成都七中高2015级高二(下)第四周数学考试试题(理)

2015-2016学年四川省成都七中高二下期中考试数学（理）试题一、选择题1．椭圆22125x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．3 【答案】C【解析】试题分析：10221==+a PF PF ，所以42=PF ,故选C. 【考点】椭圆的定义2．以下各点，在曲线2210x xy y -++=上的点为（ ） A ．(2,3)- B ．(3,10) C ．(1,0) D ．(2,2) 【答案】B【解析】试题分析：将各点代入只有01102103-32=+⨯+⨯，故选B. 【考点】曲线与方程3．双曲线222x y -=-的离心率为（ ）A ．2 D ．【答案】A【解析】试题分析：化简为双曲线的标准方程是12222=-x y ，为等轴双曲线，所以离心率2==ace ，故选A. 【考点】双曲线的性质4．焦点为(2,0)的抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x = B ．28y x = C ．24y x = D ．22y x = 【答案】B【解析】试题分析：2=p ，并且焦点在x 轴，所以抛物线的标准方程是x y 82=，故选B.【考点】抛物线方程5．方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)(1,)-∞--+∞B ．(2,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(2,1)-- 【答案】D【解析】试题分析：方程若表示双曲线，则()()012<++m m ，解得12-<<-m ，故选D.【考点】双曲线方程6．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是（ ）A ．或(6,-B ．或(4,-C ．(3,6)或(3,6)-D ．或(9,- 【答案】A【解析】试题分析：设点的横坐标为0x ，那么93200=+=+x px ，解得60=x ，代入抛物线方程得到726122=⨯=y ，解得26±=y ，故选A. 【考点】抛物线的几何性质 7．短轴长等于8，离心率等于35的椭圆的标准方程为（ ） A ．22110064x y += B ．22110064x y +=或22164100x y += C ．2212516x y += D ．2212516x y +=或2211625x y += 【答案】D【解析】试题分析：82=b ，4=b ，53=a c ，解得162=b ，252=a ，若焦点在x 轴，那么方程是1162522=+y x ，若焦点在y 轴，那么方程是1251622=+y x ，故选D. 【考点】椭圆的标准方程8．若(2,2)C --，0CA CB ⋅=，且直线CA 交x 轴于A ，直线CB 交y 轴于B ，则线段AB 中点M 的轨迹方程是（ ）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --= 【答案】A【解析】试题分析：设()y x M ,，那么()0,2x A ，()y B 20，，()2,22+=x ，()222+=y ，，而根据条件可得()()0222222=+++y x ，化简为：02=++y x ，故选A.【考点】1.轨迹法；2.向量数量积.9．已知集合{(,)|(,)0}C x y f x y ==，若对于任意11(,)x y C ∈，存在22(,)x y C ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合C 是“好集合”. 给出下列4个集合：221{(,)|9}C x y x y =+=，222{(,)|9}C x y x y =-=，223{(,)|29}C x y x y =+=，24{(,)|9}C x y x y =+=，其中为“好集合”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】试题分析：将问题转化为设()11,y x A ，()22,y x B ，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，1C 表示圆，满足条件，2C 表示等轴双曲线，渐近线互相垂直，那么对于曲线上的任一点A,都不会存在点B,满足OB OA ⊥，3C 是椭圆，对于椭圆上的任一点A,总存在点B,满足OB OA ⊥，4C 是开口向下的抛物线，同样满足条件，故满足条件的有431,,C C C ,故选C.【考点】1.曲线与方程；2.新定义.【思路点睛】主要考察了曲线与方程，属于基础题型，这类新定义问题，是我们一部分学生的难点，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，明白题意后，我们只需画出方程的曲线，直接判定即可,所以对于新定义的问题，认真审题是关键.10．若直线10x y +-=与抛物线22y x =交于,A B 两点，则点(1,0)M 到,A B 两点的距离之积为（ ）A ．．．4 D ．2 【答案】D【解析】试题分析：⎩⎨⎧==-+2201x y y x 联立方程得到：0122=-+x x ，解得11-=x 或212=x ，那么设()21，-A ,⎪⎭⎫⎝⎛21,21B ,根据两点间距离()()()22201122=-+--=MA ,2221021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MB ,那么2=MB MA ,故选D.【考点】直线与抛物线相交的基本问题11．经过双曲线221916x y -=右焦点F 的直线l 交双曲线于,A B 两点，点M 是直线95x =上任意一点，直线,,MA MF MB 的斜率分别为123,,k k k ，则（ ） A ．132k k k += B ．1322k k k += C ．132k k k = D ．2132k k k =【答案】B【解析】试题分析：()05，F ，设直线l 的方程为5+=my x ，代入双曲线方程14491622=-y x ，可得()025*********=++-my y m ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则916160221--=+m m y y ，916256221-=m y y ， 设⎪⎭⎫ ⎝⎛t M ,59，可得1655592t t k -=-=，()()25256516532516251651659592121221212211221131+++-+⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-++-=--+--=+y y m y y m ty y m t y m y m y t y m y t y x t y x t y k k ，代入韦达定理，可得()()()859162525625622569165321605162562222231t m m m m t m m t m k k -=-⨯+⨯--⨯--⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯=+，所以2312k k k =+，故选B.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.韦达定理.【一题多解】本题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题型，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题，主要考察了直线与双曲线联立，韦达定理，以及代数式的化简能力，计算量比较大，比如本题的方法，或是选择特殊直线和特殊点，比如，直线选择5=x 或是0=y 与双曲线相交于两点，点M 可以是⎪⎭⎫⎝⎛059，或⎪⎭⎫ ⎝⎛159，，代入可得斜率，即可得到选项，这样在考试时避免了大量的计算，快速选出选项.12．已知椭圆2212x y +=，过右焦点F 作一条与x 轴不垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中垂线分别交直线2x =-和AB 于,P C ，则||||PC AB 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．1[,5)2 D ．3[,)2+∞ 【答案】A【解析】试题分析：有直线AB 与x 轴不垂直，设直线方程为：()1-=x k y ，()11,y x A ，()22,y x B ，将直线方程代入椭圆方程可得，()()0124212222=-+-+k x k x k ，则2221214k k x x +=+，()22212112k k x x +-=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+22221,212k k k k C ，()()222122122112241kk x x x x k AB ++=-+⋅+=，若0=k ，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，若0≠k ，那么直线⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++222212121k k x k k k y ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-222152,2k k k P ，()()222221113211k k k k x x k PC P C +++=-⋅+=，42442422231622*********k k k k k k k kk k ABPC +++=+++=++=，由()42431kk k k f ++=，令2k t =， ()()03122>++=t t t t t g ，()()()()22231t t t t t g ++-='，令()0='t g ，可得1=t ，当1>t 时，()0>'t g ，()t g 单调递增，当10<<t 时，()0<'t g ，()t g 单调递减，当1=t 即1±=k 时，()t g 取得极小值，也为最小值2，()2≥k f ，所以22622=+≥ABPC ,故选A.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.导数与最值.【方法点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用导数求函数的最值，换元等综合问题的考察，属于压轴题，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题计算量则比较大，本题入手同样是设直线，得到弦长公式，以及韦达定理，同时根据交点得到两点间的距离，将ABPC 表示为k 的函数，再通过换元化简，根据导数求函数的最值.二、填空题13．点M 的极坐标5(4,)6π化成直角坐标的结果是 .【答案】(-【解析】试题分析：2365cos 4cos -=⨯==πθρx ，265sin 4sin =⨯==πθρy ，故填：(-.【考点】极坐标与直角坐标的互化14．方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示曲线的准线方程是 .【答案】14y =-【解析】试题分析：()y x =+=+=θθθ2sin 1cos sin 22，所以曲线方程是y x =2，[]2,2-∈x ，那么准线方程是41-=y .【考点】参数方程与普通方程的互化15．已知圆锥曲线221x ay +=的一个焦点坐标为F ，则该圆锥曲线的离心率为 .【答案】3或5【解析】试题分析：当0>a 且1≠a 时，曲线为椭圆，并且焦点在x 轴，标准方程为：1122=+ay x ，那么aa 41-1=，解得5=a ，那么离心率552=e ，当0<a 时，曲线为焦点在y 轴的双曲线，表示方程为：11--22=ay x ，那么a a 41-1-=，解得3-=a ，那么离心率332=e ，故填：552=e 或332=e . 【考点】1.圆锥曲线方程；2.圆锥曲线的性质.【易错点睛】考察了圆锥曲线的性质，属于基础题型，当出现曲线方程时，会误认为其是椭圆方程，这样就会出现丢解的情况，条件出现焦点坐标F ，表示焦点落在x 轴，方程里的a 可以表示正数，也可以表示负数，引导着我们对a 进行分情况讨论，得到结果.16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若DN DM λ= ，则λ的取值范围是513λ<≤；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l的斜率为±；④若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，点,M N 变成'',M N ，曲线E 与y 轴交于点,P Q ，则直线'PN 与'QM 的交点必在一条定直线上.其中正确的序号是 . 【答案】①④【解析】试题分析：①根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，所以351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ;②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k kx x +-=+①，2214160kx x +=②，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，设()()2211,,,y x N y x M ，()112,y x M '，()222,y x N '，()2,0P ,()20-，Q ,得到直线22222+-='x x y y l N P ：，222:11-+='x x y y l M Q ，两式变形得到11221122+⨯-=+-y x x y y y ()()122211212112535353x k x k x x kx x x kx x kx x kx ++=++=++=③，由以上根与系数的关系①/②得到k x x 1581121-=+代入③得到5322-=+-y y ，解得21=y ，故交点在一条直线21=y 上，正确.故填：①④. 【考点】1.命题；2.圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于高档题型，比较好判断中间两个命题，而对于第一个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，因为有两个交点，所以1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问.三、解答题17．甲、乙两人各掷一枚骰子，试解答下列各问： （1）列举所有不同的基本事件；（2）求事件“向上的点数之差为3”的概率； （3）求事件“向上的点数之积为6”的概率. 【答案】(1)详见解析；（2）61；（3）91. 【解析】试题分析：(1)每掷一个骰子有6种不同的数字，两个骰子就有3666=⨯种不同的情况组合，以()y x ,的形式列举所有的情况；（2）求3=-y x 所包含的基本事件的个数，并求其概率；（3）求6=xy 所包含的基本事件的个数，并求其概率. 试题解析：（1）共有36个不同的基本事件，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).（2）组成事件“向上的点数之差为3”的基本事件有(1,4),(2,5),(3,6). (6,3),(5,2),(4,1)共6种.∴向上的点数之差为3的概率为61 366=.（3）组成事件“向上的点数之积为6”的基本事件有(2,3),(3,2),(1,6),(6,1)共4种.∴向上的点数之积为6的概率为41 369=.【考点】1.列举法求基本事件；2.古典概型.18．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的实轴长为，一个焦点的坐标为(.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于,A B两点，且||4AB=，求直线l的方程.【答案】（1）12322=-yx；（2）23y x=+或23y x=-.【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道322=a，5=c；（2）设直线方程mxy+=2，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式2121xxkAB-+=，求出直线方程.试题解析：（1）由2a=a=c=∴2222b c a=-=，∴双曲线C的方程为22132x y-=.（2）设直线l的方程为2y x m=+，1122(,),(,)A x yB x y，由222132y x mx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2210123(2)0x mx m+++=，∴224(10)0m∆=->，得||m∴弦长||4AB==，解得m=∴直线l的方程为2y x =+或2y x = 【考点】1.双曲线的定义；2.弦长公式.【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式2121x x k AB -+=()21221241x x x x k -++=，或是21211y y k AB -+=，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数. 19．已知P 为抛物线26y x =上一点，点P 到直线:34260l x y -+=的距离为1d . （1）求1d 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）若点P 到抛物线的准线的距离为2d ，求12d d +的最小值. 【答案】（1）当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =；（2）12min () 6.1d d +=.【解析】试题分析：(1)表示点P 到直线l 的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点P 的坐标，（2）将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离，根据图像分析，21d d +的最小值就是点F 到直线的距离.试题解析：（1）设20(,)6y P y ，则2002101|426|12|(4)36|510y y d y -+==-+，当04y =时，1min() 3.6d =，此时200863y x ==， ∴当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =.（2）设抛物线的焦点为F ，则3(,0)2F ，且2||d PF =， ∴121||d d d PF +=+，它的最小值为点F 到直线l 的距离9|26|2 6.15+=.∴12min () 6.1d d +=.【考点】抛物线的几何性质【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值，属于基础题型，当涉及直线上的点到抛物线px y 22=距离的最小值问题，法一，设点的坐标，代入点到直线的距离，转化为关于坐标的函数，根据函数特点求最值，法二，设与已知直线平行的直线，当直线与抛物线相切时，这时切点到直线的距离最小，所以可以令直线方程与抛物线方程联立，令0=∆，求出参数，即切线方程，再求切点；若是到py x 22=的距离的最小值，可以写成221x py =，设切点坐标，利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率，求切点坐标，对于第二问的最值问题，可以根据抛物线的几何意义转化，将到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离.20．在一个盒子中装有6枚圆珠笔，其中4枚一等品，2枚二等品，从中依次抽取2枚，求下列事件的概率. （1）恰有一枚一等品； （2）有二等品. 【答案】(1)158;(2)53. 【解析】试题分析：法一：先将圆珠笔编号，抽取两枚，用()y x ,表示抽取的编号，（1）恰有一枚一等品，表示一枚一等品，一枚二等品，通过列举法求其基本事件的个数，最后除以总的基本事件的个数，（2）有二等品，表示有一个二等品或有两个二等品，也同样列举事件所表示的基本事件的个数，法二：也可用组合数表示以上事件包含的基本事件的个数.试题解析：解法一：把每枚圆珠笔上号码，一等品分别记作,,,A B C D ，二等品分别记作,E F .依次不放回从盒子中取出2枚圆珠笔，得到的两个标记分别为x 和y ，则(,)x y 表示一次抽取的结果，即基本事件. 由于是随机抽取，所以抽取到任何事件的概率相等. 用M 表示“抽到的2枚圆珠笔中有二等品”， 1M 表示“仅第一次抽取的是二等品”， 2M 表示“仅第二次抽取的是二等品”， 3M 表示“两次抽取的都是二等品”. 1M 和2M 中的基本事件个数都为8，3M 中的基本事件为2，全部基本事件的总数为30. （1）由于1M 和2M 是互斥事件，记12N M M = ， ∴恰有一枚一等品的概率12888()()()303015P N P A P A =+=+=. （2）由于1M ，2M 和3M 是互斥事件，且123M M M M = ， ∴1238823()()()()3030305P M P M P M P M =++=++=. 解法二：（1）恰有一枚一等品的概率1142126815C C P C ==. （2）有二等品的概率11242222635C C C P C +==，或24226231155C P C =-=-=. 【考点】古典概型21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图像关于y 轴对称且经过点(2,1)M . （1）求抛物线C 的方程；（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；（3）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,M AM B所在直线的斜率分别为12,k k ，当122k k =-时，试证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)y x 42=；（2）348=S ；（2）定点()9,2-，证明详见解析.【解析】试题分析：(1)根据对称轴和点的位置，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，代入点M 的坐标，得到抛物线方程；（2）设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ，根据OQ OP =,可得到P 与Q 关于x 轴对称，这样得到点的横坐标和纵坐标的关系，代入抛物线方程后，得到点的坐标，并计算面积；（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，用坐标表示221-=k k ，并得到12122()36x x x x =-+-和AB k ,根据以上两点，化简直线AB 方程，得到定点坐标.试题解析：（1）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>， 由点(2,1)M 在抛物线C 上，得42p =，则2p =. ∴抛物线C 的方程为24x y =.（2）设该等边三角形OPQ 的顶点,P Q 在抛物线上，且(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ， 则24p p x y =，24Q Q x y =，由||||OP OQ =，得2222p p Q Q x y x y +=+，即()(4)0p Q p Q y y y y -++=. 又0,0p Q y y >>，则p Q y y =，||||p Q x x =，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴030poy ∠=，p p y =，代入24p p x y =，得p x =∴该等边三角形边长为POQ S ∆=（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2114x y =，2224x y =，∴22121212121212111111144(2)(2)2222216x x y y k k x x x x x x ----=⋅=⋅=++=-----. ∴12122()36x x x x =-+-①又22212112212111144()4ABx xy y k x x x x x x --===+--， ∴直线AB 方程为：1211()4x x y y x x +-=-， 代入①，化简得：129(2)4x x y x +-=+， 所以直线AB 恒过定点(2,9)-.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系. 22．已知椭圆C的一个焦点为，且经过点1(2P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知(1,0)A ，直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且AM AN ⊥； （ⅰ）若||||AM AN =，求直线l 的方程； （ⅱ）求MAN ∆面积的最大值.【答案】（1）1422=+x y ；（2）0y +=0y -=，或35x =-.；（ⅱ）2564.【解析】试题分析：（1）根据焦点的位置设出椭圆方程，并且222c b a +=，然后代入点的坐标，解出2a 和2b ；（2）（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，与椭圆交于两点N M ,；根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得到直线方程，当直线l 不垂直于x 轴时，再就是设直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据⊥,0=⋅,和斜率的中线于斜边垂直，解得直线方程；（ⅱ）由上一问可得直线是过定点⎪⎭⎫⎝⎛053-，的直线，所以设直线方程53-=my x ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将面积表示为215821y y S -⨯⨯=，代入韦达定理，可得关于m 的函数，通过换元，令41412≥+=m t ，化简函数后求函数的最大值.试题解析：（1）设椭圆C 为：22221(0)y x a b a b+=>>，∵椭圆C过点1(2P，且一个焦点为，∴222233114a b a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）（Ⅰ）当l x ⊥轴时，设:l x m =，代入椭圆得y =±，∵||2(1)MN m ==-，解得1m =（舍去）或35m =-， ∴直线l 方程为35x =-.当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+.由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240k x kmx m +++-=.222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->，得224k m +>.设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为00(,)Q x y .则12224km x x k +=-+，212244m x x k-=+，所以024km x k =-+，00244my kx m k =+=+， 由||||AM AN =，得AQ MN ⊥，则1AQ k k ⋅=-，化简得234km k =+（）.由AM AN ⊥，得1212(1)(1)0AM AN x x y y ⋅=--+=，∴1212(1)(1)()()0x x kx m kx m --+++=， 化简得221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=.∴22222(1)(4)2(1)1044k m km km m k k+---++=++， 化简得225230m km k +-=，解得m k =-或35m k =. 当m k =-时，（）式不成立. 当35m k =时，代入（）式，得25k =，k =∴直线l的方程为y =+或y =- 综上所述，直线l0y +=0y -=，或35x =-. （Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知，AM AN ⊥时，m k =-或35m k =.当m k =-时，直线l 为(1)y k x =-过点(1,0)A ，矛盾，故舍去.当35m k =时，直线l 为3()5y k x =+， 当l x ⊥轴时，直线l 的方程为35x =-，∴直线l 过定点3(,0)5Q -.设直线l 方程为35x my =-，代入椭圆22:14y C x +=， 化简得：221616()04525m y my +--=， 则1226514my y m +=+，122162514y y m =+，∴1218||25MANS y y ∆=⨯⨯-=令214t m =+，则14t ≥，且214m t =-，∴1)4MAN S t ∆==≥，∴当14t =，即0m =，直线l 的方程为35x =-时，max 64()25MAN S ∆=. 所以MAN S ∆的最大值为6425.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.。

四川省成都市第七中学2015届高三数学（理）2月阶段性测试试题（扫描版）成都七中2015届高三上期2月阶段性测试数 学 试 题(答案)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=2{|320}x x x -+≥， B={|2,}x x x Z ≤∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2}【解析】集合A={|12}x x x ≤≥或，{|12}R C A x x ∴=<<，B={|2,}x x x Z ≤∈，()R C A B φ∴=.故选A ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi+<+（m R ∈），则m 的值为 A ．12 B ．2- C ．2 D ．12- 【解析】 由22()01i mi +<+，知21i mi ++为纯虚数，222(12)11i m m i mi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B.3.已知直线m ⊂平面β，直线⊥l 平面α，则下列结论中错误的是A.若l β⊥， 则//m αB.若//l m ， 则αβ⊥C.若//αβ，则l m ⊥D.若αβ⊥ ，则//l mC.2014x x e xe +D.2013x e x +【解析】 由0()xf x xe = 得当1i =时， 10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，21()()()2x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A ．352mB ．652mC ．1252mD ．1852m 【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， =会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为A ． 4πB ．3πC ．23πD ． 34π 【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D. 7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1n n n a a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=A.-6B.6C.-1D.1【解析】 由111n n n a a a ++=-可得21n na a +=-，从而可得4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C：22((1x y +=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3πD ． 512π 【解析】 如图，过点O 向圆C 作切线OB ，连结CB ，AOB ∠为OA OB 与所成最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D. 9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=A.3B.3C.8D.16【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,)2p ，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x y p+=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,)2x x p ，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为0x p，又抛物线1C 在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以03x b p a =-=-，解得03x p =-.即(,)36p M p -，又点M 在直线202p x y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =故选A. 10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x+-= (,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．B ． 13a a ><-或C ．1a >D ． 3 【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集. 0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n=⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x +-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根. 211mn a =>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== n m -.此时3a =. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在二项式210)x展开式中含10x 项是第 项. 【解析】 二项式210)x-展开式的通项公式为1022110(1)r r r r r T C xx --+=-510210(1)r r r C x -=- ，令510102r -=，6r ∴=，∴二项式210)x展开式的第7 项. 12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______. 【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα, 所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-. 14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e a s b=-的最大值为 . 【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln a t b =，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12a ab t b a b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e a s b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线；②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”；③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点.其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），把两点代入完美直线l 的方程得y 1=kx 1，y 2=kx 2，两式相减得y 1-y 2=k （x 1-x 2），则（x 1-x 2，y 1-y 2）也在完美直线y=kx 上，且（x 1-x 2，y 1-y 2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==． （1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x )的取值范围；（2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A +B +C =π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分） ∵ 在△ABC 中，Cc B b A a sin sin sin ==，b =1， ∴ C A c a sin 3sin 1sin 3sin 1ππ+⋅=+ )]32sin([sin 332A A -+=π ]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+= )6sin(2π+=A ， 即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分） △ABC 是锐角三角形， 62A ππ∴<<，得3π<x +6π<23π，于是3<)(x f ≤2， 即f (x )的取值范围为(3，2]． （6分）（2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即22212cos 3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 22344ABC S ac B ac ac π∆===≤， 故当a c =时，△ABC. （12分）17.（本小题满分12分）某校高三年级有400人，在省标准化考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X 名女生被选取，求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为[1(0.010.0200.0300.012)10]100.028-+++⨯÷=. （3分）（2）因为样本中，数学成绩在120分以上的频率为1(0.010.020)100.7-+⨯=，（4分） 所以通过样本估计总体（即将频率看作概率），可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有4000.7280⨯=（人）. （6分）（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在[140,150]内的学生共有0.01210506⨯⨯=（人）.于是，由题设知这6人恰好是3男3女.（7分）因为X 的所有可能取值为0、1、2、3，且33361(X 0)20C P C ===，1233369(X 1)20C C P C ===， 2133369(X 2)20C C P C ===，33361(X 3)20C P C ===.（10分） 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：0123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．(12分) 18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM 的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形.（1）求证： PC AB ⊥；（2）求二面角的余弦值.【解析】 （1）由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分） 0.012 0.010E E又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分） （2）解法一 取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM=CN ， ∴MN ∥PC ，MN=PC ，由（1）知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ．易知AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角． （7分） 由三视图可知PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为. 在Rt AEC ∆中，AC=1，0sin 60ACE ACE ∴∠=∴∠=．120ACB ∴∠=， 在ACN ∆中，AN = 在Rt NCH ∆中，060NCH ∴∠=，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=． 在Rt MNH ∆中，∵MH∴cos NH MHN MH ∠==． （11分） 故二面角M AC B --的余弦值为（12分） 解法二 由三视图可知，PM ∥CN 且PM=CN ，∴MN ∥PC ，MN=PC ，由（1）知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为.在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示． 在Rt AEC ∆中，AC=1，12CE ∴=， ∴(0,0,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,1)M ，(0,2,0)B，1,0)2A =- ∴31(,0)2CA =-3(,1)2AM =-． （8分）设平面MAC 的法向量为(,,1)x y =n ，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得3102102x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴(1,1)=-n 是平面MAC 的一个法向量. （10分）又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =，∴21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ． （11分）由图可知二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B -- （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n .（1）求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式n b ； （2）设n n na c =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T . 【解析】 （1） 由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ， 两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分）又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n n b b +=，又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）（2）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ， 所以）（2n )1(12++-==n n na c nn n ， （7分）故]2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ， 设n n F 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n nF ， 作差得1n 22116181412121+-+++++=n n nF ，所以nn F 222n +-=. （9分） 设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ， 则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分） 故2122232121222+++-=+--+-=n n n n Tn n n （. （12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为其离心率e 是方程2230x -+=的根.（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） （2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A 1，A 2，设直线x=4与x 点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A 1M ，A 2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e 是方程的2230x -+=的根，所以c e a ==，2,a c ==21b ∴=. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分）（2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，， 设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12,62A M A M m m k k ==， ∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-，由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,)99m m P m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221my m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQm mm m m k m m m m m m --++∴==≠----++， ∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m my x m m m --∴=-+-++ 22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++ 222233m mx m m =--- 22(1)3m x m =--， ∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =(1,2P ，(1,)2Q -；当m =(1,2P -，(1,2Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分） 已知函数()ln x f x a x bx =+，的图象过点11(,)e e-，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直. （1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]ex ∈（e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围； （3）设函数()f x 的图象上从左至右依次存在三个点(,())B b f b ，(,())C c f c ，(,())D d f d ，且2c b d =+，求证：()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-.【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++因在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直. (1)1f a b '∴=+=. （2分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e-，所以11111()ln a b f a b e e e e e e e=⨯⨯+⨯=-+=-，1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （4分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得， 2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++，若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立，只需t 小于或等于32ln x x x++的最大值，设3()2ln (0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （7分） 当1[,1]x e∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增.33()2ln 2,h e e e e e e =++=++1111()2ln 323h e e e e e e=++=-++， 12()()240h h e e e e ∴-=-->，1()()h h e e ∴>.∴当1[,]x e e ∈时，h （x ）的最大值为11()23h e e e =-++，故123t e e ≤-++，即实数t 的取值范围是1(,2+3e]e-∞-+. （10分）（3）由（1）得()ln ln x f x x x x ==，欲证()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-，只需证()()2()()ln 20f b f d f c d b +---<在(0,),b d ∈+∞、c 、且b d <<c 上恒成立. 令d x =，2c b d =+，2b xc +∴=， 构造函数()()()2()()ln 22b xF x f b f x f x b +=+---， ()()()2()()ln 22b xF x f b f x f x b +∴=+---ln ln 2ln ()ln 222b x b xb b x x x b ++=+-⨯--ln ()ln()2ln x x b x b x b b =-+++，()ln ln()F x x b x '∴=-+， （12分）当a x <时，()0F x '∴<，()F x ∴在(,)a +∞内是单调递减， 故当x a =时，()F x 有最大值()0F a =， 从而当d b >时，有()0F d <. 即()()()2()()ln 202b dF d f b f d f d b +=+---< 故 ()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-. （14分）。

四川省成都七中2013-2014学年高二下学期开学考试数学（理）试题Word版含答案成都七中高2015届高二下期入学考试数学试题(理)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{|2,}xM y y x R ==∈，集合，{|lg(1)}S x y x ==-则下列各式中正确的是( )A.M S M =B.M S S =C.M S =D.M S =?2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4rA.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<3. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( ) A.3- B.21- C.3 D.21 5. 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( ) A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π 6. 下列判断正确的是( )A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “1sin 2α=”是” 6πα=”的充分不必要条件D. .命题“,20xx ?∈>R ”的否定是“ 00,20xx ?∈≤R ”7. 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8. 设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）9. 已知x,y 满足2420x x y x y c ≥??+≤??-++≥?且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( )A.10B.12C.14D.16 10. 直线032=--y x 与圆()()22239x y -++=交于E.F 两点，则?EOF （O 是原点）的面积为( ) A.23 B.43C.52D.556二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11. 已知向量a →,b →不共线，若向量a →+λb →与b →+λa →的方向相反,则实数λ的值为 . 12. 在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是 .13. 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是______. 14. 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<① 已知,,a b m 都是正数，且a m ab m b+>+，则a b <；② 若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{③ 已知x ∈（0，π），则2sin sin y x x=+的最小值为22；④ 已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则ycx a +的值等于2;⑤ 已知函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围为(22,22)-+.其中正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（1）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17. (本小题满分12分)设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（1）求{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }是以函数f(x)=4sin 2πx 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n ?b n }的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)(1)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为23π,将y=f(x)的图像向右平移2π个单位长度得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)的单调增区间．(2)设?ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，b 2=ac ，求角B 的大小.19. (本小题满分12分)如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.20.(本小题满分13分)已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（2）求二面角A ED B --的正弦值.21. (本小题满分14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．成都七中高2015届高二下期入学考试数学试题(理答案)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，集合，则下列各式中正确的是( )A. B.C. D.解析：A 由题意得，，所以根据选项可得，所以选A.2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )相关系数为相关系数为相关系数为相关系数为A. B.C. D.【答案】A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.3.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D [解析] 若α∥β，则m∥n与m，n为异面直线矛盾，故A错．若α⊥β且l⊥β，则由n⊥平面β知l ∥n 与l ⊥n矛盾，故B错．若α与β相交，设垂直于交线的平面为γ，则l ⊥γ，又l ⊥m，l ⊥n，m⊥平面α，n⊥平面β，故交线平行于l.故选D.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于( )A. B. C. D.解析：A 程序执行循环六次，依次执行的是，，故输出值等于.5.球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析：A ∵，，，∴，是以为斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，∴，得．∴球的表面积为．6.下列判断正确的是( )A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C. “”是””的充分不必要条件D. .命题“”的否定是“”【答案】D【解析】A项中，因为真假，所以为假命题.故A项错误；B项中，“若，则”的否命题为“若，则”，故B项错误；C项中，是的必要不充分条件，故C项错误；D选项正确.7.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )A.12πB.6πC.3πD.65π 【答案】B[解析] 结合选项，将函数y ＝cos x ＋sin x ＝2sin 3π的图像向左平移6π个单位得到y ＝2sin 2π＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B. 8. 设是方程的解，则属于区间（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】设,因为，，所以.所以.9. 已知x,y 满足且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( ) A.B.C.D.解析：由，则，因为的最小值为，所以，作出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，所以直线的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即,代入直线得。

2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（)A．46，45，56 B．46,45,53 C．47,45,56D．45，47，532．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（）A．7，9 B．5，11 C．7,11 D．5，93．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．x增加一个单位时，y平均增加个单位C．样本数据中x=0时，可能有D．样本数据中x=0时,一定有4．如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①；②∠BAC=60°;③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa,3sina，1），B （2cosb，2sinb，1），则｜|的取值范围是( )A．B．C．（1，5） D．6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于( ）A．6 B．5 C．4 D．37．已知直线l的倾斜角为α,且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是( ）A．B．C．D．8．已知：,求z=x2+y2最小值为（）A．13 B．C．1 D．9．已知圆C1：（x+1）2+(y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为（）A．（x+2)2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2)2+（y+2)2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．(x﹣2）2+（y﹣2）2=110．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是( ）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（)A．1条B．2条C．3条D．4条12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4,a）作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|=（)A．2 B．6 C．4D．2二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

成都七中高二数学周末练习 1 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( ) A ．3- B ．6- C ．23- D ．322 直线0323=-+y x 截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角的大小是 ( ) A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π3 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A 20B 22C 28D 244 与椭圆1422=+y x 共焦点，且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A 1222=-y xB 1422=-y xC 13322=-y xD 1222=-y x5 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A (315,315-) B (315,0) C () D () 6 直线l 与圆x2+y2=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积等于 ( )A.32B.12 C ．1或3 D.12或327 过点P 作圆(x+1)2+(y-2)2=1的切线，切点为M ，若|PM|=|PO|(O 为原点)，则|PM|的最小值是 ( )A.255B.52C.35－55D ．18 四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是()A．直线的一部分B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分9 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为_________10 已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1，圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心P的轨迹方程是__________11 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是__________．为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是13. 设直线l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a ∈R)．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a>-1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．14. 已知圆O 的方程为x2+y2=1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O 相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM 交直线l2于点P′，直线QM 交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标15．如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，M 、N 是直线x=a2上的两个动点，且F1M →·F2N →=0.(1)设曲线C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；(2)若以MN为直径的圆中，最小圆的半径为22，求椭圆的方程．16．已知A、B分别是直线y=33x和y=－33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点Q(1,0)任意作直线l(与x 轴不垂直)，设l 与(1)中轨迹C 交于M 、N 两点，与y 轴交于R 点．若RM →=λMQ →，RN →=μNQ →，证明：λ+μ为定值．成都七中高二数学周末练习——参考答案1. B 2 C4A且焦点在轴上，可设双曲线方程为过点得5 D 有两个不同的正根则得6 A 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3|ab|a2＋b2＝1⇒ab ＝－3或1(舍去)，从而所围成三角形的面积S ＝12|ab|＝32，故选A. 7. A 设点P 坐标为(x ，y)，则由条件得|PM|2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－1＝|PO|2＝x2＋y2，化简为x －2y ＋2＝0，从而|PM|的最小值即为|PO|的最小值，也即O 到直线x －2y ＋2＝0的距离255，故选A. 8. B 由题设知AD ，BC 都垂直于平面PAB ，又∠APD ＝∠CPB ，可得△ADP ∽△BCP ，所以AD BC ＝PA PB，则PB ＝2PA ，且P 点在与AD 垂直的平面内，∴其轨迹为不完整的圆，故选B.10-=1(x≥2)∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1|-|PM2|=4，∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。

四川省成都市第七中学2015届高三数学5月第2周周练试题（扫描版）yxAQ PO（第9题图）成都七中2015届高三理科数学综合训练（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I （ A ）A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤2. sin 3的取值所在的范围是（ B ） A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．21,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3.已知直线1:l 1y kx =+和直线2:l y mx m =+，则“k m =”是“12//l l ”的（ B ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ C ）A. x x f 2sin )(= B ．x x x f -=3)( C ．xxe x f =)( D ．x x x f ln )(+-= 5.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（D ）A ．2B ．4C ．6D ．8 6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ D ）A.1008B.2015C.1007D. 1007- 7.将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=无公共点的概率为 （ C ）A.16 B. 712 C. 512D. 23 8.P 是AOB ∆所在平面上一点，且在AB 的垂直平分线上，若CA. B.3- C. D.59.如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( B ) A ．233B．72C ．396D ．310.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)3;A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为( D) A. ①② B. ②③④ C. ③④D. ②③解析：①错：7(1,1),(2,5),||17,||7,(,)3,17A B A B AB k k AB ϕ=-=∴=< ②对：如1y =；③对：22222|22|2(,)2()()1()A B A B A BA B x x A B x x x x x x ϕ-==≤-+-++；④错：1212121222212||||(,)()()1()x x x x x x x x e e e e A B x x e e e e ϕ--==-+-+-，121212221()11111,(,)||()(,)x x x x x x e e t A B e e e e A B ϕϕ+-==+><--恒成立，故1t ≤.1--10：ABBCD DCCBD 11.11 12. 42 13. 41 14.41 15. 3142015-16.已知函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈,且函数()f x 的最大值为2、最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0).24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,且3()2,,42C f c ==求2a b +的取值范围.易求得2,4,()2sin(4).66A f x x ππωϕ===-⇒=- (2)因为2()2sin()2,463C f C C ππ=-=⇒=由正弦定理得sin 3212sin 2sin sin sin sin sin 23a A a b c a b A B b B A B C =⎧===⋅=⇒⇒+=+⎨=⎩ ,又2333A B A B ππππ+=-=⇒=- ,则23sin()(0)63a b B B ππ+=+<<⇒ 32(,3).2a b +∈ 17. 已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T . （1） 2)(=x f ∴22πππ+=k x 12+=k x Z k ∈ ……（3分）又 0>x ∴12-=n a n )(*∈N n ……（6分）（2） 211+=n n a b 2)12(1+=n )(*∈N n ……（7分） 2)12(1+=n b n 14412++=n n n n 4412+<)111(41+-=n n ……（10分）∴<+⋅⋅⋅+=n n b b T 13121211(41-+-=)111+-⋅⋅⋅+n n 41)1(4141<+-=n ∴41<n T 得证 ……（12分） 18.根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．解：(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =…………………3分50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ.ξ的可能取值为0，1，2，0021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ=== ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P49100421009100…………………8分 494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， …………………10分故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天. … 12分19.如图，梯形ABCD 中，C EA D ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，2DE =，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ，（1）（文理都做）求证：//l CE ；（2）（文理都做）求证：OF ⊥面ABE ． （3）求CE 与平面ABE 所成的角的正弦值.解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）A F E DB CAl B CE OF第18题图12,,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①12AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且2,tan 22tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ．(3)设正方形BCEF 的中心为G ，OF 与AG 交于点H ，连结OB ,由（2）知，角FBH 为BF 与平面ABE所成的角.在三角形COF 中，可求得2cos 3CFO ∠=，在直角三角形FHG中，1cos 3FH FG CFO =∠=，所以13sin 33FBH ∠==，又//BF CE ，故CE 与平面ABE 所成的角的正弦值为3320.已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.解：（1）13422=+y x ………5分 (2)设PA,PB 的斜率分别为21,k k ,),(00y x p ，则4321-=k k ………7分 则PA:)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M PB: )2(2-=x k y ,则)2,4(2k N又11236k k k EM -=-=，322k k EN -= 1-=EN EM k k ………10分设圆过定点F(m,o),则1424621-=--mk m k ，则m=1或m=7(舍)故过点E 、M 、N 三点的圆是以MN 为直径的圆过点F （1,0）………12分21.已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：1251.2x x -+≥21.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x -'=-=> ……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分11方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立． 问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立． 令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分 因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=． 设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x xϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减， 不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<． 所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数． 所以000max 020000011112()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． …………………8分 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-< 所以01 1.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分 （3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++= 从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ ……………………13分令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。

四川省成都市第七中学2015届高三数学5月第1周周练试题（扫描版）成都七中高2015届高三（下）第十周分推 （理） 参考答案第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． C ；2．B ；3. C ；4. D ；5. A ；6. B ；7. D ；8. B ；9. B ；10. C . 9． 解：ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4cos(|21|sin cos |1πααα+=-==∴a c e ,12543,612ππαππαπ≤+≤∴≤≤]22,213[|)4cos(|2],21,426[)4cos(-∈+-∈+∴παπα]13,2[+∈∴e . 11.11； 12． 3； 13. 6-； 14.83； 15.2.14.解：由三视图可知，该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥， 其中底面三角形BAC 为直径三角形，PA ABC ⊥,2AB =,4PC =, 设,04AC x x =<<,则222416PA x x =-=-,所以三棱锥的体积为2222211161(16)1682163233263x x x x x x ⋅-+-⨯⨯⋅-=≤⨯==，当且仅当216x x =-，即28,822x x ===时取等号，此时体积有最大值82233=.15.解法一：设BC 直线方程为y kx b =+，代入函数方程可得210kxbx +-=则有1212,1bx x x x k+=-=-，易得BC 中点D 的坐标为(,)22b b k -则11212ADbk b k k-==--+整理可得002(1)13x x +=，故点D 坐标为1(,)11k k k -++ 高222211(1)(1)11(1)k k AD k k k +=-++-=+++ 边22221212244(1)[()4](1)[](1)BC k x x x x k k k =++-=+++又2234AD BC =,化简可得23830k k ++=，故183k k +=-则2221813418(1)223k k kAD k k k +-+====+++-+，故高2AD = 解法二：如图设111(,)B x x ，221(,)C x x ,由AC BC =可得 2222121211(1)(1)(1)(1)x x x x ++-=++- 化简可得1212112x x x x +=++，故BC 中点D 在直线1y x =+上， 无妨设点D 坐标为00(,1)x x +，则00(1,)AD x x =+，故001(,1)3DB x x =-+ 0011((1),(1)(1))33OB OD DB x x =+=-++,由点B 在曲线1y x =可得002(1)13x x +=，即200223x x += 则高2220000(1)221312AD x x x x =++=++=+=三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知集合}{1,1,2,3A =-，从A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，作为复数i z a b =+(i 为虚数单位)的实部和虚部． （Ⅰ）求复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率； （Ⅱ）设2||z ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.解：（Ⅰ）从集合A 中随机抽取两个不同的元素a b ,，组成复平面内的对应点有2412A =种，其中位于第一象限的点有236A =种，所以所求的概率为12. ………6分 （Ⅱ）222=z a b ξ=+, =2,5,10,13ξ． ……7分1(2)6P ξ==,1(5)3P ξ==，1(10)3P ξ==，1(13)6P ξ==． ξ251013P16 13 13 16………11分 ∴11111525101363362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 17．（本小题满分13分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =， 将ACD !沿矩形的对角线AC 翻折，得到如图2 所示的几何体D ABC -，使得BD ＝3． (Ⅰ) 求证：AD BC ⊥；(Ⅱ) 若在CD 上存在点P ，使得12P ABC D ABC V V --=，求二面角P AB C --的余弦值． ABCDPD CBA图1 图217．解：（Ⅰ）当3BD =时，1AD =，2AB =，∴AD BD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ，∴AD BC ⊥． ……5分 （Ⅱ）如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知AD BC ⊥，又AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面ABD ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABD ⊥平面ABC ， 过D 作DH AB ⊥，则DH z ∥轴， ………7分 在Rt ABD !中，1AD =，2AB =，可得13,22AH BH ==． 故33(0,,)22D ，∵12P ABC D ABC V V --=，∴P 为DC 中点，∴133(,,)244P ．设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴(,,)(0,2,0)0,133(,,)(,,)0,244x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,130,24y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩………9分 取2z =-，则(3,0,2)=-n ，又平面ABC 的法向量为(0,0,1)=m ， …10分 则cos ,m n ＝||||⋅⋅m n m n ＝277．故二面角P AB C --的余弦值为277． …………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，221n n a a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的m N *∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m内的项的个数记为{}m b ．①求数列{}m b 的通项公式；②记2122m m mc b -=-，数列{}m c 前m 项的和为m T ，求出所有使得等式111m m t T t T t c +-=-+成立的正整数m ，t解：（Ⅰ）设公差为d ，首项为1a ，则由423S S =得114(41)2(21)43[2]22a d a d ⋅-⋅-+⋅=+⋅， 即123d a =；由221n n a a =-得21n n a nd a +=-，∴1n a nd =+，将123d a =代入1n a nd =+得1213n na a =+，令1n =得13a =，从而2d =，故21n a n =+；…………4分（Ⅱ）①令22212m mn <+<，则121112222m m n ---<<-，即121221m m n --≤≤-，∴21122m m m b --=-；…………………7分 ②2211221()222m m m m m c b ---===-，显然数列{}mc 是首项为2，公比为12的等比数列，前m 项 的和为m T 14(1)2m =⋅-，由111m m t T t T t c +-=-+取倒数得11m m t m T c t c T t ++-=+-，即111m t m c c T t++=+-，即 1221()12()12(4)()2m t m t ---=--化简得221(4)242m t t -=-⋅-即1(4)242m t t --⋅-=，即1(4)242mt t --⋅=+，∵1240t -+>，∴(4)20m t -⋅>，∴4t <，又t N *∈，∴1t =或2t =或3t =．………9分当1t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得325m⋅=，显然无正整数解；当2t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得226m ⋅=，即23m=，显然无正整数解； 当3t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得28m=，显然3m =为正整数解．综上，存在符合条件的正整数3t =，3m =．………………12分19．（本小题满分12分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，π3BCD ∠=，设BAD θ∠=，且ππ(,)93θ∈． (Ⅰ) 若π4θ=，求AB 的长； (Ⅱ) 求BD 的长()f θ，并求()f θ的最小值；(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与θ有关，且需求量()g θ函数关系式为()4sin 66g θθθ=+（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．19．解法一：（Ⅰ）在ACD ∆中，已知=6AD ，2π3ACD ∠=，π3ADC θ∠=-，由正弦定理得：43π2πsin()sin 33AC ADθ==-，故π43sin()3AC θ=-. ………2分 当π4θ=时, ππ43sin()34AC =-＝ππππ43(sin cos cos sin )3434⋅-⋅ θDC BA62433264-=⋅=-，故AB 的长为6226-．………4分 （Ⅱ）在ABD ∆中，已知=6AD ，π=83sin()3AB θ-，BAD θ∠=，由余弦定理得：2222cos BD AD AB AD AB θ=+-⋅⋅ …………5分2ππ36[83sin()]2443sin()cos 33θθθ=+--⨯-2ππ3696[2sin()3sin()cos ]33θθθ=+---2π313696[1cos(2)3(cos sin )cos ]322θθθθ=+---- 113333696[cos 2sin 2cos 2sin 2]42244θθθθ=++--+ 1133696(cos 2sin 2)444θθ=+--π6048sin(2)6θ=-+…7分 因为ππ(,)93θ∈，所以π7π5π2(,)6186θ+∈，即sin(2)16πθ+≤π6048sin(2)236BD θ∴=-+≥，则BD 的最小值为23，此时πsin(2)6θ+=1，即π=6θ.……9分(用其它方法求出BD 的表达式及最小值酌情给分) （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈,令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈, 问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使是()0h x =, ……10分 ①当(4,2π)x ∈时, |sin x |≤1，必有()4sin 0h x x x =+>；②当2π(,4]3x ∈时, '()4cos 1h x x =+，因为2π4π433x <≤<，所以11cos 2x -≤<-， 从而'()4cos 10h x x =+<,在2π4π(,)33x ∈恒成立，()h x 在区间2π4π(,)33递减， 于是4π4π4π()(4)()4sin 2340333h x h h ≥>=+>-+>θDC BA综上，在 2π(,2π)3,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）设x =6θ,2π(,2π)3x ∈，令()4sin h x x x =+, 2π(,2π)3x ∈, 问题转化为在2π(,2π)3是否存在x 的值，使得使是()0h x =, ……………10分 '()4cos 1h x x =+,令'()0h x =，得1cos 4x =-,∵2π(,2π)3x ∈,故存在12π(,π)3x ∈,23π(π)2x ∈，,使得121cos cos 4x x ==-, 易知()h x 在12π(,)3x 单调递，在(12)x x ，递减，在2(,2)x π递增， 故在2π(,2π)3,22π()max{(),()}3h x h h x ≥, ∵2π2π()23033h =+>,注意到23π(π)2x ∈，,且211cos 42x =->- , ∴4π3π32x <<,215sin 4x =-． 这样2222154π()4sin 4()15043h x x x x =+=⨯-+>-+>．……………12分 综上：在 2(,2)3ππ,()0h x >恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零． 20．（本小题满分13分）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．(Ⅰ)求证：△21F BF 是等边三角形；（Ⅱ）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）设过（Ⅱ）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设)0,(0x D （00<x ），由)0,(2c F ，),0(b B ，故),(2b c B F -=，),(0b x BD -=， 因为BD B F ⊥2，所以020=--b cx ， …………（1分）c b x 20-=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,22c c b D F ，……（2分） 又)0,2(21c F F =，故由02221 =+D F F F 得032=-cb c ，所以，223c b =． 所以，3tan 12==∠cbF BF ，︒=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形．………4分 （2）由（1）知，c b 3=，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -， 又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2， 所以，c c 22|3|=--，1=c ，3=b ，2=a ， 所求椭圆C 的方程为13422=+y x ． ……………………8分 （3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，0≠k ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x P ，),(22y x Q ，则有2221438k k x x +=+，222143124kk x x +-=， 由题意，),(11y x M -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=，所以直线QM 的方程为121121y y y y x x x x ++=--，令0=y ，得)1()1()1()1()(121221121*********-+--+-=++=++-=x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y xk x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2)()(2212121-++-=x x x x x x 2438438431242222222-++-+-⋅=k k k k k k 4624=--=． 即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(．所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线． ………………13分21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++()a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）将函数()y f x =的导函数．．．的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得 到函数()y g x = 的图象，试证明：当12a =时，[()]()22n n n g x g x -≥- ()n +∈N ． 解法一：（Ⅰ）当2a =时，2()2ln(1)f x x x =++(1)x >-，21(21)()4011x f x x x x +'=+=≥++，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞.……3分（Ⅱ）因函数()f x 图象上的点都在0,x x y ≥⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域内，则当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，、 设2()ln(1)g x ax x x =++-(0x ≥)，只需max ()0g x ≤即可． 由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+， ………4分 (ⅰ) 当0a =时， ()1xg x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 故()(0)0g x g ≤=成立． ……………5分 (ⅱ) 当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以112x a=-，① 若1102a -<，即12a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>， 则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时，()g x →+∞，此时不满足条件；② 若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减， 在区间1(1,)2a-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值， 当x →+∞时， ()g x →+∞，不满足条件． ……………7分(ⅲ) 当0a <时，由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立．………… 8分 综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．…………9分（Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x=+> …………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x +-+()()112212111111n n n n n nn n n n n n nx C x C x C x C x x x x x x----=+⋅+⋅++⋅+-+() 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++. 令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n nn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T 122244144n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++()()()≥122244122222n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅1212n n n n C C C -=+++()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--() 222n =-(). ∴22n T ≥-，即[()]()22n n n g x g x -≥-. …………………14分 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x =+>， ……………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x +-+()()， 设11()()()n n n h x x x x x=+-+，当1n =时，结论成立；当2n ≥时，112111()()(1)()n n n n h x n x nx x x x --+'=+---21221[(1)(1)(1)]n n n nx x x x-+=+---∵当1x ≠时，22222111n n x x x x --+++=-∴222221(1)(1)n n x x x x --=-+++， 当1x =时，上式显然成立.∴2212221(1)()[(1)(1)]n n n n x h x x x x x--+-'=+-+++ 2124226221111(1)[(1)(1)(1)]n n n n n n n n x C x C x C x x------+-=-+-++- 当(0,1)x ∈时，()0h x '≤；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '≥∴()(1)22n h x h ≥=-，∴[()]()22n n n g x g x -≥-，()n N *∈.…………14分 解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一． （Ⅲ）1()21f x ax x '=++，∴1g()2(1)1x a x x=-++， 当12a =时，1g()(0)x x x x =+> ………10分∴[()]()n n g x g x -=11n n n x x x x+-+()() 以下用数学归纳法证明不等式[()]()22nnng x g x -≥-. ①当1n =时，左边110x x x x=+-+=()()，右边1220=-=，不等式成立； ② 假设当n k =k +∈N ()时，不等式成立，即11k k k x x x x+-+()()22k ≥-， 则11111k k k x x x x++++-+()()11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++=++-++++-+()[()()]()()()111k k k x x x x xx =++-++()[()()]111k k x x--+()()11112222k k k x x x x--≥⋅⋅-+⋅122k +=-. 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n +∈N ，[()]()22n n n g x g x -≥-都成立. ……14分。

成都七中2015-2016学年高二上学期10月阶段性考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟总分：150分一选择月（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把答案填在答题卡上．）1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB．10π C ．11πD．12π2、过不重合的A（m2＋2，m2一3），B（3一m一m2，2m）两点的直线l倾斜角为450，则m的取值为（）A．m＝一1 B．m＝一2 C．m＝一1或2 D．m＝l或m＝－23、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形。

②平行四边形的直观图是平行四边形。

③正方形的直观图是正方形。

④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的是（）A．①②B．①④C．③④D．①②③④4、若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为（）A．13B、一13C、一3 D．35、己知圆C1：x2十y2＋2x＋8y一8＝0，圆C2：x2十y2－4x－4y一2＝0，圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．内切C．相交D．相离6、己知变量x，y满足约束条件，则z＝3x十y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．一l7、己知点A（l，3），B（3，l），C（一1，0），则△ABC的面积为（）A．5 B．10C D．78、若圆x2十y2一4x一4y一10＝0上至少有三个不同的点，到直线l：y＝x＋b的距离为，则b取值范围为（）A．（一2，2）B．［一2，2］C．［0，2］D．［一2，2）9、若直线a x 十2by 一2＝0（a ＞0，b ＞0）始终平分圆x 2十y 2一4x 一2y 一8＝0的周长，则12a b+的最小值为（）A ．1B ．5C ．D ．3＋10、己知函数f （x ）＝（x 一l ）（log 3a ）2一6（log 3a ）x ＋x ＋l 在x ∈0，l ］内恒为正值，则a 的取值范围是（）A 一1＜a ＜13B 、a ＜13C 、aD ·13＜a 11、平面上到定点A （l ，2）距离为1且到定点B （5，5）距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范是（）A ．（0，4）B ．（2，4）C ．（2，6）D ．（4，6）12、实数a ，b 满足这三个条件，则｜a 一b 一6｜的范围是（ ）A ．［2，4＋B ．［32，7］C ．［32，4＋］ D ．［4－2，7］ 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上．）13、长、宽、高分别为3，4，5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下 几何体的体积为 。

高二数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每个题5分，共50分．1．已知空间向量a (1,0,1)=，b (2,1,1)=--，则+=a b ( )（A ）(1,1,0)- （B ）(1,0,1)- （C ）(1,1,1)- （D ）(1,1,0) 2．下列说法正确的是 ( ) （A ）不可能事件没有概率 （B ）必然事件的概率为0 （C ）随机事件的概率不大于1 （D ）随机事件的概率可以小于03．如图，''''A B C D 为各边与坐标轴平行的正方形ABCD 的直观图， 若''3A B =，则原正方形的面积是（ ）（A ）9 （B ）36 （C ）9或36 （D ）92或9244．如图是甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲得分的众数、乙得分的中位数分别是 ( )（A ）14分，25分 （B ）32分，25分（C ）32分，26分 （D ）14分，26分5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上一定点，若在平行四边形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）236．某厂节能降耗技术改造后，生产某产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如下表：x1 2 3 4 y2t34.5根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆy＝0.8x ＋1， 那么表中t 的值为（ ）（A ）2.8 （B ）2.7 （C ）2.6 （D ）2.5 7．执行如图所示的程序框图，如果输出的S =111111+112123⨯+⨯⨯+111112310+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ ，则输入的N 的值应该是（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9甲 乙 4 0 8 4 4 1 2 5 85 4 2 36 52 2 6 9 2 13 2 3 49 5 4 1第4题图DACBE第5题图C'D'A'B'第3题图第7题图8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(3,0,3)，(0,3,3)，(3,2,0)，若以yOz 为投影面画出该三棱锥的正视图，则得到的正视图为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）9．设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个平面，则下列命题不．正确．．的是( )（A ）若,m n 是两条异面直线，l m ⊥，l n ⊥，n α⊂，m β⊂且α∥β，则l α⊥ （B ）若,m n 是两条异面直线，n α⊂，m β⊂，m ∥α且n ∥β，则α∥β （C ）若l ⊥α，l m ⊥，l n ⊥，n β⊂，m β⊂，则//αβ（D ）若//l α，l β⊂，m αβ= ，n α⊄，//n m ，则//l n10．已知区域2{(,)|04}x y y x Ω=≤≤-，函数2()()1x x af x a a a -=--，其中 0a >且1a ≠，集合2{0|(1)(1)0}A m f m f m =>-+-≤，区域{(,)M x y =∈Ω |2,}y mx m m A =+∈，向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率()P M =( )（A ）14ππ- （B ）22ππ- （C ）22π- （D ）14π-二、填空题：本大题共5小题，每个题5分，共25分．11．某班有男生30名，女生20名，采用分层抽样的方法从这50名学生中抽取一个容量为5的一个样本，则应抽取的男生人数为____________．12．阅读如图所示的程序，若输入的t 的值为6，则执行程序后输出的结果是________．INPUT t IF t<＝4 THEN c ＝0.2 ELSEc ＝0.2＋0.1*(t －3) END IF PRINT c END第12题图 第14题图 13．三棱柱ABC A B C -111中，上、下两底面共有111111,,,,,AB BC CA A B B C C A 六条棱，从中任选两条棱，它们所在直线是异面直线的概率为_________．14．如图，四面体PABC 四顶点P 、A 、B 、C 均落在球O 的球面上，且2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．那么球O 的体积是____________．ACBP15．如图，正方体 1111D C B A ABCD -，棱长为a ，有下列命题： ①P 点在BDC ∆1所在平面上运动，棱锥11D AB P -体积不变；②若点M N L 、、分别是线段A B A D A A 11111、、上与端点不重合的三个动点，则MNL ∆必为锐角三角形；③若Q 为AA 1的中点，G 为底面A B C D 1111（包含边界）内的一个动点，且始终满足GQ A C ⊥1，则动点G 的轨迹长度为23a ； ④若垂直于1AC 的平面α由点1A 移动至点C ，则截正方体得到的多边形只能是三角形或六边形，且所得多边形面积和周长的最大值分别为233324a a 和. 其中下正确的命题有_________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答过程应写明文字说明、证明过程或推演步骤．16．（本小题满分12分）如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中．（Ⅰ）求异面直线1A D 与AC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面11BB D D ．17．（本小题满分12分）袋中共有6个除颜色以外完全相同的小球，其中有标记为A ，B 的红球2个，标记为a ，b ，c ，d 的白球4个，若从中任意选取2个球．（Ⅰ）记{,}A a （不考虑顺序）为一种选取结果，试写出所有选取结果，并指出所有结果的个数；（Ⅱ）试求所选的两个球中至少有一个红球的概率．ABCDD 1C 1B 1A 1QG第15题图BD 1C 1 B 1A 1CDA第16题图18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111A B C DA B C D -中，底面A B C D是平行四边形，其中111111A A A D A B ===，111160AA D AA B ∠=∠=︒，1111D A A B ⊥，点M 在11A B 上，且112AM MB =，N 为1AD 中点． （Ⅰ）若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A＝c ，试用a ，b ，c 表示MN ；（Ⅱ）求线段MN 的长．19．（本小题满分12分）教育部、国家体育总局和共青团中央共同号召全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万大中学生阳光体育运动．为此，某校学生会对高二年级学生2013年6月这一个月时间内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生该月参加体育运动总时间的小时数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图（如图①）如下： 分组序号 2013年6月参加体育运动总时间（小时）组中值 （i a ） 频数 频率()i f1 [20,25)22.5 10 0.252 [25,30) 27.5 25n 3 [30,35) 32.5 mp4 [35,40)37.5 2 0.05合计——M1D 1C 1B 1A 1N A DBCM第18题图a频率/组距2025303540参加体育运动 小时数O（Ⅰ）求出表中M ，p 及图①中a 的值；（Ⅱ）现以这M 人为样本来估计总体，若该校高二学生有720人，试估计该校高二学生在2013年6月参加体育运动总时间不超过30小时的人数；（Ⅲ）该校数学兴趣小组利用算法流程（如图②），对样本数据作进一步统计分析，求输出的S 的值．20．（本小题满分13分）将图①所示的直角梯形ABEF （图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图②所示．（Ⅰ）证明：BE ∥平面ADF ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值； （Ⅲ）求空间几何体ABCDFE 的表面积．第20题图第19题图图②图①图②图①21．（本小题满分14分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，22BD =．M是AD 的中点，P 是BM 的中点．（Ⅰ）若45BDC ∠=︒，求直线CD 与平面ACB 所成角的大小；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小；（Ⅲ）若CD x =，对任意[1,2]x ∈，则线段BD 上是否存在点E ，使得平面CPE ⊥平面CMB ？若存在，设BE y =，试写出y 关于x 的函数表达式，并求出y 的最大值；若不存在，说明理由．第21题图。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 【答案】D考点：根据几何体的三视图，求其表面积.2.过不重合的22(2,3)A m m +-，2(3,2)B m m m --两点的直线l 倾斜角为45 ，则m 的取值为（） A ．1m =- B ．2m =- C ．1m =-或2 D ．1m =或2m =- 【答案】B 【解析】试题分析：根据两点斜率坐标公式，可得22232tan 45123m m m m m--==+-++，解得1m =-或2m =-，当1m =-时，两点重合，当2m =-时，满足条件，故选B.考点：两点斜率坐标公式. 3.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形. 以上结论，正确的是（）A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②③④ 【答案】A考点：斜二测画法.4.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线l 的斜率为（） A ．13 B.一13C.3- D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为1133=--，故选B. 考点：直线的平移和直线的斜率.5.己知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y +---=，圆1C 与圆2C 的位置关系为（） A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离 【答案】C 【解析】试题分析：将两圆的方程化简，可得221:(1)(4)25C x y +++=，222:(2)(2)10C x y -+-=，所以两圆心间的距离为1C =55-<<，故选C.考点：圆与圆的位置关系的判断.6.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-【答案】B考点：线性规划.7.己知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，则ABC ∆的面积为（）A ．5B ．10 D ．7 【答案】A 【解析】试题分析：根据两点间距离公式，=且根据直线方程的两点式，化简求得直线AC 的方程为3230x y -+=，根据点到直线的距离公式，可求得点B 到直线AC 的距离为d =据三角形面积公式，可求得其面积为152S ==，故选A. 考点：三角形的面积的求解.【思路点睛】该题属于已知三角形的三个顶点的坐标，求三角形的面积的问题，属于较易题，在求解的过程中，死咬三角形的面积公式，底乘高除以2，，利用两点间距离公式，求得三角形的底，利用两点式求得直线的方程，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形面积公式求得三角形的面积.8.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点，到直线:l y x b =+的距离为，则b 取值范围为（ ）A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[0,2]D ．[2,2)- 【答案】B 【解析】试题分析：圆的方程可以化为22(2)(2)18x y -+-=，该圆是以(2,2)为圆心，以圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，等价于圆心到直线的距离小于等于-=b 的取值范围为[2,2]-，故选B.考点：直线与圆的综合问题.9.若直线220(0,0)ax by a b +-=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为（）A ．1B ．5 C． D．3+ 【答案】D考点：直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值.10.己知函数233()(1)(log )6(log )1f x x a a x x =--++在[0,1]x ∈内恒为正值，则a 的取值范围是（） A ．113a -<< B. 13a < C.a >D. 13a <<【答案】D 【解析】试题分析：22333()(log 6log 1)1log f x a a x a =-++-，根据函数满足在x ∈[0，l ］内恒为正值，则有233(0)1log 0(1)26log 0f a f a ⎧=->⎨=->⎩，从而求得311log 3a -<<，所以所求的a的取值范围为13a << D. 考点：构造新函数.11.平面上到定点(1,2)A 距离为1且到定点(5,5)B 距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范是（） A ．(0,4) B ．(2,4) C ．(2,6) D ．(4,6) 【答案】A 【解析】5=，到定点A 的距离为1的直线是以A 为圆心，以1为半径的圆的切线，同理该直线也是以B 为圆心，以d 为半径的圆的切线，满足条件的直线有四条，说明两圆的公切线有四条，从而可以判断出两圆是相离的，从而可以得到15d AB +<=，解得4d <，结合圆的半径是大于零的，从而求得d 的取值范围是(0,4)，故选A. 考点：圆与圆的位置关系，等价转化的思想的应用.【易错点睛】该题考查的是有关距离的取值范围问题，属于中等题目，根据满足条件的直线有4条，解决该题的关键是将其转化为有关圆的公切线问题，结合两圆的位置关系与公切线的条数，从而可以断定两圆是相交的，从而根据两圆的位置关系与圆心间的距离所对应的关系，从而求得所要的结果.12.实数,a b 满足①224b a a ≥-；②b ≤；③(22)(23)0a b a b -+--+-≤这三个条件，则6a b --的范围是（ ）A ．[2,4+B ．3[,7]2C ．3[,42+ D ．[4- 【答案】C考点：应用线性规划的思想解决非线性规划问题.【方法点睛】该题考查的是利用线性规划的思想解决非线性规划的问题，属于较难的题目，尤其是将题中所给的条件转化为坐标系内有关对应的区域内的点，从而利用线性规划的思想，将6a b --的取值范围求出来，从而求得其绝对值的取值范围，从而求得结果，在求解的过程中，需要注意边界值的取值都与对应的曲线的切线相联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.长、宽、高分别为3,4,5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下 几何体的体积为 .【答案】50考点：几何体的体积.14.直线:360l x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得弦AB 的长为【解析】试题分析：将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5x y -+-=，利用点到直线的距离可以求得弦心距为=.考点：直线被圆截得的弦长.15.如右图，一根木棒AB 长为2米，斜靠在墙壁AC 上，60ABC ∠= ，若AB 滑动至11A B 位置，且1AA =-米，则AB 中点D 所经过的路程为【答案】12π考点：动点的轨迹，弧长公式.【方法点睛】该题考查的是有关动点运动时所经过的路程问题，属于较难题目，解决该题的关键是要明确动点运动的轨迹是什么曲线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而确定出动点应该在以原点为圆心，以1为半径的圆上，再结合题中所给的角的大小，从而确定出相应的边长，结合1AA =，从而确定出动点所经过的圆弧所对的圆心角的大小，进一步确定出弧长，求得结果.16.己知圆22:1O x y +=，及1)A ，1)B +：①P 是x 轴上动点，当APB ∠最大时，P 点坐标为(②过A 任作一条直线，与圆O 交于,M N ,则1NA NB=-③过A 任作一条直线，与圆O 交于,M N ，则NA MA NB MB=成立④任作一条直线与圆O 交于,M N ，则仍有NA MA NBMB=上述说法正确的是 .【答案】②③④ 【解析】考点：动点的轨迹问题，恒成立问题，等价转化问题.【方法点睛】该题所考查的是有关平面内到两个定点的距离的比为非1常数的点的轨迹为圆，从而得出圆上的所有的点都满足到两个定点的距离的比值为同一个常数，从而对应的结果是相等的，最后得出相应的正确答案，还有就是有关角的最值可以通过角的三角函数值来衡量，从而求得结果.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.己知一几何体的三视图，试根据三视图计算出它的表面积和体积（结果保留π）【答案】表面积为16544π+；体积为326403π+. 【解析】试题分析：该题属于根据题中所给的三视图，求对应的几何体的体积和表面积，解决该题的关键是要根据三视图将几何体还原，理解几何体的结构，明确其是由一球体与长方体组合而成的组合体，其结果为球体考点：根据几何体的三视图，求其表面积和体积.18.己知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程.【答案】22(3)(2)25x y +++= 【解析】试题分析：该题属于求圆的标准方程的问题，在解题的过程中，先设出圆的标准方程，根据点在圆上的充要条件，点的坐标满足圆的方程，再结合圆心在直线上，圆心的坐标满足直线方程，得到对应的方程组，应用待定系数法，从而求得结果.试题解析：设圆标准方程为222()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心C 坐标，r 为半径. (,)a b 满足10a b -+=，将,A B 坐标代入圆方程：222222(1)(1)(2)(2)a b r a b r ⎧-+-=⎨-+--=⎩，两式相减得：330a b -++=，联立10330a b a b -+=⎧⎨-++=⎩得(,)(3,2),5a b r =--=，则圆标准方程为：22(3)(2)25x y +++=. 考点：圆的标准方程.【方法点睛】该题属于求圆的方程的问题，考查的是圆的方程的求法，属于较易题目，在求解的过程中，先根据题的条件，设出合适的圆的方程（标准式），根据圆心在直线上，得出圆心坐标满足直线方程，再根据圆过两点，将两点的坐标代入圆的方程，联立方程组，从而求得,,a b r 的值，进一步求得圆的方程. 19.定义区间[,]a b 的区间长度为b a -，如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度20AB m =，拱高4OP m =，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱22A P 的高度所处的区间[,]a b .（要求区间长度为12）【答案】支柱22A P 的高度大约为3.86m ，从而得出其对应的区间，答案不唯一.注：答案不唯一哈.最后的答案估算占2分.考点：利用曲线方程，求点的坐标，解决实际问题.20.己知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，求： （1）直线AC 方程 （2）顶点C 的坐标 （3）直线BC 的方程 【答案】（1）2110x y +-= （2）(4,3)（3）6590x y --=考点：直线的方程，直线的交点.21.已知点H 是xoy 直角坐标平面上一动点，A ，(0,2)B ，(0,1)C -是平面上的定点：（1）2HB HA=时，求H 的轨迹方程；（2）当H 在线段BC 上移动，求HB HA的最大值及H 点坐标.【答案】（1）22334160x y y +-++= （2）(0,1)-法二：HBHA=，令2y t -=，则HBHA===故由二次函数单调性，1y =-H 坐标为(0,1)-. （7分） 考点：求动点的轨迹方程，求有关最值问题.【一题多解】该题是解析几何题，第一问求轨迹方程，第二问求有关点的坐标问题，属于较难题目，求HB HA的最大值首先将HB HA的值转化为关于某个量的函数，方法一利用点H 的坐标将其平方表示出来，之后进一步换元，应用基本不等式求得最值，从而求得结果，解法二直接将HB HA用y 表示，令2y t -=，将其转化为关于t 的函数，进行配方，求得最值.22.己知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ， （l ）若121k k =- ①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标. （2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由.【答案】（1）(1,0)P -，定点为(3±； （2）直线过定点(3,0).法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1v P u +， :(1)1QM v l y x u =--，3x =，得2'(3,)1vQ u -，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v v x x y y u u --+--=+-222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒-++-++=+-- 由221u v +=，令0y =，则26980x x -+-=，故3x =±则定点为(3±.（2）法一：解：设:(1)QM l y k x =-与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +-+-=， 由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k -=+，22222212(,)11k M k k --++，同理23223312(,)11k P k k --++， 再利用222232222442,(,)44k k k k P k k --=++.222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k -+++==--+-++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k --∴=-++++222232k x k k -=+， ∴直线过定点(3,0).法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号.不妨设21k =，则:1QM l y x =-，与圆联立得(0,1)M -，32k =，则:2(1)QP l y x =-，与圆联立得考点：曲线过定点问题.：http: //xkw.so/wksp。