湖北省黄冈中学等八校2019届高三第一次(12月)联考数学理试题及答案

2019届高三黄冈中学八校第一次联考数学（理科）试题含解析第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥，{}3sin 1B y y x ==+，则AB =（ ）A ．[1,2]B ．[1,)+∞C ．(,1][1,2]-∞-D ．[0,1]考点：集合的运算，正弦函数，绝对值不等式，函数的值域。

答案：A解析：(,1][1,)A =-∞+∞－，集合B 是求函数的值域，所以，[0,2]B =，所以[1,2]A B =2．已知复数32iz i-=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．32 B ．32-C ．32i D ．32i -考点：复数的运算，虚部的概念。

答案：B 解析：23(3)131322222i i i i z i i i --+====---，虚部为32-． 3．设2018log 2019a =，2019log 2018b =，120192018c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>考点：对数运算和指数运算。

答案：C 解析：20182018201920191111log 2019log 2019,1,log 2018log 20180,2222a b ⎛⎫⎛⎫==∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102019201820181c =>=，所以c a b >>4．设函数540()03xx x f x x +<⎧=⎨⎩≥，若角α的终边经过点(3,4)P --，则[(c o s )]f f α的值为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．9考点：分段函数，三角函数。

答案：B 解析：223333cos ,(cos )541555(3)(4)f f αα-⎛⎫⎛⎫==-=-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-， 所以[(cos )](1)3f f f α==．5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且247,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2()n n S n N *=∈，，数列{}n c 满足,()n n n c a b n N *=∈，则数列{}n c 的前3项和为（ ）A ．31B ．34C ．62D ．59考点：等差数列的通项公式，等比数列的性质。

2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.3.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 95.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A. 31B. 34C. 62D. 596.下列有关命题的说法正确的是（）A. ，使得成立．B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A. 的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时，D. 若点，则8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A. B. C. D.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A. B. C. D.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A. 3B. 4C. 5D. 611.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A. B. C. D.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。

2019-2020学年湖北省华师一附中、黄冈中学等八校高三（上）第一次联考数学试卷（12月份）（15）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2252.已知集合A={x|x(x−1)≤0}，B={x|e x>1}，则(∁R A)∩B=()A. (0,1)B. [0,1]C. [1,+∞)D. (1,+∞)3.若公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2，9，a5成等差数列，则S20=()A. 2×410−1B. 410−1C. 2×49−1D. 411−14.已知sin(3π−θ)=−2sin(π2+θ)，则tan2θ等于()A. 43B. −43C. 65D. −655.已知正数a，b满足a+b=3，则1a +4b+1的最小值为()A. 94B. 3415C. 73D. 926.函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是()A. [−π,−5π6] B. [−5π6,−π6] C. [−π6,0] D. [−π3,0]7.设，则()A. a<c<bB. c<a<bC. b<c<aD. c<b<a8.直线l过点(0,14)，且与曲线y=x3−5x+16相切，则直线l的斜率为()A. 16B. −5C. 1D. −29.已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π10.已知奇函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)是导函数，若x>0时f′(x)>0，则()A. f(0)>f(log32)>f(−log23)B. f(log32)>f(0)>f(−log23)C. f(−log23)>f(log32)>f(0)D. f(−log23)>f(0)>f(log32)11.如图，将边长为2的正方体ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A1−BCD，则下列命题中，错误的为()A. 直线BD ⊥平面A 1OCB. 三棱锥A 1−BCD 的外接球的半径为√2C. A 1B ⊥CDD. 若E 为CD 的中点，则BC//平面A 1OE12. 关于函数f(x)=2(sinx −cosx)cosx 的四个结论：P 1：最大值为√2； P 2：最小正周期为π；P 3：单调递增区间为[kπ−π8,kπ+38π],k ∈Z ； P 4：图象的对称中心为(k2π+π8,−1),k ∈Z.其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 14. 实数x ，y.满足{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，则3x +2y 的最大值为______．15. 已知函数f(x)=e |x−1|+|x −1|，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是___________．16. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=0，若a n+1=[1+(−1)n ]a n +(−2)n (n ∈N ∗)，则S 100=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a−ca−b =sinA+sinB sin(A+B)．(Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 面积S 的最大值．18. 在等差数列{a n }中a 2=6，a 3+a 6=27．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n =3n−1，求数列{a n ,b n }的前n 项和T n ．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2．(1)求证：MN//平面PCD；(2)求二面角N−PA−D的余弦值．20.某商店将进价为每个10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个.经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个.为获得最大日利润，此商品的售价应定为每个多少元⋅21.已知函数f(x)=alnx−e x；(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若a=2，求证：f(x)<0．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2ty =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：为参数)．(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2:θ=π3(ρ∈R)与直线l 和曲线C 1分别交于异于原点的A ，B 两点，求|AB|的值．23. 设函数f(x)=ax +3−|2x −1|．(Ⅰ)若a =1，解不等式f(x)≤2；(Ⅱ)若函数有最大值，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题． 2.答案：D解析：解：A ={x|x(x −1)≤0}={x|0≤x ≤1}，B ={x|e x >1}={x|x >0}， 则∁R A ={x|x >1或x <0}，则(∁R A)∩B ={x|x >1}=(1,+∞)， 故选：D ．求出集合A ，B 的等价条件，解集合交集以及补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法求出集合A ，B 的等价条件是解决本题的关键． 3.答案：B解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和，考查等差数列的性质，是基础题．设等比数列{a n }的首项为a 1，由a 2，9，a 5成等差数列，列式求得a 1，再由等比数列的前n 项和求解．【解答】解：设等比数列{a n }的首项为a 1，由a 2，9，a 5成等差数列，且q =2， 得2×9=2a 1+16a 1，即a 1=1． ∴S 20=1×(1−220)1−2=410−1．故选：B ． 4.答案：A解析：解：由sin(3π−θ)=−2sin(π2+θ)得，sin(π−θ)=−2cosθ， 所以sinθ=−2cosθ，即tanθ=−2， 则tan2θ=2tanθ1−tan θ=−41−4=43，故选：A ．根据诱导公式和同角三角函数的关系化简已知的式子得tanθ=−2，代入二倍角的正切公式求出tan2θ的值．本题考查了诱导公式和同角三角函数的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题． 5.答案：A解析：【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．正数a，b满足a+b=3，则a+b+1=4.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数a，b满足a+b=3，则a+b+1=4．则1a +4b+1=14[a+(b+1)](1a+4b+1)=14(1+b+1a+4ab+1+4)=14(5+b+1a+4ab+1)≥14(5+2√b+1a·4ab+1)=14(5+4)=94，当且仅当b+1a =4ab+1即a=43，b=53时原式有最小值．故选：A．6.答案：C解析：解：函数f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，令2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，求得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，的单调递增区间[2kπ−π6,2kπ+5π6]，k∈Z．结合x∈[−π,π]，可得函数的增区间为[−π6,0]，故选：C．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间．本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，属于基础题．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：因为a=log23，b=log2√3，，所以，∴c<b<a.故选D．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查了导数的几何意义，来求切线方程问题．要注意考虑所给的点是否为切点．切点为(x0,y0)，则y0=x03−5x0+16，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k，另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．继而得出k的值，即可求l 的方程．【解答】，①解：设直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0)，则k=y0−14x0由y=x3−5x+16可得y′=3x2−5，即k=y′|x=x0=3x02−5，②又切点在曲线上，有y0=x03−5x0+16，③由①②③可得x0=1，y0=12，k=−2．故选D．9.答案：D解析：【分析】底面直径是4，则圆柱的底面半径2，圆柱的母线长等于高，代入体积公式S=πr2ℎ，由此代入数据即可解答．此题考查了圆柱的体积公式的计算应用．【解答】解：∵底面直径是4，∴圆柱的底面半径r=2，∵圆柱的母线长为4，∴高ℎ=4，∴V=π×r2ℎ=π×4×4=16π，故选D．10.答案：C解析：解：∵f′(x)是奇函数，且x>0时f′(x)>0，∴当x<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∵−f′(−x)=f′(x)，∴f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数．∵log23>log32>0，∴f(−log23)=f(log23)>f(log32)>f(0)．故选：C．判断f(x)的单调性和奇偶性，再判断大小关系．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．11.答案：C解析：【分析】本题考查空间线线、线面的位置关系，外接球的半径的求法，属于中档题．由线面垂直的判定定理可判断A；由直角三角形的性质可得O为球心，可判断B；由线面垂直的判断和性质，可判断C；由线面平行的判定定理可判断D．【解答】解：由正方形ABCD可得BD⊥OC，BD⊥OA1，OC和OA1相交且都在平面A1OC内，即有BD⊥平面A1OC，故A正确；由于O为BD的中点，△BCD和△BDA1均为直角三角形，可得OC=OB=OD=OA1，即有三棱锥A1−BCD的外接球的直径为BD，即半径为√2，故B正确；若A1B⊥CD，又CD⊥CB，A 1B∩CB=B，，可得CD⊥平面A1BC，，即CD⊥A1C，可得A1D>CD，这与CD=A1D矛盾，故C错误；由OE为△BCD的中位线，可得BC//OE，BC⊄平面A1OE，OE⊂面A1OE，则BC//平面A1OE，故D正确．故选：C．12.答案：C解析：解：∵f(x)=2(sinx−cosx)cosx=sin2x−(1+cos2x)=√2(√22sin2x−√22cos2x)−1=√2sin(2x−π4)−1，∴f(x)的最大值为√2−1，故P1错误；其最小正周期T=2π2=π，故P2正确；由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)得：kπ−π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，∴f(x)=2(sinx−cosx)cosx的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)，故P3正确；由2x−π4=kπ(k∈Z)得x=kπ2+π8(k∈Z)，∴f(x)的图象的对称中心为(kπ2+π8,−1)(k∈Z)，故P4正确．综上所述，正确的有3个． 故选：C ．利用三角恒等变换将f(x)=2(sinx −cosx)cosx 转化为f(x)=√2sin(2x −π4)−1，利用正弦函数的性质对P 1、P 2、P 3、P 4四个选项逐一判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角恒等变换与正弦函数的性质，属于中档题． 13.答案：(0,4]解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°，|可得∠B =30°． 由正弦定理可得：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin30∘=4，可得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4sinC ， 又0<C <150°，可得：0<|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4． 故答案为：(0,4]．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°，|可得∠B =30°.由正弦定理可得：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin30∘=4，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4sinC ，利用0<C <150°，即可得出．本题考查了正弦定理、向量夹角、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：12解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 【解答】解：由实数x ，y.满足{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，作出可行域如图，联立{x +y =4y =0，解得A(4,0)，化目标函数z =3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知，当直线y =−32x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为z =3×4+2×0=12． 故答案为：12．15.答案：(1,+∞)解析：【分析】由题意得f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，且函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点，画出图象得出k 的取值范围．【解答】解：f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，由题意方程f(x)=k 有两个不同实根， 则函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点， 所以k >1，故实数k 的取值范围是(1,+∞)．16.答案：2−21013解析：【分析】本题考查数列的求和，体现了分类讨论的数学思想方法与数列的分组求和，是中档题．由已知数列递推式可得数列{a n }的所有偶数项构成以−2为首项，以4为公比的等比数列，把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前n 项和求解． 【解答】解：由a n+1=[1+(−1)n ]a n +(−2)n (n ∈N ∗)， 当n 为奇数时，有a n+1=(−2)n ； 当n 为偶数时，有a n+1=2a n +2n ．∴数列{a n }的所有偶数项构成以−2为首项，以4为公比的等比数列，∴S 100=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 99)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 100)=a 1+2(a 2+a 4+a 6+⋯+a 98)+(22+24+26+⋯+298)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 100) =3(a 2+a 4+a 6+⋯+a 100)−2a 100+(22+24+⋯+298)=3×−2(1−450)1−4−2×(−2)99+4(1−449)1−4 =2−21013．故答案为：2−21013．17.答案：解：(Ⅰ)∵A +B +C =π，∴sin(A +B)=sinC ， ∴a−ca−b =sinA+sinB sinC，由正弦定理得a−ca−b =a+b c，即b 2=a 2+c 2−ac ，结合余弦定理，有cosB =12,B ∈(0,π)， ∴B =π3．(Ⅱ)∵2R=2=bsinπ3，解得b=√3，∴b2=3=a2+c2−2accosπ3≥2ac−ac=ac(当且仅当a=c时取等号)，∴S=12acsinπ3≤3√34．解析：本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(Ⅰ)利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2=a2+c2−ac，结合余弦定理，可求cosB=12,B∈(0,π)，即可得角B的值．(Ⅱ)由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)等差数列{a n}的公差设为d，a2=6，a3+a6=27，可得a1+d=6，2a1+7d=27，解得a1=3，d=3，则a n=3+3(n−1)=3n；(2)a n b n=n⋅3n，前n项和T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，两式相减可得，−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1，=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，化简可得T n=3+(2n−1)⋅3n+14．解析：(1)等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；(2)求得a n b n=n⋅3n，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：取PD的中点E，连结EM，EC，∵M是PA的中点，∴EM//AD，且EM=12AD，而NC=12BC，且ABCD是正方形，∴EM//NC，且EM=NC，∴四边形EMNC是平行四边形，∴EC//MN，因为EC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以，MN//平面PCD．(2)解：取AD的中点H，连结NH，则NH⊥AD，由已知，PD⊥底面ABCD，PD⊂侧面PAD，∴侧面PAD⊥底面ABCD，因为侧面PAD∩底面ABCD=AD，NH⊂底面ABCD，NH⊥AD，∴NH⊥侧面PAD，过H作HF⊥PA，连结FN，又PA⊂侧面PAD，则NH⊥PA，HF∩NH=H，HF、NH⊂平面HFN，∴PA⊥平面HFN，又FN⊂平面HFN，∴FN⊥PA，所以∠HFN是二面角N−PA−D的平面角，在△PAD中，FHPD =AHPA，由AD=2PD=2，得PA=√5，∴FH=√55，而NH=2，∴FN=2+FH2=√1055，所以二面角N−PA−D的平面角的余弦值为：cos∠HFN=FHFN =√2121．解析：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力以及计算能力．属于中档题．(1)取PD的中点E，连结EM，EC，证明四边形EMNC是平行四边形，得到EC//MN，然后证明MN//平面PCD．(2)取AD的中点H，连结NH，则NH⊥AD，过H作HF⊥PA，连结FN，说明∠HNF是二面角N−PA−D 的平面角，在△PAD中，转化求解即可．20.答案：解：设售价为每个x元时，日利润为y元．若x≥18时，日销售量为[60−5(x−18)]个，则日利润为y=[60−5(x−18)](x−10)=−5(x−20)2+500，则当售价定为每个20元时，日利润最大，为500元．若x<18时，日销售量为[60+10(18−x)]个，则日利润为y=[60+10(18−x)](x−10)=−10(x−17)2+490，则当售价定为每个17元时，日利润最大，为490元．所以售价定为每个20元时，日利润最大．解析：本题考查了函数模型的选择及应用，训练了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值得求法，是中档题．设出每个商品的售价，分别求出售价大于等于18元和小于18元时的销售量和每一个商品的利润，得到每日的利润函数后分段求出最大值，取两段函数最大值中的大者．21.答案：(1)解：根据题意可得，f′(x)=a x −e x =a−xe x x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，函数y =f(x)是减函数，无极值点；当a >0时，令f ′(x)=0，得a −xe x =0，即xe x =a ，易知y =xe x 在(0,+∞)上单调递增，所以a =xe x 在(0,+∞)上存在一解，不妨设为x 0，所以函数y =f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减；所以函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点．综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值点；当a >0时，函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点；(2)证明：a =2时，f(x)=2lnx −e x ，f ′(x)=2−xe xx (x >0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x 0)，且x 0满足x 0e x 0=2①，又y =xe x 在(0,+∞)上是增函数，且0<2<e ，所以x 0∈(0,1)，又知：； 由①可得e x 0=2x 0，代入②得，令g(x)=2lnx −2x ，则g ′(x)=2x +2x 2=2(x+1)x 2>0恒成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以g(x 0)<g(1)=−2<0，即g(x 0)<0，所以f(x)<0．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，利用导数证明不等式，属于较难题．(1)对f(x)求导数，讨论a 的取值，令导数f ′(x)=0，判断f(x)的单调性，从而求出函数y =f(x)极值点的个数；(2)求出a =2时f(x)的导数f ′(x)，判断f(x)的极值情况，利用极值构造函数，从而证明f(x)<0． 22.答案：解：(1)由{x =2ty =12+√3t ，得直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0， 直线l 的极坐标方程为， 曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)将θ=π3分别代入和得ρA =16√3，ρB =2√3，所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，由|AB|=|ρA −ρB |可得结果． 23.答案：解：(Ⅰ)由题意得x ≥12时，不等式化为x +3−3x +1≤2，解得：x ≥2，x <12时，不等式化为x +3+2x −1≤2，解得：x ≤0，综上，不等式的解集是(−∞,0]∪[2,+∞)；(Ⅱ)由题意得f(x)={(a +2)x +2,x <12(a −2)x +4,x ≥12， 函数有最大值的充要条件是a +2≥0且a −2≤0，即−2≤a ≤2．解析：(Ⅰ)需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，(Ⅱ)把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f(x)有最大值的充要条件，即可求得． 本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．。

湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 八中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题2018年12月12日下午15：00—17:00第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||1}A x x =≥，{},B y y ==，则A B = （ ） A.[1,2]B.[1,)+∞C.(,1][1,2]-∞-D.[0,1]2.已知复数2iz i=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）B.C.D. 3.设log a =2019log b =120192018c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.设函数540()03x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过点(3,4)P --，则[(c o s )]f f α的值为（ ）A.1B.3C.4D.95.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且247,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2n n S n N *=∈，，数列{}n c 满足(),n n n c a b n N *=∈，则数列{}n c 的前3项和为（ ） A.31 B.34 C.62 D.596.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立. B.命题p ：任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤. C.命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题.D.若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件.7.设不等式组02201x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为w ，则（ ）A.w 的面积是92B. w 内的点到x 轴的距离有最大值C. 点(,)A x y 在w 内时，22yx <+ D. 若点00(,)p x y w ∈，则002x y +≠ 8.将向量列111222(,),(,),(,)n n n a x y a x y a x y ==⋅⋅⋅= 组成的系列称为向量列{}n a，并记向量列{}n a 的前n 项和为123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 p，那么称这样的向量列为等和向量列。

2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A. 31B. 34C. 62D. 59【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得的前项和.【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解得，故.当时，，当时，，故.故的前项和为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（）A. ，使得成立．B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】【分析】对于A选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A. 的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时，D. 若点，则【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，，故奇数项都为，偶数项都为.故.注意到可知，C选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，取，则，由于，故，故为增函数，符合题意.对于B选项，取，则，由于，故为减函数，不符合题意.对于C选项，取，则，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D选项，取，则，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.【详解】依题意，化简为，可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内.故.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为时可利用等比数列前项和公式求和.11.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函数图像可求得的取值范围.【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故，根据条件②，有是奇函数，故，.根据条件③，，即，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为.画出图像如下图所示，，由图可知，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.【详解】，在单调递减.，，.设，则.设，则在上单调递减，则对恒成立.则对恒成立，则，即，解之得或.又，所以.【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.【详解】根据，解得，故.. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值.【详解】由得，代入所求表达式，可得.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）【答案】【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，且，故不等式可变为，即，解得.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。

2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}1A x x =³{B y y ==A B Ç=A. B.C.D. [1,2][1,)+¥(,1][1,2]-¥-È[0,1]【答案】A 【解析】【分析】先求得集合A 中绝对值不等式的解集，再求的集合B 中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A ，或，对于集合B ，由于，所以.所以1x £-1x ³03sin 14x £+£02y ££.故选A.[]1,2A B Ç=【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，x a £a x a -££的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B ，研究对象是x a ³x a £-x a ³函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）z i zB. D. --【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.z【详解】依题意，故虚部为，所以选B.12z ==---【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，则的大小关系是（ ）2018log a =2019log b =120192018c =,,a b c A. B. C.D. a b c >>a c b >>c a b >>c b a>>【答案】C 【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.1,,1c a b ><,a b 11,22a b ><,,a b c 【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b >=<=<=c ，而，故.综上所述20182018111log 2019log 2018222a =>=20192019111log 2018log 2019222b =<=a b >，故选C.c a b >>【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分121段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于1121的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.124.设函数，若角的终边经过点，则的值为（ ）540()30x x x f x x ì+<ï=í³ïîa (3,4)P --[(cos )]f f a A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B 【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.cos a 【详解】由于角的终边经过点，故，故a ()3,4P --3cos 5a =-，.故选B.()3cos 3415f f a æöç÷=-=-+=ç÷èø()1133f ==【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足0{}n a 13a =247,,a a a {}n b n n S，数列满足，则数列的前项和为（ ）2()n n S n N *=Î，{}n c ,()n n n c a b n N *=Î{}n c 3A. 31B. 34C. 62D. 59【答案】B 【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得n a 11,1,2n n n S n b S S n -ì=ï=í-³ïîn b 的前项和.n c 3【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解247,,a a a 2427a a a =×()()()211136a dad a d +=++13a =得，故.当时，，当时，，故1d =2n a n =+2n ³111222n n n n n n b S S ---=-=-=1n =11122b S ===.故的前项和为，故选B.12,12,2n n n b n -ì=ï=í³ïîn c 311223332425434a b a b a b ++=´+´+´=【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于n S n a 中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的1,a d 1,a q 形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. ，使得成立．(0,)x p $Î2sin 2sin x x+=B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．p x R Îcos 1x £p Ø0x R Î0cos 1x £C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．2a >2b >4a b +>4ab >D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．{}n a *,,m n p N Î2m n p a a a ×=2m n p +=【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B 选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C 选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D 选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A 选2sin 2sin x x+=2sin 2sin 20x x -+=4880D=-=-<项错误.对于B 选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B 选项错误.对于C 选项，0cos 1x £0cos 1x >原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不4a b +>4ab >2a >2b >1,5a b ==4a b +>4ab >满足且，所以为假命题.对于D 选项，若，为等比数列，，但；2a >2b >1n a =2123a a a ×=1223+¹´另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要2m n p +=2m n p a a a ×=2m n p a a a ×=2m n p +=不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（ ）02201x y x y x ì-£ïï-+³íï³ïîw A. 的面积是 B. 内的点到轴的距离有最大值w 92w x C. 点在内时， D. 若点，则(,)A x y w 22yx <+00(,)p x y w Î002x y +¹【答案】C 【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、x ()2,0-通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.00x y +2【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没x 有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D 选项错误.有图可知，可行,A B ()1,1112+=域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C 选项正确.所以选C.()2,0-22y x =+【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列()111,a x y =()222,a x y =(),n n n a x y ={}n a 的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一{}n a n 123n n S a a a a =++++ 个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的p ()11,0a =()1,1p =31S 是（ ）A. B. C. D. ()16,15()31,30()15,16-()16,15-【答案】C 【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正234,,a a a 31S 确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，1n n a p a +=-()()()21,11,00,1a =-=，故奇数项都为，偶数项都为.故()()()321,10,11,0a p a =-=-=()1,0()0,1.注意到可()()()()311331243016,0(0,15)16,15S a a a a a a =+++++++=+= ()()16,1515,160×-=知，C 选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，()y f x =R ()()()x f x f x a j=-+0a <()x j R 则函数的图象可以是（ ）()y f x =A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得()f x ()x j R 出正确选项.【详解】对于A 选项，取，则，由于，故()2xf x =()()22222122xx a x a x a x x j+=-=-×=-×0a <，故为增函数，符合题意.对于B 选项，取，则120a ->()()122a x x j =-×()122x f x æöç÷=-+ç÷èø，由于，故为减函数，不符合()11111122222x a x a x x jæöç÷=-+×=-×ç÷èø10,102aa -()11122a x x j æöç÷=-×ç÷èø题意.对于C 选项，取，则，这是一个开口向上的二次()3f x x =()()332233x x x a ax a x a j=-+=---函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取，则，是常数函数，()f x x =()x a j =-不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间234567()1234567x x x x x x f x x =+-+-+-+()(3)h x f x =-内，当取最小值时，等于（ ）(,)(,,)a b a b a b Z <Îb a -(21)ba x dx -òA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B 【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移()f x ()f x 个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.3()3f x -b a -【详解】依题意，化简为，()234561f x x x x x x x =-+-+-+¢()()()()246111f x x x x x x x =-+-+-+¢可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有1x £-()0f x ¢>1x >-，故函数在上为增函数.()()7711011x x f x xx--+=++¢=>()f x R ，故函数零点在区间内，所以零()()111111010,10234567f f =>-=------<()f x ()1,0-()3f x -点在内.故.故选B.()2,3()()3232221|624x dx xx -=-=-=ò【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为()f x 1时可利用等比数列前项和公式求和.1n 11.已知同时满足下列三个条件：()sin()3f x x pw j =++①时最小值为，②是奇函数，③．12()()2f x f x -=12x x -2p()3y f x p=-(0)()6f f p>若在上没有最大值，则实数的范围是（ ）()f x [)0,t t A. B. C. D. 0,6p æùçúçúèû110,6p æùçúçúèû11,612p p æùçúçúèû511,612p p æùçúçúèû【答案】D 【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函π2w j 数图像可求得的取值范围.t 【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故11-π2π2w =，根据条件②，有是奇函数，故()πsin 23f x x j æöç÷=++ç÷èøπππsin 2sin 2333x x j j éùæöæöêúç÷ç÷-++=+-ç÷ç÷êúèøèøëû，.根据条件③，，即πππ,π33k k j j -==+()2πsin 2π3f x x k æöç÷=++ç÷èø()π06f f æöç÷>ç÷èø，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为[]2πsin πsin ππ03k k æöç÷+>+=ç÷èøk 0k =()f x .画出图像如下图所示，，由图可知，的取值()2πsin 23f x x æöç÷=+ç÷èø()5π11π01612f f f æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèøt 范围是.511,612p p æùçúçúèû【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属()sin A x w j +于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率()()()2ln 110h x a x a x a =+++<()h x ,A B AB 的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（ ）a A. B. C. D. (),0-¥æç-¥çèæç-¥çèö÷÷ø【答案】B 【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，AB 5()()5f x h x x =+利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.()f x a 【详解】，在单调递减.()()2210a x ah x x¢-+=<()h x ()0,+¥，，.设，则.()11,A x y ()22,B x y ()()12125h x h x x x -³-120x x >>()()112255h x x h x x +£+设，则在上单调递减，()()5f x h x x =+()f x ()0,+¥则对恒成立.()()22150a x x af x x¢-++=£()0,x Î+¥则对恒成立，则，即，()22150a x x a -++£()0,x Î+¥0D£288250aa --³解之得或a £a ³又，所以.0a <a £【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．(,0),(1,2)a t b ==- 2a b ×=- 2a b -=【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.t 【详解】根据，解得，故.02a b t ×=-+=-2t =()2,0a =.()()()22,02,44,4a b -=--=-==【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为． 若__________．2sin18m =°24m n +==【答案】16-【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达222444sin 184cos 18n m =-=-=式的值.【详解】由得，代入所求表达式，可得24m n +=222444sin 184cos 18n m =-=-=.212cos 27cos54sin 36132sin182cos186sin 366sin 366---===-×× 【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等R ()f x (1)0f =()f x ()f x ¢()10f x ¢+<式的解集为____________．（结果用区间表示）(ln )ln 1f x x +>【答案】()0,e 【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式()()h x f x x =+()h x 的解集.()ln ln 1f x x +>【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，()()h x f x x =+()()10h x f x ¢+¢=<()h x R 且，故不等式可变为，即，解得.()()1111h f =+=()ln ln 1f x x +>()()ln 1h x h >ln 1x <()0,x e Î【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此()1f ()10f x ¢+<可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.()()h x f x x =+()()10h x f x ¢+¢=<16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且{}n a {}nb 1n a +1n n n bb n N a *+×Î，是等比数列，给定以下四个结论：①数列；②数列的所有项都大于{}n a {}na {}nb 的公比等于；④数列一定是等比数列。