2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用复习导学案 理新人教A版选修1-1.doc

高中数学《第三章导数及其应用》复习学案新人教A版选修一、知识点梳理（1）平均变化率：对于一般的函数，在自变量从变化到的过程中，若设, 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或（3）导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的。

基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内、说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数、（6）求解函数单调区间的步骤：（7）求可导函数f(x)的极值的步骤: 注：列成表格后，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（8）函数的最值：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有、二、典型例题1、曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A、y＝x－2B、y＝－3x＋2C、y＝2x－3D、y＝－2x＋12、函数在区间 ( )(A)上单调递减 (B)上单调递减 (C)上单调递减 (D)上单调递增3、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；4、函数的一个单调递增区间是（）(A)(B)(C)(D)5、函数的极值是6、已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下，则( )A、函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C、函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D、函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点7、求函数y=x2（x－3）的减区间8、函数的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数的值、（Ⅱ）求的单调区间、9、已知在时取得极值，且、Ⅰ、试求常数a、b、c的值；Ⅱ、试判断是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由、。

知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。

2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。

第三章《函数的应用(复习)》导学案【学习目标】1. 祐会扁薮的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 结合实际问题，感受运用甫数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科小的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会屮的简单问题.【知识链接】(复习教材“6〜戸】3,找出疑惑之处)复习1：函数零点存在性定理.如果函数y = f(x)在区间［d,勿上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 _______________ ,那么，函数y = /(x).在区间(a,b)内有零点.复习2：二分法基本步骤.①确定区间［a,b］,验证＜ 0 ,给定精度£；②求区间(a,b)的中点片；③计算/(X,)：若/(%,) = 0.,则西就是函数的零点;若/(a)q/a)vo,则令“斗(此时零点x o G ):若/(%,)0/'(/2)＜0,则令a = X、(此时零点x o G (XpZ?)):④判断是否达到精度£ ；即若|°-纠＜£,则得到零点零点值"(或小；否则重复步骤②〜④.复习3：函数建模的步骤.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据一画散点图f选择函数模型f求函数模型f检验一符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.【学习过程】探典型例题例1、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速査出故障所在？如果沿着线路一小段一小段査找，困难很多.每査一个点耍爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆子呢.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50~100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？例2、某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少丄，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今20后20年内，每年盈利都比上-•年增加丄，若b =(兰)0,问该企业今后20年内，哪一年盈利最19 20少是多少万元.例3、将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表:(1)(2) 建立一个能基本反映该变化过程的水温y (°C)关于时间x(s)的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.(3) 水杯所在的室内温度为18°C,根据所得的模型分析，至少经过儿分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10°C?对此结果，你如何评价？探动手试试练1.某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/ 小时，燃料费用是每小时20元，其余费用(不论速度如何)都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？练2・某种商品定价为每件60元，不加收附加税时，每年销售80万件，若政府征收附加税，每销2（）售100元要征税p元，即税率为P%,因此每年销售将减少丰〃万件.（1）将政府每年对该商晶征收的总税金y（万元）表成"的函数，并求出定义域；（2）要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元，税率卩％应怎样确定；（3）在所收税金不少于128万元前提下，要让厂家获得最大销售金额，如何确定〃值.【学习反思】探学习小结零点存在定理及二分法；函数建模.探知识拓展数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。

3.4　函数的应用(一)课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.教材知识探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.年份201520162017销量/万辆81830问题1　在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？问题2　如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？问题3　依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？提示　1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.1.常见的函数模型常见函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)幂函数模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)2.解决函数应用问题的步骤(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.(2)这些步骤用框图表示如图：教材拓展补遗[微判断]1.当x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则y 是x 的一次函数.( )2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y (℃)随着时间t (min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：√(1)前5分钟温度增加越来越快.( )(2)前5分钟温度增加越来越慢.( )(3)5分钟后温度保持匀速增加.( )(4)5分钟后温度保持不变.()×√×√[微训练]1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.解析　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0<x≤10.答案　y＝20－x(0<x≤10)答案　2 500[微思考]一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？提示　一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝ax n＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.题型一　一次函数模型函数的图象确定了函数的类型【例1】　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.规律方法　在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.【训练1】　某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析　设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，题型二　幂函数与二次函数模型【例2】　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？(1)解析　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.答案　125(2)解　①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，y max＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.规律方法　1.幂函数应用的常见题型(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练2】　据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？(2)设最大利润为Q(x)，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.的最大值与最小值.日销售额y解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，∴y max＝1 225(当t＝5时取得)，y min＝1 200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，∴y max＝1 200(当t＝10时取得)，y min＝600(当t＝20时取得).由①②知y max＝1 225(当t＝5时取得)，y min＝600(当t＝20时取得).规律方法　应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练3】　某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (t ∈N ＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (t ∈N ＋)(天)之间的关系如下表：(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；t /天5102030Q /件35302010(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).解　(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为)，Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋(3)由题意当0<t<25，t＝10时，y max＝900，当25≤t≤30，t＝25时，y max＝(25－70)2－900＝1 125.∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元.一、素养落地1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.二、素养训练1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )A.y＝2tB.y＝120tC.y＝2t(t≥0)D.y＝120t(t≥0)解析　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).答案　D2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码220225230235240245250255260265实际标准(mm)中国鞋码34353637383940414243习惯叫法(号)习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米( )A.150B.200C.180D.210解析　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码.则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.答案　B3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A.2 800元B.3 000元C.3 800元D.3 818元令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800，令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C.答案　C4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.解析　设矩形的一边长为x m，当x＝3 m时，S最大＝9 m2.答案　9本节内容结束。

3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图3­1­5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图3­1­5A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图3­1­6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图3­1­6[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图3­1­7所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图3­1­7k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图3­1­8所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图3­1­8[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。

基础知识整合１．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为错误!优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．２．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：３．不等式问题（１）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（２）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．１．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．２．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．１．（２0１9·四川南充一诊）若函数f（x）＝x３＋x２—ax—４在区间（—１,１）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）Ａ．（１,５）Ｂ．[１,５）Ｃ．（１,５] Ｄ．（—∞，１）∪（５，＋∞）答案A解析由题意知f′（x）＝３x２＋２x—a＝0在区间（—１,１）内恰有一根（且在根两侧f′（x）异号）⇔f′（１）·f′（—１）＝（５—a）（１—a）<0⇔１<a<５．故选Ａ．２．（２0１9·湖北襄阳模拟）函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）>２，则f （x）>２x＋４的解集为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）答案B解析由f（x）>２x＋４，得f（x）—２x—４>0．设F（x）＝f（x）—２x—４，则F′（x）＝f′（x）—２．因为f′（x）>２，所以F′（x）>0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，而F（—１）＝f （—１）—２×（—１）—４＝２＋２—４＝0，故不等式f（x）—２x—４>0等价于F（x）>F（—１），所以x>—１．故选Ｂ．３．若函数f（x）＝x３—３x＋a有３个不同的零点，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—２,２）Ｂ．[—２,２]Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（１，＋∞）答案A解析f′（x）＝３x２—３，令f′（x）＝0，∴x＝±１．三次方程f（x）＝0有３个根⇔f（x）极大值>0且f（x）极小值<0．∵x＝—１为极大值点，x＝１为极小值点．∴错误!∴—２<a<２．４．（２0１9·沈阳模拟）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x—１）·f′（x）≥0，则必有（）Ａ．f（0）＋f（２）<２f（１）Ｂ．f（0）＋f（２）≤２f（１）Ｃ．f（0）＋f（２）≥２f（１）Ｄ．f（0）＋f（２）>２f（１）答案C解析由题设，f（x）为R上任意可导函数，不妨设f（x）＝（x—１）２，则f′（x）＝２（x—１），满足（x—１）·f′（x）＝２（x—１）２≥0，且f（0）＝１，f（１）＝0，f（２）＝１，则有f（0）＋f（２）>２f（１）；再设f（x）＝１，则f′（x）＝0，也满足（x—１）·f′（x）≥0，且有f（0）＋f（２）＝２f（１），即１＋１＝２×１．５．（２0１9·贵阳模拟）若关于x的不等式x３—３x２—9x＋２≥m对任意x∈[—２,２]恒成立，则m 的取值范围是（）Ａ．（—∞，7] Ｂ．（—∞，—２0]Ｃ．（—∞，0] Ｄ．[—１２,7]答案B解析令f（x）＝x３—３x２—9x＋２，则f′（x）＝３x２—6x—9，令f′（x）＝0，得x＝—１或３．因为f（—１）＝7，f（—２）＝0，f（２）＝—２0，所以f（x）的最小值为f（２）＝—２0，故m≤—２0．6．已知a≤错误!＋ln x对任意的x∈错误!恒成立，则a的最大值为________．答案0解析令f（x）＝错误!＋ln x，f′（x）＝错误!，当x∈错误!时，f′（x）<0，当x∈（１,２]时，f′（x）>0，∴f（x）min＝f（１）＝0，∴a≤0，故a的最大值为0．核心考向突破考向一导数与方程例１（２0１9·陕西汉中模拟）已知函数f（x）＝错误!（其中e≈２．7１8…为自然对数的底数）．（１）若F（x）＝f（x）—f（—x），求F（x）的单调区间；（２）若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解（１）由题意知，F（x）＝f（x）—f（—x）＝错误!—错误!，所以F′（x）＝错误!＋xex＝x错误!.当x<0时，ex—错误!<0，所以x错误!>0，即F′（x）>0，当x＝0时，F′（x）＝0，当x>0时，ex—错误!>0，即F′（x）>0，所以F′（x）≥0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，所以F（x）＝f（x）—f（—x）在R上单调递增，即F（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞），无单调递减区间．（２）因为f（x）＝错误!，所以f′（x）＝错误!，当x<0时，f′（x）>0，当x＝0时，f′（x）＝0，当x>0时，f′（x）<0，故函数f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝0处取得最大值，且f（0）＝１，当x趋近于—∞时，f（x）趋近于—∞，当x趋近于＋∞时，f（x）趋近于0，故函数f（x）的大致图象如图所示，结合函数图象可知，当k≤0时，方程f（x）＝k错误!有且仅有一个实数根．当k>0时，设曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y—错误!＝—错误!（x—x0），且该直线过定点错误!，所以0—错误!＝—错误!错误!，解得x0＝—２（舍去）或x0＝—错误!，此时切线的斜率为错误!，数形结合可知，若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是错误!.触类旁通研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极最值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.错误!即时训练１．已知函数f（x）＝错误!＋（１—a）ln x＋ax，g（x）＝错误!—（a＋１）ln x＋x２＋ax—t （a∈R，t∈R）．（１）讨论f（x）的单调性；（２）记h（x）＝f（x）—g（x），若函数h（x）在错误!上有两个零点，求实数t的取值范围．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝—错误!＋错误!＋a＝错误!＝错误!.当a＝0时，f′（x）＝错误!，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１．所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增．当a≠0时，f′（x）＝错误!，１当a>0时，x＋错误!>0，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１，所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；２当a＝—１时，１＝—错误!，f′（x）＝错误!≤0，所以函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；３当—１<a<0时，１<—错误!，令f′（x）>0，则１<x<—错误!，令f′（x）<0，则0<x<１或x>—错误!，所以函数f（x）在区间（0,１）和错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；４当a<—１时，１>—错误!，令f′（x）>0，则—错误!<x<１，令f′（x）<0，则0<x<—错误!或x>１，所以函数f（x）在区间错误!和（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．综上，当a≥0时，函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；当a＝—１时，函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；当—１<a<0时，函数f（x）在区间（0,１），错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；当a<—１时，函数f（x）在区间错误!，（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．（２）h（x）＝f（x）—g（x）＝２ln x—x２＋t，定义域为（0，＋∞），则h′（x）＝错误!—２x＝错误!，当x∈错误!时，令h′（x）＝0，得x＝１，当错误!<x<１时，h′（x）>0；当１<x<e时，h′（x）<0，故h（x）在x＝１处取得极大值h（１）＝t—１．又h错误!＝t—２—错误!，h（e）＝t＋２—e２，所以h（x）在错误!上有两个零点的条件是错误!解得１<t≤２＋错误!，故实数t的取值范围是错误!.考向二导数与不等式角度错误!证明不等式例２（２0１9·银川模拟）已知函数f（x）＝（x＋b）（ex—a）（b>0）的图象在（—１，f（—１））处的切线方程为（e—１）x＋ey＋e—１＝0．（１）求a，b；（２）若m≤0，证明：f（x）≥mx２＋x.解（１）由题意知f（—１）＝0，f′（—１）＝—１＋错误!，所以f（—１）＝（—１＋b）错误!＝0，所以b＝１或a＝错误!，又f′（x）＝（x＋b＋１）ex—a，所以f′（—１）＝错误!—a＝—１＋错误!，若a＝错误!，则b＝２—e<0，与b>0矛盾，故a＝１，b＝１．（２）证法一：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，当x≤—２时，g′（x）＝（x＋２）ex—２≤—２<0，当x>—２时，令h（x）＝g′（x）＝（x＋２）ex—２，则h′（x）＝（x＋３）ex>0，故函数g′（x）在（—２，＋∞）上单调递增，又g′（0）＝0，综上，当x∈（—∞，0）时，g′（x）<0，当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>0，所以函数g（x）在区间（—∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增，故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.证法二：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx ２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，令t（x）＝g′（x），则t′（x）＝（x＋３）ex，当x<—３时，t′（x）<0，g′（x）单调递减，且g′（x）<0；当x>—３时，t′（x）>0，g′（x）单调递增，且g′（0）＝0．所以g（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（0）＝0．故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.触类旁通１利用导数方法证明不等式f x>g x在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x＝f x—g x，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h x>0，其中一个重要技巧就是找到函数h x在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.２若待证不等式两端式子较复杂，可通过分析法转化为形式较简单的不等式，再构造函数证明.即时训练２．（２0１9·石家庄模拟）已知函数f（x）＝λln x—e—x（λ∈R）．（１）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；（２）求证：当0<x１<x２时，e１—x２—e１—x１>１—错误!.解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），∵f（x）＝λln x—e—x，∴f′（x）＝错误!＋e—x＝错误!，∵函数f（x）是单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，１当函数f（x）是单调递减函数时，f′（x）≤0，∴错误!≤0，即λ＋xe—x≤0，λ≤—xe—x＝—错误!，令φ（x）＝—错误!，则φ′（x）＝错误!，当0<x<１时，φ′（x）<0，当x>１时，φ′（x）>0，则φ（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴当x>0时，φ（x）min＝φ（１）＝—错误!，∴λ≤—错误!；２当函数f（x）是单调递增函数时，f′（x）≥0，∴错误!≥0，即λ＋xe—x≥0，λ≥—xe—x＝—错误!，由１得φ（x）＝—错误!在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，又φ（0）＝0，x→＋∞时，φ（x）<0，∴λ≥0．综上，λ≤—错误!或λ≥0．（２）证明：由（１）可知，当λ＝—错误!时，f（x）＝—错误!ln x—e—x在（0，＋∞）上单调递减，∵0<x１<x２，∴f（x１）>f（x２），即—错误!ln x１—e—x１>—错误!ln x２—e—x２，∴e１—x２—e１—x１>ln x１—ln x２．要证e１—x２—e１—x１>１—错误!，只需证ln x１—ln x２>１—错误!，即证ln 错误!>１—错误!，令t＝错误!，t∈（0,１），则只需证ln t>１—错误!，令h（t）＝ln t＋错误!—１，则当0<t<１时，h′（t）＝错误!<0，∴h（t）在（0,１）上单调递减，又h（１）＝0，∴h（t）>0，即ln t>１—错误!，得证．角度错误!不等式恒成立问题例３（２0１9·大连模拟）已知函数f（x）＝（x—１）ex—ax２（e是自然对数的底数）．（１）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；（２）若对任意的x>0，f（x）＋ex≥x３＋x，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝xex—２ax＝x（ex—２a）．当a≤0时，由f′（x）<0得x<0，由f′（x）>0得x>0，∴f（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有１个极值点；当0<a<错误!时，由f′（x）>0得x<ln ２a或x>0，由f′（x）<0得0>x>ln ２a，∴f（x）在（—∞，ln ２a）上单调递增，在（ln ２a,0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，由f′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增，∴f（x）没有极值点；当a>错误!时，由f′（x）>0得x<0或x>ln ２a，由f′（x）<0得0<x<ln ２a，∴f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，ln ２a）上单调递减，在（ln ２a，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点．综上，当a≤0时，f（x）有１个极值点；当a>0且a≠错误!时，f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，f （x）没有极值点．（２）由f（x）＋ex≥x３＋x得xex—x３—ax２—x≥0．当x>0时，ex—x２—ax—１≥0，即a≤错误!对任意的x>0恒成立．设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!.设h（x）＝ex—x—１，则h′（x）＝ex—１．∵x>0，∴h′（x）>0，∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴h（x）>h（0）＝0，即ex>x＋１，∴g（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴g（x）≥g（１）＝e—２，∴a≤e—２，所以实数a的取值范围为（—∞，e—２]．触类旁通不等式恒成立问题的求解策略（１）已知不等式f（x，λ）≥0（λ为实参数）对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步：将原不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f１（λ）≥f２（x）或f１（λ）≤f２（x）的形式；第二步：利用导数求出函数f２（x）（x∈D）的最大（小）值；第三步：解不等式f１（λ）≥f２（x）max或f１（λ）≤f２（x）min，从而求出参数λ的取值范围．２如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法a>0，Δ<0或a<0，Δ<0求解.即时训练３．已知函数f（x）＝２（x—１）ln x＋a错误!，其中a∈R.（１）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（２）若对于任意x>0，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝２错误!，令g（x）＝２错误!，则g′（x）＝２错误!>0，所以可得g（x）单调递增，即f′（x）单调递增，而f′（１）＝0，则在区间（0,１）上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；在区间（１，＋∞）上，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．所以当a＝0时，函数f（x）的单调递减区间为（0,１），单调递增区间为（１，＋∞）．（２）f（x）＝（x—１）错误!，令h（x）＝２ln x＋a·错误!，可知h（１）＝0，h′（x）＝错误!（x>0），令φ（x）＝ax２＋２x＋a，１当a≤—１时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）≤0，所以函数h（x）单调递减．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）<0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0，符合题意．２当a≥0时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）>0，h（x）单调递增．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）<0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）>0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0不恒成立．３当—１<a<0时，研究函数φ（x）＝ax２＋２x＋a，可知φ（１）>0，其图象的对称轴x＝—错误!>１，那么φ（x）在区间错误!上大于0，即h′（x）在区间错误!上大于0，所以h（x）在区间错误!上单调递增，此时h（x）>h（１）＝0，可知当x∈（１，＋∞）时，f（x）>0，不符合题意．综上，可知符合题意的实数a的取值范围为（—∞，—１]．角度错误!赋值法证明正整数不等式例４（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—aln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．解（１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋aln ２＜0，所以不满足题意．２若a＞0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，a）单调递减，在（a，＋∞）单调递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）上的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x＞0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．触类旁通证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的函数进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，对其求导就是错误的.本例２就是利用了１问的结论，构造了函数的不等关系，再对其中的自变量赋值，令，可得到解题的基本思路.即时训练４．（２0１9·合肥模拟）已知函数f（x）＝ln x—ax＋１．（１）若曲线y＝f（x）在点A（１，f（１））处的切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，求a的值；（２）若f（x）≤0恒成立，试确定实数a的取值范围；（３）证明：ln （n＋１）>错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!—a，f（１）＝ln １—a＋１＝１—a，f′（１）＝１—Ａ．故切线l的方程为y—（１—a）＝（１—a）（x—１），即y＝（１—a）x.因为切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，所以４×（１—a）＋３×（—１）＝0，解得a＝错误!.（２）若a≤0，则f′（x）＝错误!—a>0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．而f（１）＝１—a>0，f（x）≤0不恒成立．若a>0，则当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a>0；当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a<0．所以f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．所以f（x）的最大值为f错误!＝—ln Ａ．要使f（x）≤0恒成立，则—ln a≤0，所以a≥１．故实数a的取值范围是[１，＋∞）．（３）证明：由（２）知，当a＝１时有f（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，且f（x）在（0,１）上是增函数，f（１）＝0，所以ln x<x—１在x∈（0,１）上恒成立．令x＝错误!，则ln 错误!＜错误!—１＝—错误!，令n＝１,２，…，n，则有ln 错误!＜—错误!，ln 错误!＜—错误!，ln错误!＜—错误!，…，ln 错误!＜—错误!，以上各不等式两边分别相加，得ln 错误!＋ln 错误!＋…＋ln 错误!＜—错误!，即ln 错误!＜—错误!，故ln （n＋１）＞错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．考向三导数与优化问题例５（２0１8·江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为４0米，点P到MN的距离为５0米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.（１）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（２）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解（１）设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝１0米．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝４0cosθ米，EC＝４0sinθ米，则矩形ABCD的面积为２×４0cosθ（４0sinθ＋１0）＝800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为错误!×２×４0cosθ（４0—４0sinθ）＝１600（cosθ—sinθcosθ）平方米．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝１0米．令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝错误!，θ0∈错误!.当θ∈错误!时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是错误!.答：矩形ABCD的面积为800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为１600（cosθ—sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是错误!.（２）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３，所以设甲的单位面积的年产值为４k，乙的单位面积的年产值为３k（k>0）．则年总产值为４k×800（４sinθcosθ＋cosθ）＋３k×１600×（cosθ—sinθcosθ）＝8000k（sinθcosθ＋cosθ），θ∈错误!.设f（θ）＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈错误!.则f′（θ）＝cos２θ—sin２θ—sinθ＝—（２sin２θ＋sinθ—１）＝—（２sinθ—１）（sinθ＋１），令f′（θ）＝0，得θ＝错误!，当θ∈错误!时，f′（θ）>0，所以f（θ）为增函数；当θ∈错误!时，f′（θ）<0，所以f（θ）为减函数，因此，当θ＝错误!时，f（θ）取到最大值．答：当θ＝错误!时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．触类旁通利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点．即时训练５．（２0１9·山东潍坊模拟）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为错误!（升），在水底作业１0个单位时间，每单位时间用氧量为0．9（升），返回水面的平均速度为错误!（米/单位时间），每单位时间用氧量为１．５（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（１）求y关于v的函数关系式；（２）若c≤v≤１５（c>0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．解（１）由题意，下潜用时错误!（单位时间），用氧量为错误!×错误!＝错误!＋错误!（升）；水底作业时的用氧量为１0×0．9＝9（升）；返回水面用时错误!＝错误!（单位时间），用氧量为错误!×１．５＝错误!（升），∴总用氧量y＝错误!＋错误!＋9（v>0）．（２）y′＝错误!—错误!＝错误!，令y′＝0得v＝１0错误!.当0<v<１0错误!时，y′<0，函数单调递减；当v>１0错误!时，y′>0函数单调递增．∴当0<c<１0错误!时，函数在（c,１0错误!）上单调递减，在（１0错误!，１５）上单调递增，∴当v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!时，函数在[c,１５]上单调递增，此时v＝c时，总用氧量最少．综上可知，当0<c<１0错误!，v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!，v＝c时，总用氧量最少．（２0１9·兰州模拟）设f（x）＝错误!＋xln x，g（x）＝x３—x２—３．（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．解（１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]max≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.由g′（x）＞0得x＜0或x＞错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在错误!上是单调递减函数，在错误!上是单调递增函数，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，g（x）max＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]max＝g（x）max—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在错误!上，函数f（x）min≥g（x）max.由（１）可知在错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在错误!上，f（x）＝错误!＋xln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，则h′（x）＝１—２xln x—x，令φ（x）＝１—２xln x—x，φ′（x）＝—（２ln x＋３），当x∈错误!时，φ′（x）<0，可知h′（x）在错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在错误!上单调递增，在[１,２]上单调递减，所以h（x）max＝h（１）＝１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．答题启示双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法．（１）∀x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]max.（２）∃x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]max>[f２（x２）]min.（３）∀x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]min.（４）∃x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x）]max>[f２（x）]max.（５）∃x１∈[a，b]，x２∈[c，d]，使f１（x１）＝f２（x２）⇔f１（x）的值域与f２（x）的值域交集不为∅.对点训练已知函数f（x）＝ln x—ax＋错误!—１（a∈R）．（１）当a＝１时，证明：f（x）≤—２；（２）设g（x）＝x２—２bx＋４，当a＝错误!时，若∀x１∈（0,２），∃x２∈[１,２]，f（x１）≥g（x ２），求实数b的取值范围．解（１）当a＝１时，f（x）＝ln x—x—１，则f′（x）＝错误!—１，所以当x∈（0,１）时，f′（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0，所以f（x）在（0,１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（１）＝—２，故f（x）≤—２．（２）依题意得f（x）在（0,２）上的最小值不小于g（x）在[１,２]上的最小值，即f（x）min≥g（x）min.当a＝错误!时，f（x）＝ln x—错误!x＋错误!—１，所以f′（x）＝错误!—错误!—错误!＝—错误!，当0<x<１时，f′（x）<0，当１<x<２时，f′（x）>0，所以f（x）在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x∈（0,２）时，f（x）min＝f（１）＝—错误!.又g（x）＝x２—２bx＋４，x∈[１,２]，１当b<１时，易得g（x）min＝g（１）＝５—２b，则５—２b≤—错误!，解得b≥错误!，这与b<１矛盾；２当１≤b≤２时，易得g（x）min＝g（b）＝４—b２，则４—b２≤—错误!，所以b２≥错误!，这与１≤b≤２矛盾；３当b>２时，易得g（x）min＝g（２）＝8—４b，则8—４b≤—错误!，解得b≥错误!.综上，实数b的取值范围是错误!.。