2019年湖北省黄冈中学自主招生(理科)(实验班)数学模拟试卷两套合集

2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）+=．2．（3分）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=．3．（3分）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．4．（3分）已知x为实数，则的最大值是．5．（3分）关于x的方程有实根，则a的取值范围是．6．（3分）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．7．（3分）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD 的最大值为．(第7题图) (第8题图)8．（3分）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．201310．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值11．（3分）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：212．（3分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．13．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π14．（3分）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．15．（3分）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．15116．（3分）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均=（）在双曲线（x＞0）上，则图中S△OBPA．B．C．D．4三.解答题17．（12分）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．18．（14分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？19．（14分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．20．（16分）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．21．（16分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG 上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）参考答案与试题解析一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）+=2﹣．【分析】先根据二次根式的性质开方，再分母有理化，即可得出答案．【解答】解：原式=+=+=+=﹣+2﹣=2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的性质的应用，注意：n+m的有理化因式是n﹣m．2．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=﹣32．【分析】先把x=0代入等式可计算出a0=64，再分别把x=1和﹣1代入等式可得到a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=64，a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=0，然后把两式相加即可得到2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，再把a0=64代入计算即可．【解答】解：把x=0代入得a0=（﹣2）6=64，把x=1代入得a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=（1﹣1﹣2）2=64，把x=﹣1代入得a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=（1+1﹣2）2=0，所以2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，所以a12+a10+a8+a6+a4+a2=（64﹣2×64）=﹣32．故答案为﹣32．【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．3．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是﹣6、﹣．【分析】按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．【解答】解：当x≥1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b=﹣6或b=﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．【点评】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．4．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x为实数，则的最大值是2．【分析】设y=+，然后把等式两边平方，再根据二次函数的最值问题求出y2的最大值，开方即可得解．【解答】解：设y=+，则y2=8﹣x+2+x﹣2=2+6，∴当x=5时，y2有最大值，为12，∴y的最大值是=2，即+的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，利用二次函数的最值问题求出所求代数式的平方的最大值是解题的关键．5．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）关于x的方程有实根，则a的取值范围是﹣3＜a≤2．【分析】设y=，方程变形后，根据方程有实根，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：设y=，方程变形为y2﹣6y+2﹣a=0，抛物线对称轴为y=3，开口向上．∵方程有实根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4（2﹣a）=28+4a≥0，解得：a≥﹣7，又y=的取值范围为0≤y＜1即方程在0≤y＜1．所以有f（0）=2﹣a≥0，f（1）=﹣3﹣a＜0，解得﹣3＜a≤2故答案为：﹣3＜a≤2【点评】此题考查了分式方程的解，以及根与系数的关系，利用了整体代换的思想，是一道基本题型．6．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．【分析】f（x）的最大值可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，即两点之间的距离．【解答】解：如图：f（x）=﹣，可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，最大距离为两点之间的距离，即：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了无理函数的最值，解题的关键是运用数形结合的思想．7．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD ⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．【分析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再利用相交弦定理得CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．【解答】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，∴AH=BH=AB=，∵CD⊥OC，∴CD=CE，∵CD•CE=BC•AC，∴CD2=（BH﹣CH）（AH+CH）=（﹣CH）（+CH）=3﹣CH2，∴CD=，∴当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．8．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是3+4．【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE= PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE=PB=4，∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，∴∠ABE=∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE=3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转化成求AE的长．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】先通分得到1++=，再把分子变形得到完全平方公式，所以=，变形得：1+﹣，则A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，计算得到2013，然后根据[x]表示不超过x 的最大整数求解．【解答】解：∵1++====，∴==1+﹣，∴A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣=2013，∴[A]=[2013]=2013．故选：D．【点评】此题主要考查了取整计算，利用完全平方公式以及分式的加减运算法则将原式变形得出=1+﹣是解题关键．10．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图象与x轴的交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案．【解答】解：A、利用图表中x=0，1时对应y的值相等，x=﹣1，2时对应y的值相等，∴x=﹣2，5时对应y的值相等，∴x=﹣2，y=5，故此选项正确，不合题意；B、∵方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），且x=1时y=﹣1，x=2时，y=1，∴1＜x2＜2，故此选项正确，不合题意；C、由题意，结合点的坐标，如图所示，可得出二次函数图象向上，∴当x1＜x＜x2时，y＜0，故此选项错误，符合题意；D、∵利用图表中x=0，1时对应y的值相等，∴当x=时，y有最小值，故此选项正确，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图象上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键．11．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：2【分析】设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，所以由正方形的面积公式得到y=AE2+DE2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．、【解答】解：设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，则y=AE2+DE2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值．此题是利用配方法求得二次函数的最值的．12．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．【分析】设OA的中点是D，则∠CDO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去两个半圆的面积，加上两个弧OC 围成的面积的2倍就是阴影部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，半径为rS扇形OAB=πr2S半圆OAC=π（）2=πr2S△ODC=××=r2S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2图中阴影部分的面积为πr2﹣2×πr2+2（πr2﹣r2）=πr2﹣r2∴该点刚好来自阴影部分的概率是：1﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．13．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．14．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN 交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．而M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2﹣AN2，∴20=100﹣AN2，∴AN=4．故选B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．15．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151【分析】根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算即可得解．【解答】解：第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a﹣5，第10个相同的数是：12×10﹣5=120﹣5=115．故选：A．【点评】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．16．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，则图中S=（）△OBPA．B．C．D．4【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP ，故S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP=S△AOP，∴S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴S△OBE=×4=2，∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．三.解答题17．（12分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．【分析】过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，再代入求出三角形的面积即可．【解答】解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，∴BC•h=1，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，故=，即=，∴x=，设正方形的面积为S，则S=x2=（）2=（）2=[]2≤（）2=．∴正方形DEFG最大面积=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（14分）（2005•黄冈）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分段函数．分情况解答．【解答】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：∴y=；即y=.4分（2）设利润为W，则W=售价﹣进价故W=，化简得W=①当W=时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125②当W=时，∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，∴在x=11时，函数有最大值为19③当W=时，∵W=，∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，∴在x=12时，函数有最大值为18综上所述，当x=11时，函数有最大值为19．【点评】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．19．（14分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a ﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（16分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．【分析】根据C、E、O、D四点共圆，根据切割线定理可得：PC•PE=PD•PO，并且可以证得Rt△SPD∽Rt△OPS，即可证得PS2=PD•PO，再根据切割线定理即可求解．【解答】证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，于是因为C、E、O、D四点共圆，所以PC•PE=PD•PO又因为Rt△SPD∽Rt△OPS所以即PS2=PD•PO而由切割线定理知PS2=PA•PB所以即【点评】本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．21．（16分）（2010•仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P 为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，由射影定理，得：OD2=OB•OC；则OB==1；∴B（﹣1，0）；∴B（﹣1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：a（0+1）（0﹣4）=4，a=﹣1；∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+3x+4；（2）因为A（﹣2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立，解得或，则F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x2+3x+4）；∴PQ=﹣x2+3x+4﹣x﹣2=﹣x2+2x+2；易知M（，），若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x M﹣x P|，即：﹣x2+2x+2=2（﹣x），解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去）∴P（2﹣，4﹣）；②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x M﹣x Q|，即：﹣x2+2x+2=﹣x，解得x=，x=（不合题意舍去）∴P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣，4﹣）或（，）；（3）易知N（，），M（，）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，﹣m2+3m+4）；（1﹣＜m＜1+）∴PQ=﹣m2+2m+2，NM=；①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：﹣m2+2m+2=，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，）此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；依题意，则有：（y N﹣y Q）=（y P﹣y M），即（y N+y M）=（y P+y Q），即+=﹣m2+3m+4+m+2，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不相等，∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．【点评】此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．。

黄冈中学2019年自主招生（理科实验班）预录数学模拟试题（时间120分钟满分100分）一．填空题1. 已知实数a 、b 、c 满足 2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ， 则代数式ab+bc 的值为__________.2. 设AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，设⊙O 的半径是2，当△ACD 是等腰三角形时，它的面积是__________.3、如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC>AD)，︒=∠90D ，BC=CD=12, ︒=∠45ABE ，若AE=10，则CE 的长为 .4.已知31=+x x ，则10551011xx x x +++= . 5、已知，关于x 的一元二次方程260x kx --=与260x x k --=只有一个公共的根，那么方程052||2=++-k x k x 所有的根的和是 .6、函数22212131y x x x =-+-+-取最小值1时，则x 的取值范围是 。

二．选择题7.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

A、2a B 、1 C、2D 、a 8.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x ＋y 的值为（ ）． A ．45 B ．46 C ．48 D ．49表一 表二 表三9、已知实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=4，则(2 x －y)2+(2y －z)2+(2z －x)2的最大值是（ ） A ．12 B ．20 C ．28 D ．3610、在同一条街AB 上，甲由A 向B 步行，乙骑车由B 向A 行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A 开出向B 行进，且每隔x 分钟发一辆车，过一段时间，甲发现每隔10分钟有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分钟就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x 为 （ ）（A ）9分钟 （B ）8分钟 （C ）6分钟 （D ）5分钟 11、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ） （B ）4 （C ） （D ）4.512.在△ABC 中，∠B=90°,AB>BC,有△A i BC （i=1,2,3……n ）与△ABC 相似，则n 的最大值等于( )A 3B 7C 11D 13 三．解答题13．已知：a<0,b>0,且2a 2+a=112=+bb ,求代数式b b b b a 13+的值14.已知点P （2,3）是反比例函数x k y =图象上的点，求经过点P 且与双曲线xky =只有一个公共点的直线的解析式15.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 均为实数且a ≠0)满足条件：对任意实数x 都有y ≥2x,且当0<x<2时,总有y 2)1(21+≤x 成立.⑴求a+b+c 的值；⑵求a-b+c 的取值范围 16、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为8.1元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天．．．0.03．．．．元．/．千克支付．．．．. (1)当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P 是多少元？ (2)当x 天购买一次配料时，求该厂在这x 天中用于配料的总支出．．．y （元）关于x 的函数关系式；(3)求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出．．．．．．．．最少? （总支出=购买配料费+运输费+保管费）17、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD = 2BD .18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.黄冈中学2019年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（总分：120分 时间：120分钟）一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分．)1．下列说法:(1)相反数等于本身的数只有0；(2)绝对值等于本身的数是正数；(3)立方等于本身的数是1和1-；(4)平方等于本身的相反数的数只有0．其中正确的说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设a 、b 、c 均为正数，若()()()c b a b a c a c b +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．若不等式组3220,0.x m x -≥⎧⎨-≥⎩有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．223m ≤B ．223m < C ．223m > D ．223m ≥ 4．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x=的图像交于点A 、B ，则使12y y >的x 的取值范围是( )A. 2x >B. 12x -<<C. 2x >或10x -<<D. 2x >或1x <-5．当1x =-，1y =2222()(1)2y x x y xy x y xy xy+-÷+--的值是( ) A ．1 B ．1- C．3D6．在直角坐标系中，O是坐标原点，已知点P ，点Q 在x 轴上，若POQ ∆是等腰三角形，则满足条件的所有Q 点的横坐标的和是( )A ．2 B．．8 D．2+7．如图，已知是AB 是⊙O 直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PM 平分CPA ∠，交AC 于点M ，则CMP ∠的度数是（ ）A ．30° B．45° C．60° D ．不能确定 8．已知实数,a b满足a b =+则2200820093323a ab a b -+-+的值是( )A ．1B ．3C ．21D ．2009二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．）9..利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 。

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2019年黄冈中学预录模拟考试
数学试卷
（分值：120分 时间：120分钟）
一、选择题(每小题3分，共42分)
1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz=( ). A.43 B.65 C.127 D.18
13 2.设二次函数f(x)=ax 2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a 的值为( ).
A.-3
B.-5
C.-7
D.-9
3.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为( ). A.2 B.4 C.6 D.8
4.a 、b 是方程x 2+(m-5)x+7=0的两个根.则(a 2+ma+7)(b 2+mb+7)=( ).
A.365
B.245
C.210
D.175[]
5.如图，Rt△ABC 的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) A.
2332+π B.33265-π C.365-π D.33
2-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).
A.5
B.6
C.7
D.8
7. 在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( ) A.121 B.6
1
[。

2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．42．（5分）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为．6．（5分）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为．7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法．8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB 的度数是．11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？13．（16分）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【分析】先求出x的取值范围，再化简，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴，∴x≥，∴=﹣（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=4．故选：D．【点评】本题考查根式与分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意根式与分数指数幂的性质及运算法则的合理运用．2．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，3x2+y2﹣3x+2y=0，3（x﹣）2+（y+1）2=，当x=0时，y=0，即（0，0），当x=1时，y=0，即（1，0），当x=2时，y无解．当x≥2时，y均无解，综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．故选C．【点评】本题考查了二次二次方程的整数根的问题，属于中档题．3．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学【分析】由题意画出图形，得到剪展后的图形，可得阴影部分的字为“尚”．【解答】解：如图，不妨设面PAB上的字为“弘”，PBC上的字为“德”，PAC上的字为“学”，ABC上的字为“尚”，图形展开如图，则阴影部分的字为“尚”．故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．【解答】解：∵5p+3q=91，∴p、q为一奇一偶，∵p和q为质数，∴p、q中必有一数为2，当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，当q=2时，p==17．故p=17，q=2．故答案为：17，2．【点评】本题考查了方程的解得问题，以及分类讨论的思想，属于基础题．5．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为2或9．【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13﹣3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613﹣9×2=595，59﹣5×2=49，所以6139是7的倍数．【解答】解：设插入的数为x，则五位数为20x16，当x=0时，2001﹣6×2=1989，198﹣9×2=180，不能被7整除；当x=1时，2011﹣2×6=1999，199﹣9×2=181，不能被7整除；当x=2时，2021﹣2×6=2009，200﹣9×2=182，能被7整除；当x≥3时，20x0﹣2×6=20（x﹣2）8，20（x﹣2）﹣8×2=7k（k=26，27，…），只有当x=9时满足题意，综上可得，满足题意2或9．故答案为：2或9．【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数的特点．6．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为﹣5或﹣6．【分析】作出函数的图象，利用直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m 的值．【解答】解：函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1=，函数图象如图所示，x＜2时，y=（x﹣1）2﹣6，x2﹣8x+7=x2﹣2x﹣5，∴x=2，y=﹣5．∵直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，∴m=﹣5或﹣6．故答案为：﹣5或﹣6．【点评】本题考查函数的图象，考查学生分析解决问题，正确作出函数的图象是关键．7．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有30种不同的涂色方法．【分析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况．∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．故答案为：30．【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．8．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查了方程根的问题，关键是分类讨论，属于基础题．9．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．【分析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．【解答】解：如图，在AD上取点H，使AH=AD，连接BH交AC于O，则=，即AG=AO，又△AOH∽△COB，所以=，CO=AO，所以==．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．10．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是112°．【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE=∠B，又根据∠C=120°，∠A=26°可求出∠B的值，继而求出答案．【解答】解：由轴对称的性质知∠A′DE=∠B=180°﹣120°﹣26°=34°，∠BDE=180°﹣∠B=146°，故∠A'DB=∠BDE﹣∠A'DE=146°﹣34°=112°．故答案为：112°．【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，根据题意得出各角之间的关系是关键．11．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是0＜x＜38．【分析】求BC与线段OD的交点的横坐标即可．【解答】解：由图可知，直到最后，甲发力，追上乙，且领先到达终点；直线OD的方程为：y=x；直线BC的方程为：y=x﹣；交点的横坐标为38；∴0＜x＜38．【点评】考查了一次函数图象的性质和对实际问题的理解．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）（2016•黄州区校级自主招生）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？【分析】（Ⅰ）300人参加校内竞赛，获得至少30分的加分的人数有180人，由此能求出小王获得至少30分的加分的概率．（Ⅱ）（1）小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，由此能求出小王被该大学录取的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小王被该大学录取的概率．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次，获得至少30分的加分的人数有：150+30=180，∴小王获得至少30分的加分的概率为：p1==．（Ⅱ）（1）∵某大学的录取分数线为660分，小王的高考分数在630～639分段，∴小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，∴小王被该大学录取的概率为p2==．（2）∵某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段，小王的高考分数在三个分段的概率都是，∴小王被该大学录取的概率为p3=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．13．（16分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．【分析】分当∠AOC=∠ACO、∠OAC=∠OCA、∠AOC=∠CAO三种情况，分别利用等腰三角形的性质，求得a的值，可得结论．【解答】解：由于△AOC为等腰三角形，点A（0，2），设点C（a，2a），当∠AOC=∠ACO时，由AO=AC=2，可得4=a2+（2a﹣2）2，求得a=，此时，C（，）．当∠OAC=∠OCA时，则由OA=OC，可得2=，求得a=±，此时，C（，）或C（﹣，﹣）．当∠AOC=∠CAO时，则由CA=CO，可得=，求得a=，此时，C（，1）．故满足条件的点共有四个：（，）、（，）、（﹣，﹣）、（，1）．【点评】本题主要考查一次函数和等腰三角形的知识，属于基础题．14．（14分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．【分析】连接AC 和BD ．证明△BCD ∽△OCA ，△CDN ∽△CAM ，利用相似三角形的性质，即可证明结论．【解答】证明：连接AC 和BD ．∵弦CD 垂直于直径AB ，∴BC=BD ，∴∠BCD=∠BDC ．∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．∵∠BDC=∠OAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∴△BCD ∽△OCA ，∴=．∵∠DCN=∠ACM ，∠CDN=∠CAM ，∴△CDN ∽△CAM ．∵===，∴CN=CB ，即BN=CN ．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析及问题的能力，属于中档题．15．（18分）（2016•黄州区校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A ，B 两地区收割水稻，其中30台派往 A 地区，20台派往 B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往 A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y关于x 的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x 进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．【解答】解：（1）由于派往A 地的乙型收割机x 台，则派往B 地的乙型收割机为（30﹣x ）台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为（30﹣x ）台和（x ﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中，∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．。

数学一 第 1 页 共 10 页黄冈市黄冈中学2019年自主招生数学模拟试题（一）时间：120分钟 满分：120分一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）1．如图，MN 是⊙O 的直径，若∠E =25°，∠PMQ =35°，则∠MQP =（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50° 2．设二次函数y 1=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1，0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( )A ．a (x 1−x 2)=dB ．a (x 2−x 1)=dC ．a (x 1−x 2)2=dD ．a (x 1+x 2)2=d3．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且∠COA =60°；设扇形AOC 、△COB 、弓形B m C 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则它们之间的大小关系是（ ）A ．1S ＜2S ＜3SB ．2S ＜1S ＜3SC ．1S ＜3S ＜2SD ．3S ＜2S ＜1S4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）5．如图，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，若∠BAC =25°，∠CAD = 75°，则∠BDC = ，∠DBC = ．6．某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得–2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．7．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”．两者按固定的顺序相互配合成六十甲子，组成了干支纪年法．已知甲午战争发生于公元1894年，苏轼（1037~1101）有首诗写于壬戌年，这首诗是公元 年写的．8．已知x ，y ，z 为实数，若x 2 + y 2 = 1，y 2 + z 2= 2，z 2 + x 2 = 2，则xy + yz + zx 的最小值为 ．9．如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A 、B 、C 、D 着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，满足恰好A 涂蓝色的概率为 ．10．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0），数学一 第 2 页 共 10 页设点M 转过的路程为m （0<m < 1）．随着点M 的转动，当m 从变化到时，点N 相应移动的路径长为 ．11．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到/ADE ∆，点F 是DE 的中点，连接AF ，BF ，F E /..若2=AE ，则四边形/ABFE 的面积是______________.12．如图，抛物线y =-x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （b ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为错误！未找到引用源。

理科实验班预录数学模拟试题(B 卷)一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1．已知a+b=3，a 3+b 3=9，则a 7+b 7=（ ） A ．129 B ．225 C ．125 D ．6752．如图，⊙O 内的点P 在弦AB 上，点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，若BP=2，AB=6，则CP 的长等于（ ） A ．32B ．4C ．22D ．233．已知215-=m ，则1122223+++-+m m m m m =( )A ．253-B ．453-C ．235-D ．435-4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE=AD ，则∠ECA=（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45°5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于 对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度 运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关 A ．B ．C ．D ．6．如图，点O 在△ABC 内，点P 、Q 、R 分别在边AB 、BC 、CA 上，且OP ∥BC ，OQ ∥CA ，OR ∥AB ，OP=OQ=OR=x ，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则x =( )A ．cb a 1111++B ．3cb a ++ C ．331222c b a ++D ．331cabc ab ++二、填空题（每小题 5分，共30 分）7．实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax 2+by 2=7，ax 3+by 3=16, ax 4+by 4=42, 那么ax 5+by 5= . 8．如图，在边长为26的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交 AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG = ．9．已知函数|x |x y 22--=的图象与x 轴相交于A 、B 两点，另一条抛物线422+-=x ax y 也过A 、B 两点，则a= .10.如图，在梯形ADEB 中，∠D=∠E=90°，△ABC 是等边三角形，且点C 在DE 上，如果AD=7，BE=11，则S △ABC = .11.设f(a)是关于a 的多项式，f(a)除以2(a+1)，余式是3；2f(a)除以3(a -2)，余式 是-4. 那么3f(a)除以4(a 2-a -3)，余式是 .12.如图，已知圆的内接△ABC ，AB=AC ，D 是弦AC 上的一点，连接AD 并延长，与BC 的延长线交于点E ，且AE=5，则AB 2+EB ·EC= . 三、解答题（共60分）13.(10分)解方程：.)x (x 082244=--+14.（12分）如图，已知等边△ABC ，AB =12，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）求FG 的长；（3）求tan ∠FGD 的值．15.(12分)经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v （千米／小时）是车流密度x （辆／千米） 的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O 千米/小时；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度．(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y 的最大值．16.(13分)设).x (x x x x x )x (f 094932424>+--+-=(1)将f(x)化成b)x (g a )x (g +++221(a 、b 是不同的整数)的形式；(2)求f(x)的最大值及相应的x 值.17.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．(1)求AD的长；(2)点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．参考答案：1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A7.20 8．25 9. -2 10. 33 11.-5a+4 12.2514.（1）证明：连结OD ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C =∠A =∠B =60°， 而OD =OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB =60°，∴∠ODB =∠C ，∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD =CD =6． 在Rt △CDF 中，∠C =60°，∴∠CDF =30°，∴CF =CD =3，∴AF =AC ﹣CF =12﹣3=9，在Rt △AFG 中，∵∠A =60°，∴FG =AF ×sinA =9×=；（3）解：过D 作DH ⊥AB 于H ．∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ， ∴FG ∥DH ，∴∠FGD =∠GDH ． 在Rt △BDH 中，∠B =60°，∴∠BDH =30°， ∴BH =BD =3，DH =BH =3．在Rt △AFG 中，∵∠AFG =30°，∴AG =AF =，∵GH =AB ﹣AG ﹣BH =12﹣﹣3=，∴tan ∠GDH ===，∴tan ∠FGD =tan ∠GDH =．15.(1)由题意得：当20≤x ≤220时，v 是x 的一次函数，则可设v =kx +b （k ≠O ）， 由题意得：当x =20时，v =80,当x =220时，v =0所以⎩⎨⎧=+=+02208020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=8852b k ,所以当20≤x ≤220时，v =－52x +88 ， 则当x =100时,y =一52×100+88=48.即当大桥上车流密度为100辆／千米时，车流速度为48千米／小时． (2)当20≤v ≤220时，v =一52x +88(0≤v ≤80), 由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-608852408852x x ．解得70＜x ＜120, 所以应控制车流密度的范围是大于70辆／千米且小于120辆／千米. (3)①当0≤x ≤20时，车流量y 1=vx =80x , 因为k =80>0，，所以y 1随x 的增大面增大，故当x =20时，车流量y 1的最大值为1600． ②当20≤x ≤220时，车流量y 2=vx =(一52x +88)x =一(x －110)2+4840, 当x =110时，车流量y 2取得最大值4840，因为4840>1600，所以当车流密度是110辆／千米，车流量y 取得最大值.17.解：（1）过点C 作CE ⊥AB 于E ，在Rt △BCE 中，∵∠B =60°，BC =4，∴CE =BC •sin ∠B =4×=2，∴AD =CE =2．（2）存在．若以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似， 则△PCB 必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DP A===，∴∠DP A=60°，∴∠DP A=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x•（）2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x（x2﹣x+）．②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x•+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．。

仿真模拟训练(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若纯虚数z 满足(1＋i )z ＝1－a i ，则实数a 等于( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．－12．[2018·重庆西南附属中学月考]设曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成的封闭图形为区域D ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤1所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点恰好在区域D 内的概率为( )A .14B .13C .23D .343．[2018·华中师范大学附属中学模拟]在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A ．54B ．45C ．24D ．724．[2018·安徽省皖江八校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A .52B .52C .72D .725．[2018·陕西吴起高级中学期中考试]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .73B .83C .8－π3D .7－π36．[2018·保定联考]设有下面四个命题：P 1：若x>1，则0.3x >0.3;P 2：若x ＝log 23，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝16； P 3：若sin x>33，则cos 2x<13；P 4：若f(x)＝tan πx 3，则f(x)＝f(x ＋3)．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(0<ω<10)的图象与g(x)＝cos (x ＋φ)(0<φ<3)的图象都关于直线x ＝－π12对称，则ω与φ的值分别为( )A ．8，7π12B ．2，7π12C ．8，π12D ．2，π128．[2018·天津一中、益中学校月考]已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)．则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为( )A ．[0,1)B ．(－2,1)C ．(－2，2)D ．[0，2)9．[2018·重庆西南大学附中月考]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是4 0352 018，则( )A ．a ＝2 016B ．a ＝2 017C ．a ＝2 018D ．a ＝2 01910．[2018·山东烟台月考]某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是( )A ．影视配音B ．广播电视C ．公共演讲D ．播音主持11．[2018·安徽宿州模拟]在等差数列{a n }中，a 7a 6<－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n >0时，n 的最大值为( )A ．11B ．12C ．13D ．1412．设函数f(x)＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g(x)＝x －1a e 2x ，若∀x 1∈R ，∃x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)<g (x 2)，则正数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e －3)D ．(e －3，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·云南昆明第八次月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若抛物线y 2＝8x 的焦点与双曲线C 的焦点重合，则双曲线C 的方程为________．14．[2018·河北武邑中学第六次模拟]设平面向量m 与向量n 互相垂直，且m －2n ＝(11，－2)，若|m |＝5，则|n |＝________.15．[2018·湖南益阳月考]分别在曲线y ＝ln x 与直线y ＝2x ＋6上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为________．16．[2018·河南南阳一中月考]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·湖南郴州第六次月考]已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(2n ＋1－1)·S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18.(本题满分12分)[2018·贵州凯里一中月考]第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手甲．再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34，35，23，且各场输赢互不影响．(1)求甲恰好获胜两场的概率；(2)求甲获胜场数的分布列与数学期望．19．(本题满分12分)[2018·河北武邑中学模拟]如图，已知平面ADC ∥平面A 1B 1C 1，B 为线段AD 的中点，△ABC ≌△A 1B 1C 1，四边形ABB 1A 1为边长为1的正方形，平面AA 1C 1C ⊥平面ADB 1A 1，A 1C 1＝A 1A ，∠C 1A 1A ＝π3，M 为棱A 1C 1的中点．(1)若N 为线DC 1上的点，且直线MN ∥平面ADB 1A 1，试确定点N 的位置；(2)求平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值．20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为32(点O 为坐标原点)．(1)求C 的方程； (2)直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为335，求l 的斜率．21．(本题满分12分)[2018·益阳调研]已知函数f (x )＝(2e ＋1)ln x －3a 2x ＋1，a ∈R ，(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝23时，x e x ＋m ≥f (x )恒成立，求实数m 的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答．22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·六安一中月考]在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝k (t －1)(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝|3x －2|.(1)若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23≥|t －1|的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，求实数t 的值； (2)若不等式f (x )≤|3x ＋1|＋3y ＋m ·3－y 对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围．仿真模拟训练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·四川双流中学模拟]若a ∈R ，则“复数z ＝5－a i i 在复平面内对应的点在第三象限”是“a >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知R 为实数集，A ＝{x |y ＝lg(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则∁R (A ∪B )＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |x <－3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x ≤－3}3．[2018·武威六中诊断考试]设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．34．[2018·安徽六安月考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( )A.1452 B ．145 C.1752 D ．1755．[2018·厦门外国语学校适应考试]我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分析(100，σ2)，(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.26．[2018·哈尔滨市第六中学模拟]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≥x x ≥1，那么x ＋3y 的最大值是( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．87．[2018·黄冈中学模拟考试]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为( )(参考数据：sin20°≈0.342 0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫203°≈0.116 1)A ．S ＝12×n ×sin 180°n ，24B ．S ＝12×n ×sin 180°n ，18C ．S ＝12×n ×sin 360°n ，54D ．S ＝12×n ×sin 360°n ，188．[2018·江西省重点中学协作体联考]函数f (x )＝ln|x －1|－ln|x ＋1|的大致图象为( )9．已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B. 3C.255D. 510．[2018·福建南平月考]已知顶点在同一球面O 上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球O 的体积为43π，则图中的a 的值是( )A.352 B ．2 2 C.354 D ．2 3 11．[2018·泉州质量检查]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 2也是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为( ) A.5－12 B.2－1 C ．3－ 5 D.2＋112．已知定义域为正整数集的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，f (1)＝1，则数列{(－1)n f (n )f (n ＋1)}(n ∈N *)的前99项和为( )A ．－19 799B ．－19 797C ．－19 795D ．－19 793二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．若(1＋2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x 2项的系数是________．14．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1，则|a－2b |＝________.15．[2018·南山中学月考]已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．16．[2018·天津一中月考]已知点P (x ，y )在椭圆x 23＋2y 23＝1上运动，则1x 2＋21＋y 2最小值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·广西南宁第二中学6月月考]如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3b sin A ＝c ，D 为AC 边上一点．(1)若D 是AC 的中点，且A ＝π4，BD ＝26，求△ABC 的最短边的边长；(2)若c ＝2b ＝4，S △BCD ＝53，求DC 的长．18．(本题满分12分)[2018·东北三省四市模拟]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝4，AC ⊥BC .(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)当BC 的长为多少时，直线A 1B 与平面ABC 1所成角的正弦值为13.19．(本题满分12分)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至哈尔滨，已知从城市甲到哈尔滨只有两条公路，且运费由菜园承担．若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则哈尔滨销售商一次性支付给菜园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给菜园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给菜园1万元．为保证蔬菜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送蔬菜，已知下表内的信息：(1)记汽车走公路1时菜园获得的毛利润为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)假设你是菜园的决策者，你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多？20．(本题满分12分)设离心率为22的椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为1123，求直线AB的方程．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)设f (x )的两个极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立，求λ的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·四川广元适应性考试]已知平面直角坐标系中，曲线C ：x 2＋y 2－6x －8y ＝0，直线l 1：x －3y ＝0，直线l 2：3x －y ＝0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．(1)写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程； (2)若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)[2018·安徽合肥一中最后Ⅰ卷]已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋2|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)∃x 0∈R ，f (x 0)≤|2a ＋1|，求a 的取值范围．仿真模拟训练(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |2x ≥4}，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．[1,2)B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝|ln x |3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 11＝18，S 3＝－3，那么a 5等于( )A ．4B ．5C ．9D ．184．已知OA →＝(cos15°，sin15°)，OB →＝(cos75°，sin75°)，则|AB →|＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．15．过原点且倾斜角为π3的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 36．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是( )A ．l ∥α，m ⊥β，α⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，α∥βC ．l ∥α，m ∥β，α∥βD ．l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数y ＝log a (x －3)＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为( )A.116B.18C.14D.12 8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1 C ．3·2n －3 D ．3·2n －19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 ( )A ．4B ．2 C.43 D.2310．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A ．111B ．117C ．118D ．12311．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.103B.43C.53 D ．2 12．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，若x ＝1是函数f (x )的极大值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知正方形ABCD 边长为2，M 是CD 的中点，则AM →·BD →＝________.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥1，y ≥x －1，则2x ＋y 的最大值为________．15．直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同两点A ，B ，若M (x 0,4)是AB 中点，则直线l 的斜率k ＝________.16．钝角△ABC 中，若A ＝3π4，|BC |＝1，则22|AB |＋3|AC |的最大值为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域； (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．18．(本大题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)外体育达标”．(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表：(2)的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d19．(本大题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1上的动点，F 是AB 的中点．(1)当E 是CC 1中点时，求证：CF ∥平面AEB 1； (2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得平面AEB 1与平面ABC 所成锐二面角为π6，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．20．(本大题满分12分)已知F 是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)若x 1＋x 2＝3，求AB 弦长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →tan θ＝46，求直线l 的方程．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋2)＋21＋x.(x ≥0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥2ln2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和曲线C 2的普通方程； (2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值． 23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －a |－|x ＋2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当a ＝2时，函数f (x )的最小值为t ，1m ＋14n ＝－t (m >0，n >0)，求m ＋n 的最小值．仿真模拟训练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i ＋1)z ＝－2，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( )A ．[－4,1)∪(3,4]B ．[－4，－3)∪(－1,4]C ．(－4,1)∪(3,4)D ．(－4，－3)∪(－1,4)3．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2x D ．y ＝log 2|x |4．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.A ．3 413件B ．4 772件C ．6 826件D ．8 186件 5．已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )A ．－154 B.154 C ．－14 D.146．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )A ．1 B.13 C.911 D.5117．已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，若a ＋b 的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－28．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.32π C ．3π D ．4π 9．已知函数f (x )＝sin ωx的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．610．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或912．若关于x 的方程(ln x －ax )ln x ＝x 2存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e －e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－1e ，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2－1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ，0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．14．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是依据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的a 值为________．15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan(α＋β)＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B ＋ccos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．18．(本大题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试(1)有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？(2)能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＋d.19．(本大题满分12分)如图，在正棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线P A与平面ABC所成的角为π4，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角．20．(本大题满分12分)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2,2)，过点(－2,4)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线P A 与PB 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax )＋bx 在点(1，f (1))处的切线是y ＝0.(1)求函数f (x )的极值；(2)若mx 2e x ≥f (x )＋1－e e x (m <0)恒成立，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数)．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A，B两点．(1)求|AB|的值；→的值．(2)若F为曲线C的左焦点，求F A→·FB23．【选修4－5不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.(1)若a＝4，求不等式f(x)＞g(x)的解集；(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．仿真模拟训练(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝log2(2－x)}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，则∁AB＝()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2．在复平面内，复数2－3i3＋2i＋z对应的点的坐标为(2，－2)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知△ABC中，sin A＋2sin B cos C＝0，则tan A的最大值是()A.33 B.233 C. 3 D.4334．设A＝{(x，y)|0<x<m,0<y<1}，S为(e＋1)n的展开式的第一项(e为自然对数的底数)，m＝nS，若任取(a，b)∈A，则满足ab>1的概率是()A.2e B.2e C.e－2e D.e－1e5．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()ABCD6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则该几何体的表面积为( )A ．24π＋48B ．24π＋90＋641C ．48π＋48D ．24π＋66＋6417．已知a ＝17117，b ＝log 1617，c ＝log 1716，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a8．执行如下程序框图，则输出结果为( )A ．20200B ．－5268.5C ．5050D ．－51519．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( )A.12B.23C.13D.1410．设函数f (x )为定义域为R 的奇函数，且f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝sin x ，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，92上的所有零点的和为( ) A ．6 B ．7 C. 3 D ．1411．已知函数f (x )＝22019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，求f (2018)＋f (－2018)＋f ′(2019)＋f ′(－2019)＝( )A ．2B ．2019C ．2018D ．012．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a (a ∈R )，若存在实数a 使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a |，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的四条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4；④y 2＝4x .其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，y ≤x ＋1，且m ＝x ＋3y ＋4x ＋1，则实数m 的取值范围为________．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2, P 是双曲线右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点，若|F 1Q |＝|PF 2|，且|PI |:|IQ |＝2:1，则双曲线的离心率e 的值为________．15．若平面向量e 1，e 2满足|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，则e 1在e 2方向上投影的最大值是________．16．观察下列各式： 13＝1； 23＝3＋5； 33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19； ……若m 3(m ∈N *)按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 7＝35，且a 2，a 5，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n－λa n ＋1≥0成立，求λ的取值范围．18．(本大题满分12分)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数．(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列．(3)试比较男生学习时间的方差s 21与女生学习时间方差s 22的大小．(只需写出结论)19．(本大题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，已知P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝BC ＝1，AB ＝2，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .(1)试判定点E 的位置，并加以证明； (2)求二面角E －AC －D 的余弦值．20．(本大题满分12分)在平面直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为B (0，－1)，C (0,1)，平面内两点P 、Q 同时满足：①P A →＋PB→＋PC →＝0；②|QA →|＝|QB →|＝|QC →|；③PQ →∥BC →. (1)求顶点A 的轨迹E 的方程；(2)过点F (2，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与点A 的轨迹E 相交弦分别为A 1B 1，A 2B 2，设弦A 1B 1，A 2B 2的中点分别为M ，N .①求四边形A 1A 2B 1B 2的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)ax ＋1.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)若函数f (x )在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：(3x －1)ln (x ＋1)x －1＋(3y －1)ln (y ＋1)y －1＋(3z －1)ln (z ＋1)z －1≤0.请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22xy ′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知f (x )＝|2x －a |－|x ＋1|(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>2.(2)若不等式f (x )＋|x ＋1|＋x >a 2－12对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．仿真模拟训练(一)1．C z ＝1－a i 1＋i＝1－a 2－1＋a2i ，z 为纯虚数， ∴1－a2＝0，∴a ＝1.故选C. 2．C D ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪⎪1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝43，∴P ＝432＝23，故选C .3．A 第一类：将3个男生每个大学各推荐1人，有A 33A 33＝36种方法，第二类：将3个男生推荐给湖南大学和中南大学有C 23A 22C 23＝18种方法，故共有36＋18＝54种推荐方法，故选A . 4．C 由题可知，P 2，P 3，P 4在双曲线上，∴⎩⎨⎧4a 2－0b 2＝1，16a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3∴c 2＝a 2＋b 2＝7，∴e ＝c a ＝72，故选C . 5．C 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖去半个圆锥，∴V ＝13×2×2×2－13π×12×2×12＝83－π3，故选C . 6．C y ＝0.3x 为减函数，∴0.3x <0.3，P 1错；由x ＝log 23，得2x＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝12x ·12＝16，P 2正确； cos 2x ＝1－2sin 2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，P 3正确；f(x ＋3)＝tan π(x ＋3)3＝tan πx3＝f(x)，P 4正确，故选C . 7．D 由题可得，⎩⎨⎧－πω12－π3＝π2＋k π，k ∈Z－π12＋φ＝k π，∵0<ω<10,0<φ<3，∴ω＝2，φ＝π12，故选D.8．A 由题可知f (x )在[－1,1]上为减函数， 由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<f (m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤1－m 2≤1，1－m >m 2－1，∴0≤x <1，故选A. 9．B 由程序框图可得s ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1i (i ＋1)＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1i －1i ＋1＝2－1i ＋1＝4 0352 018∴i ＝2 017，∴i ≤2 017，∴a ＝2 017，故选B.10．A 由题可知，甲、丙选择影视配音和公共演讲，乙选择影视播音或播音主持；若甲选影视配音，丙选公共演讲，乙选播音主持，则丁选广播电视，与③矛盾；若甲选公共演讲，丙选影视配音，乙选播音主持，则丁选广播电视，符合条件，故选A.11．A 由a 7a 6<－1，得a 7a 6＋1<0，得a 7＋a 6a 6<0，若S n 有最大值，则d <0，∴a 6>0，a 7＋a 6<0，∴S 11＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 7＋a 6)<0，∴使S n >0时，n 的最大值为11，故选A.12．C f (x )＝12sin x (sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12sin x (2sin 2x －1)令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴h (t )＝12t (2t 2－1)＝12()2t 3－t ，t ∈[－1,1]，h ′(t )＝12(6t 2－1)，令h ′(t )＝0，∴t ＝±66，∴当－1<t ＜－66，66<t <1时，h ′(t )>0，h (t )为增函数，当－66<t <66时，h ′(t )<0，h (t )为减函数， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝618，h (1)＝12，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫－66<h (1)，∴h (t )在[－1,1]上的最大值为h (1)＝12，g ′(x )＝3－2xa e 2x ，令g ′(x )＝0，得x ＝32，则当a >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞为减函数，∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12a e 3. 由题可知f (x )max <g (x )max ， ∴12<12a e 3，∴a <1e 3，又a >0，∴0<a <e －3，故选C. 13.x 23－y 2＝1解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝33，c ＝2∴a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. 14．5解析：由m －2n ＝(11，－2)， 得|m －2n |2＝125， ∴m 2－4m ·n ＋4n 2＝125， ∴25＋4n 2＝125， n 2＝25，∴|n |＝5. 15.(7＋ln2)55解析：由y ＝ln x (x >0)，得y ′＝1x ，令1x ＝2，∴x ＝12，y ＝ln 12＝－ln2，∴曲线y ＝ln x 上与直线y ＝2x ＋6平行的切线的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln2，则 |MN |＝|2×12＋ln2＋6|5＝(7＋ln2)55. 16．2 3解析：由12b cos A ＝sin B ， 得12cos A ＝sin B b ＝sin A a ， ∴12cos A ＝sin A a ，∴tan A ＝a2＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 由a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ， 得12＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，bc ＝8，∴S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.17．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝14，a 3＋a 5＝564， ∴14q 2＋14q 4＝564，∴q 2＝14，∴q ＝±12，∵a n >0，∴q ＝12，∴a n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵a 1＝14， ∴S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n －12n ＋1， b n ＝1(2n ＋1－1)S n ＝2n ＋1(2n ＋1－1)(2n－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴T n ＝2⎝⎛1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－⎭⎪⎪⎫12n ＋1－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1. 18．解析：(1)设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C∴P (A )＝34，P (B )＝35，P (C )＝23. ∴甲恰好获胜两场的概率 P ＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －) ＝14×35×23＋34×25×23＋34×35×13 ＝920.(2)设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝14×25×13＝130；P (X ＝1)＝14×25×23＋14×35×13＋34×25×13＝1360；P (X ＝2)＝920；P (X ＝3)＝34×35×23＝310； ∴X 的分布列为∴EX ＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160. 19．解析：(1)连接A 1D ，∵MN ∥平面ADB 1A 1， MN ⊂平面A 1C 1D ，平面C 1DA 1∩平面ADB 1A 1＝A 1D ，∴MN ∥A 1D ， 又M 为C 1A 1的中点，∴MN 为△C 1A 1D 的中位线， ∴N 为DC 1的中点．(2)A 1B 1＝1，∴AA 1＝1，CC 1＝1， ∵B 为AD 的中点， ∴AD ＝2，∵△ABC ≌△A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1∩平面A 1ACC 1＝A 1C 1， ∴A 1C 1∥AC ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形， 又A 1C 1＝A 1A ，∴四边形A 1ACC 1为菱形，∠C 1A 1A ＝π3，A 1M ＝12，∴AM ＝32，∴AM ⊥AC ，∵AD ⊥AA 1，平面ADB 1A 1⊥平面ACC 1A 1， ∴AD ⊥平面A 1ACC 1， ∴AD ⊥AM ，AD ⊥AC ， ∴AM ，AD ，AC 两两互相垂直，以A 为坐标原点，AD ，AC ，AM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，∴A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，32， ∴DC →＝(－2,1,0)，DC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，12，32，设平面CC 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－2x ＋12y ＋3z 2＝0∴令z ＝23，∴x ＝3，y ＝6， ∴n ＝(3,6,23)， 又AC ⊥平面MAD ， ∴AC→＝(0,1,0)， ∴cos 〈n ，AC →〉＝657＝25719.20．解析：(1)∵S △MOF ＝32， ∴12bc ＝32，∴bc ＝3，又S 菱形＝43，∴12×2a ×2b ＝43，∴ab ＝23，∴c ＝3b ，a ＝23b ，由a 2－c 2＝b 2，12b 2－3b 2＝b 2， ∴b 2＝3，a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6m 3m 2＋42＋363m 2＋4＝12m 2＋13m 2＋4， ∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝6m 2＋13m 2＋4＝335，解得m 2＝2，∴k l ＝1m ＝±22.21．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝2e ＋1x －3a2，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a >0时，0<x <2(2e ＋1)3a ，f ′(x )>0， x >2(2e ＋1)3a ，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，2(2e ＋1)3a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2(2e ＋1)3a ，＋∞. (2)当a ＝23时，f (x )＝(2e ＋1)ln x －x ＋1， 由x e x ＋m ≥f (x )，得x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1≥0恒成立． 令g (x )＝x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1. g ′(x )＝(x ＋1)e x－2e ＋1x ＋1.g ″(x )＝(x ＋2)e x＋2e ＋1x 2>0，∴g ′(x )为增函数，又g ′(1)＝2e －2e －1＋1＝0， ∴当0<x <1时，g ′(x )<0， 当x >1时，g ′(x )>0， ∴g (x )≥g (1)＝e ＋m . ∴e ＋m ≥0，∴m ≥－e. ∴实数m 的最小值为－e.22．解析：(1)C 1的普通方程为y ＝k (x －1)， C 2的直角坐标方程：x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0. (2)C 2表示圆心(－5,3)，半径为1的圆， 圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|6k ＋3|1＋k2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1＝2，解得k ＝0或k ＝－43.23．解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＝|3x |，∴|3x |≥|t －1|，∴x ≥|t －1|3或x ≤－|t －1|3， ∴|t －1|3＝13，∴t ＝0或t ＝2. (2)原不等式等价于|3x －2|－|3x ＋1|≤3y ＋m ·3－y 恒成立． |3x －2|－|3x ＋1|≤3. ∴3y ＋m ·3－y ≥3.∴m ≥3y (3－3y )恒成立，∵[3y (3－3y )]max ＝94，∴m ≥94.当且仅当y ＝log 232时成立．。

重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生（预录）数学训练试题六（时间120分钟满分120分）一、填空题(每小题3分，满分24分) 1.函数213--+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 。

2.2012年春节，从除夕到大年初七，八天时间，全国手机短信发送量为126亿条，用科学记数法表示126亿条为________________条。

3.观察图中数字的规律，在“？”处的数字是 。

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，若腰长 为a ，则其底边上的高为 。

5.某商店对标价为1元的铅笔有两种优惠：甲种优惠每买5支送1支(不足5支不送)；乙种优惠买4支或4支以上打8.5折，小明买13支这样的铅笔，至少要付 元。

6.若关于x 的分式方程122-=-+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 。

7.如图，半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若 OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为 。

8.甲去上海进货，乙去广州进货，结果购进同样的衬衫共100件，都以每件a 元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元。

若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也以每件a 元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进 件衬衫。

二、单项选择题(每小题3分，满分24分)9.已知a －b ＝3，b ＋c ＝－5，则代数式a c －bc ＋a ²－a b 的值是( ) A 、－15 B 、－2 C 、－6 D 、610.在起始站(第一站)以后每站都有一半人下车，又有下车人数的一半人上车，如果到第五站(终点站)还有27人，那么起始站上车的人数是( )A 、128B 、64C 、32D 、16 11.下列命题中，假命题有( )①等腰梯形的底角相等；②四个角都相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12.若直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个13.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )A 、9棵B 、10棵C 、11棵D 、12棵 14.如图，EF 过矩形的对角线交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为( ) A 、60 B 、48 C 、40 D 、3615.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个16.如图，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ,∠BAC=90°，∠BCD=150°，则∠BAD=（ ） A.30° B,45° C.60° D.75°重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生（预录）数学训练试题六姓名：_______ 分数：_______一、填空题(每小题3分，满分24分) 1． 2． 3． 4． 5．6．7．8．二、单项选择题(每小题3分，满分24分)三、解答题(满分60分)17.(本题5分)某同学在计算“44)4422(2222-÷--++-x x x x x x x ，其中2006-=x ”时，把“2006-=x ”错抄成“2006=x ”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么？18.(本题6分)某种产品按质量分为10个档次。

湖北省黄冈中学2019年高三五月模拟考试数学（理工类）本试卷共4页，共22题，其中15,16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的区域内。

答在试卷纸、草稿纸上无效.一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1 2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi +=A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．20C ．30D ．554.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A ．x y cos = B ．1--=x y C ．xx y +-=22lnD ．xx e e y -+= 6．已知二项式()2*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（第3题图）A ．45256 B ．47256 C ．49256D ．512567．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距 离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.410.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为 A.π23B. π3C. π32 D. π2二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题（11—14题）11．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于.12．平面直角坐标系中，圆O 方程为122=+y x ，直线x y 2=与圆O 交于B A ,两点，又知角α、β的始边是x 轴，终边分别为OA 和OB ，则()cos αβ+= .DCBA 'D CBA第10题13．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ． 14. 若实数a,b,c 满足222,2222aba ba b c a b c ++++=++=，则c 的最大值是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15.如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD= .16．已知直线()142x tt R y t=+⎧∈⎨=-⎩与圆()2cos 2[0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2-x-2＞0}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A. {0，1}B. {3}C. {-1，0，1，2，3}D. {0，1，2，3}2.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，1)B. (－∞，－1)C. (1，＋∞)D. (－1，＋∞)3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A. B. C. 1 D.5.运行如图程序框图，则输出框输出的是（）A.B.C. 2D. 06.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D.7.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A. [-1，2]B. [0，2]C. [1，+∞）D. [0，+∞）8.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A. 点P到平面QEF的距离B. 直线PQ与平面PEF所成的角C. 三棱锥P-QEF的体积D. △QEF的面积9.广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为（）A. B. C. D.10.设P,Q分别为圆和椭圆上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A. B. C. D.11.已知函数f（x）=sin（x-φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A. x=B. x=C. x=D. x=12.定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最小值等于______．14.已知非零向量，满足4||=3||，若⊥（-4+）则，夹角的余弦值为______15.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,若在等高处截面的面积恒相等,则它们的体积相等已知某几何体与三视图如图所示所表示的几何体满足“幂势既同”,则该几何体的体积为______．16.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足2a2+bc=6，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5=a8，S5=25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．18.如图，多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，M为CB1的中点，且BC=BB1=2．（1）若D为AA1中点，求证AM∥平面DB1C1；（2）若二面角D-B1C1-B大小为，求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知=80．（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）20.直线l：y=x+m与曲线C：x2=2py交于A，B两点，A与B的中点N横坐标为2．（1）求曲线C的方程；（2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线VE交曲线C于点M，求证：M是线段NE的中点．21.已知f（x）=e x-ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f'（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=xe x-f（x），若g（x）有两个零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：M={x|x＜-1，或x＞2}；∴M∩N={3}．故选：B．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜-1．则实数a的取值范围是（-∞，-1）．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查两组数据的平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：甲的平均成绩高于乙的平均成绩，甲的成绩的波动小于乙的成绩的波动，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则m1＞m2，n1＜n2．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选A．5.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，x=满足条件n≤2019，执行循环体，x=-1，n=2满足条件n≤2019，执行循环体，x=2，n=3满足条件n≤2019，执行循环体，x=，n=4…观察规律可得x的取值周期为3，由于2019=673×3，可得n=2019时，满足条件n≤2019，执行循环体，x=，n=2020此时，不满足条件n≤2019，退出循环，输出x的值为．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：C解析：【分析】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C 的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．【解答】解：因为圆C：x2+y2-6x+5=0⇔（x-3）2+y2=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=9①又双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇔bx±ay=0，∴=2②连接①②得，可得c=3，所以双曲线的离心率为：=．故选：C．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．考查学生推理能力与计算能力，属于中档题.分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21-x≤2,可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2,可变形为log2x≥-1,x≥，∴x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，+∞）．故选D．8.答案：B解析：解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．9.答案：C解析：解：广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数n==12，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数m=，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为p=．故选：C．基本事件总数n==12，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数m=，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属基础题.求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：圆x2+（y-6）2=2的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选D.11.答案：A解析：【分析】本题主要考查定积分，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x-）．令x-=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x-φ），f（x）dx=-cos（x-φ）=-cos（-φ）-[-cos（-φ）]=cosφ-sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x-）．令x-=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于较难题．由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx-ln x-3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴-3≤2mx-ln x-3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．13.答案：-解析：【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（-1，）．∴z=2x-y的最小值为2×（-1）-=-．故答案为．14.答案：解析：【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得，夹角的余弦值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．【解答】∵非零向量，满足4||=3||，若⊥（-4+），∴||=||，且•（-4+）=-4=0，即=．设，夹角为θ，则cosθ===，故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】由题意可知几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体，几何体的体积为：=．故答案为：．16.答案：1解析：解：∵2a2+bc=6，a2=b2+c2-2bc cos A，∴6=2（b2+c2-2bc cos A）+bc≥5bc-4bc cos A，即：bc≤，当且仅当b=c时等号成立，那么=1．其中：3sin A+4cos A=5sin（A+φ）．故答案为：1．根据：2a2+bc=6，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得6=2（b2+c2-2bc cos A）+bc≥5bc-4bc cos A，在利用基本不等式求解即可；本题考查了基本不等式和余弦定理的综合应用，属于难题．17.答案：解：（1）设公差为d，则由2a2+a5=a8，S5=25得，，解得，所以a n=2n-1．（2），，易知T n随着n的增大而增大，所以．解析：（1）利用已知条件，结合等差数列的通项公式以及数列的和，列出方程求出数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力以及转化思想的应用．18.答案：解：（1）取B1C1中点N，连接MN，则MN为△B1C1C的中位线，∴∴MN，∵D为AA1中点∴AD，∴MN AD………………………………………………2′∴四边形ADMN为平行四边形………………………………………………4′∴AM∥DN，∴AM∥平面DB1C1………………………………………………6′（2）由B1C1⊥DN，B1C1⊥MN可得∠DNM二面角D-B1C1-B平面角，二面角D-B1C1-B大小为可得………………………………………………8′如图建立空间直角坐标系，C（-1，0，0），B1（1，2，0），，∴设平面ACB1的法向量为，…………………………………………10′………………………………………………11′所以直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值为．………………………………………………12′解析：（1）取B1C1中点N，连接MN，则MN为△B1C1C的中位线，证明四边形ADMN为平行四边形，然后证明AM∥平面DB1C1．（2）说明∠DNM二面角D-B1C1-B平面角，如图建立空间直角坐标系，求出平面ACB1的法向量，利用空间向量的数量积求解直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．本题考查空间向量的数量积求解直线与平面所成角，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（Ⅰ），可求得q=90．（Ⅱ），，所以所求的线性回归方程为．（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当x1=4时，；当x2=5时，；当x3=6时，；当x4=7时，；当x5=8时，；当x6=9时，．与销售数据对比可知满足（i=1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3.；；；，ξ0123P于是．解析：（Ⅰ）利用，可求得q．（Ⅱ）利用公式求解回归直线方程中的几何量，即可得到回归直线方程．（Ⅲ）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到ξ的分布列然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．20.答案：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，于是直线AB的斜率所以曲线C的方程为x2=4y．（2）抛物线在A（x1，y1）点处的切线方程为：，整理得：，同理：抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程为：联立方程组解得：，解得：，即E（2，-m）．而N（2，2+m），所以直线NE的方程为：x=2；与抛物线方程联立可得M（2，1）由N（2，2+m），M（2，1），E（2，-m），可得M是线段NE的中点．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求解直线的斜率，推出p，然后求解曲线C的方程．（2）求出抛物线在A（x1，y1）点处的切线方程，抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程，联立求出E（2，m）．然后转化证明即可．21.答案：解：（Ⅰ）f’（x）=e x-2ax，f’’（x）=e x-2a（1）若a≤0，显然f’’（x）＞0，所以f’（x）在（-∞，+∞）上是增函数所以，函数f（x）没有极值，（2）若a＞0，则由f’’（x）＜0可得x＜ln2a，f''（x）＞0可得x＞ln2a，所以f’（x）在（-∞，ln2a）上是减函数，在（ln2a，+∞）上是增函数．所以f’（x）在x=ln2a处取极小值，极小值为f’（ln2a）=2a（1-ln2a）．（Ⅱ）g（x）=xe x-f（x）=（x-1）e x+ax2，函数g（x）的定义域为R，且g'（x）=xe x+2ax=x（e x+2a），（1）若a＞0，则由g’（x）＜0可得x＜0，由g（x）＞0可得x＞0．所以g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）的最小值为g（0）=-1．令h（x）=（x-1）e x，则h’（x）=xe x．显然由h’（x）＜0可得x＜0，所以h（x）=（x-1）e x在（-∞，0）上是减函数，又函数y=ax2在（-∞，0）上是减函数，取实数，则，又g（0）=-1＜0，g（1）=a＞0，g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．由零点存在性定理，g（x）在上各有一个唯一的零点．所以a＞0符合题意．（2）若a=0，则g（x）=（x-1）e x．显然g（x）仅有一个零点1，所以a=0不符合题意，（3）若a＜0，则g′（x）=x[e x-e ln（-2a）]，①若ln（-2a）=0，则．而由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞0，所以g（x）在R上是增函数．所以g（x）最多有一个零点．所以不符合题意．②若ln（-2a）＜0，则，由g'（x）＞0可得x＜ln（-2a），或x＞0，由g’（x）＜0可得ln（-2a）＜x＜0．所以g（x）在（-∞，ln（-2a））上是增函数，在（ln（-2a），0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）在x=ln（-2a）处取极大值，且极大值为：g（ln（-2a））=a[ln2（-2a）-2ln（-2a）+2]=a{[ln（-2a）-1]2+1}＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意．③若ln（-2a）＞0，则，由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞ln（-2a），由g’（x）＜0可得0＜x＜ln（-2a），所以g（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，ln（-2a）上是减函数，在（ln（-2a），+∞）上是增函数．所以g（x）在x=0处取极大值，且极大值为g（0）=-1＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意，综上，a的取值范围是（0，+∞）．解析：（Ⅰ）首先求解导函数，然后求解二阶导函数，由二阶导函数的性质确定导函数的极值即可；（Ⅱ）首先求得函数的导函数，然后分类讨论确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的零点个数，分类讨论的熟悉熟悉等知识，属于中等题．22.答案：解：（Ⅰ）极坐标方程可化为等价于，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入，所以曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅱ）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）所以|MN|=|ρ1-ρ2|===所以当时，|MN|取得最大值．解析：（Ⅰ）利用差角的余弦公式展开，再两边同时乘以ρ，利用互化公式可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直线l的极坐标方程与C1与C2联立得到M，N的极径，可得|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=-3时，f（x）≥3，即|x-3|+|x-2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，-2-x的最大值为-2-1=-3，2-x的最小值为0，故a的取值范围为[-3，0]．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．．。

2019年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．若|﹣x |＝5，则x 等于（ ）A ．﹣5B ．5C ．D ．±52．下列计算正确的是（ ）A ．a 3+a 3＝2a 6B ．a 3•a 3＝a 9C ．（﹣a 3）3＝a 9D ．（﹣6x ）2•x 3＝36x 53．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．在，sin30°，3.14，π，0.101001中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．如图，直线a ∥b ，直角三角形如图放置，∠DCB ＝90°，若∠1+∠B ＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°6．如图△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE ，点B的对应点D 恰好落在BC 边上，若AC ＝4，∠B ＝60°，则CD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．2二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．小华想了解贵阳市的气温情况，他把所调查的7天的气温制作了如下表格：对这7天气温情况，去掉一个最高温度和一个最低温度，表格中的统计量一定不发生变化的是．8．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝．9．如果关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．10．计算：（）0＝．11．定义{a，b，c}为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝x2﹣2x+3的“特征数”是{1，﹣2，3}，函数y＝2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y＝﹣x的“特征数”是{0，﹣1，0}．在平面直角坐标系中，将“特征数”是{﹣4，0，1}的函数的图象向下平移2个单位，得到一个新函数图象，这个新函数图象的解析式是12．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），则求不等式x2+bx+c ≤x+m的解集．13．如图，思门河中学准备开运动会，小明协助体育老师划跑道．每条跑道由两个直道和两个半径相同的半圆形弯道连接而成，每条直道长100米，跑道宽1米，已知第一道（内道）一圈长400米，400米预决赛时，第三道的起点线在第一道的起点线前面约米．（π取3.14，结果精确到0.1米）14．如图，P是▱ABCD内一点，连结P与▱ABCD各顶点，▱EFGH各顶点分别在线段BP，CP，DP，AP上，若2BE＝3PE，且EF∥BC，图中阴影部分的面积为2，则▱ABCD的面积为．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（5分）先化简，再求值：（）•（﹣），其中x＝2+，y＝2﹣．16．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．（6分）某车间20个工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺母800个或螺钉600个，一个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉呢？19．（10分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．20．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．21．（7分）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A 地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）22．（8分）如图，四边OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO 交⊙O于点E，连接CD、CE，若CE是⊙O的切线．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝1.5，CD＝2，求BD的长．23．（10分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期30天的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第24天的日销售量是件，日销售利润是元．（2）求线段DE所对应的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）（3）通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？24．（14分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．2019年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案即可．【解答】解：∵|﹣x|＝5，∴﹣x＝±5，∴x＝±5．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值，利用绝对值等于一个正数的数有两个进而得出是解题关键．2．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和合并同类项法则计算得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、a3•a3＝a6，故此选项错误；C、（﹣a3）3＝﹣a9，故此选项错误；D、（﹣6x）2•x3＝36x5，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式和合并同类项法则，正确掌握运算法则是解题关键．3．【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可．【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．【分析】无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：无理数有，π，故选：A．【点评】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，∵a∥b，∠DCB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后判断出BD＝AB＝4，简单计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，∠B＝60°，∴AB＝4，BC＝8，由旋转得，AD＝AB，∵∠B＝60°，∴BD＝AB＝4，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣4＝4，故选：B．【点评】此题是旋转的性质题，主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出BD＝AB．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故答案为中位数．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．8．【分析】原式前三项利用完全平方公式分解，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，故答案为：9000【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．【分析】解出不等式组的解集（含a的式子），与不等式组无解比较，求出a的取值范围．【解答】解：∵不等式组无解，根据“大大小小解不了”则a+2≥3a﹣2，所以a的取值范围是a≤2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．10．【分析】先进行二次根式的化简和分母有理化，然后再进行加减运算．【解答】解：原式＝3﹣﹣+1＝+1．【点评】本题考查二次根式的加减运算，属于基础题，关键在于二次根式的化简．11．【分析】根据“特征数”的定义得到：“特征数”是{﹣4，0，1}的函数的解析式为：y＝﹣4x2+1，则该抛物线的顶点坐标是（0，1），根据平移规律得到新函数解析式．【解答】解：依题意得：“特征数”是{﹣4，0，1}的函数解析式为：y＝﹣4x2+1，其顶点坐标是（0，4），向下平移2个单位后得到的顶点坐标是（0，﹣1），所以新函数的解析式为：y＝﹣4x2﹣1．故答案是：y＝﹣4x2﹣1．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．【分析】根据图象，找出二次函数位于一次函数上方时x的范围即可．【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），∴由图象得：不等式x2+bx+c≤x+m的解集为1≤x≤3．故答案为：1≤x≤3【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．13．【分析】根据每条直道长100米，所以跑道两端两个半径相同的半圆形弯道恰好形成一个周长为200米的圆．第三道的直径比第一道直径增加4米，所以周长增加了4π，为了保证各道总长度相等，于是第三道的起点线应比第一道的起点线向前移4π．【解答】解：∵跑道总长400米，两条直道各100米，∴跑道两端两个半径相同的半圆形弯道恰好形成一个周长为200米的圆．∴第三道比第一道周长增加值为：π（d+4）﹣πd＝4π为了保证各道总长度相等，第三道的起点线应比第一道的起点线向前移4π米．而4π＝4×3.14≈12.6故答案为12.6．【点评】本题考查的是圆形跑道周长计算问题，保证各跑道周长相等是问题重点，计算各道周长的变化值是解决问题的关键．14．【分析】求出＝，由平行四边形的性质得出△PBC的面积+△PAD的面积为▱ABCD的面积的一半，△PEF的面积+△PGH的面积═平行四边形EFGH的面积＝阴影部分的面积＝2，由平行线得出△PEF∽△PBB，相似比＝＝，得出＝（）2＝，同理：△PGH∽△PAD，＝，因此△PEF的面积+△PGH的面积＝（△PBC的面积+△PAD的面积）＝2，求出△PBC的面积+△PAD的面积＝，即可得出▱ABCD的面积．【解答】解：∵2BE＝3PE，∴＝，∵P是▱ABCD内一点，四边形ABCD与四边形EFGH是平行四边形，∴△PAB的面积+△PCD的面积＝平行四边形ABCD的面积＝△PBC的面积+△PAD的面积，△PEF的面积+△PGH的面积═平行四边形EFGH的面积＝阴影部分的面积＝2，∵EF∥BC，∴△PEF∽△PBB，相似比＝＝，∴＝（）2＝，同理：△PGH∽△PAD，＝，∴△PEF的面积+△PGH的面积＝（△PBC的面积+△PAD的面积）＝2，∴△PBC的面积+△PAD的面积＝2÷＝，∴▱ABCD的面积＝2×＝25；故答案为：25．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出相似三角形的面积比是解题关键．三．解答题（共10小题，满分78分）15．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（）•（﹣）＝＝＝，当x＝2+，y＝2﹣时，原式＝＝﹣＝﹣4．【点评】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．【解答】证明：如图，连结PB．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．∵在△CBP和△CDP中，，∴△CBP≌△CDP（SAS）．∴DP＝BP．∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°∴四边形BNPM是矩形．∴BP＝MN．∴DP＝MN．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．17．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤；（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．18．【分析】设应分配x名工人生产螺钉，根据一个螺钉要配2个螺母，每天的产品刚好配套，可得生产的螺母数是螺钉的2倍，由此可得出方程，解出即可．【解答】解：设应分配x名工人生产螺钉，则有（20﹣x）名工人生产螺母，由题意得，800（20﹣x）＝2×600x，解得：x＝8．答：应分配8人生产螺钉．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题关键是得出生产的螺母数是螺钉的2倍这一等量关系．19．【分析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）n＝5÷10%＝50；（2）样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），1200×＝240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，所以恰好抽到2名男生的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．20．【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y＝，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；（2）作点B作关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB＝PA+PD＝AD的值最小，然后根据勾股定理即可求得．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝﹣1+4，解得a＝3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1＝1，x2＝3，∴点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB＝PA+PD ＝AD的值最小，∴D（3，﹣1），∵A（1，3），∴AD＝＝2，∴PA+PB的最小值为2．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称﹣最短路线问题；解题关键在于点的坐标的灵活运用．21．【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD＝x，在Rt△BCD中求得CD＝x，由AC＝AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC＝可得答案．【解答】解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD＝60°、∠DBC＝53°，设AD＝x，在Rt△ABD中，BD＝AD tan∠BAD＝x，在Rt△BCD中，CD＝BD tan∠DBC＝x×＝x，由AC＝AD+CD可得x+x＝13，解得：x＝﹣3，则BC＝＝＝x＝×（4﹣3）＝20﹣5，即BC两地的距离为（20﹣5）千米．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．22．【分析】（1）证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC＝∠OEC＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，交OC于F，由圆周角定理得出AD⊥DE，由平行四边形的性质得出OF⊥DE，由垂径定理得出DF＝EF＝DE，由勾股定理求出OC，由三角形的面积求出DF的长，即可得出AD的长，进而由BD＝AB﹣AD求得BD．【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°，∵四边形OABC是平行四边形，∴AO＝BC，OC＝AB，OC∥AB，∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∴∠EOC＝∠DOC，在△EOC和△DOC中，，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接DE，交OC于F，如图所示：BC＝3，CD＝4，∵CE、CD是⊙O的切线，∴CE＝CD＝2，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC＝1.5，∴OE＝1.5，在Rt△CEO中，CE＝2，OE＝1.5，由勾股定理得：OC＝，∴AB＝OC＝2.5，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，即AD⊥DE，由三角形的面积公式得：×CD×OD＝×OC×DF，∴DF＝，∴DE＝2DF＝，在Rt△ADE中，AE＝3，DE＝，由勾股定理得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣＝．【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．23．【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润＝单件利润×日销售量即可求出日销售利润；（2）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式；（3）根据点（17，340）的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解．【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5＝330（件），330×（8﹣6）＝660（元）．故答案为：330；660．（2）线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450；（3）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∵点D的坐标为（18，360），∴试销售期间第18天的日销售量最大，最大日销售量是360件．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出OD 的函数关系式以及依照数量关系找出DE 的函数关系式．24．【分析】（1）由y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A （﹣1，0），C （0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令﹣x 2+2x +3＝0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P （a ，3﹣a ），即可得D （a ，﹣a 2+2a +3），即可求得PD 的长，由S △BDC ＝S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC ＝﹣（a ﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m ＝（n ﹣）2﹣，然后根据n 的取值得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）令﹣x 2+2x +3＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝3，即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，∴，解得：，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，设P （a ，3﹣a ），则D （a ，﹣a 2+2a +3），∴PD ＝（﹣a 2+2a +3）﹣（3﹣a ）＝﹣a 2+3a ，∴S △BDC ＝S △PDC +S △PDB＝PD •a +PD •（3﹣a ）＝PD •3＝（﹣a 2+3a ）＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），设N（1，n），则0≤n≤4，取CM的中点Q（，），∵∠MNC＝90°，∴NQ＝CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，∴4[＝（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，∵0≤n≤4，＝﹣，n＝4时，m＝5，当n＝上，m最小值综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．。

2019年湖北省黄冈实验中学中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共21分）1．9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3=2x5B．m8÷m2=m4C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．（x2）3=x63．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠±2 C．x≠±2 D．x≥1且x≠24．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k=（）A．3 B．6 C．±3 D．±66．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1 B．C．D．7．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为（）A．8 B．16 C．24 D．32二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．分解因式：ab2﹣4ab+4a=．9．不等式组的解集为．10．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．11．化简÷=．12．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为，（2）点C的坐标为．14．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．解方程组．16．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？17．如图是我市某校八年级学生为贫困山区学生捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图．（1）求本次抽样的学生有多少人；（2）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；（3）若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．19．有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．20．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣6，0），B（4，0），C（5，3），反比例函数y=的图象经过点C．（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．21．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．22．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）23．在黄冈建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN ⊥BD于N点，使△DMN与△BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2019年湖北省黄冈实验中学中考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共21分）1．9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：=±3．故选C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3=2x5B．m8÷m2=m4C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】计算题；实数．【分析】A、原式不能合并，错误；B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=m6，错误；C、原式=m2﹣2mn+n2，错误；D、原式=x6，正确，故选D【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠±2 C．x≠±2 D．x≥1且x≠2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x2﹣4≠0，解得x≥1且x≠±2，所以，x≥1且x≠2．故选D．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．【解答】解：所给图形的俯视图是B选项所给的图形．故选B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．5．点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k=（）A．3 B．6 C．±3 D．±6【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到k的值．【解答】解：根据题意得S△AOB=|k|，所以|k|=3，解得k=±6．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．6．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1 B．C．D．【考点】圆锥的计算．【分析】用到的等量关系为：圆锥的弧长=底面周长．【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长=×2π×=2πR，∴R=．故选C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为（）A．8 B．16 C．24 D．32【考点】等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2得出答案．【解答】解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32；故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．分解因式：ab2﹣4ab+4a=a（b﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．不等式组的解集为x＜1．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＜1，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：x＜1．故答案为：x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式组应遵循的原则“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”．10．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是63°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．【解答】解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．11．化简÷=1．【考点】分式的乘除法．【分析】首先将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式乘除运算法则求出即可．【解答】解：原式=×=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．12．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】根与系数的关系．【分析】由于已知方程的一根2﹣，并且一次项系数也已知，根据两根之和公式可以求出方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2﹣=4，得x1=2+．【点评】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为2，（2）点C的坐标为（﹣，1）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可求出OA的长；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，），∴OA==2，故答案为：2；（2）如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故答案为（﹣，1）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为3﹣，．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】动点型．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．【解答】解：∵AB是直径，∴∠C=90°，又∵BC=2cm，∠ABC=60°，∴AB=2BC=4，AC=2，则AP=（4﹣2t）cm，AQ=t，∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2，①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，解得t=3﹣，②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则，故，解得t=，故答案为：3﹣，．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．解方程组．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，由②得：x=5y﹣3③，把③代入①得：25y﹣15﹣11y=﹣1，即y=1，把y=1代入③得：x=2，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．16．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得：﹣=10，解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，答：原来每天制作16件．【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间=10．17．如图是我市某校八年级学生为贫困山区学生捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图．（1）求本次抽样的学生有多少人；（2）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；（3）若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用捐款5元的人数除以它所占的百分比即可解答；（2）用样本容量分别减去捐款5元的人数和捐款10元的人数得到捐款15元的人数，于是可计算出捐款15元的人数的百分比，然后用360°乘以这个百分比即可得到捐款15元的人数所占的圆心角的度数；（3）先样本的平均数，根据样本估计总体，用800乘以这个平均数可估计出九年级学生捐款总数．【解答】解：（1）15÷30%=50（人），答：本次抽样的学生有50人；（2）捐款15元的人数=50﹣15﹣25=10（人），360°×=72°，答：该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数为72°；（3）据此信息可估计该校六年级学生每人捐款为：（5×15+10×25+15×10）÷（15+25+10）=720÷50=9.5（元）9.5×800=7600（元）．答：八年级捐款总数为7600元．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体和扇形统计图．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出AB=DC，∠EAB=∠EDC，根据SAS证△EAB≌△EDC推出∠AEB=∠DEC，EB=EC 即可．【解答】BE=EC，BE⊥EC．证明：∵AC=2AB，点D是AC的中点，∴AB=AD=CD，∵∠EAD=∠EDA=45°，∴∠EAB=∠EDC=135°，∵在△EAB和△EDC中，，∴△EAB≌△EDC（SAS），∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，∴∠BEC=∠AED=90°，∴BE=EC，BE⊥EC．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△EAB≌△EDC．19．有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意画树状图，根据树状图可以求得点Q的所有可能坐标；（2）根据（1）中的树状图，求得点Q落在直线y=x﹣3上的情况，根据概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∴点Q的坐标有（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣3）；（2）∵点Q落在直线y=x﹣3上的有（1，﹣2），（2，﹣1），∴“点Q落在直线y=x﹣3上”记为事件A，∴P（A）==，即点Q落在直线y=x﹣3上的概率为．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣6，0），B（4，0），C（5，3），反比例函数y=的图象经过点C．（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）根据反比例函数图象点的坐标特征把C点坐标代入y=，求出k的值即可确定反比例函数解析式；（2）先计算出AB=10，再根据平行四边形的性质得CD=10，则可确定D点坐标为（﹣5，3），然后根据关于x轴对称的点的坐标特征得D′的坐标为（﹣5，﹣3）再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点D′在双曲线上；（3）由于点C坐标为（5，3），D′的坐标为（﹣5，﹣3），则点C和点D′关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点D′、O、C共线，且OC=OD′，然后利用S△AD′C=S△AD′O+S△AOC=2S△AOC进行计算．【解答】解：（1）∵C（5，3）在反比例函数y=的图象上，∴=3，∴k=15，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵A（﹣6，0），B（4，0），∴AB=10，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=10，而C点坐标为（5，3），∴D点坐标为（﹣5，3），∵平行四边形ABCD和平行四边形AD′C′B关于x轴对称，∴D′的坐标为（﹣5，﹣3），∵﹣5×（﹣3）=15，∴点D′在双曲线y=上；（3）如图，∵点C坐标为（5，3），D′的坐标为（﹣5，﹣3），∴点C和点D′关于原点中心对称，∴点D′、O、C共线，且OC=OD′，∴S△AD′C=S△AD′O+S△AOC=2S△AOC=2××6×3=18．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式．21．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．【解答】解：（1）DF与⊙O相切．∵∠CDB=∠CAB，又∵∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD．∴AC∥DF．∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF．∴DF与⊙O相切．（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，∴．∵AB是⊙O的直径，∴．在Rt△AEO中，．∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD．∴．∴．∴．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△OAE∽△OFD是解题关键．22．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB，则四边形BCDE为矩形，在Rt△ADE中，∠ADE=35°，DE=30，∴AE=DEtan∠ADE=30×tan35°≈30×0.7≈21；在Rt△ABC中，∠ACB=43°，CB=30，∴AB=BCtanβ=30×tan43°≈30×0.93≈28；则DC=AB﹣AE=28﹣21=7．∴AB=28m，DC=7m．即两座建筑物的高度分别为28m，7m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．23．在黄冈建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x 的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别当w≥67.5，求出对应x的范围，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围．【解答】解：（1）∵25＜28＜30，y=，∴把x=28代入y=40﹣x得，∴y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+61x﹣862.5，令W=67.5，则﹣x2+61x﹣862.5=67.5，化简得：x2﹣61x+930=0，解得：x1=31；x2=30，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣0.5x2+35.5x﹣547.5，令W=67.5，则﹣0.5x2+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x2﹣71x+1230=0，解得：x1=30；x2=41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．【点评】本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN ⊥BD于N点，使△DMN与△BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用OB=OC进而表示出B点坐标，进而求出即可；（2）首先求出BC的解析式，进而利用配方法求出抛物线的顶点坐标得出答案；（3）分别利用①若M在对称轴左边的抛物线上，②若M在对称轴右边的抛物线上，求出M点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，∴CO=﹣m，BO=﹣m，则B点坐标为：（﹣m，0），将B点坐标代入y=x2﹣2x+m得：0=m2+2m+m，解得：m 1=﹣3，m 2=0（不合题意舍去），则B （3，0），C （0，﹣3）；（2）抛物线y=x 2﹣2x ﹣3，设直线BC 的解析式为y=kx +b ，由解得：，∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3，设P （x ，y ），则S=×3[（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）]=﹣x 2+x ，=﹣（x ﹣）2+，∴y=（）2﹣2×﹣3=﹣，∴P 的坐标为（，﹣）；（3）存在．D （1，﹣4）， ①如图，若M 在对称轴左边的抛物线上，记为M 1，M 1N 1⊥BD 于N 1，当△M 1DN 1∽△DBE 时，∠M 1DN 1=∠DBE延长DM 1交x 轴于G 点，则DG=BG ，设G 点坐标为（x ，0），BG=x +3由勾股定理得DG==，∴x +3=， 解得，x=2，∴G 点坐标为（﹣2，0），可得直线DG 的解析式为：y=﹣x ﹣，由解得，，∴M1的坐标为：（﹣，﹣）；②如图，若M在对称轴右边的抛物线上，记为M2，M2N2⊥BD于N2，当BH⊥x轴于点B，BH=DH，设BH=x，则DH=x，故（4﹣x）2+22=x2，解得：x=，则H（3，﹣），可得直线DH的解析式为：y=x﹣，故，解得：，可得M2的坐标为（，﹣），综上所述：M点的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想得出M点坐标是解题关键．。

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学（理)试题试卷副标题题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题1．设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-2．设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ） A ．-1B ．iC ．1D ．43．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 4．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A ．(30,42)B ．(30,42]C ．(42,56]D ．(42,56)6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知抛物线2C :8x y =，定点(0,2)A ，(0,2)B -，点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则PBA ∠的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．1142π-D ．112π- 9．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误的是（ ）A ．01q <<B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，则(2017)(2019)f f +的值为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．无法计算11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A ．1B 2C ．22D 312．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13．设x ，y 满足约束条件10202x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最小值为______.14．现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法（用数字作答）.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.16．已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______. 评卷人 得分三、解答题17．已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B. （I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； （II ）若2BD AB =，3AD =，求b .18．设矩形ABCD 中，4=AD ，22AB =，点F 、E 分别是BC 、CD 的中点，如图1.现沿AE 将AED ∆折起，使点D 至点M 的位置，且ME MF ⊥，如图2.（Ⅰ）证明：AF ⊥平面MEF ； （Ⅱ）求二面角M AE F --的余弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>6，左、右焦点分别为1F 、2F ，6○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线(2)(0)y k x k =-≠交椭圆于P 、Q 两点若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON 交直线3x =于点M .求2||PQ MF 的最大值. 20．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表： 手机店A BC DEW 型号手机销量6 613811T 型号手机销量 129 13 6 4（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（III ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量（部）满足关系34ηξ=+.若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值.（用m 表示，结论不要求证明） 21．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点.以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ-=.（1）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（2）设直线2l 过点()10P -，与曲线C 交于不同两点A B ，，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求PM PN ⋅. 23．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可. 【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型. 2．C 【解析】 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求得z 的值，可得z ，从而求得z z ⋅的值． 【详解】()()()211111i iz i i i i ++===--+，则z i =-，故()1z z i i ⋅=⋅-=，故选C. 【点睛】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． 3．D 【解析】 【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.4．A【解析】【分析】将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.【详解】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得故选A【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.5．B【解析】【分析】执行程序框图，从执行的结果中，找到判断框内m的取值范围.【详解】执行程序框图结果如下：S 0 2 6 12 20 30 42 56k 1 2 3 4 5 6 7 8输出的结果为7，则m的取值范围是(30,42]，故本题选B.【点睛】本题考查了读框图的能力，通过执行框图的过程，找到输出结果为7时，m应满足怎样的条件，是解题的关键.6．B【解析】【分析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，利用几何体的体积求出r 的值.【详解】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V, 所以21111943342448,24332V r r r r r rππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了数学运算能力. 7．A【解析】【分析】根据图像分析得到当直线PB与抛物线相切时，PBA∠最大，联立直线和抛物线，使得264640k∆=-=得到参数k,进而得到结果.【详解】作出抛物线C，如图所示.由图可知，当直线PB与抛物线相切时，PBA∠最大.设直线PB的方程为2y kx=-，联立282xyy kx⎧=⎪⎨⎪=-⎩得28160x kx.令264640k∆=-=，得1k=±，此时4PBAπ∠=，所以0,4PBAπ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦.【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况. 8．D 【解析】 【分析】先设出圆O 的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O 的面积，最后利用几何概型公式求出概率. 【详解】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力. 9．C 【解析】分析：利用等比数列11n n a a q -=的通项公式，解出n K 的通项公式，化简整理56K K <，678K K K =>这三个表达式，得出结论．详解：设等比数列11n n a a q -=，n K 是其前n 项的积所以()121n n n n K a q-=，由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==，所以B 正确，由551111a q a q <<，，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确 ()162111n n nn a q K a q-==，，可知()()113221n n n n n n K a q q--==，由01q <<，所以xq 单调递减，()132n n -在n 6,7=时取最小值，所以n K 在n 6,7=时取最大值，所以D 正确．故选C点睛：本题应用了函数的思想，将等比数列当作指数型函数对其单调性进行研究，n K 为复合函数，对于复合函数的单调性“同增异减”． 10．C 【解析】 【分析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()g x g x -=-，结合已知的等式，可以得到(1)()()(1)f x g x g x f x --=-=-=--，由()f x 是定义在R 上的偶函数，可得()()f x f x -=，可得(1)(1)0f x f x ++-=，最后求出(2017)(2019)f f +的值.【详解】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()g x g x -=-，(1)()()(1)f x g x g x f x ∴--=-=-=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=(1)[(1)](1)f x f x f x ∴+=-+=--，所以(1)(1)0f x f x ++-=，因此(2017)(2019)f f +=0，故本题选C.【点睛】本题考查了抽象函数的性质，结合奇偶函数的性质，根据所给的式子进行变换是解题的关键. 11．D 【解析】 【分析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值. 【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==， 在直角梯形11MM N N 中，222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 的最小值为33， 故本题选D. 【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键. 12．A 【解析】 【分析】求导，判断()y f x =的单调性，进而求出()y f x =的值域，判断()y f x =最大值的正负性，令()ln 2f x a x x n =-+=，显然知道n 的取值范围，(())()y f f x f n ==，利用()y f x =的单调性，结合已知()y f x =与(())y f f x =的值域相同，可以得到ln 2a a a a ≤-+，构造函数()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，求导，判断单调性，再判断(2),(3),(4),(5)g g g g 的正负性，结合单调性，最后求出a 的最小值. 【详解】'()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-='1,()0a a Z t a >∈∴>因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+， (())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<， (4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.【点睛】本题考查了两函数值域相同时，求参问题，求出每个函数的单调性，结合一个函数的值域情况，确定参数的取值范围是解题的关键. 13．8 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小值． 【详解】画出不等式组10202x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z ＝2x +3y 过点A 时，z 取得最小值；由1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，求得A （1，2）；∴z ＝2x +3y 的最小值是2×1+3×2＝8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求出最优解． 14．240 【解析】 【分析】先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可． 【详解】甲、乙分得的门票连号，共有2255210A =⨯=种情况，其余四人没人分得1张门票，共有4424A =种情况，所以共有1024240⨯=种． 故答案为240． 【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题． 153【解析】【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ,由三角形中位线定理和圆切线的性质，结合双曲线的定义，可以得到,a b 的关系，再结合22c a b =+，最后求出双曲线的离心率. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=， 即22222b a a a +-=，所以2b a =，而22c a b =+223c a b a +=，因此3ce a==3【点睛】本题考查了双曲线的离心率，运用双曲线的定义、平面几何的相关知识是解题的关键. 16．25【解析】 【详解】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，因为|2|4m n +=，所以2222(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，||||(m n n x ++=+，而2222(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=+≤==时，取等号，即1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为 【点睛】本题考查了平面向量模的公式，考查了两个向量模的和的最大值问题，利用向量的坐标表示、重要的基本不等式是解题的关键.17．（I ）12；（II ）b =【解析】 【分析】（I ）由D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，最后求出sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）已知2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=，所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，这样可以求出BAD ∠的大小，在直角ABD ∆中，利用AD =1sin 2BDA ∠=，可以求出2BD =，1AB =.2BC BD =，4BC =， 在ABC ∆中用余弦定理，可求出b 的值.【详解】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=. （II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=，所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=，在直角ABD ∆中，3AD =，1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =.∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯= 13b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力. 18．（1）见解析；（2）3π【解析】 【分析】(1)结合图形的特点以及垂直关系得到AF ME ⊥，再由勾股定理证得AF EF ⊥，进而得到线面垂直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果. 【详解】（1）证明：由题设知：AM ME ⊥又ME MF ⊥，=AM MF M ⋂；AM ，MF ⊂面AMFME ∴⊥面AMF ，AF ⊂面AMF ，AF ME ∴⊥，在矩形ABCD 中，4AD =，22AB =，E 、F 为中点224+2=18AE ∴=，22=2+2=6EF ，228212AF =+= 222AE EF AF ∴=+，AF EF ∴⊥，又ME ，EF ⊂面MEF ，∴ AF ⊥面MEF（2）AF ⊂面ABCE ，由（1）知面MFE ⊥面AFE ，且90AFE ︒∠= ∴以F 为原点，FE 为x 轴，FA 为y 轴建立如图的空间直角坐标系在Rt MFE ∆中，过M 作MN EF ⊥于N2ME =6EF =2MF =，222336MN ∴==， 26cos =26FN MF MFE =∠（也可用2MF FN FE =⋅） 0,3,0)A ∴（、)6E，、()0,0,0F 、2623M ⎝⎭面AFE 的一个法向量为=(00,1n ，）设面AME 的一个法向量为(),m x y z =，623EM ⎛=- ⎝⎭、()623,0AE =-，由=0=0EM m AE m ⎧⋅⎨⋅⎩即623036230x z x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩令1x =，则22y =，22z =，22=1,22m ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，， 212cos ,212m n ∴==⨯, ,3m n π= ∴二面角M AE F --为3π【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．19．（I ）22162x y +=；（II【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意得21||AB F B F B ==，通过平面几何的知识，可以得到212AF FF ⊥，根据||6OB =，离心率为3，结合222a b c =+，这样可以求出26a =，22b =，进而求出椭圆的标准方程；（II ）直线与椭圆方程联立，可以得到一个一元二次方程，设()11,P x y 、()22,Q x y ，利用根与系数关系可以求出N 的坐标，以及PQ 的长度，求出直线ON 的方程，求出M 的坐标，求出MF 的长度表达式，求出 2||PQ MF 平方的表达式，用换元法、配方法，最后求出2||PQ MF 的最大值. 【详解】（I ）连接2AF ，由题意得21||AB F B F B ==，所以BO 为12FAF ∆的中位线， 又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||3b AF BO a ===又c e a ==，222a b c =+，得26a =，22b =， 故所求椭圆方程为22162x y +=.（II ）联立22162(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222231121260k x k x k +-+-=. 设()11,P x y 、()22,Q x y ，则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+，所以为()121224431ky y k x x k k -+=+-=+所以PQ 的中点N 坐标为22262,3131k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，||PQ =因此直线ON 的方程为13y x k =-，从而点M 为13,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2MF =，设()()2222222241||31k k PQ I MF k+==+，令231u k =+，则2(1)(2)83u u I u -+=216111322u u ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭2161193416u ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此当4u =，即1k =±时2||PQ MF【点睛】本题考查了椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，以及椭圆弦长公式，考查了数学运算能力. 20．（I ）35；（II ）见解析；(Ⅲ)29S m = 【解析】 【分析】（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ，分别求出()()12,P M P M 的值，根据相互独立事件的公式求出()12P M M ，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）由表可知：W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2，分别求出(0),(1),(2)P X P X P X ===的值，写出随机变量X 的分布列，并根据数学期望计算公式求出()E X ；（III ）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差2S 的值. 【详解】（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ， 依题意，有()11226123P M ==+，()293695P M ==+，且事件1M 、2M 相互独立. 设“抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机”为事件M ， 则()12233()11355P M P M M =-=-⨯= 即抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为35 （Ⅱ）由表可知：W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2 且0323351(0)10C C P X C ===，1233253(1)5C C P X C ===，5122333(2)10C C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯= （III ）29S m =.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、数学期望的计算，以及方差的性质，考查了数学运算能力.21．（I ）见解析；（II ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）运用零点法，把函数()f x 的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.这样222222ln 2ln 3ln 23n n +++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭，注意到211(2,)(1)n n N n n n *>≥∈+，最后可以得出： 222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++⋯+<+. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x a f x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩， 当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小. 若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n +++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++. 【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.22．（Ⅰ）C: ()()22129x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --= （Ⅱ）8【解析】【分析】（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；（Ⅱ）先写出直线2l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，得到PM ，再由直线2l 的参数方程代入30x y --=，得到PN ，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即()()22129x y -++= ()1:cos sin 3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=（Ⅱ）直线2l 的参数方程1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的普通方程并整理得()24cos sin 10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则()124cos sin t t αα+=-因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为()122cos sin 2t t αα+=-， 设N 点的参数分别为3t ，把1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=整理得34cos sin t αα=- 所以12342cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα+⋅=⋅=-⋅=-. 【点睛】 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.23．（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]-【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点法，进行分段，然后求解不等式的解集；（Ⅱ）根据[2,4]x ∈，进行分类，当[2,3]x ∈时，原不等式等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤，即22a x-≤，这样可以求出a 的取值范围； 当(3,4]x ∈时，原不等式等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤这样可以求出a 的取值范围，综上所述求出a 的取值范围.【详解】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥； 当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解； 当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-； 综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*）当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-【点睛】本题考查了解绝对值不等式，以及不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，进行分类讨论是解题的关键.。

重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生（预录）数学训练试题八3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE=1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（ ） A 、36 B 、35 C 、362 D 、352 4、如图1所示，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由BCDA 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A 、10B 、16C 、18D 、32（第8题图） （ 第10题图）5、如果方程（x-1）（x 2-2x+m ）=0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m 的取值范围是（ ）A 、01≤≤mB 、m ≤43C 、 m ≤431≤D 、143≤〈m 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）6、已知x 2+x-6是多项式2x 4+x 3-ax 2+bx+a+b-1的因式，则a=7、已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=10，且1714111=+++++a c c b b a ，则ba c a cbc b a +++++的值是 。

8、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4a ，E 是BC 的中点，BE=2a ，∠BAD=120°，P 是BD 上的动点，则PE+PC 的最小值为 。

9、若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是10、如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为弧AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，则∠OAC= ．三、解答题（共5小题，满分50分）11、（满分8分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x 2-（k+2）x+4k=0的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．12、（满分10分）已知x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-=-+62152z y x z y x （1）求170x+170y-28的值；（2）当x ，y ，(2) z 为何值时22278zy x ++有最大值？并求出此时的最大值。