数列中的常见错误

数列中的易错问题分析

11,1

12,22n

n S n n n S S n k b -=⎧==≥⎨-≥⎩=+n n n n n+1n n n+1

n n

n+1n n

一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：

（1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。

（）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如

=f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一） 概念理解错误 例题1：两个数列

{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且

:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（ ）

易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则

115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-=

所以1010:a b =4:3，故选C ，

从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数

n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。

解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则

1(108)n n n a S S n k -=-=+

1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥

:n n a b ∴=(108):(81)n n ++

所以1010:a b =4:3，故选D 。

例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，

若230,90m m S S ==，求3m S 。

易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。 解析：设数列的公差为d ，则

123......m m S a a a a =++++

212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

11

()2

m m S a m -=+

2131

()2m m m S S a m --=+

32151

()2m m m S S a m --=+

所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列， 所以()2322m m m m m S S S S S -=+- 即32(9030)3090m S ⨯-=+-

3180m S ∴=

（二） 公式应用错误

例题3:已知数列{}n a ，111,2n n n a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式。

易错警示：错因一：知识残缺，忽视n=1时的检验。

错因二：未明确规律，累加时误认为是n 个式子相加而导致求和错误。 解析：由12n n n a a +-=得

1212323431

1222.......2n n n a a a a a a a a ---=-=-=-=

将这n-1个式子相加，得

2311222.......2n n a a --=++++ 21n n a ∴=-，

当n=1时，此式子仍旧成立。 所以通项公式为21n n a ∴=-。

例题4：已知数列{}n a 的前项和为n S ，32n n S =-求数列{}n a 的通项公式。 易错警示：在利用公式1n n n a S S -=-解题时一定要注意只有2n ≥时才能成立，当n=1要单独验证，这一点易被忽视，从而得出123n n a -=错误结论。

解析：当n=1，111a S ==

当2n ≥时1n n n a S S -=-132(32)n n -=---123n -=，

由于11a =不适合上式，因此数列{}n a 的通项公式为11,(1)

23(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩

（三） 审题不细

例题5：在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和。 易错警示：这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >。 解析：3012330||||||......||S a a a a =++++

1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++

110113010()20()

22

a a a a ++=-

+

=755 （四） 用特殊代一般 例题5：求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和。 易错警示：由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，

23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-

n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-

两式相减得

231(1)1222.....2(21)n n n a S a a a a n a --=+++--

=12

(21)11n

n a n a a ----- 2

1(21)1

2(1)1n n n a n a S a a

--+∴=--- 解析：上述解法只适合的情形，事实上，当1a =时

1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-

2(121)

2

n n n +-=

=