成都市2015级高中毕业班第一次诊断性检测理科数学及答案

成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学（理科参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．15； 12．[)5,7； 13．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，； 14．3:2:1； 15．②④. 提示：9．构造函数()()x f x g x e =，则2()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e''--'==， ∵任意x R ∈均有()()f x f x '>，并且0x e >，∴()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减，也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C. 10. 不妨设a b ≤，122222221bcabbbb bc b +<=+≤+=⇒<≤+，,b c Z ∈，1c b ∴=+，1222b a b +∴=+1a bc ⇒==-．a b t c +∴=22c=-. ,a t Z ∈，1,2c ∴=±±，0,1,3,4t∴=，故2max 2(log )log 42t ==．15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内1x ∀都21x x ∃≠使得12()()f x f x ''=成立．①错，12(2)y x x '=-+，又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ 1212x x ⇔=，显然12x =时不满足；②对，由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数，对10x ∀≠都21x x ∃=-使得12()()f x f x ''=成立（可数形结合）；③错，2()32f x x x a '=-+，又当时，2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-1223x x ⇔+=,当11=3x 时不合题意；④对，当0x <时，()(0,1)xf x e '=∈，若具有“可平行性”，必要条件是：当0x >时，21()1(0,1)f x x'=-∈，解得1x >，又1x >时，分段函数具有“可平行性”，1m ∴=（可数形结合）．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-．联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得161a d ⎧⎨⎩=-=．∴ 6(1)17n a n n =-+-⋅=-． n N *∈ ……………6分 （Ⅱ） 7n a n =-，∴1()(13)22n n a a n n n S +-==． 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ， ……………10分 解得1n <或14n >． 又*n ∈N ，∴14n >．n ∴的最小值为15． ……………12分17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． (8)分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan6π，∴ S △ABC =12． ……………………10分 若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．② 联立①②，结合c=2，解得，∴ S △ABC =12absinC=12．综上，△ABC 12分18．（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．由//EM CD12AM AE PFMC ED FC∴===． //FM AP ∴． ………………4分 FM BEF PA BEF ⊂⊄面，面， //PA BEF ∴面．………………6分（Ⅱ）连CE ，过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ，故FH ABCD ⊥面.过H 作HM BE ⊥于M ，连FM .则FM BE ⊥，即FMH ∠为二面角F BE C --的平面角. 60,FMH FH ∴∠==．23FH PE =，1233MH BC AE ==PE ∴=．………………10分1,AE PE =∴=在Rt PBE ∆中，3BE =，tan PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 解法二：以E 为坐标原点，,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C2CF FP = ，22(1,,)33F m ∴．………………7分设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =，由n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1n =(0,,1)m -． 又面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =．由1212cos 60n n nn ⋅=⋅ ， 解得m =．………………10分在Rt PBE ∆中，3BE =， tan 3PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 19．解：（Ⅰ）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………………4分（Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：[15,25)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中1人不赞成．[25,35)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中2人不赞成． ………………6分X 的所有可能取值为0,1,2,3．338733995(0)18C C P X C C ==⋅=，23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=， 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=．……………10分 X∴的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分20．(Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分（Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分(Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 直线的参数方程也可以做，更简洁。

成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测
理科综合生物部分参考答案及评分标准
I卷共7题,每题6分,共42分。

1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.B
7.C
Ⅱ卷共4题，共48分。

8．(12分，除注明外，其余每空1分）
储能多 ATP 热能
由正变负神经-体液收缩增多
甲状腺激素高寒冷刺激使下丘脑将TRH释放到血液中的速度加快（2分) 9.(11分，除注明外，其余每空1分）
类囊体薄膜上叶绿体基质下降
50%全光照黄金叶增加总叶面积自然选择
减弱不是此时段内胞间C02浓度在增加(2分）
10.(11分，除注明外，其余每空1分)
(1)乙醛缓冲物质
(2)酒精灯火焰培养基表面被划破
(3)隆起程度和颜色被污染或产生变异甘油管藏
(4)B(2分）该细菌合成纤维素需要大量糖源（2分）
11.(14分，除注明外，其余每空1分）
(1)遗传效应 4种碱基的排列顺序代谢
(2)1/2 1/8
(3)8 1/9 (2分）
(4)①4 (2分）②没有子代产生(2分）
③红花宽叶:红花窄叶:白花窄叶=1:2:1 (2分）。

成都市2015级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理和本试卷分选择題和非选挥題朋部分.第I卷（选择題）】至2页，第D卷（菲选揮題）3至4页，共4页•瞒分150分•考试时间120分钟.注意事项：1.答題前，务必将自己的姓名、考緒号填写在答题卡Ml定的位宣上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答題卡上对应题目的答案标号涂廉，如需改动，用橡皮捋擦干净后•再选檢葛它答案标号.3.答非选择题时•必须使用a 5査米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位盘上.4.所有题日必须在答题卡上作答，在试题总上答題无效.5.考试結束后，只将答if卡交回.第I卷（迭择题，共60分）一、选择進：本大总其12小毎小U5分，共60分.在毎小魅给出的四个选项中，只有一项忌符合题目要求的.1.设仝集U=R，集合A = {x|x<-2} 则JCA U B)=(A) (-2,-1) (B) C-2,-1] (C) (一8, _2]U [—1，+°°) (D) (-2,1)2.复数w =丄在复平面内对应的点位于1 -ri（A》第一象限（B）第二象限（C）第三象限《D）第四象限3.空气质■指tt AQI是检测空气质■的•要参数.其数值越大说明空代污染状况越严塑•空代质量述蔓・某地环保祁门统计了该地区12月1日至1Z月24日连纹24天的空气质■指敷AQI,根据得到的数据绘制岀如图所示的折线田.则下列说法错谋的是（A）该地区在12月2日空气质ft最好（B）该地区在12月24日空气质量最苣（C）该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大（D）该地区的空气质AQ1与这段日期成负相关4.已知说角△人BC的三个内角分别为A,B,C・則44 sin A >sinB ”是““nA >unB ”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必耍条件数学（理科”一绘-考氏题第1页〈共4页〉5••更相减损术”是我国古代数学名着C九韋算术》中的箕法案例•瓦对应的程序框图如图所示•若输入的鼻・，山的值分别为4,6,1 •則输出的k的值为<A)2(B)3 (04 (D)56.若关于工的不尊式才+2oz + lN 0在[0,+8)上恒成立，则实数a的取值范園为<A)(Ot+oo) (B) [一1・十8><C) [-1.1] (D) [0< + oo)7.已知siga W(0诗),则caK2»十专》的值为工* y28 如图.巳知双曲线取正一〒=l(a >0』>0) •长方形ABCD的頂点A.B分别为双曲线E的左，右焦点，且点C,D在双曲线E上.若AB-6，BC-害，则双曲线E的离心率为3 5(A)血(B) - (C) j (□)/□9.在三梭锥P-ABC中•已知PA 丄底面ABC • ZBAC -120* ,PA-AB=AC«2.若谏三棱惟的頂点都在同一个球面上•则谏球的表面积为(A)10/3K(C)20K(D)9 辰W•已知定义在R上的奇函数/<x)满足/Gx十2)十j(Q・0,且当工€ [0,1]时. /(x)=log?(x十1)・则下列不等式正确的是(A) / (log, 7) < /(- 5) < /(6) (B) /(log： 7) </(6)< /(- 5)(C) - 5) </(log27> < f (6) (D) - 5) </(6) < /(log27)11•址函数/(x) — sin(2jr +专)•若X|JCi <0> 且/(Xi> +-/(x2) —OtJH |z t— j| | 的取值范阿为(A) +8)(B) ($+8)(C)(象+8)(D)(學.+8)6 3 3 312若关于工的方畤+三+"0有三个不相尊的实如"2,且刊v°s Ve其中m WR.e=2・ 7182&••为自於对数的底数.则(吾■一"當一以合一“的值为(A)e (B) 1-m (C) 1 + m (D) 1数学(理稈”一燐"勺试題弟2只(共4灵)第11卷（非选择題•共90分）二、填空矗：本大&共4小毎小题5分，共20分.13.（r + 2^）s的屣开式中含Kb顼的系数为 ________________ .工一，＞114.若实数x q腐足线性约束条件丿y 0工•则x±2＞的最大值为______________________15.如图，在直角梯形ABDE中•已知ZABD= ZEDB= 9O\C 是BD 上一点,AB = 3 -屁乙ACB = 15\ ZECD =60・. zLEAC -45\则线段DE的长度为16•在长方体ABCD -A x B x CyD｛中，巳知底面ABCD为正方形• P为人6的中点• AD=2•人久M，点Q是正方形A BCD所恋平tft内的一个动点•且QC=血QP，則线段£Q的长JtWft大值为三、解答題：本大题共6小题•共70分•解答应写岀文字说明.证明过程或演算步鼻. 17.（本小题厲分12分）已知寻差数列（aj的前”项和为S. ,a,-3.S4-16,n 6 N，・“）求数列laj的通项公式；（2）设求数列（6J的前”项和丁…2心和18.（本小题満分12分）某部门为了解一企业衣生产过稅中的用水量愣况•对毎天的用水最作了记录，得到了大*该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中Ml机独取12天的数据作为样本•得到如图所示的箜叶图（单位：吨）.若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水扯超标.（1〉从这12天的数据中陆机抽取3个■求至多有1天是用水債趙标的槪率'（2）以这12大的样本数抵中用水俭超标的频率作为概率•估计该企业未来3天中用水量超标的天数•记随机变it X为未来这3天中用水册超标的天数•求X的分布列和数爷期望.19•（本小题淸分12分）如用①•在边长为5的菱形/＜BCD中，AC = 6.现沿对角线AC把AADC瞬折到△APC的位置得到四面体P-ABC■如图②所示•已知PB-4V2 .教学（理科）•一设"考试越第3血（共4负）«1）求证：平面PAC丄平面ABC a（2）若Q舉线段AP上的点•且= j AP，求二面角Q-EC-A的余弦值.20.（本小题礴分12分》图①图②巳知穂圖C手+召=心>6>。

四川省成都市2015届高三第一次诊断适应性考试数学（理）试卷一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ）A 、),1(+∞-B 、)2,1[-C 、)2,1(-D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D 、命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”． 3、方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ） A 、()0,1 B 、()1,2 C 、()2,e D 、()3,4 4、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5B 、7C 、9D 、115、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6、二项式102)2(x x +展开式中的常数项是（ ） A 、180 B 、90 C 、45 D 、360 7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A 、2a b =B 、//a bC 、13a b =- D 、a b ⊥8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM+的取值范围是（ ）A 、[]51，B 、[]52，C 、[]21，D 、[]50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ） A 、54 B 、53 C 、43 D 、5510、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．１B ．２C ．３D ．４ 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ； 12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

成都市龙泉驿区高2015届诊断性考试数学（理科）试题说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=棱柱的体积公式 V Sh = 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式 13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 第Ⅰ卷 （选择题部分 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设全集{}1,2,3,02U =---，，集合{}{}1,2,0,3,02A B =--=-，，则()U C A B ⋂=（ ） A.{}0 B.{}3,2- C.{}1,3-- D.φ2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A 、660 B 、720 C 、780 D 、8003．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是 A ．3πB ．πC ．2πD ．3π4. 已知110a b<<，则下列结论错误的是（ ）A.22b a <B.2b a a b+> C.2b ab > D.2lg lg a ab <5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A． B ． C．6．下列命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若错误！未找到引用源。

四川省成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则U P =ð （A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞（C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【知识点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：因为{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以U P =ð[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.【题文】3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3（C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为5 【知识点】复数运算 L4 【答案】【解析】D 解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i -+，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【知识点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像.【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ” （C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【知识点】四种命题 A2 【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题. 【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【知识点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：因为240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知F 是椭圆22221+=x y a b（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ） （A ）14 （B ）34 （C ）12（D【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF ||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a=， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B.【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a=，且14=PF AF ，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可. 【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【知识点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈cos 2α∴=[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈，cos()βα∴-=sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-((=+=， 又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+ sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时， 2HP 最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【知识点】点、线、面间的距离计算 G11【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDD C 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min 2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B.【思路点拨】注意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________． 【知识点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x-的展开式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答） 【知识点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r6r6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x---+=-=-，求展开式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r 366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r6r6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．【知识点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积11sin 2422S ac B ==⨯⨯=【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1sin 2S ac B =即可. 【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【知识点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：因为0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R 上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-. 【思路点拨】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后根据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N 时，n k <；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)n S ． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】①③④解析：因为曲线C ：22y x a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y === ，n k =，点n P ()n （0,a n >∈N ）处的切线n l 为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--= ，①00|x ||y |=，0,|||1n a a ∴=-=∴= ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③012n <≤，∴> <亦即n k <，正确；④n k ==121n n n ++=+，22(2n 1)<+，<，<=，因为n k =，所以122(21321)n n S k k k n n =+++<-+-+++- 1)， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =， ,n n x n a y =--=，依次进行判断即可. 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率； （Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【知识点】古典概型，分布列 K2 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX （Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分 1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分 ∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．【知识点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10 【答案】【解析】 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E，D ． ∴(2,0,2)=-AE，(1=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n ． ∴平面DEA 与平面ABC．…………………………8分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出//DF OB ； （Ⅱ）分别求平面DEA 与平面ABC 的法向量1(1,0,1)=n 2(0,0,1)=n ，∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n ，即可求出余弦值． 【题文】18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ．【知识点】等差数列，等比数列【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n （Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．…………………………………4分 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分 （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n …………………………………………1分 ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分 ∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解. 【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【知识点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22m i n m a x =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分 ∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ．又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分） 已知椭圆Γ：12222=+byx （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F的距离之和为（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且AB =0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【知识点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+yx （Ⅱ）0x 的值为3-或1- （Ⅰ）由已知2=a =a ，又=c∴2224=-=b a c ． ∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分 ∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ，得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321m x x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400m m x y =+=， ①当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分②当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，因为=PA PB ，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分情况讨论即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()emx mx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值； （Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【知识点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me =-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,(21)∈-∞-+m e e 解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x m x f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'x f ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分 ∴me e f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分 （Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mx mxe mx e m mx mx g x m e e--'=-=>． ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增． ∵函数()g x 存在三个零点． ∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ． ∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m m g m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e．……………………………………………………1分 综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分（III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x 由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分 ∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减． ∴max 224()()==-g x g m m e m．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e．∴224(21)e m e+>，即224(21)m e e >+．由0<m ，解得(21)m e e <-+． 综上所述，存在这样的负数(,)(21)∈-∞-+m e e 满足题意．……………………………1分 【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ，12min ()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m，求解即可.。

四川省成都市2015届高三摸底(零诊)数学(理)试题第I 卷(选择题,共50分)一、选择题.本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()5,3a =-,()6,4b =-,则a b +=A.()1,1B.()1,1--C.()1,1-D.()1,1-2.设全集{}1,2,3,4U =,集合{}1,3S =,{}4T =,则()U S T ð等于A.{}2,4B.{}4C.∅D.{}1,3,43.已知命题p x R ∀∈：,25x =,则p ⌝为A.,25x x R ∀∉=B.,25x x R ∀∈≠C.00,25x x R ∃∈=D.00,25x x R ∃∈≠4.计算662log 3log 4+的结果是A.6log 2B.2C.6log 3D.35.已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z =4x +y 的最大值为A.10B.8C.2D.06.已知a ,b 是两条不同直线,a 是一个平面,则下列说法正确的是 A.若a ∥b .b α⊂,则a //α B.若a //α,b α⊂,则a ∥b C.若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b D.若a ⊥b ,b ⊥α,则a ∥α7.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可A 肺颗粒物,一般情况下PM 2.5浓度越大,大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：μg /m 3)则下列说法正确的是 A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是A.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ C.42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ D.52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x -=,且当(]1,3x ∈-时,()(]2,(1,1)1cos ,1,32x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨+∈⎪⎩则()()lg g x f x x =-的零点个数是A.7B.8C.9D.1010.如图,已知椭圆221111x C y +=：,双曲线()2222210,0x y C a b a b-=>>：,若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ,B 两点,且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则C 2的离心率为A.5D.7第II 卷(非选择题,共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分答案填在答题卡上. 11.已知40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,则sin()πα-= . 12.当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是____ .13.如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是 .14.运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是____ .15．已知直线14y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与曲线y =恰有两个不同交点,记k 的所有可能取值构成集合A ,P (x ,y )是椭圆221169x y +=上一动点,点()111,P x y 与点P 关于直线1y x =+对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机地从集合A ,B 中分别抽出一个元素1λ,2λ,则1λ>2λ的概率是____ .三、解答题：本大题共6小题,共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤. 16.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=3,S 7=49,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设12(1)2n n a b n-+⋅=,求数列{b n }的前n 项和T n .【知识点】等差数列与等比数列的通项公式与求和公式【答案解析】(1)21n a n =-；(2)122n n T +=-.解析：解：(1)设公差为d ,因为113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以()1121n a a n d n =+-=-,即所求数列的通项公式为*21,n a n n N =-∈； (2)由(1)得()1122n n nna b n-+==,所以()()11*121222,112n n n n b q T n N q+--===-∈--【思路点拨】在解答题中一般遇到等差数列与等比数列通常利用其通项公式与求和公式列出首项与公差或公比的方程组,通过解方程组求出首项与公差或公比再进行解答. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知向量m =(a －b ,c －a ),n =(a +b ,c )且m ·n =0. (1)求角B 的大小； (2)求函数f (A )=s1n 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值域. 【知识点】向量的数量积的坐标运算,余弦定理、三角函数的值域 【答案解析】(1)3π；(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦解析：解：由m ·n =0得222a cb ac +-=,由余弦定理得2221c o s 22a c b B ac +-==,又因为B 为三角形内角,所以3B π=；(2)由(1)得20,33A C πππ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,所以51,,sin ,166662A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦,则所求函数的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用,在三角函数给定区间求值域问题,通常先由所给角的范围得辅角范围,再利用三角函数的单调性确定值域. 18.(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本统计数据如下表：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A,B.C,D,E,F六名学生中,但有A,B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率.【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】(1)7650名；(2)3 5解析：解：(1)42500×36200=7650(名)；(2)从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共15个,设事件G表示至少有一位学生认为作业多,符合要求的事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}共9个,所以()93 155P G==,所以至少有一名学生认为作业多的概率为3 5 .【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型,若总体个数有限为古典概型,利用古典概型计算公式计算,若总体个数无限为几何概型,利用几何概型计算公式计算.19.(本小题满分12分)如图,已知⊙O的直径AB=3,点C为⊙O上异于A,B的一点,VC⊥平面ABC,且VC=2,点M为线段VB的中点.(1)求证：BC⊥平面VAC；(2)若AC=l,求二面角M－VA－C的余弦值.【知识点】直线与平面垂直的判定、二面角的求法【答案解析】(1)略；(2)11解析：解：(1)证明：因为VC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VC⊥BC,又因为点C为圆O上一点,且AB 为直径,所以AC⊥BC,又因为VC,AC⊂平面VAC,VC∩AC=C,所以BC⊥平面VAC.(2)由(1)得BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,分别以AC,BC,VC,所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C—xyz如图则A(1,0,0),V(0,0,2),B(0,设平面VAC的法向量()()()02201021m CB VA AB===-=-，，，，，，,设平面VAM的法向量()n x y z=，，,由200x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y得42x z =⎧⎨=⎩,所以()4,2,2,cos ,1122mn n m n m n∙====∙,即所求二面角的余弦值为11 【思路点拨】在证明直线与平面垂直时,一般结合直线与平面垂直的判定定理,只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解,当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系,借助于平面的法向量解答. 20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系x Oy 中,点P 是圆x 2+y 2=4上一动点,PD ⊥x 轴于点D ,记满足1()2OM OP OD =+的动点M 的轨迹为F . (1)求轨迹F 的方程；(2)已知直线l ：y =kx +m 与轨迹F 交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,射线OG 交轨迹F 于点Q ,且,OQ OG λλ=∈R .①证明：λ2m 2=4k 2+1；②求△AOB 的面积S (λ)的解析式,并计算S (λ)的最大值.【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算【答案解析】(1)2214x y +=；(2)①略,②()()1,S λλ=∈+∞,最大值为1. 解析：解：(1)设点M (x ,y ),()00,P x y ,得点D 坐标为()0,0x ,且22004x y +=.①因为()12OM OP OD =+,所以002x x y y=⎧⎨=⎩②,将②代入①得2244x y +=,所以所求的轨迹方程为2214x y +=； (2)①令()()1122,,,A x y B x y ,由()22222,148440440y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+-=⎩得,所以()()()22222121222221212228414440 1488141444441414km k m m k km km x x x x k k m m x x x x k k ⎧⎧∆=-+->⎪⎪<+⎪⎪--⎪⎪+=+=⎨⎨++⎪⎪⎪⎪--==⎪⎪++⎩⎩即③,所以()()12122282221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++,由中点坐标公式得224,1414kmm G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,根据OQ OG λ=,得224,1414km m Q k k λλ-⎛⎫⎪++⎝⎭,将其代入椭圆方程,有()()222222222411414k m m k k λλ+=++.化简得22214m k λ=+④②由③④得m ≠0,λ＞1.因为12x x -==, 在△AOB 中,1212S m x x ∆AOB=∙-⑥,由④⑤⑥得()()21,S λλλ==∈+∞,令()0,t =+∞,则. ()222211112t S t t t tλ==≤===++当且仅当即所以当λ=,()S λ=取得最大值,其最大值为1.【思路点拨】在求轨迹方程问题时,若所求点与已知曲线上的点相关,可用代入法求轨迹方程,在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时,经常把问题转化为坐标关系,通过联立方程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系,若遇到向量关系,先看有无直接的几何条件特征进行转化,否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关系解答.21.(本小题满分14分, 巳知函数f (x )=x 1nx ,g (x )=13ax 2－bx ,其中a ,b ∈R . (1)求函数f (x )的最小值；(2)当a >0,且a 为常数时,若函数h (x )=x [g (x )+1]对任意的x 1>x 2≥4,总有1212()()0h x h x x x ->-成立,试用a 表示出b 的取值范围； (Ⅲ)当b =23-a 时,若f (x +1)≤32g (x )对x ∈[0,+∞)恒成立,求a 的最小值. 【知识点】导数的综合应用 【答案解析】(1)1e -；(2)1016a <<时,(b ∈-∞；当116a ≥时,1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦；(Ⅲ)1解析：解：(1)因为()()'ln 1,0,fx x x =+∈+∞,令()'10,f x x e ==得,所以f (x )在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,则f (x )在1x e =处取得最小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.(2)由题意得()()3213h x xg x x ax bx x =+=-+在[4,＋∞)上单调递增,所以()'2210h x ax bx =-+≥在[4,＋∞)上恒成立.即2112ax b ax x x+≤=+在[4,＋∞)上恒成立,构造函数()()()10,0,F x a x a x x=+>∈+∞,则()2'2211ax F x a x x -=-=,所以()0,F x a ⎛= ⎝⎭上单调递减,在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (1)当14016a a ><<即时,F (x )在4⎡⎢⎣⎭上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,所以F (x )的最小值为F =⎝⎭,所以2b b ≤≤； (2)当1416a ≤≥即时,F (x )在(4,+∞)上单调递增,()11244,248b F a b a ≤=+≤+从而；综上,1016a <<时,(b ∈-∞；当116a ≥时,1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦；(Ⅲ)当23b a =-时,构造函数()()()()()[)23111ln 1,0,22G x f x g x x x ax ax x =+-=++--∈+∞,由题意有G (x )≤0对x ∈[0,+∞)恒成立,因为()()[)'ln 11,0,G x x ax a x =++--∈+∞.(1)当a ≤0时,()()()'ln 1110G x x a x =++-+>,所以G (x )在[0,+∞)上单调递增,则G (x )＞G (0)=0在(0,+∞)上成立,与题意矛盾.(2)当a ＞0时,令()()[)()1',0,,'1x G x x x a x ϕϕ=∈+∞=-+则,由于()10,11x ∈+ ①当a ≥1时,()()[)1'01x a x x ϕϕ=-<0,+∞+在，上单调递减,所以()()()[)010,'00x a G x ϕϕ≤=-≤≤+∞在，上成立,所以G (x )在[0,＋∞)上单调递减,所以G (x )≤G (0)=0在[0,＋∞)上成立,符合题意.②当0＜a ＜1时,()[)111',0,11a x a x a x x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-=∈+∞++,所以()10,1x x a ϕ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭在上单调递增,在11,x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭上单调递减,因为()010a ϕ=->,所以()100,1x a ϕ⎡⎫>∈-⎪⎢⎣⎭在x 成立,即()1'001G x a ⎡⎫>∈-⎪⎢⎣⎭在x ，上成立,所以()10,1G x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上单调递增,则G (x )＞G (0)=0在10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上成立,与题意矛盾.综上知a的最小值为1.【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值,利用导数求最值一般先判断函数的单调性,再结合单调性确定最值位置,对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答.。