【精校】2020年湖北省黄冈中学高考三模数学文

一、选择题an1.数列｛a n｝的通项a n= -------- (a>0, b>0),则a n与a n + i的大bn + 1小关系为()A.a n>a n + iB. a n<a n + i C . a n = a n + 1D.与n取值有关a2.若函数f(x) =log a(x2—ax + 3)在区间(一°°, £］上为减函数，则a的取值范围是( )A. (0, 1)B. (1, 十引C. (1, 2#)D.(0,1)U(1,3.等差数列｛a n｝的首项a1 = —5,它的前11项的平均值为5, 若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6,则抽去的项为（）A. a6B. a8C. a9D. a104.在AABC中，条件甲：A<B,甲乙：cos2A>cos2B,则甲是乙的（）A.仅充分条件B.仅必要条^yC.充要条件D.非充分非必要条件5.已知f（x） =ax3+bx2+cx + d的图象如图所示，则有（）A.b<0B.0Vb<1C.1<b<2D. b>26 .设平面向量噌= (x, y), m = (x 2, y 2), W = (1, —1), d =,若噌N = B4 = i,则这样的向量者的个数是（D.(3 1) 3的概率为（围是（）1 1(9-) A. 0 B. 1C. 2D. 47.以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有两个交点, 则椭圆的离心率的变化范围是（2A. (0，2 )13B. (0, 2 )38.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5 的偶数点出现”，事件B 表示“小于 4的点数出现” ,则一次试验中, 事件 A + B 发生1A.一3B. C. D.9.不等式 t 2+9t+2Wa<T^-在 t 6 (0 ,2］上恒成立，则a 的取值范 A. [6, 1] B.[石，1] C.413]10.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为鼠GD. FH1 [/EA. 19B. 20C. 21D. 2212.如图是函数f(x) = x 3+ bx 2+ cx + d 的例致图象, 2 2则x1 +x2等于(-1/\ / X 18 A.一9 10 B.一 3D. arccos3 11 .有浓度为90 %的溶液100g ,现从中倒出10g ,再加进10g水，要使其浓度低于 10%,这种操作至少应进行的次数为(lg9 =0.9542)()G 、H 、 I 分别为DE 、FC 、EF 的中点，将AABC 沿 DE 、EF 、FD 折成三棱锥以后, BG 与IH 所成角的弧度数为()兀A.一 6兀B.一3C. arccos 一28 D.16 C.一13.海面上，地球球心角1'所对的大圆弧长为1海里，在赤道上, 车经140 与西经130 °的海面上有两点A、B,则A、B两点的球面距离是海里.114.已知Sn为数列｛a n｝的前n项和，且Sn与一的等比中项为a n1n(n6N+), a1=2，贝U n^m5O Sn=-15.设X1、X2、X3 依次是方程log eq - x + 2 = x, log 2(X +22)="x, 2x+x= 2的实数根，则X1、X2、X3的大小关系为16.关于函数f(x) =sin2x —(一)冈十一,有下列结论：①f(x)为奇3 23 1函数；②f(x)最大值为j;③x>2005时，f(x)>2；④f(x)最小值为—1一.其中正确命题的序号为2三、解答题17.已知p : |1 -x-^|<2, q : x2-2x + 1 -a2<0(a >0),若？p '' 3 '是？q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.如图，半圆的直径AB = d，点D在半圆上移动时，DC切半圆于D点，且DC = d, A、C两点位于BD两侧，问/DAB取何值时，四边形ABCD的面积最大？最大面积为多少?18.如图，半圆的直径AB = d，点D在半圆上移动时，DC切19.在二项式(ax m + bx n)12(a >0, b>0, m、n#0)中，2m+n =0,若它的展开式中系数最大的项恰好是常数项.(1)求常数项是第几项？a(2)求一的范围.b20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA，原面ABCD, PA= AD=2,点M、N 分别在棱PD、PC 上，且P C/编M AMN .,D(1)求证：AM XPD; (2)求二面角P-AM -N B决小Q，(3)求直线CD与平面AMN所成角的大小.21 .在面积为18的AABC中，AB = 5,双曲线E过点A,且以B、C 为焦点，已知ABAC = 27, CACB=54.(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)是否存在过点D(1 , 1)的直线L,使L与双曲线E交于不同的两点M 、N ，且DM +DN=C,如果存在，求出L的方程；如果不存在，说明理由．22 .已知数列｛a n｝的前n项和为Sn,满足关系式(2 +t)S n + i —tSn= 2t + 4”—2, 10, n = 1, 2, 3,…)(1)当a i为何值时，数列｛a n｝是等比数列;(2)在(1)的条件下，设数列｛a n｝的公比为f(t),作数列｛b n｝使b i =1 , b n = f(b n —i)(n=2, 3, 4,…)，求b n；c(3)在(2)条件下，如果对一切n6N + ,不等式b n + b n + i< ----------2n+ 1 恒成立，求实数c的取值范围.参考答案1 . B 2. C3. B 解：Sii=55 d=2, 55 — [―5 + (n —1) 2]=4 6 n = 8.4. C 解：A — B<0 cos 2A —cos 2B= (cosA+cosB)(cosA — cosB)-B)>0 甲 乙f(0) =d = 05 . A 解：f(x) =ax(x — 1)(x — 2),则 f(1)=a+b+c=0 7af(2) =8a+4b +c = 0+ 3b=0x=3, f(3)=6a>0,「€>0, /.3b =-7a<0 b<0.x —y= 1解：x 2y 2,无交点. —=1 9 4x 2y 211解：将 x 2 + y 2= c 2代入—十一=1(a>b>0)得「—一)x 2a 2b 2b 2a 2c 2=——1 >0 c 2>b 2,即 c 2>a 2—c 2b 28. C—os" cosi2 2sinZ sin 。

一、选择题1．数列{a n }的通项a n ＝anbn ＋1(a ＞0，b ＞0)，则a n 与a n ＋1的大小关系为( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 取值有关2．若函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋3)在区间(－∞，a2]上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，23)D ．(0，1)∪(1，23)3．等差数列{a n }的首项a 1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的项为( )A ．a 6B ．a 8C ．a 9D ．a 104．在△ABC 中，条件甲：A ＜B ，甲 乙：cos 2A ＞cos 2B ，则甲是乙的( )A ．仅充分条件B ．仅必要条件C ．充要条件D．非充分非必要条件5．已知f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则有( ) A ．b ＜0B ．0＜b ＜1C ．1＜b ＜2y xD ．b ＞26．设平面向量a →＝(x ，y)，b →＝(x 2，y 2)，c →＝(1，－1)，d →＝(19，－14)，若a →·c →＝b →·d →＝1，则这样的向量a →的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．47．以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有两个交点，则椭圆的离心率的变化范围是( )A ．(0，22)B ．(0，33)C ．(22，1)D ．(33，1)8．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．569．不等式t t 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[213，1]C ．[116，413]10．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、FEG 、H 、I 分别为DE 、FC 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、FD 折成三棱锥以后，BG 与IH 所成角的弧度数为( )A ．π6B ．π3C ．arccos 23D ．arccos 3311．有浓度为90％的溶液100g ，现从中倒出10g ，再加进10g 水，要使其浓度低于10％，这种操作至少应进行的次数为(lg9＝0.9542)( )A ．19B ．20C ．21D ．2212．如图是函数f(x)＝x 3＋bx 2＋则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289二、填空题13．海面上，地球球心角1'所对的大圆弧长为1海里,在赤道上,车经140°与西经130°的海面上有两点A 、B ，则A 、B 两点的球面距离是＿＿＿＿海里．14．已知Sn 为数列{a n }的前n 项和，且Sn 与1a n的等比中项为n(n ∈N ＋)，a 1＝12，则lim n →∞Sn ＝＿＿＿＿＿． 15．设x 1、x 2、x 3依次是方程log eq 12 x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x ＋x ＝2的实数根，则x 1、x 2、x 3的大小关系为＿＿＿＿＿．16．关于函数f(x)＝sin 2x －(23)|x|＋12，有下列结论：①f(x)为奇函数；②f(x)最大值为32；③x ＞2005时，f(x)＞12；④f(x)最小值为－12．其中正确命题的序号为＿＿＿＿． 三、解答题17．已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a ＞0)，若¬p是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．如图，半圆的直径AB＝d，点D在半圆上移动时，DC切半圆于D点，且DC＝d，A、C两点位于BD两侧，问∠DAB取何值时，四边形ABCD的面积最大？最大面积为多少？d19．在二项式(ax m＋bx n)12(a＞0，b＞0，m、n≠0)中，2m＋n ＝0，若它的展开式中系数最大的项恰好是常数项．(1)求常数项是第几项？(2)求ab的范围．20．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，，PA＝AD＝2，点M、N分别在棱PD、PC上，且．(1)求证：AM⊥PD；(2)求二面角P－AM－N(3)求直线CD与平面AMN所成角的大小．21．在面积为18的△ABC中，AB＝5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知AB→·AC→＝27，CA→·CB→＝54．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)是否存在过点D(1，1)的直线L，使L与双曲线E交于不同的两点M、N，且→＋DN→＝0→，如果存在，求出L的方程；如果不存在，说明DM理由．22．已知数列{a n}的前n项和为Sn，满足关系式(2＋t)S n＋1－tSn ＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…)(1)当a1为何值时，数列{a n}是等比数列；(2)在(1)的条件下，设数列{a n}的公比为f(t)，作数列{b n}使b1＝1，b n＝f(b n－1)(n＝2，3，4，…)，求b n；(3)在(2)条件下，如果对一切n∈N＋，不等式b n＋b n＋1＜c 2n＋1恒成立，求实数c的取值范围．参考答案1．B 2．C3．B 解：S 11＝55⇒d ＝2，55－[－5＋(n －1)·2]＝4·6⇒n ＝8． 4．C 解：A －B ＜0⇔cos 2A －cos 2B ＝(cosA ＋cosB)(cosA －cosB)＝－4cosA ＋B 2cosA －B 2·sinA ＋B 2·sinA －B 2＝－sin(A ＋B)sin(A－B)＞0⇒甲⇔乙5．A 解：f(x)＝ax(x －1)(x －2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧f(0)＝d ＝0f(1)＝a ＋b ＋c ＝0f(2)＝8a ＋4b ＋c ＝0⇒7a＋3b ＝0令x ＝3，f(3)＝6a ＞0，∴a ＞0，∴3b ＝－7a ＜0⇒b ＜0．6．A解：⎩⎨⎧x －y ＝1x 29－y 24＝1，无交点．7．C 解：将x 2＋y 2＝c 2代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)得(1b 2－1a 2)x 2＝c 2b2－1＞0⇒c 2＞b 2，即c 2＞a 2－c 2⇒22＜e ＜1．8．C9．B 解：令f(t)＝tt 2＋9，f' (t)＞0，f(t)在(0，2]上↑， ∴f(t)max ＝f(2)＝213，g(t)＝t ＋2t2，g' (t)2]上↓，∴g(t)min ＝g(2)＝1．∴213≤a ≤1．10．A 解：画出立体图形，IH ∥AE ， ∴∠EAG ＝π6即BG 与IH 所成的角．11．C 解：每操作1次，浓度变为上一次的90％， 设至少操作x 次才能使其浓度低于10％， ∴0.9×0.9x ＜0.1 x ＞11－lg9－1＝20.83．∴x min ＝21．12．C 解：f(x)＝x(x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ，x 1，x 2是f'(x)＝3x 2－2x －2＝0的两根．∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(23)2＋2×23＝169． 13．5400 解：d ＝90×60＝5400． 14．1 解：∵S n a n＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －F1⇒a na n －1＝n －1n ＋1， 递推相乘得a n ＝1n(n ＋1)⇒S n ＝nn ＋1⇒lim n →∞S n ＝1． 15．x 2＜x 3＜x 1 解：易知x 2x －2的交点横坐标，∴x 1∈(1，2)x 3看作y ＝2－x 和y ＝2x 交点的横坐标． 且0＜x 3＜1．故得x 2＜x 3＜x 1． 16．④ 解：f(x)偶，x ≥0时，f(x)＝sin 2x －(23)x ＋12，x ＝0时，f(x)min ＝－12．17．解：由P 得：－2≤x<10，∴¬p ：A ＝{x|x ＜－2或x ＞10} 由q 得：1－a ≤x ≤1＋a ，∴¬q ：B ＝{x|x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}由¬p ⇒¬q ∴A ⊂≠B ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－a1＋a ≤10⇒0＜a ≤3． 18．设∠DAB ＝θ，则θ∈(0，π2)，AD ＝dcos θ，BD ＝dsin θ，10又∠CDB ＝θ，DC ＝d ．∴S ABCD ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12d 2sin θcos θ＋12d 2sin 2θ＝d 24[2sin(2θ－π4)＋1] 当sin(2θ－π4)＝1即θ＝3π8时，四边形ABCD 面积最大，最大面积为d 24(2＋1)．19．解：(1)T r ＋1＝C r12a 12－rb r x 12m －mr ＋nr令⎩⎪⎨⎪⎧12m －mr ＋nr ＝02m ＋n ＝0⇒r ＝4，∴系数最大项为第5项． (2)∵T 5系数最大，⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4＞C 312a 9b3C 412a 8b 4＞C 512a 7b 5⇒85＜a b ＜94．20．解：(1)PA ⊥面ABCD ⇒PA ⊥CD 又CD ⊥AD ，∴CD ⊥面PAD∴CD ⊥AM ，又PC ⊥面AMN ，∴PC ⊥AM ∴AM ⊥面PCD ，∴AM ⊥PD ．(2)PN ⊥面AMN ，PM ⊥AM ，∴NM ⊥AM ，∴∠PMN 即为所求． 又∠PMN ＝∠PCD ，(易证rt △PNM ∽rt △PDC)，PA ＝AD ＝2， ∴∠PMN ＝arctan2．CDM(3)过M 作ME ∥CD 交PC 于E ，则∠NME 即求． 且∠NME ＝∠DPC ＝arcsin33．21．解：(1)如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点， 设∠BAC ＝α，∠ACB ＝β，∴|AB|＝5，设|AC|＝m ，|BC|＝n ． 由⎩⎨⎧AB →·AC →＝27S △ABC＝18⇒⎩⎨⎧5mcos α＝2712·5msin α＝18⇒m由⎩⎪⎨⎪⎧CA →·CB →＝5412mnsin β＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧mncos β＝54mnsin β＝36m ＝9⇒n 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝42c ＝213得x 24－y 29＝1．(2)设存在适合条件的直线L ，交双曲线于M(x ，y)，N(x 2，y 2)(x 1≠x 2)．由DM →＋DN →＝0→，得D 为MN 中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2 由⎩⎪⎨⎪⎧9x 21－4y 21＝369x 22－4y 22＝36⇒相减得：y 1－y 2x 1－x 2＝94． ∴L 方程为9x －4y －5＝0．代入9x 2－4y 2＝36得45x 2－90x ＋169＝0．∵△＜0，∴不存在适合条件的直线L ． 22．(1)(2＋t)S n ＋1－tS n ＝2t ＋4 ① n ≥2时，(2＋t)S n －tS n －1＝2t ＋4 ② 两式相减：(2＋t)(S n ＋1－S n )－t(S n －S n －1)＝0，(2＋t)a n ＋1－ta n ＝0，a n ＋1a n ＝t 2＋t ．即n ≥2时，a n ＋1a n 为常数t2＋t ．当n ＝1时，(2＋t)S 2－tS 1＝2t ＋4，(2＋t)(a 2＋a 1)－ta 1＝2t ＋4，解得a 2＝2t ＋4－2a 12＋t ．要使{a n }是等比数列，必须a 2a 1＝t2＋t ．∴2t ＋4－2a 1(2＋t)a 1＝t 2＋t，解得a 1＝2． (2)由(1)得，f(t)＝t2＋t ，因此有b n ＝b n －12＋b n －1，即1b n ＝2b n －1＋1，整理得1b n ＋1＝2(1b n －1＋1)．则数列{1b n ＋1}是首项为1b 1＋1＝2，公比为2的等比数列，1b n＋1＝2·2n －1＝2n ，b n ＝12n －1．(3)把b n ＝12n －1，b n ＋1＝12n ＋1－1代入得：12n －1＋12n ＋1－1＜c2n ＋1，即c ＞2n ＋12n －1＋2n ＋12n ＋1－1，要使原不等式恒成立，c 必须比上式右边的最大值大．∴2n ＋12n －1＋2n ＋12n ＋1－1＝(2n －1)＋22n －1＋12(2n ＋1－1)＋322n ＋1－1＝32＋22n －1＋32(2n ＋1－1)，单调递减．∴2n ＋12n －1＋2n ＋12n ＋1－1的值随n 的增大而减小，则当n ＝1时，2n ＋12n －1＋2n ＋12n ＋1－1取得最大值4．因此，实数c 的取值范围是c ＞4．。

湖北省黄冈中学2020届高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A = { –1,0，1，2，3 }，B = {x | x 2– 3x < 0 }，则A ∩∁R B =( )A. {–1}B. { 1,2 }C. {–1,3}D. {–1,0，3}2. 若复数z =3+i1+2i ，则|z|=( )A. √25B. 2√2C. √2D. √223. 已知直线l 1的方程为mx +(m −3)y +1=0，直线l 2的方程为(m +1)x +my −1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是( )A. m =0或m =1B. m =1C. m =−32D. m =0或m =−324. 如图所示，正方形的四个顶点A (−1,−1)，B (1,−1)，C (1,1)，D (−1,1)及抛物线y =−(x +1)2和y =(x −1)2，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A. 23B. 13C. 16D.125. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −3y −1≤0x −y −1≥0x +3y −3≤0，则z =x −2y 的最大值为( )A. 1B. 12 C. 43 D. 53 6. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则y 等于( ) A. 23B. 13C. −13D. −237. 如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖)，底面棱长为1dm(dm 为分米)，高为5dm ，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm 和4dm ，则(水不外漏情况下)此容器可装的水最多为( )A. 92dm 3 B. 4dm 3C. 72dm 3 D. 3dm 38. 已知圆C ：(x −1)2+(y −1)2=1，若直线y =x −t 与圆C 相切，则实数t 的值为( )A. √2B. ±√2C. ±2D. 2 9. 函数y =sin x +√3cos x 在[0,π]上的减区间为( )A. [0,5π6]B. [π6,π]C. [0,2π3]D. [π3,π]10. 四棱锥S −ABCD 的底面是边长为2的正方形，顶点S 在底面的射影为正方形的中心O ，且SO =4，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为( )A. 7√2B. 6√2C. 4√2D. √211.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是抛物线y2=4x的焦点，l是C的一条渐近线且与圆(x−1)2+y2=a2相交于A，B两点，若|AB|=b，则双曲线C的离心率是()A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√10512.△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为()A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 一解或两解二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.lg5−lg12+3log35=______．14.已知sinθ−2cosθ=0，则cos2θ+sin2θ=______ ．15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，CC1=2，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是______．16.若数列{b n}满足b1+4b2+9b3+⋯+n2b n=2n−1，则数列{b n}的通项公式为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离．18.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−(n+1)a n=1+2+3+⋯+n，n∈N∗．(1)求证：数列{a nn}是等差数列；(2)若b n=1a n，求数列{b n}的前n项和为S n．19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y(千亿元)567811y =b ^⋅t +a(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t =6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^=b ^⋅t +a ^中，b ^=∑t i n i=1y i −nt .y .∑t i2n i=1−nt2.,a ^=y .−b ^t .． 20. 已知椭圆(a >b >0)过点，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，第一象限的点P 满足｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a ，且PF 2⊥x 轴，｜PF 2｜=3． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ，N 在椭圆C 上，且直线MP ，NP 关于直线PF 2对称，求直线MN 的斜率．21.已知函数f(x)=x(lnx−ax)．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，求证：f(x1)>−12.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4cos+2y=4sina(a为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=π6(p∈R)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的运算，首先求出集合B，运用交集的定义即可求解．解析：解：B={x|0<x<3}，C R B={x|x≥3或x≤0}则A∩C R B={−1,0,3}，故选D．2.答案：C解析：化简复数z，求出它的模长即可．本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．解：z=3+i1+2i =(3+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5−5i5=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2，故选：C3.答案：A解析：解：因为l1⊥l2⇔m(m+1)+(m−3)m=0⇔m=0或m=1，故选：A．已知l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是：A1A2+B1B2=0，代入运算即可得解．本题考查了两直线垂直的充要条件、充分条件、必要条件、充要条件，属简单题4.答案：B解析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 解：∵A(−1,−1)，B(1,−1)，C(1,1)，D(−1,1)， ∴正方体的ABCD 的面积S =2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积： S =2∫[1−(x −1)2]10dx =2∫(10−x 2+2x)dx =2×23=43， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是434=13．故选B ．5.答案：C解析：本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z =x −2y 对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到z =x −2y 的最大值．解：作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，z =x −2y 即y =12x −z2，当直线y =12x −z2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大， 此时A 点坐标满足{x −3y −1=0x +3y −3=0 ，解得A(2,13)， 此时z 的最大值为：43． 故选：C ．6.答案：A解析：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题． 根据三角形法则利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出x ，y 的值． 解析：解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =13，y =23． 故选A ．7.答案：C解析：解：由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD ， 上面补同样大的几何体，则体积=12×1×1×7=72dm 3， 故选：C ．由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD ，上面补同样大的几何体，则体积可求．本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．8.答案：B解析：解：由圆C ：(x −1)2+(y −1)2=1， 得圆心为C(1,1)，半径r =1，∵直线y =x −t ，即x −y −t =0与圆C 相切，∴圆心C 到直线y =x −tl 的距离等于圆的半径， 即|1−1−t|√1+(−1)2=1，整理得|t|=√2，解得t =±√2． 故选：B ．由圆C 方程得到圆心为C(1,1)和半径，由圆心C 到直线的距离等于圆的半径列出方程，求解即可得实数t 的值．本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9.答案：B解析：本题考查正弦函数的单调区间，属于基础题．先根据题意得出y =2sin(x +π3)，结合正弦函数单调区间求出答案．。

湖北省黄冈中学2020届高三六月第三次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1. 已知全集U =R ，(){}2ln 1A x y x ==-，{}0B y y =>，则()UA B ∩=（ ）A. （－1，0）B. [0，1）C. （0，1）D. （－1，0]【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式求出集合A ，然后求出UB ，最后取交集即可.【详解】{}{}21011A x x x x =->=-<<，{}0B y y =>， ∴{}0UB y y =≤，()(]1,0UA B ⋂=-.故选：D【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2. 若复数z 满足()1i 1z +=+，则复数z 的共轭复数的模为A. 1B.C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出复数z ，即可得到复数z 的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案．【详解】由于12+=，则22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，所以复数z 的共轭复数1z i =+，则z ==故答案选B【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题．3. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】 【详解】 【分析】分析：写出10315·2?r r r r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()521031552·2?rrrr r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2=所以2255·2240r rC C =⨯= 故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4. 已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 5. 已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可. 【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<<即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒>对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增， 即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 12747ππππ<<⇒<<< 则223log coslog 1007c π⎛⎫<=⇒< ⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。

湖北省黄冈中学2020届高三六月第三次模拟考试理科数学试卷考试时间：2020年6月23日下午15：00－17：00一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．已知全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==-，{}3B y y ==，则()UA B ⋂=（ ）A ．（－1，0）B ．[0，1）C ．（0，1）D ．（－1，0]2．若复数z 满足()11z i +=+，则复数z 的共轭复数的模为（ ）A ．1B ．C ．2D ．3．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．804．已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．0B ．2C ．3D ．45．已知0.12πtan 5a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2b =，23πlog cos 7c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>6．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．现有四名志愿者医生被分配到A 、B 、C 三所不同的乡镇医院中，若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到A 医院的概率为（ ）A ．112B ．16C ．14D ．137．把函数π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3个单位，得到函数()gx 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为（ ）A ．[]π,2πB ．π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．2B ．5C ．5D ．39．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第一象限，若OA OF=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．53B ．12C ．2D ．10．对曲线：()222(1)(3)x x x x y e e ----=+有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于 点（2，－1）对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是（ ） A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知BC ，则c b bc+的最大值是（ ）A ．B ．4C ．6D ．812．在三棱锥A BCD -中，ABC △和BCD △都是边长为2的正三角形，当三棱锥A BCD -的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）A ．B ．2C D ．6二、填空题：本题共4小题13．一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X =________．14．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=________．15．已知抛物线()220ypx p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ，N 为抛物线准线上相异的两点，且M ，N 两点的纵坐标之积为－8，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，F ，B 三点共线，则p =________．16．已知不等式3ln 1ln x x m x n -+≥+（,m n ∈R ，且3m ≠-）对任意正实数x 恒成立，则33n m -+的最大值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知11a =，12b =，222b a =，3322b a =+． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）数列{}n c 满足1,2(),2kn kn n c k a n ⎧==∈⎨≠⎩N ，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求2n S ． 18．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD为菱形，AB =60ABC ∠=︒，PA ABCD ⊥平面，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的角最大为60°，求二面角E AF C --的余弦值．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O为坐标原点，椭圆的离心率为2，且TFO △面积的最大值为12． （1）求椭圆的方程； （2）设点()0,1A，直线l ：(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ；直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点．20．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图所示的频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布()2,3.2N μ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2）现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“有连续3人的旅游消费支出超出μ”若n P 表示A 的概率，12314n n n n P aP P bP ---=++（3n ≥，a ，b 为常数），且0121P P P ===．（i ）求3P ，4P 及a ，b ； （ii ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，并用概率统计知识解释其实际意义．（参考数据：()0.6826P μσX μσ-<<+≈，(22)0.9544P μσX μσ-<<+≈，(33)0.9973P μσX μσ-<<+≈）21．已知函数()sin ()f x x a =∈R ．（1）当0a =时，证明：()0f x ≥；（2）若14a <-，证明：()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的极值点0x ，且()0001π2f x x x >--． 请考生在第22、23两题中任选题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。

2020届黄冈中学高考模拟试卷数学(文科)(十三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设全集为U，若命题p：2020∈A∩B，则命题p是2、条件甲：x2＋y2≤4，条件乙：x2＋y2≤2，那么甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件3、已知函数的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数对(a，b)共有A．2个B．5个C．6个D．无数个4、二元函数f(x，y)定义域为D={(x，y)|f(x，y)有意义}，则函数f(x，y)=lg[xln(y－x)]的定义域所表示的平面区域(见图1)是5、设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知，则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x＋1)≤f(x)＋1，f(x＋5)≥f(x)＋5，则f(6)的值是A．6B．5C．7D．不能确定7、若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a，l与b所成的角都是α，则α的取值范围是8、指数函数y=a x和对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像分别为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM(O为坐标原点)交曲线C1于另一点N，若曲线C2上存在一点P，P点的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的2倍，则点P的坐标为A．(log a4，4)B．(4，log a4)C．(log a2，2)D．(2，log a2)9、过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为10、平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，x n)表示．设a=(a1，a2，a3，a4，…，a n)，b=(b1，b2，b3，b4，…，b n)，规定向量a与b夹角θ的余弦为．当a=(1，1，1，1，…，1)，b=(－1，－1，1，1，…，1)时，cosθ等于第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、令a n为f n(x)=(1＋x)n＋1的展开式中含x n－1项的系数，则数列的前n项和为__________．12、函数在区间上的最小值为__________．13、有一条长度为1的线段EF，其端点E、F在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当EF绕着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹的长是__________．14、已知分段函数的图像如图2所示，根据图像写出函数另一段的表达式．15、若f(x)=sinx，g(x)=cosx，则有①[f(x)]2＋[g(x)]2=1；②f(2x)=2f(x)·g(x)；③g(2x)=[g(x)]2－[f(x)]2．现设双曲正弦函数，双曲余弦函数，类比上述三个结论，可得到f(x)与g(x)的关系式正确的为__________(只要写出对应的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤)16、(本小题满分12分)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h(x)=mf(x)＋ng(x)总成立，则称h(x)为f(x)，g(x)在R上的生成函数．若，g(x)=cos2x．(1)判断函数y=sinx是否为f(x)，g(x)在R上的生成函数，请说明理由；(2)记l(x)为f(x)，g(x)在R上的生成的一个函数，若，l(π)=4，求l(x)．17、(本小题满分12分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1=1，a k(k=2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，例如A=10011，其中a2=a3=0，a1=a4=a5=1，记ξ=a1＋a2＋a3＋a4＋a5．当启动仪器一次时，求：(1)ξ=3的概率；(2)ξ＞3的概率．18、(本小题满分12分)如图3，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角A－BD－C的大小；(3)求点C到平面ABD的距离．19、(本小题满分12分)如图4，线段AB过y轴负半轴上一点M(0，a)，A、B两点到Y 轴距离的差为2k．(1)若AB所在的直线的斜率为k(k≠0)，求以y轴为对称轴，且过A，O，B三点的抛物线的方程；(2)设(1)中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又有点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．20、(本小题满分13分)已知函数f(x)=ax3＋bx2－3x在x=±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．21、(本小题满分14分)已知曲线C：xy=1，过C上一点A n(x n，y n)作一斜率为的直线交曲线C于另一点A n＋1(x n＋1，y n＋1)，点A1，A2，A3，…，A n，…的横坐标构成数列{x n}，其中．(1)求x n与x n＋1的关系式；(2)若，a n=f(x n)，求{a n}的通项公式；(3)求证：(－1)x1＋(－1)2x2＋…＋(－1)n x n＜1(n∈N*)．试题答案选择题提示：1、2020∈A∩B，则2020∈或2020∈.2、3、x=0时，f(0)=1，再令，故满足条件的定义域有[0，2]，[－1，2]，[－2，2]，[－2，0]，[－2，1]，共有5个.4、由等价于5、设BC中点为E，，所以，则△ABC是等腰三角形.6、f(1)=1≤f(0)＋1，所以f(0)≥0，f(5)≥f(0)＋5≥5，f(6)≥f(1)＋5=6,又f(6)≤f(5)＋1≤6，所以f(6)=6．7、平移直线过同一点知选D．8、设，因为点P在C2上，所以，又O，M，N三点共线，则有，将x1=2x2代入化简得，所以，故P（4，log a4）.9、设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)，又因为|HQ|=λ|PH|，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=.10、.二、填空题答案：11、12、113、8＋π14、15、②提示：11、．12、13、当EF两端都在同一边上滑动时，形成的轨迹长为2×4=8，当EF两端在两边上滑动时，正方形顶点到EF中点的距离恒等于（直角顶点到斜边中点的距离等于斜边的一半），此时在四个角上轨迹都是圆周，则轨迹长为，所以EF 中点M所形成的轨迹的长是.14、根据特殊值，在一个周期内判断.15、.三、解答题16、解：(1)不是．假设y=sinx是f(x)，g(x)在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得恒成立，令x=0，得n=0；与n＞0矛盾．∴函数y=sinx一定不是f(x)，g(x)在R上的生成函数．18、解：(1)设正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．又∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC．∴AE⊥侧面BB1C1C．连接ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE=45°．在Rt△AED中，∴此正三棱柱的侧棱长为．(2)过E作EF⊥BD于F，连AF，∵AE⊥侧面BB1C1C，∴AF⊥BD．∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，故二面角A－BD－C的大小为arctan3．(3)由(2)可知，BD⊥平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，∴过E作EG ⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．题(2)、(3)的向量解法：(2)如图，建立空间直角坐标系Oxyz．19、解：(1)设抛物线为x2=2py(p＜0)，直线AB为y=kx＋a，联立其方程得x2－2kpx －2pa=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A左B右)，则x1＋x2=2kp，若|x1|－|x2|=2k p=－1，若|x2|－|x1|=2k p=1(矛盾)，∴x2=－2y．(2)AB方程：，联立x2=－2y x1＋x2=，x1x2=－1．。

黄冈中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合 , 集合,所以 , 故选B.2. 复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）A. -5B. 5C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，所以，故选A.考点：复数的运算．3. 学校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法抽取40名同学进行检查，将学生从1-1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组抽取的号码为（）A. 16 B. 17 C. 18 D. 19【答案】C考点：系统抽样法4. 已知向量，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选D.5. 已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 , 因为函数从左到右先增后减后增，所以二次函数的图象开口向上，，因为函数的极值点都为正，所以有两个不同的正根，所以，，故选B.6. 设是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（）A. 当时，“”是“”的充要条件B. 当时，“”是“”的充分不必要条件C. 当时，“”是“”的必要不充分条件D. 当时，“”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】当时，“”“”或与异面“” “或”，所以当时，“”是“”的即不必要又不充分条件，故C错误；当时，“”“” ，“”推不出“”，所以当时，“”是“” ，的充分不必要条件，故正确；当时，“”“” ，所以当时，“”是“” ，成立的充要条件，故A正确；当时，“”“” ，“”推不出“” ，当时，“”是“”的充分不必要条件,故正确，故选C.7. 已知双曲线的左焦点为，第二象限的点在双曲线的渐近线上，且，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，依题意，联立解得，故，解得，故所求渐近线方程为.选A.8. 若，，则下列各式中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在上递减，，故，再根据幂函数递增可得，所以，，故选A.9. 若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,是函数含原点的递增区间，又因为函数在上递增，所以，所以得不等式组，得，又，的取值范围是，故选B .10. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.考点：圆锥曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于表达式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.11. 三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取中点，连接，则在中，在中，，所以，则该三棱锥的外接球的表面积是，故选A. 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 设实数满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由约束条件可知，（当且仅当时等号成立），即的最小值为，故选C.【易错点晴】本题主要考查约束条件的应用、不等式的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为命题“”是假命题，所以为真命题，即，故答案为. 14. 高三某班一学习小组的四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①不在散步，也不在打篮球；②不在跳舞，也不在散步；③“在散步”是“在跳舞”的充分条件；④不在打篮球，也不在散步；⑤不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么在__________．【答案】画画【解析】由①②④，可知,A、、D都不散步，必有C在散步，由③可知必有A在跳舞，由⑤可知D不在打篮球，因此在画画，故答案为画画.15. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】设，当时，，在当时为增函数，，故为上的奇函数，在上亦为增函数. 已知，必有 . 构造如图的的图象，可知的解集为，故答案为 .16. 在中，已知，若点为的中点，且，则__________．【答案】【解析】根据题意得：，两边平方得，把代入得，即，分解得，解得（舍去）或，由余弦定理得，把代入得，由正弦定理得得，故答案为 .【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，且.求证：数列是等比数列；判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：先证明数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而可得结果；结和第一问可得，利用裂项项相消法求和，根据放缩法可得结果.试题解析：由题意可得，即，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；由可知，即，故18. 如图（1）所示，已知四边形由直角和直角梯形拼接而成的，其中，且点为线段的中点，，现将沿进行翻折，使得二面角的大小为，得到的图形如图（2）所示，边接，点分别在线段上.证明：；若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析（2）点到平面的距离为．【解析】试题分析：（1）直二面角定义可得，再根据已知条件，由线面垂直判定定理得平面，即得；另一方面，由计算可得；因此由线面垂直判定定理得平面，即得.（2）利用等体积法，将三棱锥的体积转化为，再根据椎体体积公式得，解得为点到平面的距离.试题解析：（Ⅰ）证明：因为二面角的大小为，则，又，故平面，又平面，所以；在直角梯形中，，，，所以,又，所以，即；又，故平面，因为平面，故.（Ⅱ）设点到平面的距离为，因为，且，故，故，做点到平面的距离为.19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的确组数据进行检验．求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2里颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）【答案】（1）（2）（3）所得到的线性回归方程是可靠的【解析】试题分析：（1）可用间接法先求抽到相邻两天的概率，进而求得选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；（2）根据表中数据，先求出回归方程中的常数，再根据样本中心点在回归直线上求出常数，进而可得出回归直线的方程；（3）根据（2）的结论，分别检验估计值与所选出的检验数据的误差是否均不超过颗，即可确认所得的线性回归方程是否可靠.试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以.故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是（2）由数据，求得由公式求得.所以关于的线性回归方程为.（3）当时，同样，当时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．考点：1、古典概型；2、线性回归方程及回归分析方程的应用.20. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，点，点，以为圆心，的半径作圆，交圆于点，且的的平分线次线段于点．当变化时，点始终在某圆锥曲线是运动，求曲线的方程；已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，的椭圆，故点的轨迹方程为；（II）设直线，不妨设，直线与曲线联立，根据韦达定理，求得，根据三角形面积公式将. 试题解析：（I）如图，，，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，的椭圆，故点的轨迹方程为（II）由题可知，设直线，不妨设，，，，，即21. 已知函数有两个不同的零点．求的最值；证明：．【答案】（1），无最小值（2）见解析试题解析：，有两个不同的零点，在内必不单调，故，此时在上单增，上单减，，无最小值由题知，两式相减得，即故要证，即证，即证不妨设，令，则只需证设，则设，则在上单减，，在上单增，，即在时恒成立，原不等式得证．【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线，曲线为参数），以以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.求的极坐标方程；若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于点两点，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由可得曲线的极坐标方程；先将曲线化为普通方程，进而可得曲线的极坐标方程；（2）设，则，根据三角函数有界性可得到答案.试题解析：，，，，，，曲线为，设，则，23. 选修4-5：不等式选讲设函数．当时，解不等式：；若对任意，不等式解集不为空集，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；不等式解集不为空集，等价于，只需求出的最大值即可得结果.试题解析：当时，解不等式：等价于①当时，不等式化为，无解；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为不等式解集不为空集，当且仅当时取等号，对任意，不等式解集不为空集，令，当上递增，递减，当且仅当或，，的取值范围为.。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，B={1,3，5，7，9}，则(∁U A)∩B=()A. {6,9}B. {6,7，9}C. {7,9}D. {7,9，10}2.复数z=i1−i的共轭复数的模为()A. 12B. √22C. 1D. 23.(2x−y)5的展开式中x2y3的系数是()A. 40B. 80C. −40D. −804.若向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，则a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=()A. 5B. 6C. 7D. 85.设a=sin2，b=log0.3π，c=40.5，则()A. b<a<cB. a<b<cC. c<a<bD. b<c<a6.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A,B,C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为()A. 112B. 16C. 15D. 197.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象向左平移π3个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍后，所得函数为g(x)，则g(π)=()A. −12B. 12C. −√32D. √328.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AA1=2AB，D是AA1的中点，则BD与A1C1所成角的余弦值为()A. 12B. √24C. √22D. 2√239.已知双曲线C：y29−x2b=1(b>0)，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率e为()A. √133B. √132C. 23D. 3210.下列方程的曲线不关于x轴对称的是()A. x2−x+y2=1B. x2y+xy2=1C. 2x2−y2=1D. x+y2=−111.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a2，则当bc+cb取得最大值时，内角A=()A. 2π3B. π2C. π3D. π412.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()A. √26B. √36C. √23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽取次品件数记为X，则V(X)的值为________．14.已知α∈(0,π2),cos(α+π4)=35，则cosαcos2α=______ ．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为______ ．16.当x>3时，不等式x+1x−1⩾a恒成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}满足a1=3，a2+1，a5+1，a9+5成等比数列，数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+a n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)数列{a nb n b n+1}的前n项和为Tn，求证：T n<1．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD．(1)证明：BC⊥平面PDB；(2)若AB=√2,PB与平面APD所成角为45°，求二面角A−PC−B的大小．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，且经过点(√3,1)(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线l交椭圆于AB两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}，则(∁R B)∩A =( )A. {−1,0，5}B. {1,2，3}C. {2,3}D. {1,3}2. 复数z =3+i1−2i (其中i 为虚数单位)，则|z −|=( )A. 2B. 43C. √2D. √53. 已知直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ，则“m =−2”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√35. 设x ，y 满足约束条件{x +3y ≥3x −y ≥1y ≥0，则z =x +y 的最小值为( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC 中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 是直线BD 上一点，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( )A. 25B. −25C. 35D. −357. 中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米．例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米．在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为20mm 的正方形，高为40mm ，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10mm ，则该同学测得的降水量约为( )(π取3.14)A. 127毫米B. 12.7毫米C. 509毫米D. 100毫米8. 已知圆C ：x 2+(y +2)2=2，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 4条9.若函数f(x)=√3sinx+cosx在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=−2，f(b)=2，则函数g(x)=√3cosx−sinx在区间[a,b]上()A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值−210.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为()A. 34π B. 4π C. 3√2 D. 4√211.已知F1(−c,0)、F2(c,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2=4cx上，则双曲线的离心率为()A. √2+1B. 2C. √5D. √5+1212.已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值是()A. 4√33B. 83C. 4√23D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若lna=1e，则a e−log a e=______．14.设x=θ是函数f(x)=3sinx−cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ=______．15.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．16.已知一族双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n在E n，的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A nB nC n的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯…+a2020=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱)的底面边长为6，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：点M为BC边的中点；(2)求点C到平面AMC1的距离．18.已知数列{a n}，{b n}满足a1=12，b1=1，2a n+1=a n，b1+12b2+13b3+⋯ (1)nb n=b n+1−1(n∈N∗)．(1)求a n与b n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．19.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：(1)已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2．20. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0))的左、右焦点，椭圆上一点P 满足PF 1⊥x 轴，|PF 2|=5|PF 1|，|F 1F 2|=2√2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当△ABF 1的内切圆面积最大时，求直线l 的方程．21.已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx，其中a>0．(1)求f(x)的单调区间；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，判断1f(x1)+1f(x2)的正负，并说明理由．22.在平面直角坐标系中，已知曲线C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，P(√3,3).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(1)求曲线C1的极坐标方程及点P的极坐标；(2)设直线l1与曲线C1交于A、B两点，记△POA的面积为S，△BOC1的面积为S′，求SS′+S′S的值．23.已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，且f(x+2)≥1的解集A满足[−1,1]⊆A．(1)求实数m的取值范围B；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，m0为B中的最小元素且1a +12b+13c=m0，求证：a+2b+3c≥92．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}， 则∁R B ={x|1≤x ≤3}， 所以(∁R B)∩A ={1,3}． 故选：D ．根据补集和交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设复数z =3+i1−2i ， 则|z −|=|z|=|3+i1−2i |=|3+i||1−2i| =√32+12√12+(−2)2=√10√5=√2．故选：C ．根据|z −|=|z|，计算即可．本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ， l 1⊥l 2⇔m(2m +3)+m =0，即m =−2或m =0． ∴由“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立． ∴“m =−2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 故选：A ．由两直线垂直与系数的关系列式求得m 值，可得“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立．再由充分必要条件的判定方法得答案．本题考查两直线垂直与系数的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S12×4×4×√32=34； 解得S =3√3： 故选：C ．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分： 由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{x +3y =3x −y =1，解得A(32,12)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小，由可得A(32,12)，此时z =x +y =2． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属基础题． 根据题意，画出图象，可知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC⃗⃗⃗⃗⃗ .进而求得m 和n 的值，算出m +n 的值． 【解答】 解：如图所示：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =−1，n =25． m +n =−35． 故选：D ．7.【答案】B【解析】解：由题意，水的体积V =20×20×10=4000mm 3， 容器口的面积S =π×102=100πmm 2， ∴降雨量=4000100π≈12.7mm ．∴该同学测得的降水量约为12.7毫米． 故选：B ．由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案．本题考查数学在实际生活中的应用，考查棱柱体积与圆面积的求法，是基础题．8.【答案】A【解析】解：若直线不过原点，其斜率=−1，设其方程为y =−x +m ， 则d =2=√2，解得m =0或−1，当m =0时，直线过原点；若过原点，把(0,0)代入02+(0+2)2=4>2， 即原点在圆外，所以过原点有2条切线， 综上，一共有3条，故选：A．先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为−1，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论．本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解．9.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=−2，f(b)=2，∴f(a)=2sin(a+π6)为最小值，f(b)=2sin(b+π6)为最大值，则函数g(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)=2sin(x+π6+π2)，即g(x)的图象由f(x)的图象向左平移π2个单位(即14个周期)得到的．令x+π6=t，取t∈[−π2,π2]，则t+π2∈[0,π]，故g(x)在区间[a,b]上能取得最大值2，故选：C．由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：P点的轨迹为过点C与直线BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形ACB1，它的周长为：3√2．故选：C．画出正方体，利用已知条件，判断P的轨迹，然后求解轨迹长度．本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：如图：F1P垂直直线bx−ay=0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bx−ay= 0的距离为：d=bc√a2+b2=b，△F1PF2中，PF1=2d=2b，抛物线y2=4cx的焦点坐标(c,0)，PF2=2a，tan∠F1OH=ba ，∴cos∠F1OH=ac，sin∠F1OH=bc，可得cos∠OF1P=bc ，sin∠OF1P=ac，P(2b2c−c,2abc)，点P在抛物线y2=4cx上，可得：4a2b2c2=4c⋅(2b2c−c)=8b2−4c2，∴e4−3e2+1=0，e>1，∴e=√5+12．故选：D．利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，设C(m,0)则B(−m,0)，A(0,n)，D(12m,12n)，由题意可得BD2=(3m2)2+(n2)2=4，故S=mn=43⋅3m2⋅n2≤43⋅(3m2)2+(n2)22=83，当且仅当3m2=n2即n=3m时取等号故选：B．结合已知三角形考虑建立直角坐标系，结合点的坐标表示三角形的面积，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解三角形面积的最值，属于基础试题．13.【答案】0【解析】解：因为lna=1e，所以a=e1e，则a e−log a e=e e×1e−1lna=e−e=0故答案为：0由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了指数与对数的互化及对数运算性质的应用，属于基础试题．14.【答案】−25【解析】解：f′(x)=3cosx+sinx，∴f′(θ)=3cosθ+sinθ=0，∴tanθ=−3．∴sin2θ+2cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+21+tan2θ=−25．故答案为：−25．根据极值点处的导数为零，求出tanθ的值，然后再借助于三角恒等变换求出结论．本题考查极值点处的性质、三角恒等变换等基础知识与方法．属于中档题．15.【答案】35【解析】解：连接B1C，交BC1于点O，则点O为B1C的中点，取AC的中点D，连接BD、OD，∴OD//AB1，∴∠BOD即为异面直线AB1与BC1所成角．∵∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，∴BD=1，OD=12AB1=√52，OB=12BC1=√52，在△BOD中，由余弦定理知，cos∠BOD=OB2+OD2−BD22⋅OB⋅OD=54+54−12×√52×√52=35．故答案为：35．连接B1C，交BC1于点O，取AC的中点D，连接BD、OD，则OD//AB1，故∠BOD即为所求；得出BD、OD和OB的长度后，由余弦定理求得cos∠BOD即可．本题考查异面直线的夹角问题，通过平移的思想，找出异面直线的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】20218．【解析】解：双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)的两条渐近线为y=x，y=−x，互相垂直，直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，A n(2,√4−n2020)，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，则|An B n|=2−√4−n2020√2,|A n C n|=2+√4−n2020√2，∴a n=12|A n B n||A n C n|=n20204=n8080，∴a1+a2+a3+⋯…+a2020=18080+28080+⋯…+20208080=1+20202×20208080=20218．故答案为：20218．一族双曲线由有共同的渐近线且互相垂直，可得△A n B n C n为直角三角形，通过计算可求出A n的坐标，|A n B n|和|A n C n|，进而求出a n和a1+a2+a3+⋯…+a2020．本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题．17.【答案】解：(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M∵三棱柱ABC−A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，∴AM⊥CM．∵底面ABC为正三角形，∴点M为BC边的中点(2)过点C作CH⊥MC1，由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，∴AM⊥平面C1CM，∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM由(1)知，AM =C 1M =3√3，CM =12BC =3，CC 1⊥BC ， ∴CC 1=√(3√3)2−32=3√2， ∴CH =CC 1×CM C 1M=√2×333=√6，∴点C 到平面AMC 1的距离为底面边长为√6．【解析】(1)根据等腰直角三角形，可得AM ⊥C 1M 且AM =C 1M ，根据三垂线定理可知AM ⊥CM ，而底面ABC 为边长为a 的正三角形，进一步得到点M 为BC 边的中点； (2)过点C 作CH ⊥MC 1，根据线面垂直的判定定理可知AM ⊥平面C 1CM ，CH ⊥平面C 1AM ，则CH 即为点C 到平面AMC 1的距离，根据等面积法可求出CH 的长．本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=12，b 1=1，2a n+1=a n ，所以a n+1a n=12(常数)，所以数列{a n }是以12为首项12为公比的等比数列． 所以a n =12×12n−1=12n ．数列{b n }满足b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n b n =b n+1−1(n ∈N ∗)① 当n ≥2时，b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n−1b n−1=b n −1(n ∈N ∗)②， ①−②得1n b n =b n+1−b n ， 所以b n+1b n=n+1n，所以b 2b 1⋅b3b 2…b nbn−1=2×32×43×…n−1n−2×nn−1，整理得bnb 1=n ，所以b n =n(首项符合通项) 故b n =n ．(2)由(1)得：c n =a n b n =n ⋅12n ， 所以T n =1×12+2×12+⋯+n ⋅12①.12T n=1×122+2×123+⋯+n ⋅12n+1②，①−②得：12T n =(12+12+⋯+12)−n ⋅12=12(1−12n )1−12−n ⋅12=1−12−n ⋅12．故T n =2−12n−1−n2n ．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和叠乘法的应用求出数列的通项公式． (2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由表格可得，x −=5×(3+15)2×5=9，y −=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑(5i=1x i −x −)2=36+9+0+9+36=90，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−6)×(−0.19)+(−3)×(−0.09)+0×(−0.01)+3×0.09+6×0.2=6×(0.19+0.09+0.20)=6×0.48=2.88， 所以b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2.8890=0.032，于是a ̂=y −−b ̂x −=0.32−0.032×9=0.032，故变量y 与x 之间的回归直线方程为y ̂=0.032(x +1)．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×(1+2+4+6+5+a)×3=1， 解得a =2，故最右边小矩形的高度为260=130， 由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP 为 x −=360(1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5)=10.2(万元/人)，由(1)可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人)． 于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×(10.2+1)=1.792(万吨)． 由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为： 17920×200=3.584×106(千瓦时)即为所求．【解析】(1)由最小二乘法，算出b ^，a ^，进而可得回归直线方程．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a =2，最右边小矩形的高度，人均GDP ，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人).于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得|PF 2|=5|PF 1|，|F 1F 2|=2√2，|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，解得|PF 2|=5√33，|PF 1|=√33， 由椭圆的定义可得2a =5√33+√33=2√3，所以a =√3，c =√2，b =1，所以椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)要使△ABF 1的内切圆面积最大，只需△ABF 1的内切圆的半径r 最大． 因为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：x =ty +√2，联立{x =ty +√2x 2+3y 2=3，可得(3+t 2)y 2+2√2ty −1=0，则y 1+y 2=−2√2t3+t ，y 1y 2=−13+t 2，则S △ABF 1=S △F 1F 2A +S △F 1F 2B =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2⋅2√2t3+t 2)43+t 2=2√6√t 2+13+t 2， 又S △ABF 1=12(|AF 1|+|BF 1|+|AB|)⋅r =12⋅4√3⋅r =2√3r ，故2√6√t 2+13+t2=2√3r ，即r =√2√t 2+13+t 2=√2√t 2+1+22≤12，当且仅当√t 2+1=√t 2+1t =±1时等号成立． 所以直线l 的方程为y =x −√2或y =−x +√2．【解析】(1)由条件和勾股定理、椭圆的定义，解方程可得a ，b ，然后求出椭圆的方程； (2)设直线l ：x =ty +√2，△ABF 1的内切圆的半径为r ，由等积法可得r 关于t 的函数，利用基本不等式计算r 的最大值，进而得到直线的方程．本题考查椭圆的定义、方程和性质，直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和等积法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2(a+1)(x+a)−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)，其中a >0，①当a ≥1时，f′(x)≤−x 2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，所以函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，无的单调增区间；②当0<a<1时，由−x2+2x−a2>0，解得1−√1−a2<x<1+√1−a2；由−x2+2x−a2<0，解得0<x<1−√1−a2或x>1+√1−a2，所以函数f(x)在区间(0,1−√1−a2)和(1+√1−a2,+∞)内单调递减，在区间(1−√1−a2,1+√1−a2)内单调递增；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知，0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，∴f(x1)+f(x2)=[2(x1−1)x1+a+2(x2−1)x2+a]−(lnx1+lnx2)=2[(x1−1)(x2+a)+(x2−1)(x1+a)](x1+a)(x2+a)−ln(x1x2)=2[2x1x2+(a−1)(x1+x2)−2a]x1x2+a(x1+x2)+a2−ln(x1x2)=2[2a2+2(a−1)−2a]a2+2a+a2−ln(a2)=2(a2−1)a(a+1)−2lna=2(1−1a−lna)，设函数g(a)=1−1a −lna(0<a<1)，则g′(a)=1a−1a=1−aa>0，∴函数g(a)在区间(0,1)上单调递增，∴g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，∴f(x1)+f(x2)<0，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，结合(1)中函数f(x)的单调性可知：f(x1)<f(1)< f(x2)，又f(1)=0，所以f(x1)f(x2)<0，∴1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0(为正)．【解析】(1)先求出导函数f′(x)，对a的值分情况讨论，利用导函数f′(x)的正负，即可得到函数f(x)的单调性；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，化简f(x1)+f(x2)=2(1−1a −lna)设函数g(a)=1−1a−lna(0<a<1)，利用导数得到g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，所以f(x1)+f(x2)<0，又f(x1)f(x2)<0，所以1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数以及函数的极值，是中档题．22.【答案】解：(1)由C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，消去参数α，可得(x−2√3)2+y2=10，即x2+y2−4√3x+2=0，又ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0．∵P(√3,3)，∴ρ=√3+9=2√3，tanθ=yx =√3=√3，则θ=π3．∴点P的极坐标为(2√3,π3)；(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0，圆心C1的直角坐标为(2√3,0)，直线11的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设点A(ρ1,π6)，B(ρ2,π6)，代入ρ2−4√3ρcosθ+2=0，整理得ρ2−6ρ+2=0，∴ρ1+ρ2=6，ρ1ρ2=2．∴S=12ρ1⋅ρP⋅sin(π3−π6)=√32ρ1，S′=12|OC1|⋅ρ2⋅sinπ6=√32ρ2，∴SS′+S′S=(ρ1+ρ2)2−2ρ1ρ2ρ1ρ2=62−2×22=16．【解析】(1)把曲线的参数方程中的参数消去，可得直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的转换关系，可得曲线C1的极坐标方程，并求得点P的极坐标；(2)由(1)中求得的点C1的坐标，得到C1到直线l1的距离，把直线l1代入曲线C1的极坐标方程，得到关于ρ的一元二次方程，利用三角形面积公式及根与系数的关系，即可求得SS′+S′S的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是曲线极坐标方程中极径的应用，考查学生的运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，由[−1,1]⊆A知A是非空集合，所以1−m≤x≤m−1，结合[−1,1]⊆A可得m−1≥1⇒m≥2，即实数m的取值范围是B=[2,+∞)．(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，∴a+2b+3c=12(a+2b+3c)(1a+12b+13c)≥12(√a√a√2b⋅√2b√3c⋅√3c)2=92．【解析】(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，解此不等式，结合[−1,1]⊆A知A是非空集合，得到端点的不等式得到m范围；(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，即12×(1a+12b+13c)=1，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式．本题考查了绝对值不等式的解法以及利用乘1法，结合基本不等式证明不等式；属于中档题．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|y=ln(1−x2)}，B={y|y=3x−1}，则A∩(∁U B)=()A. (−1,0)B. [0,1)C. (0,1)D. (−1,0]2.若复数z满足z(1+i)=|1+√3i|，则复数z的共轭复数的模为()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为()A. 10B. 20C. 40D. 804.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗⋅b⃗ =−1，则a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=()A. 0B. 2C. 3D. 45.已知a=(tan2π5)0.1,b=log32,c=log2(cos3π7)，则()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b6.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．现有四名志愿者医生被分配到A、B、C三所不同的乡镇医院中，若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到A医院的概率为()A. 112B. 16C. 14D. 137.把函数f(x)=sin(2x−π6)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递减区间为()A. [π,2π]B. [π3,4π3] C. [π12,π3] D. [π4,5π4]8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √32B. √155C. √105D. √339.已知双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)，过左焦点F作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若|OA|=|OF|，则双曲线C的离心率为()A. 53B. √5+12C. 2D. √510. 方程：2(x −1)(x −3)=y(e x−2+e 2−x )的曲线有下列说法：①该曲线关于x =2对称； ②该曲线关于点(2,−1)对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是( )A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为√36a ，则cb +bc 的最大值是( )A. 8B. 4C. 3√2D. 612. 在三棱锥A −BCD 中，△ABC 和△BCD 都是边长为2的正三角形，当三棱锥A −BCD的表面积最大时，其内切球的半径是( )A. 2√2−√6B. 2−√3C. √2D. √66二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______． 14. 若α∈(0,π2)，sin(α−π4)=35，则cos2α=______．15. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ，N 为抛物线准线上相异的两点，且M ，N 两点的纵坐标之积为−8，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，F ，B 三点共线，则p =______．16. 已知不等式x −3lnx +1≥mlnx +n(m,n ∈R ，且m ≠−3)对任意正实数x 恒成立，则n−3m+3的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1=1，b 1=2，b 2=2a 2，b 3=2a 3+2． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ={1,n =2ka n ,n ≠2k (k ∈N)，设数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 2n ．18. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，AB =2√3，∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的角最大值为60°，求二面角E −AF −C 的余弦值． 19. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为√22，且△TFO 面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)设点A(0,1)，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20. 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N(μ,3.22)，其中μ近似为样本平均数x−(同一组数据用该组区间的中点值作代表)．(1)若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；(2)现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示P n−2+“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若P n表示A−的概率，P n=aP n−1+14 bP n−3(n≥3,a，b为常数)，且P0=P1=P2=1．(i)求P3，P4及a，b；(ii)判断并证明数列{P n}从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．(参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)21.已知函数f(x)=√x−a−sinx(a∈R)．(1)当a=0时，证明：f(x)≥0；(2)若a <−14，证明：f(x)在(0,π2)有唯一的极值点x 0，且f(x 0)>1π−2x 0−x 0．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).M 为曲线C 1上的动点，点P 在射线OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=20．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设C 2与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为5π6的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，求|DA|⋅|DB|的值．23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =3，证明：(1)1ab+1bc+1ca≥3；(2)a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥3abc ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题得：A={x|1−x2>0}={x|−1<x<1}，B={y|y>0}=(0,+∞)，∴∁U B={x|x≤0}=(−∞,0]；∴A∩(∁U B)=(−1,0]．故选：D．根据已知求出B的补集，再结合交集的定义求解结论即可．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合|z−|=|z|求解．【解答】解：由z(1+i)=|1+√3i|，得z=|1+√3i|1+i =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴|z−|=|z|=√2．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，是基础题．由二项式定理得(x2+2x )5的展开式的通项为：T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2r C5r x10−3r，由10−3r=4，解得r=2，由此能求出(x2+2x)5的展开式中x4的系数．【解答】解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2r C5r x10−3r，由10−3r=4，解得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为22C52=40．故选：C．4.【答案】C【解析】解：a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ =2×1−(−1)=3．故选：C．根据平面向量数量积的运算法则即可得解．本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：a=(tan2π5)0.1>(tan2π5)0=1，b∈(0,1)，c<0．∴a>b>c．故选：A．利用指数函数、对数函数三角函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：基本事件总数n=C42A33=36，医生甲恰好分配到到A医院包含的基本事件个数m=A33+C32A22=12，所以医生甲恰好分配到A医院的概率为p=mn =1236=13，故选：D．基本事件总数n，然后得到甲被选中包含的基本事件有m，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π6)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin(x−π6)的图象；再向左平移π3个单位，得到函数g(x)=sin(x+π3−π6)=sin(x+π6)的图象．令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，求得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，可得函数g(x)的减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，求出g(x)的一个单调递减区间．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则MN//AB1，NP//BC1，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,π2])，可知MN=12AB1=√52，NP=12BC1=√22；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形，PQ=1，MQ=12AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=4+1−2×2×1×(−12)=7，∴AC =√7，∴MQ =√72，MP =√MQ 2+PQ 2=√112； 在△PMN 中，由余弦定理得cos∠MNP =MN 2+NP 2−PM 22⋅MN⋅NP=(√52)2+(√22)2−(√112)22×√52×√22=−√105； 又异面直线所成角的范围是(0,π2]， ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105．故选C ．9.【答案】A【解析】解：由题意可得直线l 的方程为：y =12(x +c)，与渐近线y =ba x 联立，可得x =12⋅acb−a 2，y =bc2b−a ，因为|OA|=|OF|，即(ac 2b−a )2+(bc2b−a )2=c 2，整理可得3b =4a ，9b 2=9(c 2−a 2)=16a 2，即9c 2=25a 2， 因为e =ca >1， 解得e =53． 故选：A ．求出直线l 的方程，以及渐近线方程联立，求出A 的坐标，通过|OA|=|OF|，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基本知识的考查．10.【答案】D【解析】解：将方程2(x −1)(x −3)=y(e x−2+e 2−x )整理可得y =2(x−1)(x−3)e x−2+e 2−x，令y =f(x)将x 换成4−x 时，即f(4−x)=2[(4−x)−1][(4−x)−3]e +e =2(x−3)(x−1)e +e ，所以f(x)=f(4−x)，所以曲线关于x =2对称，所以①正确，②不正确； 当x <0时，f(x)>0，所以该曲线不经过第三象限，故③正确， 曲线过的整数点(1,0)，(3,0)(2,−1)三个整数点，故④不正确， 故选：D ． 将方程整理可得y =2(x−1)(x−3)e x−2+e 2−x，令y =f(x)，可得f(4−x)=f(x)所以可得曲线关于x =2对称，不关于(2,−1)点对称，且x<0时f(x)>0，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：cb +bc=c2+b2bc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc①而条件中的“高”容易联想到面积，a⋅√36a=bcsinA，即a2=2√3bcsinA②，将②代入①得：b2+c2=2bc(cosA+√3sinA)，∴cb +bc=2(cosA+√3sinA)=4sin(A+π6)，当A=π3时取得最大值4，故选：B．利用三角形的面积公式、余弦定理，化简cb +bc，再利用辅助角公式，即可求得结论．本题考查余弦定理及其应用，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：在三棱锥A−BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，三棱锥A−BCD的表面积为S，S=2√3+S△ABD+S△ACD=2√3+4sin∠ABD故当AB⊥BD时，表面积最大，为4+2√3，过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，三棱锥A−BCD的体积为V，V=V B−AED+V C−AED=13⋅√2⋅2=2√23设内切球的半径为r，因为13Sr=V，所以r=2√2−√6．故选：A．画出图形，求出表面积，判断表面积取得最大值时的位置，然后求解体积，设出内切球的半径，转化求解即可．本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于表面积最大时的情况以及求解内切球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题．13.【答案】2.91【解析】解：一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则X～(100,0.03)，∴DX=100×0.03×0.97=2.91．故答案为：2.91．X～(100,0.03)，由此能求出DX．本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．14.【答案】−2425【解析】解：若α∈(0,π2)，∴α−π4∈(−π4,π4)，∵sin(α−π4)=35∈(0,√22)，∴α−π4∈(0,π4)，∴cos(α−π4)=√1−sin2(α−π4)=45，∴cos2α=−sin(2α−π2)=−2sin(α−π4)cos(α−π4)=−2425．故答案为：−2425．由已知可求范围α−π4∈(0,π4)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α−π4)=√1−sin2(α−π4)=45，进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：由抛物线焦点弦的性质可知，y A=y N，y B=y M，∴y A⋅y B=y M⋅y N=−8∴−p2=−8，∴p=2√2．故答案为：2√2．利用抛物线的焦点弦的性质，列出方程，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16.【答案】−ln2【解析】解：令f(x)=x −3lnx +1−mlnx −n ，则f′(x)=1−m+3x(x >0)，若m +3<0，则f′(x)>0，f(x)单调递增，由当x →0时，f(x)→−∞，不合题意； ∴m +3>0，由f′(x)=0，得x =m +3，当x ∈(0,m +3)时，f′(x)<0，当x ∈(m +3,+∞)时，f′(x)>0，∴当x =m +3时，f(x)有最小值，则f(m +3)=m +3−3ln(m +3)+1−mln(m +3)−n ≥0，即n −3≤m +4−(m +3)ln(m +3)，∴n−3m+3≤m+1m+3−ln(m +3)， 令g(x)=x+1x+3−ln(x +3)，则g′(x)=2(x+3)−1x+3=−x−1(x+3)． 当x ∈(−3,−1)时，g′(x)>0，当x ∈(−1,+∞)时，g′(x)<0， 所以当x =−1时，g(x)有最大值为−ln2.即n−3m+3的最大值为−ln2． 故答案为：−ln2．构造函数f(x)=x −3lnx +1−mlnx −n ，利用导数f′(x)判断f(x)的单调性，求f(x)的最值，可得n−3m+3≤m+1m+3−ln(m +3)，令g(x)=x+1x+3−ln(x +3)，利用导数求其最大值得答案．本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，由a 1=1，b 1=2，b 2=2a 2，b 3=2a 3+2， 可得2q =2(1+d)，2q 2=2(1+2d)+2， 解得d =1，q =2，则a n =1+n −1=n ，b n =2n ，n ∈N ∗； (2)由于数列{c n }满足c n ={1,n =2k a n ,n ≠2k(k ∈N)，所以S 2n =c 1+c 2+⋯+c 2n =(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2n )−(a 21+a 22+⋯+a 2n )+n ， =(1+2+3+⋯+2n )−(2+22+⋯+2n )+n ， =12(1+2n )2n −2(2n −1)2−1+n ，═2n−1(1+2n )−2n+1+2+n ，=22n−1−3⋅2n−1+n +2，【解析】(1)利用已知条件求出数列的通项公式． (2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，分组法求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，∴△ABC 为正三角形，∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， 又BC//AD ，∴AE ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ． ∵AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD =A ， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥PD ．(2)解：以A 为原点，AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AP =a ，则A(0,0，0)，P(0,0，a)，E(3,0，0)，C(3,√3,0)，D(0,2√3,0)，F(32,√32,a2)，设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点H 为(x,y ，z)，则(x,y ，z −a)=λ(0，2√3，−a)，∴H(0,2√3λ,(1−λ)a)， ∴EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2√3λ,(1−λ)a)． 设EH 与平面PAD 所成角为θ， ∵平面PAD 的法向量为n ⃗ 0=(1,0,0)，∴sinθ=|cos <EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 0⃗⃗⃗⃗ >|=|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗⃗ |EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 0⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|√9+12λ2+(1−λ)2a 2⋅1|=√(12+a 2)(λ−a 212+a 2)2+21a 2+12×912+a 2∵EH 与平面PAD 所成的角最大值为60°， ∴3√21a2+12⋅912+a 2=√32，解得a=2，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32,1)．∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，∴设平面AEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{32x 1+√32y 1+z 1=03x 1=0， 令y 1=2，则x 1=0，z 1=−√3，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)． 同理可得，平面ACF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37×2=−√217． 由图可知，二面角E −AF −C 为锐二面角， 故二面角E −AF −C 的余弦值为√217．【解析】(1)易知AE ⊥AD ，由线面垂直的性质定理可得PA ⊥AE ，再由线面垂直的判定定理可推出AE ⊥平面PAD ，从而有AE ⊥PD ．(2)以A 为原点，AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AP =a ，逐一写出A 、P 、E 、C 、D 、F 的坐标；设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点H 为(x,y ，z)，从而可用含a 和λ的式子表示EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；设EH 与平面PAD 所成角为θ，易知平面PAD 的法向量n 0⃗⃗⃗⃗ ，则sinθ=|cos <EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 0⃗⃗⃗⃗ >|，结合配方法进行化简可列出关于a 的方程，求得a 的值后，再根据法向量的性质分别求得平面AEF 和平面ACF 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 与n 2⃗⃗⃗⃗ ，最后由空间向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设T(x 0,y 0)，F(c,0)，由c a =√22，可得a 2=2c 2，依题意S max =12⋅cb =12，所以a =√2，b =1， 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{x 22+y 2=1y =kx +t(t ≠1)，得(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2=0， △>0，x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2k 2，直线AP ：y −1=y 1−1x 1x ，令y =0得x =−x1y 1−1，即|OM|=|−x1y 1−1|；同理可得|ON|=|−x2y 2−1|.又|OM||ON|=2， 所以|−x 1y 1−1||−x 2y 2−1|=|x 1x2y 1y 2−(y 1+y 2)+1|=2化简，得|t 2−1t 2−2t+1|=1，解得只有t =0满足题意，所以直线方程为y =kx ，所以直线l 恒过定点(0,0)．【解析】(1)设T(x 0,y 0)，F(c,0)，通过椭圆的离心率以及三角形底面积求a ，b 的值，然后求出椭圆C 的方程．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{x 22+y 2=1y =kx +t(t ≠1)，利用韦达定理得到关系式，然后求出|OM|和|ON|，再通过|OM||ON|=2，求出t ，推出直线l 恒过的定点．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．20.【答案】解：(1)直方图可得x −=(0.0125×4+0.05×8+0.1375×12+0.375×16+0.125×20)×4=11.8，∵μ=x −=11.8，σ=3.2，μ+2σ=1820元， ∴旅游费用支出不低于1820元的概率为P(x ≥μ+2σ)=1−P(μ−2σ<x<μ+2σ)2=1−0.95442=0.0228，∴500×0.022=11.4，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元． (2)(i)P 3=1−18=78，P 4=1−2+116=1316，由{P 3=aP 2+14P 1+bP 0P 4=aP 3+14P 2+bP 1，即{78=a +14+b 1316=78a +14+b ， 解得{a =12b =18；(ii)数列{P n }从第三项起单调递减． P n =12P n−1+14P n−2+18P n−3(n ≥3)，故P n+1−P n =(12P n +14P n−1+18P n−2)−(12P n−1+14P n−2+18P n−3)=12P n −14P n−1−18P n−2−18P n−3 =12(12P n−1+14P n−2+18P n−3)−14P n−1−18P n−2−18P n−3=−116P n−3，又P n>0，∴−116P n−3<0，即从第三项起数列{P n}单调递减．由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小．(即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)．【解析】(1)由直方图可得x−，即可得到μ，结合已知的σ=3.2，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为P(x≥μ+2σ)，求得概率后乘以500得答案．(2)(i)先由题意求得P3与P4的值，再列关于a，b的方程组求解a，b的值；(ii)由P n=12P n−1+14P n−2+18P n−3(n≥3)，利用作差法可得从第三项起数列{P n}单调递减．其实际意义为随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小．(即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．21.【答案】解：(1)若x>1，则√x>1≥sinx；若0≤x<1，则√x≥x．令g(x)=x−sinx(x≥0)，可知g′(x)=1−cosx≥0，故g(x)≥g(0)=0，即x≥sinx(x≥0)，故√x≥sinx(x≥0)．(2)证明：f′(x)=2√x−a cosx，令g(x)=2√x−acosx，g′(x)=−14(x−a)32+sinx，∵a<−14，∴g′(x)是(0,π2)上的增函数，又g′(0)=−14(−a)32<0，g′(π2)=1−14(π2−a)32>0，故存在唯一实数t0∈(0,π2)，使g′(t0)=0，当x∈(0,t0)时，g′(x)<0，g(x)递减；当x∈(t0,π2)时，g′(x)>0，g(x)递增，∵g(0)=2√−a −1<0，g(π2)=2√π2−a>0．故存在唯一实数x0∈(0,π2)，使g(x0)=2x−a−cosx0=0．当x∈(0,x0)时，f′(x)=g(x)<0，f(x)递减；当x∈(x0,π2)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在(0,π2)有唯一极小值点x0，且极小值为f(x0)=√x0−a−sinx0．又由g(x0)=2x−a−cosx0=0，得√x0−a=12cosx0，∴f(x 0)=12cosx 0−sinx 0，又f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0．以下只需证明12cosx 0>1π−2x 0，0<2cosx 0<π−2x 0．∵x 0∈(0,π2)，∴2cosx 0=2sin(π2−x 0)<2(π2−x 0)=π−2x 0．则f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0>1π−2x 0，f(x 0)>1π−2x 0−x 0．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(2)求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(x)在(0,π2)有唯一极小值点x 0，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(Ⅰ)设P(ρ,θ)，M(ρ0,θ)，|OM|⋅|OP|=20，可得ρ0ρ=20， 即有4ρcosθ=20，即ρcosθ=5，可得点P 的轨迹C 2的直角坐标方程为x =5；(Ⅱ)C 2与x 轴交于点D(5,0)，过点D 且倾斜角为5π6的直线l 的参数方程设为 {x =5−√32ty =12t(t 为参数)，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)，即为ρ2=4ρcosθ， 化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=4x ， 可得t 2−3√3t +5=0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 即有t 1t 2=5，|DA|⋅|DB|=|t 1t 2|=5．【解析】本题考查极坐标方程的运用，以及直线的参数方程的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)设P(ρ,θ)，M(ρ0,θ)，由曲线C 1的极坐标方程，再由直角坐标和极坐标的互化，可得所求方程；(Ⅱ)求得D 的坐标，以及直线l 的参数方程，圆的直角坐标方程，联立两个方程，结合参数的几何意义，计算可得所求值．23.【答案】证明：(1)∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =3，∴3=a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a =b =c =1时取等号，∴0<abc ≤1，∴1ab +1bc +1ca =a+b+c abc=3abc≥3，∴1ab +1bc +1ca ≥3；(2)∵a 2b 2+b 2c 2≥2√a 2b 2c 2=2ab 2c ，当且仅当a =c 时取等号， 同理a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2， ∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2abc(a +b +c)=6abc ， ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥3abc ，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥3abc ．【解析】(1)根据条件可得3=a +b +c ≥3√abc 3，然后由1ab +1bc +1ca =a+b+c abc可证明结论；(2)利用基本不等式可得2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2abc(a +b +c)=6abc ，从而证明结论．本题考查了利用综合法证明不等式和基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。