齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
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线性方程组的解法
注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。
一、齐次线性方程组的解法
定理齐次线性方程组一定有解：
(1) 若齐次线性方程组()
=，则只有零解；
r A n
(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()
r A n
<.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式
m n
A=.）
注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()
-.
n r A
2、非齐次线性方程组AX B
=的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O
=所对应的同解方程组。
由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n
<时，()
≤<，此时齐次线性方
r A m n
程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；
（2）当m n
=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0
A=；
（3）当m n
A≠，故齐次线=且()
=时，此时系数矩阵的行列式0
r A n
性方程组只有零解；
（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.
例 解线性方程组12
341
23412341
2
3
4
2350,320,4360,2470.
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪
⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩
解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵
显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：
231531
2132704
13
6
1247
A --=
=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.
例 解线性方程组123
451
2
3452
34512
3
4
5
0,3230,2260,54330.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵
可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523
4
55,226.
x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知
量）
令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为
112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为
112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.
例3 求齐次线性方程组12341
2341
2
3
4
20,
20,250.
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵
可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
12342,
0,
x x x x =-⎧⎨
=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）
令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为
12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以，原方程组的通解为
1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.
二、非齐次线性方程组的解法
⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解
例 解线性方程组1
231
231
2
3
21,224,44 2.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=-⎩
解：2113(2)(4)1121112
1()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为
123
1,
2,0.x x x =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现
100r d +=≠，则原方程组无解）
例 解线性方程组1231
231
2
3
21,22,2 4.
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：
1212132(1)211112
12()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−
→ 121203330003--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解
例 解线性方程组1
23
41
2
4134
23,231,2210 4.
x x x x x x x x
x x +-+=⎧⎪
+-=⎨⎪--+=⎩
解：1213(2)2111231112
3()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
13
423
425,527.
x x x x x x =--+⎧⎨
=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）
