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精品文档-现代控制理论基础(舒欣梅)-第6章

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《现代控制理论基础》PPT课件

《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。

现代控制理论基础第六章书上第三章(1)PPT课件

现代控制理论基础第六章书上第三章(1)PPT课件
是系统输出对输入的稳定性
两种稳定性既有区别，又有内在的联系
2
⑶ 本章内容
•
稳定性：内部稳定性与外部稳定性 本章重点是内部稳定性
•李雅普诺夫稳定性理论和方法
适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据
李雅普诺夫方程稳定性判据
3
3.1 线性系统的外部稳定性
线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简 称为BIBO 稳定性。
g (s)的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点 -1，所以系 统是 BIBO稳定的。
10
3.2 系统的内部稳定性
系统的内部稳定性是研究系统的零输入响应的稳定性。因
此只要讨论齐次状态方程
x f( x ,t)
x ( t0 ) x 0 ,t t0
（3－4）
由初始状态 x(t0)x0引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。
•对渐近稳定系统， A 总是非奇异的，零状态(原点)是系统的
唯一平衡状态。
12
例3－2 倒立摆系统
系统的齐次状态方程为
y(t)Cx(t)Du(t)
则系统的传递函数阵为
G (s ) C (s I A ) 1 B D 1 C a(s d I-A j)B ds e I tA )(
G (s)的极点必是 A的特征值。
（3－3）
如果 A的所有特征值具有负实部，则G (s)的所有极点必定具 有负实部，则系统是 BIBO稳定的。
4
3.1.1 单变量线性系统的 BIBO稳定性判据
⑴ 脉冲响应函数判据
定理3－1 线性系统的输入输出描述是
y(t)tt0g(t,)u(t)d

现代控制理论基础知识资料

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最优估计理论的内容
参数估计法；（最小方差、最小二乘法） 状态估计法（卡尔曼滤波）
§ 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异
庞特里亚金 L.S.Pontryagin
4. 罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens） 和麦克法仑（G.J.MacFarlane）研究了用于计算机辅助设计的 现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变 量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关 系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。
赫尔维茨（Hurwitz）
3.由于两次世界大战中军事 工业需要控制系统具有准确 跟踪与补偿能力，1932年奈 奎斯特（H.Nyquist）提出 了复数域内研究系统的频率 响应法，为具有高质量动态 品质和静态准确度的军用控 制系统提供了急需的分析工 具。
奈奎斯特
4.1948年伊文思（W.R.Ewans）提出了用图解方式研 究系统的根轨迹法。
1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态空间法； 在1957年提出了基于动态规划的最优控制理论。
2.1959年匈牙利数学家卡尔曼（Kalman） 和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年 在控制系统的研究中成功地应用了状态 空间法，并提出了可控性和可观测性的 新概念。
卡尔曼
3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出 了极小（大）值原理。
现代控制理论基础
Modern Control Theory
绪论
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展 § 1.2 现代控制理论的内容 § 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异 § 1.4 现代控制理论的应用
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展
同学们，我们都知道：控制理论作为一门科 学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方 方面面。

现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)

现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)

1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
前页
3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
下页
2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
17
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3

现代控制理论

现代控制理论

c(t)为系统的输出 ， r(t)为系统输入 ， 则在 零初始 为系统的输出， 为系统输入 则在零初始 为系统输入， 为系统的输出 条件下， 对上式两边取拉氏变换， 微分性质得到 条件下 ， 对上式两边取拉氏变换 ， 由 微分性质 得到 系统传递函数为： 系统传递函数为：
C (s) G (s) = R(s) b0 s m + b1 s m −1 + L + bm −1 s + bm = a0 s n + a1 s n −1 + L + a n −1 s + a n
−1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 所有极点的实部。 式中 是实常数，而且大于 是实常数 所有极点的实部 直接按上式求原函数太复杂， 直接按上式求原函数太复杂 ， 一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换， 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 必须是一种能直 接查到的原函数的形式。 接查到的原函数的形式。
（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响 ） 反之， 应 ， 反之 ， 系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的 传递函数，两者有一一对应的关系。 传递函数，两者有一一对应的关系。 （ 6）同形性：G(s)虽描述了输出输入间的关系， ） 同形性： 虽描述了输出输入间的关系， 虽描述了输出输入间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构。 但它不提供任何该系统的物理结构 。 物理性质截然 不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。 不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。 （7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。 ）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。 （ 8）有理性：传递函数为有理真分式函数。即 m ） 有理性： 传递函数为有理真分式函数。 小于等于n。 小于等于 。

现代控制理论基础课件第五章书上第六章资料

现代控制理论基础课件第五章书上第六章资料
3）使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制 一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。 在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选

现代控制理论基础

现代控制理论基础

现代控制理论基础§3系统的稳定性电气学院工业自动化教研室贾要勤2011-03-08内容提要●定性分析：稳定性、能控性、能观性●系统的重要性质和系统结构参数之间的关系●两种稳定性的描述：外部稳定性，内部稳定性●两者的内在联系●系统稳定性分析的方法：李亚普洛夫理论●线性定常系统的稳定性判据2011-03-08现代控制理论与智能控制基础2/48章节内容§3-1线性系统的外部稳定性§3-2 系统的内部稳定性§3-3 李亚普洛夫判定稳定性的方法2011-03-08现代控制理论与智能控制基础3/48§3-1 线性系统的外部稳定性●输入输出（单位脉冲响应函数、传递函数）稳定性●零状态响应的稳定性：输入响应●BIBO稳定性，有界的输入对应有界的输出，定义3-1●外部稳定性的定义：零状态，判据2011-03-08现代控制理论与智能控制基础4/48§3-1 线性系统的外部稳定性3.1.1单变量线性系统的BIBO稳定性（1）单位脉冲响应函数判据充要条件：单位脉冲响应函数是绝对可积的（2）传递函数判据充要条件：传递函数所有的极点都具有负实部2011-03-08现代控制理论与智能控制基础5/48§3-1 线性系统的外部稳定性3.1.2多变量线性系统的BIBO稳定性（1）单位脉冲响应函数判据充要条件：单位脉冲响应函数阵的每一个元都是绝对可积的（2）传递函数判据充要条件：传递函数阵每一个元的极点都具有负实部充分条件：A的特征值都具有负实部2011-03-08现代控制理论与智能控制基础6/48§3-2 系统的内部稳定性●零输入响应的稳定性●平衡状态： =0●系统的稳定性：系统某个平衡状态的稳定性●线性定常系统的平衡状态渐进稳定系统 非奇异，原点是系统唯一的平衡状态奇异时，系统有多个平衡状态，举例●稳定性：系统受到扰动偏离平衡状态后，能否返回平衡状态2011-03-08现代控制理论与智能控制基础7/48§3-2 系统的内部稳定性•线性系统的稳定性:决定于系统的结构，和初始条件以及外界的扰动没有关系•非线性系统的稳定性：和初始条件以及外界的扰动有关•经典理论没有给出稳定性的一般定义•不同的平衡点有着不同的稳定性2011-03-08现代控制理论与智能控制基础8/482011-03-08现代控制理论与智能控制基础9/483.2.1系统内部稳定性的基本概念(1) 李亚普诺夫意义下的稳定性()S ε()S δ给出任意总存在§3-2 系统的内部稳定性2011-03-08现代控制理论与智能控制基础10/482.渐近稳定()S ε()S δ给出任意总存在§3-2 系统的内部稳定性2011-03-0811/48大范围的渐近稳定1.如果平衡状态 是渐近稳定的,且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态 就叫做大范围内的渐近稳定2.大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态3.对于线性系统，如果平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的210e 状态空间§3-2 系统的内部稳定性2011-03-08现代控制理论与智能控制基础12/483. 不稳定–线性系统：趋于无穷远–非线性系统：可能趋于某个极限环–经典控制理论:渐近稳定的系统才是稳定的()S ε()S δ给出任意总存在§3-2 系统的内部稳定性§3-2 系统的内部稳定性3.2.2线性定常连续系统稳定性特征值判据（1）稳定性判别充要条件： 的所有特征值具有负实部或零实部，且零实部特征值是 的最小多项式的单根（零实部特征值的指数等于1），例3-4（2）渐进稳定判别充要条件： 的所有特征值都具有负实部（3）特征值和极点之间的关系渐进稳定和BIBO稳定之间的关系2011-03-08现代控制理论与智能控制基础13/48§3-2 系统的内部稳定性3.2.3线性定常离散系统稳定性特征值判据–状态方程–零输入响应–稳定性:状态响应有界–渐进稳定：状态响应趋于平衡位置：原点2011-03-08现代控制理论与智能控制基础14/48§3-2 系统的内部稳定性3.2.3线性定常离散系统稳定性特征值判据（1）渐进稳定的充要条件： 的所有特征值的模均小于1（ 平面）（2）稳定的充要条件： 的所有特征值的模均小于等于1，等于1的特征值是 的最小多项式的单根2011-03-08现代控制理论与智能控制基础15/48§3-2 系统的内部稳定性3.2.4用MATLAB求系统的特征值（1）求特征多项式的根:roots(p)（2）矩阵的特征值:eig(A)（3）系统特征多项式:poly(sys)2011-03-08现代控制理论与智能控制基础16/48§3-3 李亚普洛夫判定稳定性的方法李亚普诺夫第一方法：间接法•线性系统：解出系统的状态方程，然后根据状态方程的解判别系统的稳定性。

现代控制理论基础(舒欣梅 (1)

现代控制理论基础(舒欣梅 (1)
象、研究方法、研究工具、分析方法、设计方法等几个方面， 具体表现如下：
经典控制理论以单输入单输出系统为研究对象，所用数 学模型为高阶微分方程，采用传递函数法(外部描述法)和拉 普拉斯变换法作为研究方法和研究工具。分析方法和设计方 法主要运用频域(复域)、频率响应、根轨迹法和PID控制及 校正网络。
第0章 绪 论
现代控制理论是在经典控制理论的基础上发展起来的。 虽然两者有本质的区别，但对动态系统进行分析研究时，两 种理论可以互相补充，相辅相成，而不是互相排斥。对初学 者来说，应采用与经典控制理论联系对比的方式进行学习。
第0章 绪 论
0.1.3 现代控制理论的研究内容及其分支 科学在发展，控制论也在不断发展。我们通常讲的现代
第0章 绪 论 2. 现代控制理论的产生和发展 随着近代科学技术的突飞猛进，特别是空间技术和各类 高速飞行器的发展，使工程系统结构和完成的任务越来越复 杂，速度和精度也越来越高。这就要求控制理论能够解决动 态耦合的多输入多输出、非线性以及时变系统的设计问题。 此外，还常常要求系统的某些性能是最优的，并且要求有一 定的环境适应能力。这些新的控制要求都是经典控制理论所 无法解决的，因此，现代控制理论应运而生。
命。1868年马克斯韦尔(J.C.Maxwell)解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振 荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。1895年劳斯(Routh)与赫 尔维茨(Hurwitz)把马克斯韦尔的思想扩展到高阶微分方程描述的更复杂的 系统中，各自提出了两个著名的稳定性判据——劳斯判据和赫尔维茨判据， 基本上满足了20世纪初期控制工程师的需要。为了适应第二次世界大战中 控制系统需要具有准确跟踪与补偿能力的要求，1932年奈奎斯特(H.Nyquist) 提出了频域内研究系统的频率响应法，1948年伊万斯(W.R.Ewans)提出了复 数域内研究系统的根轨迹法。建立在这两者基础上的理论，称为经典控制 理论。1947年美国数学家韦纳(N.Weiner)把控制论引起的自动化同第二次产 业革命联系起来，并于1948年出版了《控制论——关于在动物和机器中控 制与通讯的科学》，书中论述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念， 为控制理论这门学科奠定了基础。

现代控制理论基础图文 (7)

现代控制理论基础图文 (7)
例6-3 系统状态方程为 x u ，以x0和xf为边界，求u*(t)
使下列性能泛函取最小值。
J tf ( x2 u2 ) d t 0
第6章 最 优 控 制
解：将方程 x u 代入性能泛函有
J tf ( x2 u2 ) d t tf ( x2 x2 ) d t
0
0
在此 L[x, x] x2 x2 ，故欧拉方程
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t) 及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定，已 知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
及横截条件
L d L 0 x d t x
(6-15)
L
T
x
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转 移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
到极值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标函
数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
表面，靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力f，赖 以控制飞船实现软着陆(落到月球表面上时速度为零)。要求 选择一最好发动机推力程序f(t)，使燃料消耗最少。
解：如图6-1所示，设飞船质量为m，它的高度和垂直 速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的 自身质量及所带燃料分别为M和F。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0

现代控制理论-第6章

现代控制理论-第6章

4.4.2 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析 考虑如下线性定常自治系统Ax x = (4.3)式中，n n n R A R x ⨯∈∈,。

假设A 为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态0=e x ，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov 第二法进行研究。

对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov 函数，即式中P 为正定Hermite 矩阵（如果x 是实向量，且A 是实矩阵，则P 可取为正定的实对称矩阵）。

)(x V 沿任一轨迹的时间导数为由于)(x V 取为正定，对于渐近稳定性，要求)(x V为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。

因此，对于式）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q 正定。

为了判断n n 维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。

在判别)(x V时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P ，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q ，然后检查由确定的P 是否也是正定的。

这可归纳为如下定理。

定理4.8线性定常系统Ax x= 在平衡点0=e x 处渐近稳定的充要条件是：对于0>∀Q ，0>∃P ，满足如下Lyapunov 方程这里P 、Q 均为Hermite 矩阵或实对称矩阵。

此时，Lyapunov 函数为Px x x V H =)(，Qx x x VH -=)(特别地，当0)(≠-=Qx x x VH 时，可取0≥Q (正半定)。

现对该定理作以下几点说明：(1) 如果系统只包含实状态向量x 和实系统矩阵A ，则Lyapunov 函数Px x H 为Px x T ，且Lyapunov 方程为(2) 如果Qx x x VH -=)( 沿任一条轨迹不恒等于零，则Q 可取正半定矩阵。

(3) 如果取任意的正定矩阵Q ，或者如果)(x V沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q ，并求解矩阵方程 以确定P ，则对于在平衡点0=e x 处的渐近稳定性，P 为正定是充要条件。

现代控制理论基础知识

现代控制理论基础知识

2. 20世纪末，控制理论向着“大系统理论”、 “智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发 展：
大系统理论：用控制和信息的观点，研究各种大系统的结
构方案、总体设计中的分解方法和协调等 问题的技术基础理论。
复杂大系统控制
智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信
息传递过程的规律，研制具有某些拟人 智能 的工程控制与信息处理系统的理论。
奈奎斯特
奈奎斯特，美国物理学家，1889年出生在瑞典。1976年在德 克萨斯逝世。奈奎斯特对信息论做出了重大的贡献。奈奎斯特 1907年移民到美国并于1912年进入北达克塔大学学习。1917年 在耶鲁大学获得物理学博士学位。1917年～1934年在AT&T公司 工作，后转入贝尔电话实验室工作。
为贝尔电话实验室的工程师，在热噪声(Johnson-Nyquist noise)和反馈放大器稳 定性方面做出了很大的贡献他早期的理论性工作关于确定传输信息的需满足的带 宽要求，在《贝尔系统技术》期刊上发表了《影响电报速度传输速度的因素》文 章，为后来香农的信息论奠定了基础。 1927年，奈奎斯特确定了如果对某一带宽的有限时间连续信号（模拟信号） 进行抽样，且在抽样率达到一定数值时，根据这些抽样值可以在接收端准确地恢 复原信号。为不使原波形产生“半波损失”，采样率至少应为信号最高频率的两 倍，这就是著名的奈奎斯特采样定理。奈奎斯特1928年发表了《电报传输理论的 一定论题》。 1954年，他从贝尔实验室退休。
最优估计理论
自适应控制理论
系统辨识理论
智能控制理论
线性系统理论的内容
状态空间实现: 线性系统的数学模型问题 线性系统的内部特性：稳定性、可控性与可观测性 线性系统的设计方法：极点配置
最优控制理论的内容

现代控制理论

现代控制理论
b1 ab0 b2 1 ab1 1 a 2b0 2 2! 1 1 3 b ab a b0 3 2 3 3! bk 1 abk 1 1 a k b0 k k!
The value of b0 is determined by substituting t=0 into Equation (2.2), or
1
L1[(s a)1 ] eat
仿此有
I A A2 ( sI A) 2 3 s s s 1 L1[( sI A)1 ] I At A2t 2 e At 2!
1
现代控制理论基础
6
2.1
SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION
1 22 1 k k e 1 at a t a t 2! k 0 k! at
标量指数函数定义为
仿此，定义
1 22 1 k k e I At A t A t 2! k 0 k! At
称eAt为矩阵指数函数。所以
x(t ) e At x0
I At 1 22 1 A t A k t k e At 2! k!
In terms of the matrix exponential, the solution of Equation (2.4) can be written as
x(t ) e At x(0)
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
(2.6)
If the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.6) must hold for all t. Thus, by equating the coefficients of like powers of t on both sides of Equation (2.6), we obtain

现代控制理论6

现代控制理论6
−1 0
t
L [(sI − A) ] = e
−1
−1
At
x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
At 0
t
例 求以下系统对单位阶跃输入的状态响应
& 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1 ⎥u ⎣ x 2 ⎦ ⎣− 2 − 3⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
范德蒙行列式
λ2 n
M
⎡ e λ1t ⎤ ⎢ λ2t ⎥ e ⎥ =⎢ O M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ λn t ⎥ n −1 ⎢ L λ n ⎥ ⎣α n −1 (t )⎦ ⎢e ⎥ ⎣ ⎦ ⎦
可解的条件是系数行列式不为零。
λ1 , λ 2 , L , λ n 互不相同时，范德蒙行列式不为零。
α 0 (t ), α 1 (t ), L , α n−1 (t ) 是标量函数。
对n个特征值 λ1 , λ2 , L , λn
eλ1t = α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + L + α n −1 (t )λ1n −1 eλ2t = α 0 (t ) + α1 (t )λ2 + L + α n −1 (t )λ2n −1 M eλnt = α 0 (t ) + α1 (t )λn + L + α n −1 (t )λnn −1
解 系统的状态转移矩阵
Φ (t ) = e
At
⎡ 2e − t − e −2t =⎢ − 2e −t + 2e − 2t ⎣
t 0
e −t − e −2t ⎤ −t − 2t ⎥ − e + 2e ⎦

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

现代控制理论6章

现代控制理论6章
0 0
在 x U ( x0 , ) D 时，均有 Δ J [ x] J [ x] J [ x0 ] ≤0 Δ J [ x] J [ x] J [ x0 ] ≥0 或 则称 J ( x ) 在x x0处达到极大值或极小值。 定理：设 J [ x ] 是在线性赋泛空间 R n 上某个开子集D 中定义的可 微泛函，且在 x x0 处达到极值，则泛函 J [ x ] 在 x x0 处必有
δ J [ x0 , δ x] 0
（二）欧拉方程：
定理：设有如下泛函极值问题： min J [ x] t L( x, x, t )dt x (t )
0
tf
其中， L( x, x, t ) 及 x(t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
* n x 已知 x(t0 ) x0， (t f ) x f ，x(t ) R ，则极值轨线 x (t ) 满足如下欧 拉方程
条件极值的欧拉方程：
设有如下泛函极值问题：
min J [ x] L( x, x, t )dt
x (t ) t0 tf
其中， L( x, x, t ) 及 x(t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
n x 已知 x(t0 ) x0 ， (t f ) -2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 I D (t（I D (t )是 受到限制的），使得所需时间最短。
这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 0 x1 0 1 x1 K 1 x 0 0 x m I D TF J 2 J D 2 D

（完整版）现代控制理论

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（完整版）现代控制理论第⼀章线性离散系统第⼀节概述随着微电⼦技术，计算机技术和⽹络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到⼴泛的应⽤。

通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。

⼀、举例⾃动测温，控温系统图;加热⽓体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R，电桥失去平衡状态，检流计指针发⽣偏转，其偏转⾓度为)e；(t2. 检流计是个⾼灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦⼒。

当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。

连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。

实现采样的装置成为采样器。

To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样⾓频率 2．信号复现因接触时间很⼩，τo T ??τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是⼀串强度等于矩形脉冲⾯积的理想脉冲，为了去除采样本⾝带来的⾼额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。

实现⽅法：是在采样器之后串联⼀个保持器，及信号复现滤波器。

作⽤：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。

(t)r4.采样系统⼯作过程由保持器5. 采样控制⽅式采样周期To ??=≠=?相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究⽅法（或称使⽤的数字⼯具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不⽤拉式变换法，⼆采⽤z 变换⽅法，状态空间法。

第⼆节信号的采样和复现第⼀节是定性认识与分析，本节是定量研究。

⼀、采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号）（t e *是⼀串理想的脉冲信号，k 瞬时）（t e *的脉冲强度等于此时)(T e 的幅值)(0kT e ，即)0(0T e ，)(0T e ，)2(0T e …. )(0nT e ….采样过程可以看成为⼀个幅值调制过程，采样器如同⼀个幅值调制器。

《现代控制理论基础》课件第6章

《现代控制理论基础》课件第6章

设动态系统的状态方程：x t f x t，ut，t (6-1)
初始状态： x(t0)=x0
目标集： x(tf)∈S
控制域： utU Rm
性能指标：J x
tf
，t f
tf t0
F x t，ut，t dtt
(6-2)
最优控制的问题就是： 从所有可供选择的允许控制中
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转 移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
t0
t0
tf λT(t)x d t
t0
当泛函J取极值时，其一次变分等于零，即δJ=0。
(6-20) (6-21) (6-22)
(6-23)
求出J的一次变分并令其为零。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
H x
T
x
H u
T
u
λT
xd t
故极值曲线为
x*(t)
x f x0 et f et f et f
et
x0 et f x f et f et f
et
xf
sinh t x0 sinh(t f sinh t f
t)
极值控制曲线为
u*(t) x*(t) x f cosh t x0 cosh(t f t) sinh t f
第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.2 用变分法求解最优控制问题 6.3 极小值原理 6.4 用动态规划法求解最优控制问题 6.5 线性二次型最优控制调节器 6.6 MATLAB在系统最优控制中的应用
6.1 最优控制问题概述

现代控制理论 6-1 概念 6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)

现代控制理论 6-1 概念 6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)
无差别
渐近稳定
收敛至 平衡状态
y 一致稳定
对定常系统
tc 与初始时刻
无差别
李雅普诺夫稳定 （稳定）
无关
前页 返回
cae 渐近稳定 tcy 小球
李雅普诺夫 意义下稳定
/ 稳定
cn = 2 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 = c 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆
y n = 3 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 + (x3 ) − x3e 2 = c
tc 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球
前页
返回
12
例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x2 −x1
平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
cae tcy前页
返回
设系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心，δ 为半径的闭球域 S(δ)内，即
ex0 − xe ≤ δ t = t0
a若系统的平衡状态 xe不仅具有李雅普诺夫意义
下的稳定性，且有
c lim t→∞
定，不一定大范围渐进稳定。
δ → ∞ S(δ ) → ∞
x2
x0
xe x0
x1
前页 返回
例：机械位移系统
aex(t), x&(t) cm
k
tcy前页 返回 18
内部稳定/状态稳定
初始状态 任意
大范围一致渐近稳定
大范围渐近稳定
e 对线性系统 无差别
对定常系统 无差别
对线性系统 无差别
a一致渐近稳定 c 对定常系统
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值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标
函数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
(1) 最短时间问题
J t f t0
tf dt,
t0
F x t，ut，t 1
(2) 最小燃料消耗问题
第6章 最 优 控 制 图6-1 飞船着陆示意图
第6章 最 优 控 制
自t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
h v
v
f m
g
m kf
其中k为一常数。要求控制飞船从初始状态
h(0) h0, v(0) v0, m(0) M F
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即 h(tf)=0，v(tf)=0
第6章 最 优 控 制 第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.2 用变分法求解最优控制问题 6.3 极小值原理 6.4 用动态规划法求解最优控制问题 6.5 线性二次型最优控制调节器 6.6 MATLAB在系统最优控制中的应用
第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.1.1 引言
x f (x, u,t),
x(t) t t0
x(t0 ),
x(t) tt f
x(t f )
(6-29)
其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量u*，将系统从x(t0) 转移到x(tf)使以下性能指标
J tf L(x, u,t) d t t0
第6章 最 优 Biblioteka 制设动态系统的状态方程： x t f x t，ut，t
(6-1)
初始状态： x(t0)=x0
目标集： uxt(tUf)∈RSm
控制域： J x
性能指标：
tf
，t f
tf t0
F x t，ut，t dtt
(6-2)
最优控制的问题就是： 从所有可供选择的允许控制中寻
找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转移 到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达到极
及横截条件
L d L 0 x d t x
L
T
x
tf
x(t
f
)
L x
T
x(t0) 0
t0
注意： 满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
(6-15) (6-16)
第6章 最 优 控 制
如果x代表一个控制系统的输出，那么积分式(6-16)就是 系统全部性能的一个指标，而衡量性能的标准就在于使这个积 分最小化。由于控制问题多种多样，性能指标也有多种， 变分问题也就各不相同。对此，我们分别加以讨论。
沿最优轨迹x(t)取极小值。
(6-30)
引入哈密顿函数
J
tf t0
H (x, u,
λ, t )
λT
x dt
(6-31)
第6章 最 优 控 制
对式（6-31）右边第2项进行分部积分，可以得到
J λT (t0 )x(t0) λT (t f )x(t f )
tf t0
H ( x,
u,
λ, t)
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
H x
T
x
H u
T
u
λT
xd t
0
将上式改写成
T
J
φ x(t f
)
λ(t
f
)
x(t f )
tf t0
H x
T
λ
x
H u
T
u
d
t
0
(6-24)
由于λ(t)未加限制，可以选择λ(t)使上式中δx和δx(tf)的 系数等于零。于是有
dt
(6-8)
F
x
t, ut,t
1 2
x t xd tT Q x t xd t uT t Rut
第6章 最 优 控 制 (4) 、(5)两类性能指标统称为二次型性能指标，这是工 程实践中应用最广的一类性能指标。
第6章 最 优 控 制 6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 泛函与变分 1. 泛函的基本定义 如果对于某个函数集合{x(t)}中的每一个函数x(t)，变
(6-13)
证明从略。
第6章 最 优 控 制
4. 欧拉方程 定理6-2 设有如下泛函极值问题：
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t)及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定， 已知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
λ H L f λ x x x
(6-25)
第6章 最 优 控 制
以及
φ λ(t f ) x(t f )
此时式（6-24）可简化为
J
tf t0
H u
T
udt
0
由于δu是任意的变分，所以要满足式（6-27）只有
(6-26) (6-27)
H L f λ 0 u u u
(6-28)
λT
x d t
令性能指标J的一次变分等于零，得
J
tf t0
H x
λT
x
H u
T
udt
0
选择 λ(t) ，使其满足 λ H
x
J
tf t0
H u
T
udt
0
(6-32) (6-33) (6-34)
在末端状态固定情况下，不是任意的。若系统能控，仍然有控
制方程 H 0 u
第6章 最 优 控 制
立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范 围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价 运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于 所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运 动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此， 从数学上看，最优控制问题可以表述为： 在运动方程和允许 控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指 标函数(称为泛函)求取极值(极大值或极小值)。抽象为共同 的数学模型，可以得到最优控制问题的一般性提法。
J
tf t0
ut dt,
F x t，ut ，t
u t
(3) 最小能量控制问题
J tf u2 td t, t0
F x t，u t，t u2 t
(6-3) (6-4) (6-5)
第6章 最 优 控 制
(4) 线性调节器问题
n
J
i 1
x t f 2
t0 i
t
dt
x t f n
第6章 最 优 控 制
6.2.2 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制 非线性时变系统状态方程为
x f (x, u,t), x(t) tt0 x(t0 )
(6-17)
其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量u(t)，使以下性能指
标
J φ[x(t f )] tf L(x, u,t) d t t0
量J 都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数x(t)的泛 函，记作J[x(t)]。可见，泛函为标量，可以理解为“函数 的函数”。
第6章 最 优 控 制
例如：
3
J[x] 0 x(t) d t
(其中，x(t)为连续可积函数)
当x(t)=t时，有J=4.5；当x(t)=et时，有J=e3－1。
第6章 最 优 控 制
式（6-28）说明哈密顿函数对控制有极值，称为最优控
制问题的极值条件，式（6-25）称为伴随方程。这样前面的推导
就将最优控制问题转化为求解微分方程的两点边界值问题。
第6章 最 优 控 制
例6-2 已知系统状态方x 程ax u, x(0) x0,tf
为最小值的欧拉方程固和定横，J (截xx()条tf)1件2自0。t f由(ax。,2 rr试为2u写常2 ) 出数为。使
第6章 最 优 控 制
控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax， 即
0≤f(t)≤fmax 满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止
一种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，问题可归结为
求
为最大的数学问题。
J=m(tf)
第6章 最 优 控 制
6.1.2 最优控制问题的提法 由上面的具体实例可知，为了解决最优控制问题，必须建
对式(6-22)中的第三项进行分部积分，得
J φ[x(tf )]
tf H(x, u, λ,t) d t λT(t) x tf
t0
t0
tf λT(t)x d t
t0
当泛函J取极值时，其一次变分等于零，即δJ=0。
(6-20) (6-21) (6-22)
(6-23)
第6章 最 优 控 制
求出J的一次变分并令其为零。
H ( x, u, λ,t) L( x, u,t) λT (t) f ( x, u, t)
则
J φ[x(t f )] tf [H (x, u, λ,t) λT(t)x]d t t0
φ[x(t f )] tf H (x, u, λ,t) d t tf λT(t)x d t
t0
t0
J[x] J[x] J[x0 ] 0 或 J[x] J[x] J[x0 ] 0
(6-12)
则称J[x(t)]在x0处达到极大值或极小值。