四川省岳池一中数学(人教A)选修2-2学案 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义知识点三 复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )3．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( × )类型一 复数与复平面内的点的关系例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0， 即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0， 即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2. 类型二 复数的模例2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值．考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫－12－12＋34＝ 3. 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，10)B ．(1，3)C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 A解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a 2＋1∈(1，10)． 类型三 复数与复平面内的向量的关系例3 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 (1)C (2)D解析 (1)由复数的几何意义，可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练3 在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 2－i解析 复数2＋i 表示的点A (2,1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i.1．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m <1，∴0<3m －2<1，m －1<0， ∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 C3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >1B ．－1<a <1C ．a >1D ．a >0 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求参数答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a <1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m >5或m <3，－7<m <4，所以－7<m <3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 A 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 D解析 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 3＋4i解析 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 ⎣⎡⎭⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数解 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，解得a ＝±1， 所以z ＝±i.13．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．考点 复数的几何意义题点 复数的模及其应用解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知－7<a <7.四、探究与拓展14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)， ∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。

3.1.2复数的几何意义学习目标核心素养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2．掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1.通过复数的几何意义的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用，提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养.1．复平面思考：有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝a 2＋b 2.1．已知复数z ＝－i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(0,0)D ．(－1，－1)A [复数z ＝－i 的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z 的坐标为(0，－1)．]2．向量a ＝(－2, 1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋iD [向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.]3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(2,1)，故OB →对应复数为2＋i.]4．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 5 [∵z ＝1＋2i ， ∴|z |＝12＋22＝ 5.]复数与复平面内的点的关系1．在复平面上，如何确定复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点所在的位置？ [提示] 看复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的实部和虚部所确定的点的坐标(a ，b )所在的象限即可．2．在复平面上，若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点在第一象限，则实数a ，b 应满足什么条件？我们可以得到什么启示？[提示] a >0，且b >0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．思路探究：确定z 的实部、虚部→列方程(不等式组) →解参数值(范围)[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎨⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.1．(变结论)本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值．[解] 点Z 在x 轴上，a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，所以a ＝5. 故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． [解] 因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．复数的模及其应用【例2】 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝ ( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .(1)B [因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.1．复数z ＝a ＋b i 模的计算：|z |＝a 2＋b 2.2．复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．[跟进训练] 1．(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i 是实数，则z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模为________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．(1)29 [∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0， ∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3， ∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29.](2)[解] 法一：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.复数与复平面内向量的关系线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； ②判定△ABC 的形状．(1)C [两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2,3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i.](2)[解] ①由复数的几何意义知： OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC → ＝OC →－OA →＝(－2,2), BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB →|＝2，|AC →|＝22，|BC →|＝10， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．[跟进训练]2．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5iD [由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D.]1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.]3．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．9 [∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ， 解之得m ＝9.]4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.] 5．已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，求|z |的取值范围．[解]0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝a2＋1∈(1，10)．。

3。

1.2复数的几何意义Q错误!错误!18世纪,瑞士人阿甘达(J.Argand，1768—1822）注意到负数是正数的一个扩充,它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．高斯不仅将复数a＋b i表示为复平面的一点（a，b),而且阐述了复数的几何加法和乘法,这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？X错误!错误!1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义（1）每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系．（2）若复数z＝a＋b i(a、b∈R），则其对应的点的坐标是(a，b），不是(a，b i)．（3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z＝a＋b i(a、b∈R）可以用点Z（a，b)或向量O错误!表示．复数z＝a＋b i(a、b∈R）与点Z（a，b)和向量O错误!的一一对应关系如下：3．复数的模复数z＝a＋b i（a、b∈R)对应的向量为O错误!,则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z|＝错误!.当b＝0时,z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋b i所对应的点Z(a,b)到原点（0,0)的距离.Y错误!错误!1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是( B ) A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[解析] 在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为（a,－b）和（－a，－b）关于y 轴对称．2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ C ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］z＝－1－2i对应点Z(－1,－2)，位于第三象限。

3.1.2 复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴Ｗ.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.3.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可用点Z （a ，b ）表示.（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数.（4）复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个.2.对复数模的两点说明（1）数的角度理解：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.（2）几何角度理解：表示复数的点Z 到原点的距离.|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的点之间的距离.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）原点是实轴和虚轴的交点.（ ）（2）实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（ ）（3）若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.（ ）答案：（1）√ （2）× （3）×复数z ＝－12＋2i 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B复数z ＝1＋3i 的模等于（ ）A.2B.4C.10D.2 2答案：C向量AB →＝（2，－3）对应的复数z ＝ Ｗ.答案：2－3i探究点1 复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12. （2）若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值.解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z （a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据.（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.1.已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A.（－3，1）B.（－1，3）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1.故实数m 的取值范围为（－3，1）. 2.在复平面内，复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A.－2＋2iB.2－2iC.－1＋iD.1－i解析：选D.因为复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别为A （3，－4），B （－1，2）.所以线段AB 的中点C 的坐标为（1，－1），则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.3.求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）.（2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.探究点2 复数与复平面内的向量（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ；OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）.如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1.已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是（ ）A.－5＋5iB.5－5iC.5＋5iD.－5－5i解析：选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝（2，－3），OB →＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.2.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是 _____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i探究点3 复数的模（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）.因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部，故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17.将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.复数的模的求解思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解.1.已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是（ ）A.z 1>z 2B.z 1<z 2C.|z 1|>|z 2|D.|z 1|<|z 2|解析：选D.|z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34， |z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41. 因为34<41，所以|z 1|<|z 2|.2.已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合，由图可知－7<a <7.——————————————————————————————————————1.复数z ＝－1－2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为（－1，－2），位于第三象限.2.设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＜－1或a ＞1B.－1＜a ＜1C.a ＞1D.a ＞0解析：选B.因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1.3.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 Ｗ. 解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）.答案：（1，5）4.在复平面内，若复数z ＝（m 2－m －2）＋（m 2－3m ＋2）i （m ∈R ）的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0， 所以m ＝1，所以z ＝－2.知识结构深化拓展1.根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z＝a＋b i、复平面内的点Z（a，b）和平面向量OZ→之间的关系可用图表示.2.复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部.[A基础达标]1.已知复数z＝a＋a2i（a<0），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点（a，a2）位于第二象限.2.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则|z1||z2|＝（）A.55 B.15 C.5 D.5解析：选C.依题意|z1|＝22＋12＝5，|z2|＝（－1）2＝1，所以|z1||z2|＝5，选C.3.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是（）A. 5B.10C.5D.25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为（－2，1），（1，－3），因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.4.设z＝（2m2＋2m－1）＋（m2－2m＋2）i（m∈R），则下列结论中正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z在复平面内对应的点在实轴上方D.z一定是实数解析：选C.2m2＋2m－1＝2（m＋12）2－32，m2－2m＋2＝（m－1）2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故选C.5.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是（）A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得（|z|－1）·（|z|－2）＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数z ＝1－2m i （m ∈R ），且|z |≤2，则实数m 的取值范围是 Ｗ.解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7.若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数.解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i （a ∈R ），由|z |＝5a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8.若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝ Ｗ.解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1（3，－5），P 2（1，－1），P 3（－2，a ），由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59.已知3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），判断|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系.解：由3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋（－5）2＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝（－4）2＋22＝20， 因为20<5<26，所以|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.10.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.解：（1）设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1），由题意可知，点A 的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.（2）设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2），由对称性可知：x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11.已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是（ ）A.5B.2C.7D.3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到（－3，4）这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为 .解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A （－1，2），点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B （－2，1），所以OB →对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i13.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i （a ∈R ）.若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝（－3，4），OZ 2→＝（2a ，1）.因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即（2a ，1）＝k （－3，4）＝（－3k ，4k ），所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k 1＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38. 14.（选做题）设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？①|z |＝2；②|z |≤3. 解：设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），①|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.②|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部.。

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【学习目标】1.复数的加法和减法原则；2.理解复数的加法与减法的几何意义.【新知自学】知识回顾：1.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面； （2）实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； (3)复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ， 特别地：实数０与零向量对应；2.复数),(R b a bi a z ∈+=的模记作z 或a bi +，且22(0)z a bi r a b r r R =+==+≥∈且新知梳理：1.复数的加法运算及其几何意义⑴我们规定复数的加法运算法则为：设z 1=a+bi ，z 2=c +di 是两个任意复数，则()()di c bi a +++= ..⑵两个复数的和仍然是 .⑶复数的加法满足交换律、结合律，即： .⑷设−→−−→−21OZ OZ 、分别与复数a+bi 和c +di 对应，则−→−−→−+21OZ OZ 对应复数就是 . ⑸复数加法的几何意义是 . 2.复数减法及几何意义类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是 . ⑵复数减法的运算法则为 . ⑶两个复数的差是 . ⑷复数减法的几何意义是对点练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（ ）A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11iB.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数4.已知z 1=3+2i, z 2 =1-4i,计算：z 1+z 2 ，z 1-z 2 。

3.1.2复数的几何意义教学建议1.教材分析本节通过类比的方法给出了复数与复平面上的点的对应关系,与平面向量的对应关系,为我们利用数形结合创造了条件,也为学习复数加减法的几何意义打下了基础.重点:复数的两种几何意义及复数模的简单计算.难点:复数与平面向量的关系.2.主要问题及教学建议(1)类比在本节的应用.建议教师放手让学生大胆利用类比来掌握本节内容.复数与复平面上的点的对应实数与直角坐标平面内的点的对应,复平面内复数z=a+b i(a,b∈R)与向量对应直角坐标平面内向量与点(a,b)对应,复数z的模|z|=向量的模实数的绝对值.(2)关于复数的模.建议教师对复数的模稍加引申,为数形结合处理复数问题作准备,也可复习平面向量的有关知识.备选习题1.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面上对应的点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限内,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.解:(1)证明:(反证法)假设z为纯虚数,则有log2(x2-3x-3)=0,x2-3x-3=1.解得x=-1或x=4.当x=-1时,log2(x-3)无意义;当x=4时,log2(x-3)=0.所以假设不成立,复数z不能是纯虚数.(2)由题意得解得<x<4.即当<x<4时,点Z在第三象限内.(3)由题意得log2(x2-3x-3)-2log2(x-3)+1=0,解得x=或x=-(舍去).即当x=时,点Z在直线x-2y+1=0上.2.复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设|z|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,则|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到A(1,1)的距离,如图.由于点A到原点的距离是,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.因此|z-1-i|的最大值为+1,最小值为-1.3.已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.解:∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.当1-2a=0时,解得a=,∴a=时,0·x2+>0恒成立,当时,解得-1<a<.∴a∈.综上可得,实数a的取值范围是.。

3.1.2复数的几何意义【学习目标】1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的.2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【新知自学】知识回顾：1.复数的定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，a 叫复数的_______，b 叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示．2.复数a ＋b i （a ，b ∈R ）在满足什么条件下，分别是实数，虚数，纯虚数？3.如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a ＋b i ＝c ＋d i⇔___________________.新知梳理：1.实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数与平面内的点或有序实数对________.2.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为___轴，y 轴为____轴,建立直角坐标系，得到的平面叫复平面； （2）实数都落在____轴上，纯虚数落在____轴上，除原点外，虚轴上的点都表示_______；（3）每一个复数，有复平面内_______的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，所以，复数集C 与复平面内的点所成的集合是一一对应的，即Z a bi=+↔一一对应复数复平面内的点Z(a,b)（4）复平面内每一个点又唯一对应到复平面内的一个向量，即： ↔一一对应复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ结合归纳知：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi=+↔一一对应复数平面向量OZ ，特别地：实数０与_______对应；（5）复数),(R b a bi a z ∈+=的模：向量oz 的模r 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模，记作z 或a bi +，且|z|=r=____________________________.说明：常把复数z a bi =+说成点Z 或是向量oz ， 规定：相等的向量表示同一个复数 y对点练习：1.在复平面内，描出表示下列各复数的点： （1）i 52+ ； （2）i 23+- ； （3）i 42- ； （4）i --3； （5）5 ； （6）i 3- .2．已知复数i +2，i 42+-，i 2-，4，i 423-，在复平面内画出这些复数对应的向量.3.求下列复数的模：（1）3-4i ；（2）-4；（3）-5i ；（4）i 3-1.xo :a bi+4.能说3+4i>2+i 吗？|3+4i|>|2+i|呢？【合作探究】典例精析：例1.（1）若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值.变式练习：例1中，若z 表示的点在复平面的左半平面，试求实数m 的取值范围.例2．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i 2,如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量对应的复数.变式练习：如果例2中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数 .例3.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z．变式练习：z=3+ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.【课堂小结】【当堂达标】1.已知20<<a ，复数i a z +=（i 是虚数单位），则z 的取值范围是（ ）A.()5,1B.()3,1C.()5,1 D.()3,12设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数3.如果P 是复平面内表示复数),(R b a bi a z ∈+=的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （1）0,0>>b a ； （2）0,0><b a ； （3）0,0≤=b a ； （4）0<b4．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【课时作业】1.如果复数a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >02．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 3.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是 ( )A ．－45<x <2 B ．x <2C ．x >－45D ．x ＝－45或x ＝26.在平面内指出与复数123412,23322z i z i z i z i =+=-+对应的点1234,,,Z Z Z Z ，试判断这4个点是否在同一个圆上？7.设C z ∈，且满足下列条件，在复平面内复数z 对应的点Z 的集合是什么图形? (1)1<z <2； (2)1=-i z赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

3.1.2 复数的几何意义学习目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量. 学习难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量. 学习过程： 问题导学一、复平面内复数与点的对应 活动与探究1：(1)若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数z ＝(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：①在复平面的第二象限内； ②在复平面内的x 轴上方； ③在直线x ＋y ＋7＝0上． 迁移与应用：1．已知a ∈R ，则复数(a 2＋a ＋1)－(a 2－2a ＋3)i 对应的点在复平面内的第__________象限． 2．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围为__________． 名师点津：(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 二、复平面内复数与向量的对应活动与探究2：已知向量OA u u u r 对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量1OA u u u r平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2．(1)求向量1OA u u u r对应的复数；(2)求点A 2对应的复数． 迁移与应用：1．已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝a －3i(a ∈R )．z 1，z 2对应的向量分别为1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r ，且1OZ u u u u r⊥2OZ u u u u r，则a ＝________．2．在复平面内，向量OA u u u r 表示的复数为1＋i ，将向量OA u u u r向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，得到向量''O A u u u u u r ，则向量''O A u u u u u r对应的复数是__________．名师点津：(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量OZ uuu r一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变． 三、复数的模 活动与探究3：(1)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z ． (2)设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ ①|z |＝2；②|z |≤3．(3)已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．迁移与应用：1．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝__________． 2．已知z 1＝2－2i ，且|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．名师点津：(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)任何一个复数的模都是非负数，复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离．(3)求解关于复数模满足某条件时，可转化为复数所对应点的图形问题．常有两种方法：方法一：根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．当堂检测1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i2．给出复平面内的以下各点：A(3,1)，B(－2,0)，C(0,4)，D(0,0)，E(－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．已知0＜a＜1，则复数z＝2＋a i的模的取值范围是________．4．已知复数z是纯虚数，且|z|＝4，则复数z在复平面内对应的点的坐标是__________．5．设z＝a＋b i(a，b∈R)，求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形．(1)|a|＜2，且|b|＜2；(2)|z|≤2，且|b|＞1；(3)|z|＝2，且a＞b．课堂小结：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.——★ 参 考 答 案 ★——活动与探究1： (1)B[解析]cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4． 因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π． 因此cos θ＋sin θ＜0，sin θ－cos θ＞0， 所以复数z 在复平面内对应的点在第二象限．(2)解：①点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3．②点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0， 解得a ＞5，或a ＜－3． ③点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， ∴a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0， ∴(a ＋2)(a 2－15)＝0， 故a ＝－2，或a ＝±15．∴a ＝－2，或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上． 迁移与应用： 1．四[解析]由a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，－(a 2－2a ＋3)＝－(a －1)2－2＜0， 故复数对应点在第四象限． 2．(1,2)[解析]因为复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1<x <5，x <2.所以1＜x ＜2．即1＜x ＜2为所求实数x 的取值范围． 活动与探究2：解：(1)∵向量OA u u u r对应的复数是4＋3i ，∴点A 对应的复数也是4＋3i ， 因此点A 坐标为(4,3)，∴点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)，故向量1OA u u u r对应的复数是4－3i ；(2)依题意知1OA u u u r ＝2AA u u u u r ，而1OA u u u r＝(4，－3)，设A 2(x ，y )，则有 (4，－3)＝(x －4，y －3)， ∴x ＝8，y ＝0， 即A 2(8,0)，∴点A 2对应的复数是8． 迁移与应用： 1．－4[解析]依题意1OZ u u u u r ＝(－3,4)，2OZ u u u u r＝(a ，－3)，由于1OZ u u u u r ⊥2OZ u u u u r ，所以1OZ u u u u r ·2OZ u u u u r＝0，即－3a －12＝0，解得a ＝－4． 2．1＋i[解析]在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以''O A u u u u u r ＝OA u u u r ．因此，向量''O A u u u u u r对应的复数仍然是1＋i ． 活动与探究3： 解：(1)∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则 |z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1． 又∵|－1＋i|＝2， ∴a 2＋1＝2，即a 2＝1， ∴a ＝±1，即z ＝±i ． (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ①|z |＝2， ∴x 2＋y 2＝2，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． ②|z |≤3， ∴x 2＋y 2≤9．∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．(3)∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |， 且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |⇔(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立． 不等式等价于①：1－2a ＝0⇒a ＝12，即a ＝12时，0·x 2＋⎝⎛⎭⎫1－14＞0恒成立． 或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)<0 ⇒－1＜a ＜12．∴a ∈⎝⎛⎭⎫－1，12． 综上可得，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤12． 迁移与应用： 1．3[解析]由z 是纯虚数可知m ＝2，这时z ＝3i ，故|z |＝|3i |＝3．2．解：如图，∵|z |＝1，z 的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的圆．而z 1对应坐标系中的点Z 1(2，－2)，∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)与圆上的点的最大距离， 由图知|z －z 1|max ＝22＋1． 当堂检测1．[解析]复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ．故选C ． [答案]C2．[解析]A ，C ，E 三点对应的复数分别为3＋i,4i ，－1－5i ，是虚数，B ，D 对应的是实数，因此共有3个点．[答案]C3．[解析]|z|，由于0＜a＜1，所以4＜4＋a2＜5，因此2|z|∈(2．[答案](24．[解析]设z＝b i(b∈R，且b≠0)，由|z|＝44，所以b＝±4，即z＝±4i，故z对应的点的坐标是(0,4)或(0，－4)．[答案](0,4)或(0，－4)5．解：(1)在复平面上，满足不等式|a|＜2的点组成的图形是位于两条平行直线x＝±2之间的长条带状(不包括两条平行直线)．满足不等式|b|＜2的点组成的图形是位于两条平行直线y＝±2之间的长条带状(不包括两条平行直线)，两者的公共部分即为所求．即以原点为中心，边长等于4，各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点，但不包括边界，如图1所示．(2)不等式|z|≤2的解集对应的点是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形．满足条件|b|＞1的点是直线y＝1以上及直线y＝－1以下的点，两者的公共部分即为所求．即以原点为圆心、以2为半径的圆被直线y＝±1所截得的两个弓形，但不包括弦上的点，如图2所示．(3)方程|z|＝2的对应点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆周．满足条件a＞b的点组成的图形是位于直线y＝x下方的半平面，其中不包括直线y＝x上的点．两者的公共部分即为所求，如图3所示．。

3.1.2 复数的几何意义教学目标：1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数．2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数的几何意义． 教学重点：复数的几何意义．教学难点：复数的几何意义．教学过程：一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？二、学生活动问题1 任何一个复数a ＋b i 都可以由一个有序实数对（a ，b ）惟一确定，而有序实数对（a ，b ）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？问题2 平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点，A 为终点的向量OA u u u r 是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？问题3 任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？三、建构数学1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a ＋b i 的实部a 为横坐标，虚部b 为纵坐标就确定了点Z （a ，b ），我们可以用点Z （a ，b ）来表示复数a ＋b i ，这就是复数的几何意义．2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x 轴为实轴，y 轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．因为复平面上的点Z （a ，b ）与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ 来表示复数z ＝a ＋b i ，这也是复数的几何意义．四、数学应用例1：实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：(1)位于第三象限？(2)位于第四象限？(3)位于直线x －y －3＝0上？解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0， 即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．活学活用：解：(1)若复数z 对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1，或m ＝2，此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0， 解得m ＝1，所以z ＝－2.例2：当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 对应点满足下列条件？(1)在第三象限；(2)在虚轴上；(3)在直线x －y ＋3＝0上．解：复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2－4m ，m 2－m －6)．(1)点Z 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4m <0，m 2－m －6<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <4，－2<m <3， ∴0<m <3.(2)点Z 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝0，或m ＝4. (3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上，则(m 2－4m )－(m 2－m －6)＋3＝0，即－3m ＋9＝0，∴m ＝3.例3：已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z .解：根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.五、课堂检测1．复数z ＝3＋i 对应的点在复平面( )A ．第一象限内B ．实轴上C ．虚轴上D ．第四象限内2．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若23<m <1，则复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于第________象限． 4．已知m ∈R 且满足|log 2m ＋4i|≤5，求m 的取值范围．[答案]1．A2．[解析]∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．[答案]A3．[解析]∵23<m <1， ∴3m －2>0，m －1<0，∴复数对应点位于第四象限．[答案]四4．解：∵|log2m＋4i|＝log22m＋42＝log22m＋16≤5，∴log22m≤9，∴－3≤log2m≤3，∴18≤m≤8.六、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的几何意义．2．数形结合的思想方法．。

3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 ：1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．学习重点：复数的运算．学习难点：复数的运算． 课前预习案教材助读：阅读教材的内容，思考并完成下列问题：1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________.2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．课内探究案一·新课导学： 探究点一 复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．问题5：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．探究点二 复数加减法的几何意义问题1：复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？问题2：怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？二、合作探究例 1 ：计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．例2 ：如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．例3： 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.三、当堂检测1. 复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于 ( )A ．0B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于 ( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．四、课后反思课后训练案1. 在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i2. 若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限3.(1)计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； (2)计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)；。

3.1.2 复数的几何意义学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复平面思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应． 思考2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答 ①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，故⑤错．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二 复数的几何意义知识点三 复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模叫做复数a ＋b i 的模，记作|z |或|OZ →|.由模的定义可知|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).类型一 复数与复平面内的点的关系例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，故m ＝2.反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 类型二 复数与复平面内的向量的关系例2 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A ．－5＋5i B ．－5－5i C ．5＋5i D ．5－5i答案 (1)C (2)D解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.跟踪训练2 (1)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．(2)复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 答案 (1)2－i (2)43解析 (1)复数2＋i 表示的点A (2,1)，关于实轴对称的点B (2，－1)，∴OB →对应复数为2－i. (2)复数z 对应的点(3,4)，∴向量OZ →所在的直线的斜率为43.类型三 复数模的计算例3 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )， ∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7<a <7.反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题． 跟踪训练3 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝ (－12)2＋(－2)2＝32. ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ， ∴实部小于0，虚部大于0， 故复数z 对应的点位于第二象限．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)． 由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0. 所以点Z 位于第四象限．故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i. 4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.5．(1)当复数z 1＝sin π3－icos π6，z 2＝2＋3i ，试比较|z 1|与|z 2|的大小；(2)求满足条件2≤|z |<3的复数z 在复平面上表示的图形． 解 (1)∵|z 1|＝|sin π3－icos π6|＝sin 2π3＋(－cos π6)2＝ (32)2＋(32)2＝62， |z 2|＝|2＋3i|＝22＋32＝13， 且62＝32<13，∴|z 1|<|z 2|. (2)如图是以原点O 为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．一、选择题1．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，若|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>0答案 A解析依题意有a2＋22<(－2)2＋12，解得－1<a<1.2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<m<1，∴m＋1>0，－1<m－1<0，故对应的点在第四象限内．3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i答案 C解析A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆答案 A解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.∴复数z对应的轨迹是1个圆．5．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B. 二、填空题7．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 答案 2 5解析 z 1＝1－i 对应的点(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点(3，－5)，由两点间距离公式得(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.8．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________________． 答案 2<k <6或－6<k <－2 解析 ∵点Z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6<0，4－k 2<0， ∴2<k <6或－6<k <－2.9．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______. 答案 2解析 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1， ∴z ＝2i.∴|z |＝2.10．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是_____________________． 答案 以(－1,2)为圆心，半径长为3的圆 解析 |z |＝(x ＋1)2＋(y －2)2＝3， 即(x ＋1)2＋(y －2)2＝9.点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，半径长为3的圆．11．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________. 答案 2 5解析 由纯虚数的定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，解得m ＝4，所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上， 所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2. 所以z ＝4－2i ，所以|z |＝42＋(－2)2＝2 5. 三、解答题12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)若点位于第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4，∴－7<m <3. (2)若点位于x 轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4.(3)若点位于上半平面(含实轴)， 则m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.13．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，若1≤|z |≤2，判断复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解 |w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2(x 2＋y 2)＝2|z |，而1≤|z |≤2，故2≤|w |≤2.所以w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S ＝π[22－(2)2]＝2π.14．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。

3．1.2复数的几何意义[目标] 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系.2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义．[重点] 复数的几何意义与复数的模．[难点] 复数的几何意义．知识点一复平面[填一填]建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．[答一答]1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．知识点二 复数的两种几何意义[填一填]复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )． 复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →.[答一答]2．(1)在复平面中，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点是Z (a ，b i)吗？(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？提示：(1)不是，在复平面中，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点应该是Z (a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)前提条件是：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与OZ →相等的向量有无数个．知识点三 复数的模[填一填]向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.[答一答]3．(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z 满足|z |＝1，那么在复平面内，复数z 对应的点Z 的轨迹是什么？提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z |≥0，当z ＝0时，|z |＝0；反之，当|z |＝0时，必有z ＝0.(2)点Z 的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．1．对复数几何意义的理解(1)复数集中的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与平面向量OZ →＝(a ，b )也是一一对应的．(3)注意z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与OZ →相等的向量有无数个．2．复数与其对应的点的关系复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．类型一 复数与复平面内点的对应关系【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x 轴上方；(3)在直线x ＋y ＋7＝0上．【思路分析】 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与点Z (a ，b )一一对应知第(1)问要求实部小于0，虚部大于0；第(2)问要求虚部大于0；第(3)问中用实部代x ，虚部代y ，解方程即可．【解】 (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a <－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧ a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)>0，解得a >5，或a <－3.(3)点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，∴a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0， 即a 3＋2a 2－15a －30＝0， ∴(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2，或a ＝±15.∴a ＝－2，或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.(1)已知a ∈R ，则复数(a 2＋a ＋1)－(a 2－2a ＋3)i 对应的点在复平面内的第四象限．解析：由a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， －(a 2－2a ＋3)＝－(a －1)2－2<0，故复数对应的点在第四象限．(2)已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围为(1,2)．解析：因为复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，所以⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1<x <5，x <2.所以1<x <2. 即1<x <2为所求实数x 的取值范围．类型二 复数与向量的对应关系【例2】 已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A1，将向量OA1→平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量OA1→对应的复数；(2)求点A2对应的复数．【思路分析】根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．【解】(1)∵向量OA→对应的复数是4＋3i，∴点A对应的复数也是4＋3i，因此点A坐标为(4,3)，∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，故向量OA1→对应的复数是4－3i.(2)依题意知OA1→＝AA2→，而OA1→＝(4，－3)，设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴点A2对应的复数是8.(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)是与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→.一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝a－3i(a∈R)，z1，z2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a ＝－4.(2)在复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将向量OA →向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→对应的复数是1＋i.解析：(1)依题意OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(a ，－3)，由于OZ 1→⊥OZ 2→，所以OZ 1→·OZ 2→＝0，即－3a －12＝0，解得a ＝－4.(2)在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以O ′A ′→＝OA →.因此，向量O ′A ′→对应的复数仍然是1＋i.类型三 复数模的计算【例3】 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解】 方法1：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法2：如图，利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7<a <7.利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.已知复数z 满足|z |＝1，|z －1|＝1，求复数z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，(a －1)2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12b ＝32或⎩⎨⎧ a ＝12b ＝－32，∴z ＝12±32i.复数模的几何意义【例4】 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z |＝2；(2)2<|z |<3.【解】 (1)因为|z |＝2，即|OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.(2)不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎨⎧ |z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.【解后反思】解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．(1)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．解析：由已知得|z－i|＝5，令z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋(y－1)i|＝5.∴x2＋(y－1)2＝25.∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．(2)已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为22＋1.解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为22＋1.1．复数z＝3＋i2对应的点在复平面的(B)A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内解析：由于z＝3＋i2＝3－1，它是一个实数，因此其对应的点在复平面的实轴上．2．已知复数z＝2－a i(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z ＝a －2i 对应的点在( C )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：复数z ＝2－a i 对应的点是(2，－a )，在直线x －3y ＋4＝0上，所以2＋3a ＋4＝0，a ＝－2，于是复数z ＝a －2i ＝－2－2i ，对应的点在第三象限．3．复数z ＝sin20°＋isin70°的模等于1.解析：|z |＝sin 220°＋sin 270°＝sin 220°＋cos 220°＝1＝1.4．若复数z 的实部为－8，模等于17，那么复数z 对应的点在第二或三象限．解析：依题意设z ＝－8＋b i(b ∈R )， 则有(－8)2＋b 2＝17，解得b ＝±15，即z ＝－8＋15i 或z ＝－8－15i ，因此z 对应的点在第二或第三象限．5．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点．(1)位于第二象限？(2)位于直线y ＝x 上？解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎨⎧ a 2＋a －2<0a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.。

3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加减法的运算法则及加法运算律（1）加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i.（2）加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）.2.复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）两个虚数的和或差可能是实数.（ ）（2）若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2.（ ）（3）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（ ）（4）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.（ ）（5）复数的减法不满足结合律，即（z 1－z 2）－z 3＝z 1－（z 2＋z 3）可能不成立.（ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×已知复数z 1＝3＋4i ，复数z 2＝3－4i ，那么z 1＋z 2等于（ ）A.8iB.6C.6＋8iD.6－8i答案：B（5－i ）－（3－i ）－5i 等于（ ）A.5iB.2－5iC.2＋5iD.2解析：选B.（5－i ）－（3－i ）－5i ＝5－i －3＋i －5i ＝2－5i.若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 Ｗ.解析：因为z ＋i －3＝3－i ，所以z ＝3－i －i ＋3＝6－2i.答案：6－2i探究点1 复数的加减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.【解】 （1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i.（2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i ＝－1＋10i.解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.1.复数（1＋2i ）＋（3－4i ）－（－5－3i ）对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选A.复数（1＋2i ）＋（3－4i ）－（－5－3i ）＝（1＋3＋5）＋（2－4＋3）i ＝9＋i ，其对应的点为（9，1），在第一象限.2.计算：（1－2i ）－（2－3i ）＋（3－4i ）－（4－5i ）＋…＋（2 015－2 016 i ）－（2 016－2 017i ）.解：法一：原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016）＋（－2＋3－4＋5＋…－2 016＋2 017）i ＝－1 008＋1 008i.法二：（1－2i ）－（2－3i ）＝－1＋i ，（3－4i ）－（4－5i ）＝－1＋i ，…（2 015－2 016i ）－（2 016－2 017i ）＝－1＋i.将上述1 008个式子左右分别相加，得原式＝1 008（－1＋i ）＝－1 008＋1 008i.探究点2 复数加减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.（1）求AO →表示的复数；（2）求CA →表示的复数.【解】 （1）因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i.（2）因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i.1.若本例条件不变，试求点B 所对应的复数.解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2.若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数. 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中点B 坐标为（1，6）得点M 坐标为⎝⎛⎭⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算.（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.1.在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝（ ）A.2B.2C.10D.4解析：选B.因为AB →＝OB →－OA →，所以AB →对应的复数为（1＋3i ）－（1＋i ）＝2i ，故|AB →|＝2.2.已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点D 所对应的复数.解：如题图，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i （x ，y ∈R ），则AD →＝OD →－OA →对应的复数是（x ＋y i ）－（1＋2i ）＝（x －1）＋（y －2）i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数是（－1－2i ）－（－2＋i ）＝1－3i.因为AD →＝BC →，即（x －1）＋（y －2）i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 故点D 对应的复数为2－i.——————————————————————————————————————1.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.z ＝z 2－z 1＝（1－2i ）－（2＋i ）＝－1－3i.故z 对应的点为（－1，－3），位于第三象限.2.已知复数z 1＝12－32i ，z 2＝cos 60°＋isin 60°，则|z 1＋z 2|＝（ ） A.1 B. 3C.12D.32解析：选A.z 2＝cos 60°＋isin 60°＝12＋32i ，所以z 1＋z 2＝12－32i ＋12＋32i ＝1，则|z 1＋z 2|＝1.3.已知复数z1＝（a2－2）－3a i，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a 的值为Ｗ.解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a2－2＋a＝0，a2－3a＋2≠0⇒a＝－2.答案：－24.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.（1）求z1－z2；（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i.（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中OZ→.知识结构深化拓展在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则①四边形OACB为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形；⑤若|z1|＝|z2|＝|z1－z2|，则△OAB是正三角形.[A基础达标]1.已知复数z1＝－2－i，z2＝i，i是虚数单位，则复数z1－2z2＝（）A.－1＋2iB.1－2iC.1＋2iD.－2－3i解析：选D.因为z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－2z2＝－2－i－2i＝－2－3i.2.设a，b∈R，z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为（）A.1＋iB.2＋iC.3D.－2－i解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧2＋a＝0，b＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－2，b＝－1，所以a＋b i＝－2－i.3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（）A. 5B.5C.2 5D.10解析：选B.依题意，AC →对应的复数为（－4－3i ）－（－1＋i ）＝－3－4i ，因此AC 的长度即为|－3－4i|＝5.4.复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为（ ）A.a ＝－3，b ＝－4B.a ＝－3，b ＝4C.a ＝3，b ＝－4D.a ＝3，b ＝4解析：选A.因为z 1＋z 2＝（a －3）＋（4＋b ）i 为实数，所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝（a ＋4i ）－（－3＋b i ）＝（a ＋3）＋（4－b ）i 为纯虚数，所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.5.设f （z ）＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f （z 1－z 2）＝（ ）A.10B.5 5C. 2D.5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f （z 1－z 2）＝f （5＋5i ）＝|5＋5i|＝5 2.6.已知复数z 满足z ＋（1＋2i ）＝5－i ，则z ＝ Ｗ.解析：z ＝（5－i ）－（1＋2i ）＝4－3i.答案：4－3i7.已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i （a ∈R ），且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是 Ｗ.解析：因为复数z 1－z 2＝2＋a i －a －i ＝（2－a ）＋（a －1）i 在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2. 答案：（2，＋∞）8.已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝ Ｗ.解析：因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i （a ∈R ），由|z |＝4得a 2＋4＝16，所以a 2＝12，所以a ＝±23，所以z ＝±23－2i.答案：±23－2i9.设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋（m －15）i ，z 2＝－2＋m （m －3）i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围.解：因为z 1＝m 2＋m m ＋2＋（m －15）i ， z 2＝－2＋m （m －3）i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[（m －15）＋m （m －3）]i ＝m 2－m －4m ＋2＋（m 2－2m －15）i. 因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，－2）∪（－2，5）∪（5，＋∞）.10.已知z 1＝（3x ＋y ）＋（y －4x ）i ，z 2＝（4y －2x ）－（5x ＋3y ）i （x ，y ∈R ），设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝（3x ＋y ）＋（y －4x ）i －[（4y －2x ）－（5x ＋3y ）i]＝[（3x ＋y ）－（4y －2x ）]＋[（y －4x ）＋（5x ＋3y ）]i＝（5x －3y ）＋（x ＋4y ）i.又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以z 1＝（3×2－1）＋（－1－4×2）i ＝5－9i ，z 2＝4×（－1）－2×2－[5×2＋3×（－1）]i ＝－8－7i.[B 能力提升]11.若复数z 满足条件|z －（2－2i ）|＝1，则复平面内z 对应的点的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：选A.设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），则|z －（2－2i ）|＝|x ＋y i －2＋2i|＝|（x －2）＋（y ＋2）i|＝1，所以（x －2）2＋（y ＋2）2＝1.所以复平面内z 对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内，△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：选A.设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义，可知点Z 为△ABC 的外心.故选A.13.已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是 .解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝（1，2），OB →＝（－2，1），OC →＝（－1，－2），设OD →＝（a ，b ）.因为AB →＝OB →－OA →＝（－3，－1），BC →＝OC →－OB →＝（1，－3），且1×（－3）＋（－1）×（－3）＝0，所以AB →⊥BC →，所以AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等，所以－3－i ＝－1－a －（2＋b ）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.所以OD →＝（2，－1）. 故第四个顶点对应的复数是2－i.答案：2－i14.（选做题）已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝ 2.（1）求复数z在复平面内对应的点的轨迹；（2）求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解：（1）设z＝x＋y i（x，y∈R），由|z－z 0|＝2，即|x＋y i－（2＋2i）|＝|（x－2）＋（y－2）i|＝2，解得（x－2）2＋（y－2）2＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以Z0（2，2）为圆心，半径为2的圆.（2）当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值.因为|OZ0|＝22，半径r＝2，所以当z＝1＋i时，|z|min＝ 2.。

3.1.2 复数的几何意义 内 容 标 准 学 科 素 养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 严格数学定义 提升数学运算 熟练数形结合[基础认识]知识点一复平面知识梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义预习教材P 104－105，思考并完成以下问题1．实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与坐标平面内的点一一对应．复数与坐标平面内的点可以一一对应吗？提示：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由(a ，b )唯一确定，因此复数z 与坐标平面内的点(a ，b )一一对应．2．如何建立复数与复平面内的向量之间的一一对应关系？提示：当向量的始点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．知识梳理复数的几何意义知识点三复数的模知识梳理复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．思考：1.原点在虚轴上，则数0是虚数吗？提示：不是．虽然原点在虚轴上，但数0是一个确定的实数，而不是虚数．2．两个虚数不能比较大小，那两个虚数的模能比较大小吗？提示：复数的模就是复平面内向量的长度，它是一个实数，因此可以比较大小．[自我检测]1．已知复数z ＝i ，复平面内对应点Z 的坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(1,1)解析：复数z ＝i 的实部为0，虚部为1，对应点Z (0,1)．故选A.答案：A2．已知a ，b ∈R ，那么在复平面内对应于复数a －b i ，－a －b i 的两个点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：在复平面内对应于复数a －b i ，－a －b i 的两个点为(a ，－b )和(－a ，－b )关于y 轴对称．答案：B3．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为________．解析：依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3. 答案：1或3授课提示：对应学生用书第52页探究一复数与复平面内点的关系[例1]实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．[解析]因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0， 即当－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．延伸探究若本例中的条件不变，其对应的点在(1)虚轴上；(2)第四象限．解析：(1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0， 即当2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．方法技巧利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．跟踪探究1.求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x 轴上方．解析：(1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.故满足条件的实数a 的取值范围为(－∞，－3)．(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0， 则(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.故满足条件的实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．探究二复数与复平面内向量的对应关系[例2]在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．[解析]由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)．设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)．由题意知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 方法技巧复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪探究2.在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数．(2)判定△ABC 的形状．解析：(1)由复数的几何意义知：OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.(2)A (1,0)，B (2,1)，C (－1,2)，AB →·AC →＝0，所以△ABC 是直角三角形．探究三复数的模[例3](1)复数z 1＝sin π3－icos π6，z 2＝2＋3i ，试比较|z 1|与|z 2|的大小； (2)求满足条件2≤|z |＜3的复数z 在复平面上表示的图形．[解析] (1)因为|z 1|＝⎪⎪⎪⎪sin π3－icos π6 ＝sin 2π3＋⎝⎛⎭⎫－cos π62 ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－322＝62，|z 2|＝|2＋3i|＝22＋32＝13， 且62＝32＜13，所以|z 1|＜|z 2|. (2)如图，图形是以原点O 为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．方法技巧(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z |＝|OZ →|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决．跟踪探究3.(1)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________；(2)设z ∈C ，且|z －i|＝|z －1|，则复数z 在复平面内的对应点Z (x ，y )的轨迹方程是________，|z ＋i|的最小值是________．解析：(1)因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.(2)|z －i|＝|z －1|表示复数z 在复平面内的对应点Z 到点(0,1)，(1,0)的距离相等，所以轨迹方程是x －y ＝0.|z ＋i|的最小值点(0，－1)到直线x －y ＝0的距离，所以|z ＋i|min ＝22. 答案：(1)±i (2)x －y ＝022 授课提示：对应学生用书第53页[课后小结](1)复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)．②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．(2)复数的模①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；②从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[素养培优]混淆复数的模与实数的绝对值易错案例：求方程－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．易错分析：复数的模是实数绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能将其当成实数的绝对值加以求解，否则易出现错解、漏解，造成答案不完整或错误．考查数学概念、数学运算等核心素养．自我纠正：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．原方程可化为a 2＋b 2＝65，即a 2＋b 2＝3625，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解.。

3.1. 2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a + = ，b a - = 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =讲授新课：复平面、实轴、虚轴： 复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限.例2．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.例3．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆巩固练习：课堂小结：教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.。

3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义如图3-2-1，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．图3-2-1思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．[基础自测]1．思考辨析(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( )(2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( )[答案] (1) √ (2)√ (3) √2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝ ( )【导学号：31062210】A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.]3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]4．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A ．0B ．6iC ．6D ．6－6iD [∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.]5．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．[解析] Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.[答案] 1－i[合 作 探 究·攻 重 难]复数加减法的运算 (1)(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2.[答案] (1)－2－i (2) 2[规律方法] 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).[跟踪训练]1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. 【导学号：31062211】[解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i ＝－11i.[答案] (1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i复数加减运算的几何意义 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.则|z 1－z 2|＝________.(2)如图3-2-2，平行四边形OABC 的顶点O 、A 、C 对应复数分别为0、3＋2i 、－2＋4i ，试求图3-2-2①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数； ③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．[解析] (1)由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.(2)①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →.∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，|OB→|＝12＋62＝37.[规律方法] 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.2.常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形.[跟踪训练]2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【导学号：31062212】[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题 [探究问题]1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？提示：满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？提示：∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1B ．12C ．2D ． 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)如图所示， |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值．[解] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应的点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z |的最大值是32＋42＋1＝6.2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.[规律方法] |z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1. a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) 【导学号：31062213】A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－iD [∵z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，∴z 1＋z 2＝2＋b i ＋(a ＋i)＝0，所以a ＝－2，b ＝－1，即a ＋b i ＝－2－i]2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.[答案] 54．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0， 解得a ＝－1.[答案] －15．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离.【导学号：31062214】[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.。

3． 1.2复数的几何意义预习课本P104～ 105，思虑并达成以下问题(1)复平面是怎样定义的，复数的模怎样求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系怎样？复数的模是实数仍是复数？[新知初探 ]1．复平面2．复数的几何意义一一对应(1)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)―――――――→复平面内的点Z(a，b)一一对应――→(2) 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R) ――――→平面向量OZ.3．复数的模(1)定义：向量 OZ 的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi(a，b∈ R) 的模．(2)记法：复数 z＝ a＋ bi 的模记为 |z|或 |a＋ bi|.22(3) 公式： |z|＝ |a＋ bi|＝ r＝a ＋ b ( r≥0， r∈ R) ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确立的复数是z＝0＋ 0i＝ 0，表示的是实数．[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2) 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3) 复数的模必定是正实数．()答案： (1) √ (2) × (3) ×2．已知复数 z＝ i，复平面内对应点Z的坐标为()A． (0,1)B． (1,0) C ． (0,0) D ． (1,1)答案： A3．向量 a＝ (1，－ 2)所对应的复数是 ()A． z＝ 1＋ 2i B． z＝ 1－ 2iC． z＝－ 1＋ 2i D． z＝－ 2＋ i答案： B4．已知复数z 的实部为－ 1，虚部为2，则 |z|＝ ________.答案：5复数与点的对应关系[典例 ]务实数 a 分别取何值时，复数z＝a2－ a－ 62＋ (a －2a－ 15)i( a∈ R) 对应的点 Z a＋ 3知足以下条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的 x 轴上方．[解 ] (1)点 Z 在复平面的第二象限内，a2－ a－ 6＜ 0，则a＋ 3a2－ 2a－ 15＞ 0，解得 a＜－ 3.(2)点 Z 在 x 轴上方，a2－ 2a－ 15＞ 0，则a＋3≠0，即 (a＋ 3)(a－ 5)＞ 0，解得 a＞ 5 或 a＜－ 3.[一题多变 ]1． [变设问 ]本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数 a 的值．2解：点 Z 在 x 轴上，因此 a － 2a－ 15＝ 0 且 a＋3≠0，故 a＝ 5 时，点 Z 在 x 轴上．2． [变设问 ]本例中条件不变，假如点Z 在直线 x＋ y＋ 7＝ 0 上，务实数 a 的值．解：由于点 Z 在直线 x＋ y＋ 7＝ 0 上，2－ a－ 6a2因此＋ a － 2a－ 15＋ 7＝ 0，a＋ 3即 a3＋ 2a2－ 15a－ 30＝ 0，因此 (a＋ 2)(a2－ 15)＝ 0，故 a＝－ 2 或 a＝± 15.因此 a＝－ 2 或 a＝± 15时，点 Z 在直线 x＋ y＋ 7＝ 0 上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝ a＋ bi(a，b∈ R) 能够用复平面内的点 Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据．(2) 列出方程：此类问题可成立复数的实部与虚部应知足的条件，经过解方程 (组 )或不等式(组 )求解．复数的模[典例 ] (1) 若复数 z 对应的点在直线y＝ 2x 上，且 |z|＝5，则复数 z＝ ()A． 1＋ 2i B．－ 1－2iC．±1±2i D． 1＋ 2i 或－ 1－ 2i(2) 设复数 z1＝ a＋ 2i， z2＝－ 2＋ i，且 |z1|＜ |z2|，则实数 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )B． (－ 1,1)C． (1，＋∞ )D． (0，＋∞)[分析 ] (1) 依题意可设复数z＝ a＋ 2ai(a∈ R) ，由 |z|＝ 5得 a2＋ 4a2＝ 5，解得 a＝±1，故 z＝ 1＋ 2i 或 z＝－ 1－ 2i.(2) 由于 |z1|＝a2＋ 4， |z2|＝4＋ 1＝5，因此a2＋ 4＜5，即 a2＋ 4＜ 5，因此 a2＜ 1，即－ 1＜ a＜ 1.[答案 ] (1)D(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确立复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．固然两个虚数不可以比较大小，但它们的模能够比较大小．(2) 设出复数的代数形式，利用模的定义转变为实数问题求解． [活学活用]1．假如复数 z ＝ 1＋ ai 知足条件A ． (－ 2 2，2 2)B ． (－ 2,2)|z|＜ 2，那么实数a 的取值范围是()C ． (－ 1,1)D ． (－ 3，3)分析： 选D由于 |z|＜ 2，因此1＋ a 2＜ 2，则1＋ a 2＜ 4， a 2＜ 3，解得－3＜ a ＜ 3.2．求复数 z 1＝ 6＋ 8i 与 z 2＝－ 1－ 2i 的模，并比较它们的模的大小．21解： ∵ z 1＝ 6＋ 8i ， z 2＝－ 2－ 2i ，∴ |z 1|＝ 62＋ 82＝ 10，|z 2|＝－1 22) 23 2＋ (－ ＝ .2∵ 10>3，∴ |z 1|>|z 2|.2复数与复平面内向量的关系[典例 ] ――→对应的复数是――→――→ 向量 OZ 1 5－ 4i ，向量 OZ 2 对应的复数是－ 5＋ 4i ，则 OZ 1――→)+ OZ 2 对应的复数是 (A ．－ 10＋ 8iB ． 10－ 8iC ． 0D ． 10＋8i[分析 ]――→ 对应的复数是 ――→5＋ 4i ，因此由于向量 OZ 1 5－ 4i ，向量 OZ 2 对应的复数是－ ――→――→ － 4) ，因此 ――→，因此 ――→ OZ 1 ＝ (－ 5, 4), OZ 2 ＝ (5, OZ 2 ＝ (5，－ 4)＋ (－ 5,4)＝ (0,0) OZ 1――→+ OZ 2 对应的复数是 0.[答案]C(1) 以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2) 复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申 |z － z 1|表示点 Z 到点 Z 1 之间的距离．如 |z － i|＝ 1 表示点 Z 到点 (0,1)之间的距离为 1.[活学活用 ]在复平面内画出以下复数对应的向量，并求出各复数的模．z1＝ 1－ i； z2＝－1＋3i； z3＝－ 2； z4＝ 2＋ 2i. 22解：在复平面内分别画出点Z1(1，－ 1)，Z2－1，3，22Z3(－ 2,0)，Z 4(2,2)，则向量――→――→ ――→ ――→分别为复数 z1， z2，z3，z4对应OZ1， OZ2 , OZ3, OZ4的向量，如下图．各复数的模分别为：|z1|＝12＋ (－ 1) 2＝2；|z2|＝－12＋3 2＝ 1；22|z3|＝(－ 2)2＝ 2； |z4|＝ 22＋ 22＝ 2 2.1．与x 轴同方向的单位向量层级一学业水平达标e1与 y 轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是()A． e1对应实数1， e2对应虚数iB． e1对应虚数i， e2对应虚数iC． e1对应实数1， e2对应虚数－ iD． e1对应实数 1 或－ 1， e2对应虚数分析：选 A e1＝ (1,0)， e2＝ (0,1)．i 或－ i2．当＜m＜1时，复数3z＝ (3m－ 2)＋ (m－ 1)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限分析：选 D∵2＜m＜1，∴ 3m－2＞0，m－1＜0，∴ 点(3m－2，m－1)在第四象限．33．已知 0＜ a＜ 2，复数 z＝ a＋ i(i 是虚数单位 )，则 |z|的取值范围是() A． (1， 3)B． (1， 5)C． (1,3)D． (1,5)分析：选B|z|＝a2＋ 1，∵ 0＜a＜ 2，∴ 1＜a2＋ 1＜ 5，∴|z|∈ (1， 5) ．5．复数 z＝ 1＋ cos α＋ isin α( π＜α＜ 2π)的模为 ()ααA． 2cos B．－ 2cos 22ααC． 2sin2D．－ 2sin2分析：选B|z|＝(1＋ cos α)22α＝ 2＋ 2cosα＝2αα＋ sin4cos＝ 2|cos|.∵ π＜α＜ 2π，22π ααα∴＜＜π， cos ＜ 0，于是 |z|＝－2cos .22226．复数 3－ 5i,1－ i 和－ 2＋ ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为________．分析：由点 (3，－ 5)， (1，－ 1)， (－ 2， a)共线可知 a＝ 5.答案： 57．过原点和3－ i 对应点的直线的倾斜角是 ________．分析：∵ 3－ i 在复平面上的对应点是( 3，－ 1)，－ 1－035π∴ tan α＝3－ 0＝－3 (0≤α＜π)，∴α＝6 .答案：5π69．设 z 为纯虚数，且 |z－ 1|＝ |－ 1＋ i|，求复数z.解：∵ z 为纯虚数，∴设 z＝ ai(a∈ R 且 a≠0)，又 |－ 1＋ i|＝ 2，由 |z－ 1|＝ |－ 1＋ i|，得 a2＋ 1＝ 2，解得 a＝±1，∴ z＝±i.10．已知复数z＝ m(m－ 1)＋ (m2＋ 2m－ 3)i( m∈ R)．(1) 若 z 是实数，求m 的值；(2)若 z 是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面内， z 所对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．解：(1)∵ z 为实数，∴ m2＋ 2m－3＝ 0，解得 m＝－ 3 或 m＝ 1.(2)∵ z 为纯虚数，m(m－ 1)＝ 0，∴解得 m＝ 0.m2＋ 2m－ 3≠0.(3)∵ z 所对应的点在第四象限，m(m－ 1)＞ 0，∴m2＋2m－3＜0.解得－3＜m＜0.故 m 的取值范围为(－ 3,0)．1．已知复数层级二应试能力达标z1＝ 2－ ai(a∈R) 对应的点在直线x－ 3y＋ 4＝ 0上，则复数z2＝ a＋ 2i对应的点在()A．第一象限C．第三象限分析：选 B复数z1＝ 2－ ai 对应的点为B．第二象限D．第四象限(2，－ a)，它在直线x－ 3y＋ 4＝ 0 上，故2＋ 3a＋ 4＝ 0，解得a＝－ 2，于是复数z2＝－ 2＋ 2i，它对应点的点在第二象限，应选 B.2．复数z＝ (a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A． a≠2或a≠ 1B． a≠2且a≠1C． a＝ 0D． a＝ 2 或a＝ 0分析：选 D∵ z在复平面内对应的点在虚轴上，∴a2－ 2a＝ 0，解得 a＝ 2 或 a＝ 0.3．若x， y∈R ，i为虚数单位，且x＋ y＋ (x－ y)i＝ 3－ i，则复数x＋ yi 在复平面内所对应的点在 ()A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限x＋ y＝ 3，分析：选 A∵ x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴x－ y＝－ 1，解得x＝ 1，∴复数 1＋ 2i 所对应的点在第一象限．y＝2，4．在复平面内，复数z1， z2对应点分别为 A， B.已知 A(1,2) ， |AB|＝25， |z2|＝41，则 z2＝ ()A． 4＋ 5i B． 5＋ 4i1＋32C ． 3＋ 4iD ． 5＋ 4i 或 5 5 i分析：选 D(x － 1)2＋ (y － 2)2＝ 20， x ＝5，设 z 2＝ x ＋ yi(x ，y ∈ R) ，由条件得，∴x 2＋ y 2＝ 41.y ＝4x ＝15，或32y ＝ 5 .应选D.5．若复数z ＝ (m 2－ 9)＋ (m 2＋ 2m － 3)i是纯虚数，此中m ∈R ，则 |z|＝ ________.m 2＋ 2m － 3≠0，∴ m ＝ 3， ∴ z ＝ 12i ， ∴ |z|＝ 12.分析： 由条件知m 2－ 9＝ 0，答案： 126．已知复数 z ＝ x － 2＋ yi 的模是 2 2，则点 (x ， y)的轨迹方程是 ________． 分析： 由模的计算公式得 (x －2) 2＋ y 2＝ 2 2，∴ (x － 2)2＋ y 2＝ 8. 答案： (x － 2)2＋ y 2＝ 87．已知复数 z 0＝ a ＋ bi(a ，b ∈ R) ，z ＝ (a ＋ 3)＋ (b － 2)i ，若 |z 0|＝ 2，求复数z 对应点的轨迹．x ＝ a ＋ 3， 解： 设 z ＝ x ＋ yi(x ， y ∈R) ，则复数 z 的对应点为 P(x ， y)，由题意知y ＝ b － 2，a ＝x － 3， ∴①b ＝ y ＋ 2.∵ z 0＝ a ＋ bi ， |z 0|＝ 2， ∴ a 2＋ b 2＝ 4. 将 ① 代入得 ( x － 3)2 ＋ (y ＋ 2)2＝ 4.∴ 点 P 的轨迹是以 (3，－ 2)为圆心， 2 为半径的圆．138．已知复数 z 1＝ 3＋ i ， z 2＝－ 2＋ 2 i. (1) 求|z 1|及 |z 2|并比较大小；(2) 设 z ∈ C ，知足条件 |z 2 | ≤|z ≤|z 1的点 Z 的轨迹是什么图形？解： (1)|z 1|＝ ( 3)2＋ 12＝ 2，|z 2|＝－1 2 ＋ 322 ＝ 1， ∴|z 1|＞|z 2|.2 (2) 由|z |≤|z|≤|z |及 (1) 知 1≤|z|≤2.21由于 |z|的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，因此|z|≥1 表示 |z|＝ 1 所表示的圆外面全部点构成的会合，|z|≤2 表示 |z|＝ 2 所表示的圆内部全部点构成的会合，故切合题设条件点的会合是以O 为圆心，以 1 和2 为半径的两圆之间的圆环(包括圆周)，如下图．。