第五节二次型及其标准形

二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。

它在数学和应用领域都有广泛的应用。

对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。

本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。

1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。

通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。

二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。

规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。

规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。

通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。

具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。

标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。

相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。

二次型及其标准形式二次型是高等数学中一个重要的概念，它与矩阵有着密切的关系。

在本文中，我将介绍什么是二次型，以及如何将二次型化为标准形式。

什么是二次型？二次型是指二次齐次多项式，也就是形如：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中 $a_{ij}$ 是实数。

可以看出，二次型与关于 $n$ 个变量的二次方程非常相似，但它们有一个显著的不同点：二次型中的系数 $a_{ij}$ 不一定是已知的数值，它们可以是函数或变量，也可以是其他复杂的表达式。

如何将二次型化为标准形式？将二次型化为标准形式可以帮助我们更好地研究它的性质。

标准形式指的是经过某种变换后，二次型可以写成以下形式：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2$$其中 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 是非负实数，$y_i$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的线性组合，即 $y_i = a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2 + ... + a_{in}x_n$。

那么，如何将二次型化为标准形式呢？我们可以用矩阵的方法来处理。

首先，我们用一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 来表示二次型。

我们可以将$A$ 矩阵分解为两个矩阵的乘积：$A=QQ^T$，其中 $Q$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，且 $Q$ 的列向量构成一个标准正交基。

我们在 $Q$ 的基础上引入新的变量 $y_1, y_2, ..., y_n$，它们的值分别为 $y_i = q_{i1}x_1 + q_{i2}x_2 + ... + q_{in}x_n$，其中$q_{ij}$ 是$Q$ 矩阵的元素。

二次型矩阵和标准型二次型是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。

而二次型矩阵和标准型则是研究二次型的重要工具和方法。

首先，我们来了解一下什么是二次型。

二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为Q(x)=x^TAX，其中x是一个n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。

二次型的系数矩阵A决定了二次型的性质和特征。

接下来，我们来介绍二次型矩阵。

二次型矩阵是指将二次型的系数矩阵A进行矩阵变换得到的矩阵。

具体来说，对于一个二次型Q(x)=x^TAX，我们可以通过矩阵变换将系数矩阵A变换为一个对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P是一个可逆矩阵。

这样得到的对角矩阵D 就是二次型矩阵。

二次型矩阵的标准型是指将二次型矩阵D进一步化简为一个特殊形式的对角矩阵。

具体来说，对于一个二次型矩阵D，我们可以通过一系列的矩阵变换将其化简为一个对角矩阵，即D=P^TAP=diag(d1,d2,...,dn)，其中d1,d2,...,dn是D的对角线上的元素。

这样得到的对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。

为了将二次型矩阵化简为标准型，我们可以利用矩阵的相似对角化定理。

相似对角化定理指出，对于任意一个n×n的实对称矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵。

这个对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。

通过相似对角化定理，我们可以将二次型矩阵化简为标准型，从而更好地研究和分析二次型的性质和特征。

标准型的对角线上的元素反映了二次型的主轴长度，而对角线之外的元素则反映了二次型的旋转角度。

二次型矩阵和标准型在数学和工程领域中有着广泛的应用。

在数学领域，二次型矩阵和标准型是研究二次型性质和特征的重要工具，可以用于解决线性代数、矩阵论和特征值问题等。

在工程领域，二次型矩阵和标准型可以用于信号处理、图像处理、模式识别和机器学习等领域，帮助我们理解和分析复杂的数据和信号。

总之，二次型矩阵和标准型是研究二次型的重要工具和方法。

相似矩阵及二次型二次型的定义及表示方法22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =++++121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++1、二次型的定义12,,,n x x x 的二次齐次多项式含有n 个变量称为二次型，21211(,,,)2nn ii iij i j i i j nf x x x a x a x x =≤<≤=+∑∑或记为注当常数项为实数时，称为实二次型.2、二次型的矩阵表示()11111221n n x a x a x a x =+++()22112222n n x a x a x a x +++++()1122n n n nn n x a x a x a x ++++()1112112122221212n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭T f x Ax=A 为对称矩阵.12(,,,)n f x x x 121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++222111222nn n a x a x a x =++++A例如， 用矩阵记号写出来，就是()1201,,2021032x f x y z y z ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 二次型2234f x z xy yz =--+任一二次型f 3、二次型的矩阵及秩对称矩阵A −−→任一对称矩阵A 二次型f −−→⎫⎬⎭一一对应f 称为对称矩阵A 的二次型；A 称为二次型f 的矩阵；对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩．合同矩阵矩阵的合同1. 定义 设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ， 使TB C AC ， 则称矩阵A 与B 合同.2. 性质 (1). 合同关系为等价关系(2). 与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵(3). 合同矩阵具有相同的秩.二次型标准化定义只含有平方项的二次型222121122(,,,)n n nf x x x x x xλλλ=+++称为二次型的标准形．定义22221211(,,,)()n p p p qf x x x x x xxp q n ++=++--+≤为二次型的规范形．1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二次型的标准化问题主要问题： x Cy =寻可逆变换，使得()T T Tf x Ax y C AC y==只含平方项.(二次型标准化)要使二次型f 经可逆变换x Cy =变成标准形， 就是要使2221122T Tn ny C ACy k y k y k y =+++()111,,n n n k y y y k y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也就是要使TC AC 成为对角阵.主要问题是： 对称矩阵A 合同对角化.用正交变换将二次型标准化任给对称矩阵A ， 总有正交矩阵P ， 使1TP AP P AP -==Λ. 定理 任给二次型(),1niji j ij ji i j f ax x a a ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++， 其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.推论 任给n 元二次型()Tf x x Ax=()TAA =，总有可逆变换x Cz =，使()f Cz 为规范形.证 ()2211=T n n f Py y y y yλλΛ=++，设二次型f 的秩为r , 则特征值i λ中恰有r 个不为0， 不妨设1,,r λλ不等于0，10r n λλ+===， 令1n k K k ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭， 其中1,,1,,i i i r k i r λ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则K 可逆， 变换y Kz =把()f Py 化为()TTTTTf PKz z K P APKz z K Kz ==Λ,而11=diag ,,,0,,0Tr rK K λλλλ⎛⎫Λ ⎪ ⎪⎝⎭， 记C PK =， 可逆变换x Cz =把f 化成规范形()22111=r r rf Cz z z λλλλ++.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1. ,;T f x Ax A =将二次型表成矩阵形式求出122. ,,,;n A λλλ求出的所有特征值123. ,,,;n ξξξ求出对应于特征值的特征向量()1212124. ,,,,,,,,,,,,;n n n p p p P p p p ξξξ=将特征向量正交化单位化得记22115. ,.n nx Py f f y y λλ==++作正交变换则得的标准形例 求一个正交变换x Py =，把二次型化为标准形,其中121323222f x x x x x x =-++解 二次型f 的矩阵为11132611132612036P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 011101110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有正交阵 特征值为2,1,1-使211TP AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， 于是有正交变换 11223311132611132612036x y x y x y ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭把二次型f 化成标准形 2221232f y y y =-++.如果要把二次型f 化成规范形， 只需令1122331,2,,y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即得f 的规范形222123f z z z =-++.谢谢。