线代课件§5二次型及其标准形

f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
称为二次型的标准形（或法式）．
例如 f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
f
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2 称为二次型的规范
形．
例如 f x1, x2 , x3 , x4 x12 x22 x42
为二次型的规范形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
5 x3
三、合同矩阵
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 , 若有可逆矩阵C , 使 B C T AC , 则称矩阵 A 与 B 合同 .
定理 任给可逆矩阵C ,令B CT AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
0 3 3 x3
1 2 0 1 2 0
r
A 2 2 3 ~ 0 1 3
0 3 3 0 0 6
R( A) 3, 即二次型 f 的秩为 3 .
例2
1 4 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 3 0 1 若是，写出 f 的矩阵.
2 9
x1 x2
是否为二次型？
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
解 step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
A E 2
14
4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
i , j1
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1,2 , ,n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 f x, y, z x2 y2 z2 2xy 2 yz
都为二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
§5 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、合同矩阵 四、化二次型为标准形
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
令 x Cy
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC ) y B C T AC yT By
由 于对 任意 的实 对称 矩阵A, 总 有正 交矩 阵P ,
使 P 1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型 ,有
n
定理8 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
得
1 3
2 5
2 45
1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
k2
y1
y2 ,
kn yn
也就是要使CT AC 成为对角矩阵.
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常 遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题， 请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵， 根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快 的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法— 拉格朗日配方法．
f y12 4 y32 , 求 a , b 及正交矩阵P .
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变,但 f
的矩阵由A变为B C T AC;
2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
( y1, y2 , , yn)
1
x x x
1 2 3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f 4 y22 9 y32 .
可知f ( x1 , x2 , x3) 1表示椭圆柱面.
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2
得正交向量组
2,
3
3
2 2
,, 32
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .