帮你归纳总结(二十八)：数列中的易错题剖析

1、忽视对项数n 的讨论：例1、已知数列{}n a 的首项11a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=-≥， 求数列{}n a 的通项公式。

【错解】 1n n n a S S -=-，112n n n n S S S S --∴-=-，即1112n n S S --=， 1{}nS ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， 11(1)221n n n S ∴=+-⨯=-，即121n S n =-， 12(21)(23)n n n a S S n n --∴=-=--。

【剖析】上述解法忽视了对项数n 的讨论致错。

【正解】 当2n ≥时， 1n n n a S S -=-，112n n n n S S S S --∴-=-，即1112n n S S --=， 1{}nS ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， 11(1)221n n n S ∴=+-⨯=-，即121n S n =-，所以当2n ≥时，12(21)(23)n n n a S S n n --=-=--。

又当1n =时，11a =不满足上式，1,1,2,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=-⎨≥⎪--⎩。

2、忽视等比数列的前n 项和公式1(1)1nn a q S q -=-的使用条件：1q ≠例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12n a a n n a -+--. 【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n) －(1＋2＋3＋…＋n ) 当a =1时，S =22n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+-- 3、 忽视公比的符号例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116数列的公比．【错解】四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q则有4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =- 【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原 题中无此条件，所以增加了限制条件。

数列1.数列的第n 项与前n 项的和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n S a a a =+++L ). 2.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为()12n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 3.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为()111,11,1n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 4.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1,(1)111n n nb n n d q S d q db n q q q q+-=⎧⎪=⎛⎫-⎨-+≠ ⎪⎪---⎝⎭⎩. 【易混易错】易错点1．已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错．【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋12n ＋1，求{}n a 的通项公式．【错因】1n n n a S S -=-成立的条件是2n ≥，当1n =要单独验证．易错点2．利用等比数列前n 项和公式时，忽略公比1q =致错． 【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n aa --≠的前n 项和．【错解】由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-n aS =2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-两式相减得231(1)1222.....2(21)n nn a S a a a an a --=+++--=12(21)11nn a n a a-----g21(21)12(1)1n n n a n a S a a--+∴=---g .【错因】上述解法只适合1a ≠的情形．事实上，当1a =时，1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2n n n +-==【正解】221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ⎧--+-≠⎪--=⎨⎪=⎩g ．易错点3．忽略数列与函数的区别致错．【例3】已知函数5,6()(4)4,62x a x f x ax x -⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =（*N n ∈），且数列{}n a 是单调递增数列，则a 的取值范围是_______．【错解】由题有651402(4)642a aa a -⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-⨯+<⎪⎩，得78a <<．【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将6n =代入到分段函数的两个部分进行比较．【正解】由题有1402(5)(6)a a f f >⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩，得4887a <<．【例4】 已知数列22n a n tn =-+在[2,)+∞上是递增数列，则实数t 的取值范围是_______．【错解】依题意，22tn =≤，解得4t ≤，所以t 的取值范围是(,4]-∞． 【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法． 【正解】依题意，23a a <，即422932t t -+<-+，故5t <．易错点4．数列的定义域是全体的正整数．【例5】已知数列133n a n =-，其前n 项和为n S ，则n S 的最大值是________． 【错解】由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-==--+，当236n =时，n S 的最大，最大值为52924n S =． 【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数． 【正解】方法1：由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-==--+，当4n =时，离二次函数对称轴最近，所以n S 的最大值为4S =223434222⨯-⨯=． 方法2：令1330n a n =->，解得134n <，即{}n a 前4项为正数，后面项均为负数，所以n S 的最大值为4S =223434222⨯-⨯=．易错点5．乱用结论致错．【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，230,90m m S S ==，求3m S ．【错解】因为322m m m S S S +=，30m S =，290m S =，所以322150m m m S S S =-=． 【错因】以为{}n a 为等差数列，则23,,m m m S S S 也是为等差数列致错． 【正解】设数列的公差为d ，则123......m m S a a a a =++++，212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++，31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++11()2m m S a m -=+，2131()2m m m S S a m --=+，32151()2m m m S S a m --=+ 所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列，所以()2322m m m m m S S S S S -=+-． 即32(9030)3090m S ⨯-=+-，3180m S ∴=．易错点6．乱设常量致错．【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =_______.【错解】(513),(45)n n S n k T n k =+=+，则15n n n a S S k -=-=，14n n n b T T k -=-=，所以1010:5:4a b =．【错因】从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数的变化而变化，不能设为常数，这里忽略了项数的可变性而致错． 【正解】设(513),(45)n n S n nk T n nk=+=+，则1(108)n n n a S S n k-=-=+，1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥，:n n a b ∴=(108):(81)n n ++．所以1010:a b =4:3．易错点7．用归纳代替证明致错．【例8】【四川高考理数改编】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ ，若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；【错解】依题意112132=112=32a a a qa a a ìïïïï+=+íïïï+ïî，解得123124a a a ì=ïïïï=íïïï=ïî，因为2213a a a =，所以{}n a 是一个等比数列，所以1*2()n n a n -=?N ．【错因】由前3项成等比数列，就认为数列{}n a 为等比数列．【正解】由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．【例9】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和. 【错解】依题意，||n n b a =也是等差数列，11||28b a ==，3030||59b a ==， 所以3012330(2859)30||||||......||12602S a a a a +⨯=++++==．【错因】这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >【正解】3012330||||||......||S a a a a =++++1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++110113010()20()22a a a a ++=-+=755．易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．【例10】已知数列{a n }满足a 1＝1，121n n a a +=+，求n a 的通项公式．【错解】*121()n n a a n N +=+∈Q ，112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以2为公比的等比数列 11122n n n a --∴=⨯=*()n N ∈．【错因】新数列的首项是112a +=，不是1a ．【正解】*121()n n a a n N +=+∈Q ，112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈【即时检测】1.已知数列{a n }是1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是1为首项，2为公比的等比数列，设n b n a c =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】由题设知21n a n =-，12n n b -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是10． 故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（ ） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 1011【答案】C【分析】利用()12n n n S S a n --=≥，结合数列的递推公式可解决此问题． 【详解】解：当 2n ≥时，12n n a S n -+=①，故121n n a S n ++=+② 由②－①得，()1121n n n n a a S S +--+-=，即()112n n a a n ++=≥ 所以()()()201912345201820191010S a a a a a a a =+++++⋯++= 故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有n S 时常用()12n n n S S a n --=≥进行转化．3.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ） A. 24 B. 48C. 12D. 60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有7(12)38112a -=-，解得3a =．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224⨯=．选A ．4.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）．A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S【答案】D【解析】由n N *∀∈，都有10S S n ≤，10110,0a a ∴≤≥，1191020a a a ∴+=≤，()119191902a a S +∴=≤故选：D.点睛：利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量. 5.已知数列{a n }的前n 项和n S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A. 196 B. 200C. 10011942+D. 10211982+【答案】B【解析】()11262nn n nS a n --=-+（1） 当2n ≥时，()1111112(1)62n n n n S a n ------=--+（2）， （1）-（2）得; ()()1112112n n n n n n a a a --=-+---,当n 为偶数时，1122n n a -=-，当102n =时，101102122a -=，当n 为奇数时，11222n n n a a -=-+，101n =时，1001011012122a a +=- 100100162a ∴=-100100100120062002S a ∴=+-+=。

《数列》常见错误辩析数列是高中数学的重要内容之一，在最近几年的高考中，有关数列问题每年有两个左右，约占总分的12％.由于数列学习要求较高，同学们在学习的过程中经常会因为概念不清、忽略条件、思维混乱、考虑不周等原因而错解题目.下面就一些常见错误分类辨析如下，希望能对同学们有所帮助.错误一：陷入“n ”的误区例1 已知数列1，4，7，10，…，3n +7，…其中后项比前项大3. 求这个数列的通项公式.错解：数列的通项公式是37n a n =+.错误原因：有些同学看见含有n 的式子，就认为该项就是此数列的第n 项，而实际上题目给出的该项是已经化简了的结果，而并没有按照数列通项公式最原始的结构给出. 正解：数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以32n a n =-. 错误二：“貌合神离”导致错误例2 已知数列1{}1n a a =，，且1()n n a a n n *+-=∈N ，求数列{}n a 的通项公式. 错解：∵1()n n a a n n *+-=∈N ，∴{}n a 是以1为首项，以n 为公差的等差数列， 则21(1)1n a n n n n =+-=-+.错误原因：有些同学看见1()n n a a n n *+-=∈N 的结构就联想到1()n n a a d n *+-=∈Z ，没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件，只是记住了公式的外形，而没有领会公式内在的本质要求，所以造成了把变量 当成常量的错误. 正解：1()n n a a n n *+-=∈Z∴2132431()()()()123(1)n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++- ，即2111(1)1222n n n n na a n a +--=-∴=-+ ，. 错误三：特殊代替一般 例3 已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足111()()n n a a f a n *+==∈Z ，，求证：数列是等差数列. 错解：∵11()1()(N )31n n xf x a a f a n x *+===∈+，，. ∴212111()43114a f a a ====⨯+，，3232132111111()737a f a a a a a a ===-=-= ，，（常数） ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列.错误原因：这是初学者经常犯的一个错误，把对有限项成立的式子作为数列的通项公式，忽略了数列通项公式定义中“每一项”三个字而致错，因为对数列定性的结论是要求对数列所有项都成立的，而对局部的验证不能代替一般的证明. 正解：11()1()(N )31n n xf x a a f a n x *+===∈+，，. ∴11131111.331n n n n n n n na a a a a a a a ++++==∴-=+，，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列.错误四：把“1a ”遗忘例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121log 2n S n =+，则数列{}n a 是（ ）. （A（B（C ）公比为12的等比数列 （D ）既非等差也非等比数列 错解：∵12111122n n n n n n a a S S a ++-⎛⎫=-=-∴=⎪⎝⎭，，选（C ） 错误原因：对公式成立的条件没有记住，1n n n a S S -=-对2n ≥成立，而对1n =时却未必成立，同学们在解题的过程忽略了2n ≥这一隐藏条件，而导致了判断的错误. 正解：当n =1时，321112a S ⎛⎫==⎪⎝⎭， 当n ≥2时，12112n n n n a S S +-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭332211122a ⎛⎫⎛⎫=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32121(1)21(2)2n n n a n +⎧⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩≥ 正确答案为（D ）.错误五：随意编造性质例5 在等差数列{}n a 中，()n m a m a n m n ==≠，，则m n a +=__________. 错解：m n m n a a a m n +=+=+.错误原因：受等差数列性质：“若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+”的“启发”；于是有些同学就“想当然”认为也有m n m n a a a +=+性质，随意构造结论，而导致此题的错解.正解：∵1m n a a n md m n m n--===---，∴()()0m n n a a m n n d m m +=++-=+-=. 错误六：对公式理解深度不够例6 已知n n S T ，分别为等差数列{}{}n n a b ，前n 项的和，且723n n S n T n +=+，那么55a b =_________. 错解：由题意设(72)(3)n n S n k T n k =+=+，， 则有5545543730787a S S k kb T T k k--===--. 错误原因：上述的错解是此题众多错解中的最普遍的解法.其解题过程看上去似乎步步有理，但为什么又是错误的呢？原因就是对等差数列前n 项和公式没有理解透彻.错解中设(72)(3)n n S n k T n k =+=+，，即将等差数列前n 项的和看成了是关于n 的一次函数，显然是错误的.事实上，在等差数列中1(1)2n n n S na d -=+， 即2n S An Bn =+，它不一定是n 的一次函数.正解：法一：设(72)(3)n n S n nk T n nk =+=+，，则有55455418512065402812a S S k kb T T k k --===--. 法二：5519955199265212a a a a Sb b b b T +====+. 上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误. 则有55455418512065402812a S S k kb T T k k --===--. 法二：5519955199265212a a a a Sb b b b T +====+. 上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误.错误七 对概念理解不透彻 例1 下列说法正确的是（ ）Ａ．若1n n a a q +=（n *∈N ，q 为常数），则数列{}n a 是等比数列 Ｂ．若2b ac =，则数列a b c ，，是等比数列 Ｃ．任何两个数都有等差中项和等比中项Ｄ．数列a b c ，，是等差数列2a c b ⇔+=错解：不少学生会选择A 或B解析：对于各项全为零的常数列来讲，满足（A ）、（B ）两个选项，但显然这个常数列不是等比数列．对于（C ）选项，若两数异号，或者有一个数是零，则显然这两数没有等比中项．而上述所有问题对等差数列来讲都是不存在的，所以正确答案选（D ）． 例2. 数列{}n a 中任何相邻两项x y ，满足223220x xy y x y ++-+=，那么此数列是（ ） Ａ．等差数列 Ｂ．等比数列Ｃ．等差数列或等比数列Ｄ．以上均不对解析：∵22322()(2)(2)(2)(1)0x xy y x y x y x y x y x y x y -+-+=----=---=·， ∴2x y =或1x y -=．我们很容易误选（Ｃ）．但数列1000 ，，，，满足上式，它既不是等差数列，也不是等比数列． 所以答案应选（D ）．。

《数列》中的易错题剖析
《数列》的易错题剖析
一、关于等差数列的题目：
1、若等差数列a2,a5,a8…的公差为d，其中a6=10，则a9的值是多少？在此类题目中，最容易做错的是使用错误的公差。

例如，在题中只指
出a2,a5,a8…，很容易将公差设定成3，而不是d，最后计算出的a9
也将是错误的。

2、若等差数列a1,a2,a3…的公差为d，其中a7=22，则a11的值
是多少？
此类题目容易出现偏离等差数列规律计算出错误答案的情况。

例如，
根据题干可知a1,a2,a3…的公差为d，即a2-a1=d，但有些人会忘记
a3-a2=d，继续成立公式，而计算出错误答案。

二、关于等比数列的题目：
1、若等比数列a1,a2,a3…的公比为q，其中a7 =21，则a11的值是多少？
有些学生会将等比数列的公比设定成a4/a3，而不是q，这样一来，计
算出来的a11就会错误。

2、若等比数列a1,a2,a3…的公比为q，其中a2 =8，则a5的值是
多少？
有些学生会将a5的计算公式写错：a5=a2*q*q，而不是a5=a2*q*q*q，
这样一来，计算出来的a5就会错误。

数列中的错解剖析数列是中学数列的一项重要内容，是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材。

它与高等数列有较为密切的联系，是进一步学习的必备基础知识。

同学们在解题过程中，往往容易忽视数列的概念、性质、公式等方面的问题而导致错误。

下面通过同学们在解题过程中出现的种种失误加以系统的分析、整理、归纳、总结，以便引起大家的注意。

1．条件忽视的错误例1．设函数xx x f 1)(-=，正项数列}{n a 满足n a f n 2)(=，求数列}{n a 的通项公式。

错解：由题意可得n a a a f nn n 21)(=-=，则有0122=--n n na a ， 解得1244222+±=+±=n n n n a n ， 即数列}{n a 的通项公式为：12+±=n n a n 。

错解剖析：通过函数与数列的关系式， 以求方程根的形式求解相应数列的通项公式，但没有把握题目中给出的特殊条件——正项数列，即数列中的各项均为正数，而其中有一根不满足条件，要加以删除。

以函数为载体，以解方程为突破口，通过方程的根的求解来求解数列的通项公式，方法比较熟悉方便。

但要注意函数的定义域与方程的根的取值情况以及数列中的限制条件。

正确解答：由题意可得n a a a f nn n 21)(=-=，则有0122=--n n na a ， 解得1244222+±=+±=n n n n a n ， 由于正项数列}{n a 为正项数列，即0>n a ，所以12++=n n a n ，即数列}{n a 的通项公式为：12++=n n a n 。

2．运算过程的错误例2．已知b 是a 、c 的等差中项，且)1lg(+a 、)1lg(-b 、)1lg(-c 成等差数列，同时c b a ++=15，求实数a 、b 、c 的值。

错解：因为c a b +=2，c b a ++=15，所以b 3=15，即b =5， 设等差数列a 、b 、c 的公差为d ，则有d a -=5，d c +=5，因为2)1lg(-b =)1lg(+a +)1lg(-c ，所以24lg =)6lg(d -+)4lg(d +，即16=25－2)1(-d ，则有2)1(-d =9，所以d －1=3，则d =4，所以实数a 、b 、c 的值分别为1，5，9。

数列问题中常见错误剖析数列是高中数学重要内容之一，是每年高考的必考知识点,也是学生主要得分点之一，但部分同学常常会忽视一些细节问题，导致在高考中得分不是很高。

本文结合具体实例进行剖析，加强同学们解题时的防犯意识，以提高数学解题能力。

一.忽视等比数列中公比不为０例1.在等比数列{}n a 中，有21)(lim 321=++++∞→n n a a a a ，求1a 的取值范围。

错解：设公比为q ，则2111=-q a ， ∴11a q -= ， ∵q ＜１ ∴11a -＜１ 解得 ０＜1a ＜１。

剖析：上面解答中忽视了等比数列概念中要求0≠q 这一条件。

正解：由无穷等比数列各项和知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-<<211101q a q ，可得 12101<-<a ， 从而解得)1,21()21,0(1⋃∈a 。

二.注意公比q 一定是常数例2.数列{}n a 的首项为12，0n a >，且2211(2)(1)0()n n n n n a n a a a n *+++-++=∈N ，求{}n a 的通项公式．错解：由已知，得[]11()(2)(1)0n n n n a a n a n a ++++-+=． 因为100n n n a a a +>+>，， 所以1(2)(1)n n n a n a ++=+，即112n n a n a n ++=+． 所以{}n a 是首项为12，公比为12n n ++的等比数列． 所以{}n a 的通项公式为11122n n n a n -+⎛⎫=⨯ ⎪+⎝⎭．剖析：此解中由“112n n a n a n ++=+”就认为{}n a 是等比数列．其实，等比数列定义中的1n n a q a +=不仅仅是一种形式，而且要求q 必须为常数，这里的12n n ++显然不是常数，故解答错误．正解：由已知得112n n a n a n ++=+，即时112n n n a a n ++=+． 所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= (1221111321)n n n n n n n --=⨯=+-+···…·． 三.忽视隐含条件致误例3.已知四个实数成等比数列，其积为36，中间两数之和为5，求这四个数． 错解：设比四个实数为33a a aq aq q q，，，， 由题知33365a a aq aq q q a aq q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩···，，解之得a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩当a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，这四个数为492332，，，；当3a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，这四个数为943223，，，． 综上得这四个数为492332，，，或943223，，，． 剖析：此题设法巧妙，事实上，当设四个数为33a a aq aq q q，，，时，已经隐含了这个等比数列的公比为20q >，即这个数列的各项应该为符号相同的．但此题中并没有这种限制，所以运用这种设法，虽然巧妙，但已经把这四个数正负相间（即公比为负）的另一种情形给弄丢了，正确解法如下：正解：设这四个数为23a aq aq aq ，，，．由题知232365aaq aq aq aq aq ⎧=⎪⎨+=⎪⎩···，，解之得232aq aq =⎧⎨=⎩，，或223aq aq =⎧⎨=⎩，，或261aq aq =⎧⎨=-⎩，，或216.aq aq =-⎧⎨=⎩，故这四个数为492332，，，或943223，，，或116366--，，，或136616--，，，． 四.忽视利用1--=n n n S S a 求通项时n ≥２的条件例4.在数列{}n a 中，已知前n 项和2232+-=n n S n ，求该数列的通项公式。

2019 高考数学一轮复习易错知识点：数列数列是以正整数集 (或它的有限子集 )为定义域的函数，是一列有序的数。

查词典数学网小编带来了2019 高考数学一轮复习易错知识点：数列，希望大家仔细复习!1 易错点用错基本公式致误错因剖析：等差数列的首项为 a1、公差为 d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前 n 项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比数列的首项为 a1、公比为 q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比 q≠1时，前 n 项和公式 Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比 q=1 时，前 n项和公式 Sn=na1。

在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失掉了方向。

2易错点 an，Sn 关系不清致误错因剖析：在数列问题中，数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间存在关系：这个关系是对随意数列都成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在 n=1 和 n≥2时这个关系式拥有完整不一样的表现形式，这也是解题中常常犯错的一个地方，在使用这个关系式时要牢切记着其“分段” 的特色。

当题目中给出了数列 {an} 的 an 与 Sn 之间的关系时，这二者之间能够进行互相变换，知道了 an 的详细表达式能够经过数列乞降的方法求出Sn，知道了 Sn 能够求出 an，解题时要注意领会这种变换的互相性。

3 易错点平等差、等比数列的性质理解错误错因剖析：等差数列的前 n 项和在公差不为0 时是对于 n 的常数项为0的二次函数。

一般地，有结论“若数列 {an} 的前 N 项和 Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列 {an} 为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中， Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈ N*) 是等差数列。

解决这种题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各样可能性都考虑进去，以为正确的命题给予证明，以为不正确的命题举出反例予以辩驳。

数列中的易错问题数列中的易错问题
数列是中学数学中的重要内容，有着不同于其他内容的特殊性质.在解决数列问题时，学生往往会出现“会而不对，对而不全”的情况，正确解决这个问题，对提高学生的学习成绩起着至关重要的作用.为此，以下列举数列中几类易错的问题并进行分析，来帮助学生正确全面地解答数列问题.
易错点一：忽视公式an=Sn-Sn-1成立的条件致错
例1 已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式an.
错解由log2（Sn+1）=n+1，得Sn+1=2n+1Sn=2n+1-1，
有an=Sn-Sn-1=2n+1-1-（2n-1）=2n，所以数列{an}的通项公式an=2n.
正解由log2（Sn+1）=n+1，得Sn+1=2n+1Sn=2n+1-1.
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-（2n-1）=2n；
（2）当n=1时，a1=S1=21+1-1=3，所以数列{an}的通项公式an=
错因分析在运用公式an=Sn-Sn-1解题时，这里忽略了n=1的情况导致解答不完整.
易错点二：忽视等比数列中每一项都不为零致错。