方向导数和梯度

→
y
l
ρ
p ( x, y )
0
p′( x + x, y + y )
y
x
x
方向导数图示
讨论函数 z = f ( x , y )在一点P沿某一方向 的变化率问题．
| BC | tan α = | AC |
f ( x + x)
B
+ fff(((x+ xx)) fff(((x))) xx+ x) xx lim ff+′′(x)) = ||lim+0 + (x = x || → xx →0 →0 || ( x +xx) x || x
解
由梯度计算公式得
gradu( x, y, z) = u i + u j + u k y x z
= (2x + 3)i + (4 y 2) j + 6z k ,
故
grad u(1, 1, 2) = 5 i + 2 j + 12 k .
3 , 1 , 0)处梯度为零向量. 在 P ( 处梯度为零向量. 0 2 2
u u u f (X ) f (X0) = x + y + z + o(|| X X 0 ||) x y z
定理(方向导数导计算公式) 定理 若函数 u = f ( x , y , z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微， 则函数 f ( X ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处
X 0 处沿 l 方向的方向导数。记为
z l
X =X0
f (X ) f (X0) = Xlim →X0 || X X 0 ||
或
f l ′( X 0 )
利用直线方程可将方向导数的定义 表示为:
f ( X 0 + t e) f ( X 0 ) u = lim l t →0 + t
射线 l 的方程为 则 x = x0 + t cos α 故
grad f ( x, y, z) =
f f f i + j + k. x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致， 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值. 最大值.
类似地, 类似地,设曲面 f ( x, y, z) = c为函数 u = f ( x, y, z) 的等量面， 的等量面，此函数在点 P( x, y, z)的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x, y, z) = c在这点的法线的一 个方向相同， 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面， 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数. 向的方向导数.
u u u grad 其中， u = , , x y z
称为梯度
e = (cosα , cos β , cos γ )
在 R 中 可统一表示为
2
在R 中
n
u u u = cos α + cos β x y l u = grad u e l
grad u =
(
e = (cos α 1 , cos α 2 , L , cos α n )
u = xz , y
= (1, 0 , 2)
5 M =|| grad u ||= M = || grad u ||= 5
从而
例 2 求函数 u = x2 + 2 y2 + 3z2 + 3x 2 y在点 (1, 1, 2) 处的梯度， 哪些点处梯度为零向量？ 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量？
所得曲线在xoy面上投影如图 所得曲线在 面上投影如图
y
f ( x, y) = c2
P
c2 > c1
grad f ( x, y) 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) = c 等高线
o
f ( x, y) = c1 x
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 u = f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶 连续偏导数， 连续偏导数，则对于每一点 P( x, y, z) ∈G，都可 定义一个向量(梯度) 定义一个向量(梯度)
设 u = xyz + z 2 + 5 , 求 grad u , 并求在 例1 点 M ( 0 , 1, 1 ) 处方向导数的最大(小)值。 解 ∵ ∴
u = yz , x
grad u ( 0,1, 1)
u max l u min l
u = xy + 2z , z = ( yz , xz , xy + 2 z ) ( 0,1, 1)
三、小结
1、方向导数的概念 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长最 . 最大值。 快的方向 梯度的模为方向导数的 最大值。
= yx
= xy
P
= 4 ;
= 2.
u y
P
= xz
P
= 2 ;
P
P
2 2 1 cos β = , cos γ = . cos α = , 3 3 3 u 1 2 2 4 + (2) + 2 = P = (4) l 3 3 3 3
例
由点 P( x , y ) 到坐标原点的距离定 2 2 在坐标原点处 义的函数 z = x + y 函数可微是方向导数存在 的两个偏导数均不存在，但它在该点 的充分条件，而不是必要
§3 方向导数与梯度
一 、问题的提出 二、方向导数的定义 三、 梯度
一
问题的提出
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
= prje grad u
现在正式给出 grad u X ) ∈ C () ,
3
1
X 0 ∈ , 则称向量
f ( X 0 ) r f ( X 0 ) r f ( X 0 ) r k j+ i + z y x
为函数 f ( X ) 在点 X 0 处的梯度，记为
u x1
,
u x 2
,L ,
u x n
)
u u u cos α1 + L + cos α n = xn l x1
(n≥2)
u = u , u P( 例 设u = xyzcos求函数在点 + 1u, 2 , γ 2 ) cos r r α + r cos β r
u 解 x u u z
P
z l 沿方向 x = i + 2 jy 2 k 的方向导数。 l +
grad f ( X 0 ) 或 f ( X 0 ) 。
梯度的方向与取得最大方向导 数导方向一致，而它的模就是函数 在该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以 上的函数中。
在几何上 z = f ( x, y) 表示一个曲面 曲面被平面 z = c 所截得
z = f ( x, y) , z = c
x > 0
α A
C
f (x)
x
x + x
R 中 z = f (X )
3
z
.
O
r0 l
.
l P
P0
x
f (P) f (P0 y ) lim P → P0 || PP0 ||
r0 l 方向的方向导数
f (x ) 沿
二、方向导数的定义 设函数 u = f ( X ) 在 U( X 0 )内有定义。 若点 X ∈ U( X 0 )沿射线 l 趋于 X 0 时,极限 f (X ) f (X0) lim X →X0 || X X 0 || 存在，则称该极限值为函数 f ( X ) 在点
x x0 y y0 z z0 = = =t cos α cos β m n cos γ p
y = y0 + t cos β z = z0 + t cos γ
X = X0 + t e
e = (cos α , cos β , cos γ )
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 || X X 0 || > 0 ； 在偏导数中，分母 x 、 y 可正、可负。 方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？ 想一想，为什么？
u u u , , 该问题仅在 不同时为零才有意义。 x y z
由前面的推导，有
由此可得出什么结论？ 由此可得出什么结论？
u = grad u e l = || grad u || || e || cos(grad u , e) 方向导数等于梯度
= || grad u || cos(grad u , e) 在此方向上的投影
r0 沿任一方向 l = (cosα , cos β , cos γ ) 的方
向导数存在，且
u u u u cos α + cos β + cos γ = y x z l 其中, 各导数均为在点( x0 , y0 , z0 ) 处的值.
运用向量的数量积，可将方向 导数计算公式表示为：
u u u u = cos α + cos β + cos γ l x z y = grad u e