2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁
U
A=（）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]
2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）
A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤b
C．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c
3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）
A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l
4．已知双曲线的左，右焦点分别为F
1，F
2
，双曲线上一点P
满足PF
2⊥x轴，若|F
1
F
2
|=12，|PF
2
|=5，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．3
5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）
A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）
A ．136π
B ．34π
C ．25π
D ．18π
8．将函数f （x ）=sin2x+cos2x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），再将图象上所有点向右平移
个单位长度，得到函数g （x ）的图
象，则g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=一
B ．x=
C ．x=
D ．x=
9．在直三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE ．其中正确的命题有（ ） A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
10．已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，||=2，
=
﹣
，若M
是线段AB 的中点，则•
的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2
D ．﹣3
11．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （﹣x ﹣1）=f （x ﹣1），当x
∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x 3，则关于x 的方程f （x ）=|cosπx |在[﹣，]上的所有实数解之和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣6 C ．﹣3 D ．﹣1
12．已知曲线C 1：y 2=tx （y ＞0，t ＞0）在点M （，2）处的切线与曲线C 2：y=e x+1
﹣1也相切，则tln 的值为（ ） A ．4e 2 B ．8e C ．2 D ．8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若复数z=
（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．
14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既
同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．
15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．
16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上
存在点D，使∠BDC=，则CD= ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{a
n }满足a
l
=﹣2，a
n+1
=2a
n
+4．
（I）证明数列{a
n
+4}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{|a
n |}的前n项和S
n
．
18．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．
已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．
（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点
H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过
与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
点F且斜率为k的直线l
1
的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；
（I）若直线l
1
（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．
21．已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．
（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；
