第八讲 求解齐次线性方程组

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。

其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】 解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的 通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。

齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。

主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。

首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。

该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。

另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。

该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。

最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。

这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。

总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。

2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。

（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。

（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。

（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。

例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。

如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。

3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。

二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。

2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。

（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。

（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。

3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。

齐次线性方程组求解1什么是齐次线性方程组齐次线性方程组（simultaneous linear equations），简称为齐次方程组，是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，可用以求解某多元一次方程组的解。

它表示由n个未知量组成的关于各变量之间关系的方程组。

该方程组通常以矩阵形式展示，解可以通过消元法求得，此外，也可以通过其它线性代数方式来解决。

例如，如果有三个未知量的二元线性方程组，则它可以用如下形式表示：Ax+By+Cz=DEx+Fy+Gz=HIx+Jy+Kz=L其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K和L分别表示常数，x、y、z分别表示未知量。

2齐次线性方程组如何求解齐次线性方程组的求解有多种方式，其中最常用的方法是利用消元法（elimination method）。

消元法要求对给定的方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。

消元法基本步骤如下：1、任意选取方程，根据其未知量的系数系数把其他方程的未知量系数变换为本方程的系数；2、用定系数合并方程，使系数为零；3、重复上述过程，直到所有未知量都被消去；4、最后更新某一方程中的解释量，完成消元；最后，利用拉格朗日因子法（The Lagrangian Multiplier Method）来求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。

3总结齐次线性方程组是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，用以求解某多元一次方程组的解。

最常用的求解方法就是消元法，它要求对方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。

此外，也可以利用拉格朗日因子法求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。

只要有充足的数学知识，便可以熟练地使用齐次线性方程组来解决各种解题问题。

14 齐次线性方程组的解一、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并写出通解.解 1121112110102111~0131~0131221200340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭基础解系为494,3ξ=-T（，，）通解为 ξk x =. (k 为任意实数)二、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=++++0334503230543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯-+--0000062210511016221062210111111334531123111112153223211312r r r r r r r r r A 则同解方程组为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x 令⎪⎩⎪⎨⎧===352413k x k x k x 则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100650102100121321k k k x 三、已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问：（1）t 取何值时，方程组仅有零解?（2）t 取何值时，方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011141211112t t t t t A 行变换要使方程组有零解必有3)(=A R 即0)2)(1(≠--t t 即21≠≠t t 且 要使方程组有非零解必有3)(<A R 则0)2)(1(=--t t 即21==t t 或此时,当1=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010101141121111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧=-=0231x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101ξ通解为ξ1k X = )(1R k ∈当2=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110001441221111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧-==3210x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ξ通解为ξ2k X = )(2R k ∈四、写出一个以1212(2,1,0)(3,0,1)(,T T x c c c c =-+是常数)为通解的齐次线性方程组． 解 三元齐次线性方程组的基础解系含2个解向量,系数矩阵的秩为1． 所求方程组为 032321=-+x x x。

齐次式的解法齐次线性方程组是包括数学线性方程组的一类。

它有两种形式，一种是常规的线性方程组，即 Ax = b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，b是长度为m的常数列，X是长度为n的未知变量列；另一种是齐次线性方程组，即 Ax = 0，其中A的行数n大于等于它的列数m，X是一个未知的n维列向量。

它特殊的地方就是X的值只能是(0,0,0,…,0)，不能有任何非零值。

齐次线性方程组可以用来求解线性代数中的一类问题，即给定矩阵A和常数项b，求X的值。

它可以使用消元法，即逐行（或列）操作来解决。

在消元的过程中，可以采用不同的数学技巧来实现各行（或列）的消元，其中又有三种操作：行变换、列变换和交换式。

行变换通常在消元过程中使用，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j行的第k列元素值进行互换。

列变换和行变换类似，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j列的第k行元素值进行互换。

交换式是一种特殊情况，操作示意如下：将矩阵A中两行两列元素值进行互换。

消元的步骤一般包括两个：第一步是将A变为三角形，即将矩阵A的所有非零元素都移动到其对角以下，这就是“三角化”。

第二步是将矩阵A变为单位矩阵，即将所有的非零元素变成1，将所有的零元素变成0，这就是“化单位”。

齐次线性方程组的解法可以用这种消元法，具体步骤是：1.首先将方程组中的非零项移动到最左边，将零项移动到合适的位置。

2.采用行变换、列变换或者交换式操作，将非零项变成1，将零项变成0。

3.若出现有多个零项，则可以采用把不确定的x替换为y的方法来求解，即将每一行不确定的x替换为y，将原方程组改造为 Ax+by=0的形式。

4.将X的值（x1,x2,…,xn）带入原方程组中，可以算出y的值。

因此，在求解齐次线性方程组时，必须用正确的方法，正确应用消元法来求解，一步步操作，直到最终求得解。

解齐次线性方程组1. 齐次线性方程组ax=02. 非齐次线性方程组ax=b （b ≠ 0）3. 齐次线性方程组的基础卢播4. 齐次线性方程组ax=0的通解5. 非齐次线性方程组ax=b的吉龙德1. n个未知数的齐次方程组ax=0有非零解的充分必要条件是r(a)&lt;n。

2. n个未知数的非齐次线性方程组ax=b欠阻尼的充份必要提哦案件就是系数矩阵a 的秩等同于生员矩阵b的秩。

且当r(a)=r(b)=n时，方程组存有唯一求解，当r(a)=r(b)=r&lt;n时方程组存有无穷多个求解。

本节的重点是讨论线性方程组解的结构；齐次线性方程组ax=0解与其对应的非齐次线性方程组ax=b的解之间的关系；如何求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解；真正理解向量组的线性相关性与其所对应的齐次线性方程组有什么样解的关系；一个向量是否能由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的关系。

难点是如何理解这些关系，和正确解出齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解。

基准1.设线性方程组求出方程组的通解；写下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播；写出非齐次线性方程组的一个特解。

求解：对方程组的生员矩阵b颁布初等行转换得显然r(a)=r(b)=2&lt;4，所以原方程组有无穷多解，且等价与下面方程组Champsaur故方程组的通解为该方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播为该方程组的一个特解为求解此类题的方法就是先对方程组的生员矩阵颁布初等变换，并使之变为最简型矩阵中首非零元1为系数的未知数回到等号的左边做为非民主自由的未知量(其个数等同于r(a)，其余的未知量移至等号右边做为民主自由未知量，其个数等同于方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播中求解向量的个数)。

根据吉龙德的结构，得出结论方程组的吉龙德。

求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程
组的通解
求解齐次线性方程组的一个基础解以及求解它的通解是数学分析
中常见的问题。

首先，我们需要明确形式：齐次方程组的一般形式为：$ax_1 + bx_2 + cx_3 + … + nx_n = 0$
一般情况下，求解齐次线性方程组时可以将其具体化为：
$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … + a_nx_n = 0$
首先来求齐次线性方程组的一个基础解系。

可以根据基变换理论，将方程组中的系数矩阵分解为一系列单位矩阵组合的形式，由此可以
逐步求出齐次线性方程组的一个基础解系。

接下来求齐次线性方程组的通解。

通解可以分为两种：空解和非
空解，其中非空解表示方程组非空解存在；空解表示方程组无解。

如
果存在非空解，它是某个基础解系的一组特殊解。

更准确地说，通解
是某个基础解系及其一组特殊解的组合。

若求得方程组的通解，则它
的一般形式为：
$x_{n}{(t)} = x_{0} + \int\exp{(A)}t dt$
其中，$x_{0}$ 为基础解系的一解，$ \exp{(A)}t$ 为特殊解的
系数，$A$ 为系数矩阵。

以上是关于求解齐次线性方程组的一个基础解系并求方程组的通
解的概述，完整的求解需要细节的求解过程和证明。

此外，根据题目
的不同，要求的非空解的形式也会有所变化，因此需要根据实际情况
调整解题过程。