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现代控制理论第六章最优控制【精选】

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现代控制理论最优控制课件

现代控制理论最优控制课件

04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案

=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得

最优控制全部PPT课件

最优控制全部PPT课件

J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
第11页/共184页
目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
第9页/共184页
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt

现代控制理论 最优控制

现代控制理论 最优控制
所以它的导数在 = 时应为零，即

[∗ + ]቟
=

=
由变分引理

[∗

+ ]ቕ
=
= ∗
=
得证
《现代控制理论》MOOC课程
6.2.2 无约束条件的变分问题(1)
6.2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数() 在区间 ∈ [ , ]上是连Βιβλιοθήκη 的，而且对于只满足某些一般条件的任意

[ + ]቟

=
+ ]ቕ
=
∆ +
= lim
ቤ
∆→
∆
=
+ −
= lim
→

′

1
1 2

቟
= lim { ඐ +


+}
2
→
2
− ∗
<
则称泛函 在∗ 处是连续的。
其中， , ∗ 表示在函数空间中 与∗ 之间的距离:

泛函的变分
, ∗ = max − ∗
≤≤
泛函 增量∆ 的线性主部称为泛函的一阶变分，简称泛函的变分，记作

选定的函数()有‫)()( ׬‬

= , 则在区间 ∈ [ , ]上有： () ≡
一 欧拉方程
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
问题: 考虑泛函为


ሶ
= න [ , (),
]

ሶ
式中 在 ∈ [ , ]上连续， [ , (),

最优控制问题介绍

最优控制问题介绍

最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。

这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。

通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。

一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。

在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。

这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。

为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。

这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。

然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。

最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。

二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。

其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。

1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。

这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。

2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。

这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。

3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。

这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。

三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。

1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。

现代控制理论课件-第六章 极小值原理

现代控制理论课件-第六章 极小值原理

⑴ 满足正则方程
x*
k
1
H
x*
k
，u* k ，* k 1
k
1，k
f x* k ，u* k ，k
*
k
H
x*
k
，u* k ，* xk
k
1，k
⑵ 相对于最优控制，哈密尔顿函数达极小值，即
H x* k ，u* k ，* k 1，k H x* k ，uk ，* k 1，k
⑶ 及满足以下边界条件及横截条件
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条 件及横截条件，条件1、2不变。当控制变量不受限 制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x*
k ，u* k ，* uk
k
1，kபைடு நூலகம்
0
§ 6.3 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的 解析解是很困难的，本节只讨论线性定常受控系统的 最短时间控制问题。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现 两者的差别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物 理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
边界条件为：xt0 x0 ，为简单起见，假设终端时刻 t f
及终端状态 x t f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集 约束，即 utU
性能指标为：
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t 及最优状态 轨线 x* t 必须满足以下条件：

第六章 最优控制(2) 现代控制理论


x1(t)
x10
x20t
1t2 2
消去时间变量 t , 可得相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
(6-256)
在图6-16中用实线表示。
14
由于x2(t)=x20+t随t增大, 故最优轨线行进的方向自 下而上, 如曲线上箭头所示。
15
当 u= -1 时, 状态方程的解为
x2 (t) x20 t
在R-上 在+上
在R+上 到达原点
u 1,1 u 1 u 1, 1 u 0
19
进一步, 可综合为
u 1 当(x1, x2 ) R u 1 当(x1, x2 ) R
u 0 当(x1, x2 ) 0
若将开关曲线方程写成
h (x1, x2 )
x1
1 2
x2
x2
0
则最优控制律可表示成
x2 (t) u(t)
或写成矩阵形式
x(t)
0 0
1 0
x(t)
10u(t
)
初始条件 x(t0) x0
(6-248)
终端条件 x(t f ) 0
控制约束 1 u(t) 1, (t0 t t f )
性能指标
J
t f
t0
1 dt
求 最 优 控 制 u*(t) ， 把 系 统 从 初 态 转 移 到 终 态 ， 使
x1(t)
x10
x20t
1 2t2Fra bibliotek相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
在图6-16中用虚线表示。由于x2(t)随t减小, 故 曲线箭头方向自上而下。

现代控制理论 第6章 最优控制(校内讲稿)1


2）终端型性能指标（ 梅耶问题）
J x( t f )或J x( N )
3）综合型性能指标（ 鲍尔扎问题）
J x ( t f ) Lx t ,ut ,t dt
终端指标


t
f
或J x( N )
N 1 k k 0
t0
L [ x( k ),u( k ),k ]
2.拉格朗日乘子法 设目标函数：
n维
x( tk 1 ) f [ x( tk ),u( tk ),tk ] n N倍
N 1 L k 0
J x( N ) 约束条件为：
x( k ), u( k ), k
( k 0 ,1, N 1 )
f [ x( k ), u( k ), k ] x( k 1 ) 0
6.9
Bang-Bang控制
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教学要求： 1. 学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念 2. 掌握利用变分法求最优控制方法 3.掌握状态调节器，极小值原理
重点内容： •最优控制的一般问题及类型，泛函与变分，欧拉 方程，横截条件。 •变分法求有约束和无约束的最优控制。 •连续系统的极小值原理。 •有限和无限时间状态调节器方法，Riccati方程求 解。
爬山法 梯度法
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6.3 静态最优化问题的解
6.3.1 一元函数的极值
设： f ( u ) a , b 上的单值连续可微函数 J 则1) u为极小值点的充要条件
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
H f ( g )T 0 x x x H f ( g )T 0 u u u H g ( x ,u )0

现代控制理论第六章


式中,δx(t) 为宗量函数x(t)的变分, L[x(t), δx(t)] 是 δx(t) 的线性连续泛函,o[ x(t), δx(t)] 是关于 δx(t) 的高阶无穷 小,则定义泛函增量的线性主部
δJ = L[ x(t), δ x(t)]
(6-19)
为泛函 J[ x(t)] 的变分，记作 δJ 。若泛函有变分，则 称该泛函可微。
物体的升降速度，则上式可写成状态方程
& x1 (t) = x2 (t)
& x2 (t) = u(t) − mg
x 其初始条件是 x1 (t0 ) = x10 ， 2 (t0 ) = x20 。现需寻找 一个能使物体以最短时间从初态 ( x10,x20 ) 到达终态 (0,0)的控制u(t)。定义系统的性能指标为
1. 始端时刻和终端时刻固定时的泛函极值问题
首先讨论不仅初始时刻 t0 、终端时刻 t f 固定,而 且初始状态 x(t 0 ) = x0 、终端状态 x(tf ) = xf固定这一最 简单情况下无约束条件的泛函极值问题(最优控制的 最优控制的 基本问题)。 基本问题
J = ∫ dt = t f − t0
tf t0
t 式中, t0为起始时刻， f 为终止时刻。要求时间最短， 即使性能指标J最小，这样求得的控制即为最优控制 u *(t) 。
2. 搅拌槽问题 设有一盛放液体的连续 搅拌槽，如图6-2所示。槽内 装有不停转动着的搅拌器S， 使液体经常处于完全混合状 态，槽中原放 0o C 的液体。 现需将其温度升高，为此在 入口处送进一定量的液体， 其温度为u(t)，出口处流出 等量的液体，以保持槽内液
由式(6-20)得
∂ (J[x(t) + εδx(t)]) = ∂ ∫tt0f [x(t) + εδx(t)]2 dt ∂ε ∂ε ε =0

刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11

TechnicalTechnical parameters for turntable (2) parametersforturntable(1)通过实例来初步认识为转动惯量；内，电动机从静止起动，转过一定角度最小，求θt t I R D t D fd )(2∫=)(t I D 的函数，E 是函数的函数，称为中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(t I D 又停下，求控制（是。

θ()D I t FD D D m T J I J K ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤100末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θf f t x t x 最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制，使J 为最小最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标处的增量为：：求平面上两固定点连线最短的曲线c=自由的终端约束的极值问题。

ce t回顾前面最优控制问题提出的第二个例子可以看出：1、当终值时刻，ω＝02、I D (t )为负斜率线性函数,,]x u t ③边界条件（以始端固定、终端自由为例）：[(),]()f f f x t t x t φ∂],,,*t λu 与通常基于变分法的最优控制不同处极值的必要条件是使哈密尔顿函1线性系统的二次型性能指标最优控制u 在这里不是输入，而是一种（反馈）控制结构03,0f t t ==322212121(242)2x x x x u dt+++10⎡⎤⎢21⎡⎤⎥02S =⎥⎣⎦14Q =⎢⎣⎦121222p x p x ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦xxx+）}t随着参考输入的不同，系统的结构（输入部份）也不同变输入变结构控制？其状态方程模型u x=2&21x x=&}u ≤1系统的初始状态为)0(1x )0(2x 末值状态为)(1=f t x 0)(2=f t x 性能指标为ft t t J f ==∫d )(f t x 要求在状态方程约束下，寻求最优控制，转移到，同时使J 取极小值。

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6

0
f x3

2 x3

2 x2

2 x1

0
解得： x1 1, x2 1, x3 2 x* 1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x 2

4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 min J (x) f (x)
2.控制作用域
控制集 U u(t) | j ( x, u) 0
容许控制 u(t) U 3.初始条件
初始集 0 x(t0 ) | j[x(t0 )] 0
可变始端 x(t0 ) 0 4.终端条件
目标集 f x(t f ) | j[ x(t f )] 0
不等式约束条件 hj ( x) 0 j 1,2,,l
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
min J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
第六章 最优控制
2019年9月27日
本章内容
6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 泛函及其极值――变分法 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 6.6 极小值原理 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
f
(u)
|uu*

0,
f
(u)
|
u
u*

0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fu


f u1
f u2

f un

0
2 f
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6
总运费为: f ( x) x1 2x2 4x3 4x4 5x5 9x6
取极小值点的充要条件是

u12
2 f (u) u2

0
海赛矩阵
2 f (u) u2

2 f

u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
2 f
unu2

2 f
u1un


2 f
u2un
目标函数
x的约束条件
x1 x2 x3 1500
x4 x5 x6 1800
x1 x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 min J (x) f (x)
等式约束条件 gi ( x) 0 i 1,2,, m
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
H f ( x, u) λT g( x, u)

1 2
xTQ1x

1 2
uTQ2u

λT
等式约束条件 gi (x) 0
解法
i 1,2,, m
（1）嵌入法
（2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数
min J f (x, u) 等式约束条件
gi ( x, u) 0 核心思想：
i 1,2,, m
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
2 f

un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f ( x) 2x12 5x22 x32 2x2 x3 2x3x1 6x2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1

4 x1

2 x3

0
f x2
10 x2
2x3
满足 min J ( x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u*(t)下，状态方程的解，称为最优轨线 x*(t) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J
(x)

1 2
xT (t f
)Q0 x(t f
)

1 2
tf t0
[
xT
(t)Q1
x(t
)

uT
(t)Q2u(t
拉格朗日函数构造： H f ( x, u) λT g( x, u)
将拉格朗日函数最为优化目标函数：min H
则目标函数存在最优解的条件是：
H 0, H 0, H 0
x
u
λ
H f ( x, u) λT g( x, u) 则目标函数存在最优解的条件是：
H

f


g
T

λ

0
x x x
H

f


g
T

λ

0
u u u
g(x, u) 0
H f ( x, u) λT 0 f ( x, u)
例6-2 求使
J

f
( x,
u)ຫໍສະໝຸດ 1 2xTQ1x
1 2
uTQ2u
取极值的x*和u*，并满足约束条件 g(x, u) x Fu d 0
可变终端 x(t f ) f
5.目标泛函－－性能指标
J (x) [x(t f )]
tf t0
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
J ( x) [ x(t f )]
综合型、鲍尔扎型 积分型、拉格朗日型 终端型、梅耶型
)]dt
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f (u) |uu* 0 u*极小值点的充要条件是
f (u) |uu* 0, f (u) |uu* 0 u*极大值点的充要条件是