：求最值的步骤（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1；图图若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.变式：设213a <<，函数323()2f x x axb =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东 审稿人：高二数学组§3.4生活中的优化问题举例（1）【使用课时】：1课时【学习目标】：1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【学习重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P 101~ P 102，找出疑惑之处）复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π上的最大值为_____；最小值为_______. 二、新课导学学习探究探究任务一：优化问题问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为,(0,0.048)x x ∈，写出贷款量()g x 及他应支付的利息()h x ；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？新知：生活中经常遇到求 、 、等问题，这些问题通常称为优化问题.试试：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大最大容积是多少反思：利用导数解决优化问题的实质是 .典型例题例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm ，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a2m，为使所用材料最省，底宽应为多少？例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是2分，其中r是0.8r瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。
