现代控制理论第六章最优控制PPT课件
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刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11
TechnicalTechnical parameters for turntable (2) parametersforturntable(1)通过实例来初步认识为转动惯量；内，电动机从静止起动，转过一定角度最小，求θt t I R D t D fd )(2∫=)(t I D 的函数，E 是函数的函数，称为中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(t I D 又停下，求控制（是。
θ()D I t FD D D m T J I J K ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤100末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θf f t x t x 最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制，使J 为最小最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标处的增量为：：求平面上两固定点连线最短的曲线c=自由的终端约束的极值问题。
ce t回顾前面最优控制问题提出的第二个例子可以看出：1、当终值时刻，ω＝02、I D (t )为负斜率线性函数,,]x u t ③边界条件（以始端固定、终端自由为例）：[(),]()f f f x t t x t φ∂],,,*t λu 与通常基于变分法的最优控制不同处极值的必要条件是使哈密尔顿函1线性系统的二次型性能指标最优控制u 在这里不是输入，而是一种（反馈）控制结构03,0f t t ==322212121(242)2x x x x u dt+++10⎡⎤⎢21⎡⎤⎥02S =⎥⎣⎦14Q =⎢⎣⎦121222p x p x ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦xxx+）}t随着参考输入的不同，系统的结构（输入部份）也不同变输入变结构控制？其状态方程模型u x=2&21x x=&}u ≤1系统的初始状态为)0(1x )0(2x 末值状态为)(1=f t x 0)(2=f t x 性能指标为ft t t J f ==∫d )(f t x 要求在状态方程约束下，寻求最优控制，转移到，同时使J 取极小值。
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
最优控制理论PPT课件.ppt
J x y J x J y
则称J x为线性泛函
Modern Control Theory
Page: 8
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 (5)泛函的变分
控 制
泛函Jx的增量：Jxt,x Jxt x Jxt
理 论
Lxt,x rxt,x
其中Lxt ,x— J的线性函数
rxt ,x— J的高阶无穷小
论
J x(t) 0
Modern Control Theory
Page: 12
§6-3 无约束条件的泛函极值问题
现
代 控
一、t0 , t f 给定的泛函极值问题
制
理 定理：设
论
J tf L(x, x,t) t0
求min J的x*(t) ?
x *(t)满足以下条件：L d (L) 0 x dt x ---- 欧拉方程
ut Rp为控制向量，且ut 在t0,t f 上分段连续；
f Rn为连续向量函数，xt连续可微
2.初态和终态： x t0 ，x t f S 目标集
3.容许控制 ： ut—控制域
指控制矢量u t 应满足的约束条件
Modern Control Theory
Page: 4
§6-1 一般概念
Page: 6
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 一.泛函与变分的基本概念
控 制 1.泛函与变分的基本概念
理 论
(1)泛函 如果对于自变量t, 存在一类函数x t , 对于每个函数x t ,有一J值
与之对应，则变量J 称为依赖于函数x t 的泛函数，简称泛函，
记作J x t
(2)函数的变分
泛函J x t 的变量x t 变分 x : x x t x0 t , 它表示x t 与x0 t 之间的差
则称J x为线性泛函
Modern Control Theory
Page: 8
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 (5)泛函的变分
控 制
泛函Jx的增量：Jxt,x Jxt x Jxt
理 论
Lxt,x rxt,x
其中Lxt ,x— J的线性函数
rxt ,x— J的高阶无穷小
论
J x(t) 0
Modern Control Theory
Page: 12
§6-3 无约束条件的泛函极值问题
现
代 控
一、t0 , t f 给定的泛函极值问题
制
理 定理：设
论
J tf L(x, x,t) t0
求min J的x*(t) ?
x *(t)满足以下条件：L d (L) 0 x dt x ---- 欧拉方程
ut Rp为控制向量，且ut 在t0,t f 上分段连续；
f Rn为连续向量函数，xt连续可微
2.初态和终态： x t0 ，x t f S 目标集
3.容许控制 ： ut—控制域
指控制矢量u t 应满足的约束条件
Modern Control Theory
Page: 4
§6-1 一般概念
Page: 6
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 一.泛函与变分的基本概念
控 制 1.泛函与变分的基本概念
理 论
(1)泛函 如果对于自变量t, 存在一类函数x t , 对于每个函数x t ,有一J值
与之对应，则变量J 称为依赖于函数x t 的泛函数，简称泛函，
记作J x t
(2)函数的变分
泛函J x t 的变量x t 变分 x : x x t x0 t , 它表示x t 与x0 t 之间的差
最优控制理论(课堂PPT)
求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1 x2 (t)dt
1
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线， 记为 S(x( ))
S(x( )) 称为泛函
x(t) 称为泛函的宗量
2
现
48
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
2021年4月13日星期二
现代控制理论
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
2
现
10
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0) M F
2
现
9
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
J
J[x x] 0
0
上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
2021年4月13日星期二
现代控制理论
37
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J (u( )) (x(T),T) L(x(t),u(t),t)dt t0
2
现
现代控制理论基础 第6章 线性系统的最优控制
，
7
方法的比较
总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法” ；当控制量有 约束时，采用“极小值原理” 或“动态规划”；如果系统是线性的， 采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大 量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、 方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易 于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控 制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。
J 值为极值 J （最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上 就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法” 。
5
采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控 制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制， 例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面 也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其 抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上 有较小的实用价值。
线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理 意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解 较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简 单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的 工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原 理和设计方法。
下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设 计中的一些主要结论。
8
第三节 线性二次型最优控制
一、控制对象数学模型
线性系统的状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中，
n x(t) 为 维状态向量；
（6-4）
7
方法的比较
总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法” ；当控制量有 约束时，采用“极小值原理” 或“动态规划”；如果系统是线性的， 采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大 量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、 方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易 于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控 制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。
J 值为极值 J （最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上 就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法” 。
5
采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控 制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制， 例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面 也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其 抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上 有较小的实用价值。
线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理 意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解 较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简 单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的 工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原 理和设计方法。
下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设 计中的一些主要结论。
8
第三节 线性二次型最优控制
一、控制对象数学模型
线性系统的状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中，
n x(t) 为 维状态向量；
（6-4）
现代控制理论基础图文 (7)
例6-3 系统状态方程为 x u ，以x0和xf为边界，求u*(t)
使下列性能泛函取最小值。
J tf ( x2 u2 ) d t 0
第6章 最 优 控 制
解：将方程 x u 代入性能泛函有
J tf ( x2 u2 ) d t tf ( x2 x2 ) d t
0
0
在此 L[x, x] x2 x2 ，故欧拉方程
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t) 及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定，已 知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
及横截条件
L d L 0 x d t x
(6-15)
L
T
x
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转 移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
到极值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标函
数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
表面，靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力f，赖 以控制飞船实现软着陆(落到月球表面上时速度为零)。要求 选择一最好发动机推力程序f(t)，使燃料消耗最少。
解：如图6-1所示，设飞船质量为m，它的高度和垂直 速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的 自身质量及所带燃料分别为M和F。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
使下列性能泛函取最小值。
J tf ( x2 u2 ) d t 0
第6章 最 优 控 制
解：将方程 x u 代入性能泛函有
J tf ( x2 u2 ) d t tf ( x2 x2 ) d t
0
0
在此 L[x, x] x2 x2 ，故欧拉方程
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t) 及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定，已 知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
及横截条件
L d L 0 x d t x
(6-15)
L
T
x
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转 移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
到极值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标函
数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
表面，靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力f，赖 以控制飞船实现软着陆(落到月球表面上时速度为零)。要求 选择一最好发动机推力程序f(t)，使燃料消耗最少。
解：如图6-1所示，设飞船质量为m，它的高度和垂直 速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的 自身质量及所带燃料分别为M和F。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
第六章 最优控制(2) 现代控制理论
x1(t)
x10
x20t
1t2 2
消去时间变量 t , 可得相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
(6-256)
在图6-16中用实线表示。
14
由于x2(t)=x20+t随t增大, 故最优轨线行进的方向自 下而上, 如曲线上箭头所示。
15
当 u= -1 时, 状态方程的解为
x2 (t) x20 t
在R-上 在+上
在R+上 到达原点
u 1,1 u 1 u 1, 1 u 0
19
进一步, 可综合为
u 1 当(x1, x2 ) R u 1 当(x1, x2 ) R
u 0 当(x1, x2 ) 0
若将开关曲线方程写成
h (x1, x2 )
x1
1 2
x2
x2
0
则最优控制律可表示成
x2 (t) u(t)
或写成矩阵形式
x(t)
0 0
1 0
x(t)
10u(t
)
初始条件 x(t0) x0
(6-248)
终端条件 x(t f ) 0
控制约束 1 u(t) 1, (t0 t t f )
性能指标
J
t f
t0
1 dt
求 最 优 控 制 u*(t) ， 把 系 统 从 初 态 转 移 到 终 态 ， 使
x1(t)
x10
x20t
1 2t2Fra bibliotek相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
在图6-16中用虚线表示。由于x2(t)随t减小, 故 曲线箭头方向自上而下。
最优控制介绍课件
01
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
现代控制工程最优控制课件
03
优化目标
最小化损失函数，即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置， 使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程，得到 最优反馈增益，使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选 择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定 义为在给定初始状态和初始 时刻，寻找一个控制输入， 使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复 杂性，其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多 领域都有广泛的应用，如航 空航天、机器人、车辆控制 等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求，定义性能 指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法，依次求解 每个子问题，得到每个时刻 的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推，得到初始时 刻的最优控制输入和最优状 态。
04
动态规划基础上的最优控 制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想：动态规划法是一种通过将原问题分解为一 系列子问题，并逐个求解子问题，最终得到原问题最 优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化：选择一个初始状 态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程：根据 系统动态方程，定义状态转
最优控制全部PPT课件
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U 内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。
4：性能指标
通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。
第6页/共184页
从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) maxF(t)
如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J
tf t0
[c1
F (t )]d t
为最小
综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始 状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）。
第14页/共184页
5：线性跟踪器
若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相 应的性能指标为：
J
tf t0
1 [ X (t) 2
Xd
(t )] T
Q[ X (t)
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H0, H0, H0 x u λ
Hf(x,u )λTg(x,u ) 则目标函数存在最优解的条件是：
Hf gTλ0 x x x Hf gTλ0 u u u g(x,u)0 H f(x ,u )λT 0f(x ,u )
例6-2 求使 Jf(x,u)1 2xT Q 1x1 2uT Q 2u 取极值的x*和u*，并满足约束条件 g (x ,u ) x F d u 0
第六章 最优控制
2020年12月7日
本章内容
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 研究最优控制的前提条件 ➢ 6.3 静态最优化问题的解 ➢ 6.4 泛函及其极值――变分法 ➢ 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 ➢ 6.6 极小值原理 ➢ 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
2x3
0
f x2
10x22x360
f x3
2x32x22x10
解得： x11,x21,x32 x*1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
解法 （1）嵌入法 （2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数 mJin f(x,u)
等式约束条件 g i(x ,u ) 0 i 1 ,2 , ,m
核心思想：
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
拉格朗日函数构造： Hf(x,u )λTg(x,u )
将拉格朗日函数最为优化目标函数：minH 则目标函数存在最优解的条件是：
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f( x ) 2 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 6 x 2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4x1
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f(u)|uu*0 u*极小值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0 u*极大值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fuuf1
f u2
ufn
0
2 f
取极小值点的充要条件是
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
mJ i(n x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
2.控制作用域
控制集 U u (t)| j(x ,u ) 0
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
Hf(x,u )λTg(x,u )
1 2x T Q 1x1 2u T Q 2 u λT xF u d
则目标函数存在最优解的条件是：
H x Q1xλ0 H uQ2xFTλ0 HxFud0 λ
解得极值点为： u * (Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 d x * [ I F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d λ * [ Q 1 Q 1 F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d
容许控制 u(t)U 3.初始条件
初始集 0 x ( t0 )| j[x ( t0 ) ] 0
可变始端 x(t0)0 4.终端条件
目标集 f x ( tf)| j[ x ( tf) ] 0
可变终端 x(tf )f
5.目标泛函－－性能指标
J(x) [x (tf) ]tt0fL [x (t)u ,(t)t] ,d t 综合型、鲍尔扎型
J ( x ) 1 2 x T ( tf) Q 0 x ( tf) 1 2 t t 0 f[ x T ( t) Q 1 x ( t) u T ( t) Q 2 u ( t) ]td
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
J(x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
积分型、拉格朗日型
J(x)[x(tf )]
终端型、梅耶型
满足 minJ(x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u* (t )下，状态方程的解，称为最优轨线 x * (t ) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。
6.4 泛函及其极值――变分法 1.什么是泛函?
➢ 泛函就是函数的函数
➢ 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又， 记做y(x)。
x的约束条件
x1x2x31500
x4x5x61800
x1x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
不等式约束条件 hj(x)0 j1 ,2, ,l
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6 总运费为:
f( x ) x 1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 5 x 5 9 x 6 目标函数
Hf(x,u )λTg(x,u ) 则目标函数存在最优解的条件是：
Hf gTλ0 x x x Hf gTλ0 u u u g(x,u)0 H f(x ,u )λT 0f(x ,u )
例6-2 求使 Jf(x,u)1 2xT Q 1x1 2uT Q 2u 取极值的x*和u*，并满足约束条件 g (x ,u ) x F d u 0
第六章 最优控制
2020年12月7日
本章内容
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 研究最优控制的前提条件 ➢ 6.3 静态最优化问题的解 ➢ 6.4 泛函及其极值――变分法 ➢ 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 ➢ 6.6 极小值原理 ➢ 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
2x3
0
f x2
10x22x360
f x3
2x32x22x10
解得： x11,x21,x32 x*1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
解法 （1）嵌入法 （2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数 mJin f(x,u)
等式约束条件 g i(x ,u ) 0 i 1 ,2 , ,m
核心思想：
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
拉格朗日函数构造： Hf(x,u )λTg(x,u )
将拉格朗日函数最为优化目标函数：minH 则目标函数存在最优解的条件是：
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f( x ) 2 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 6 x 2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4x1
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f(u)|uu*0 u*极小值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0 u*极大值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fuuf1
f u2
ufn
0
2 f
取极小值点的充要条件是
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
mJ i(n x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
2.控制作用域
控制集 U u (t)| j(x ,u ) 0
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
Hf(x,u )λTg(x,u )
1 2x T Q 1x1 2u T Q 2 u λT xF u d
则目标函数存在最优解的条件是：
H x Q1xλ0 H uQ2xFTλ0 HxFud0 λ
解得极值点为： u * (Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 d x * [ I F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d λ * [ Q 1 Q 1 F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d
容许控制 u(t)U 3.初始条件
初始集 0 x ( t0 )| j[x ( t0 ) ] 0
可变始端 x(t0)0 4.终端条件
目标集 f x ( tf)| j[ x ( tf) ] 0
可变终端 x(tf )f
5.目标泛函－－性能指标
J(x) [x (tf) ]tt0fL [x (t)u ,(t)t] ,d t 综合型、鲍尔扎型
J ( x ) 1 2 x T ( tf) Q 0 x ( tf) 1 2 t t 0 f[ x T ( t) Q 1 x ( t) u T ( t) Q 2 u ( t) ]td
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
J(x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
积分型、拉格朗日型
J(x)[x(tf )]
终端型、梅耶型
满足 minJ(x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u* (t )下，状态方程的解，称为最优轨线 x * (t ) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。
6.4 泛函及其极值――变分法 1.什么是泛函?
➢ 泛函就是函数的函数
➢ 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又， 记做y(x)。
x的约束条件
x1x2x31500
x4x5x61800
x1x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
不等式约束条件 hj(x)0 j1 ,2, ,l
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6 总运费为:
f( x ) x 1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 5 x 5 9 x 6 目标函数