北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)

课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ⊆上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α∉，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。

二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ， 证明：（1）{}k x 收敛于*0x =； （2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。

三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。

（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ∇Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ∀∈，()()f x f y L x y ∇-∇≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ∇=-∇⋅，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=∇<∞∑；（2）若0δ∃>，使得k ∀，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞∇=。

五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ∀=L ，()()10Tk k f xf x +∇∇=。

六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。

北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期2011级本科生解析几何期末试题A 卷姓名--------------，班级------------，学号--------------，题目一 二三四五六总分得分一，单选题(30分)1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足 (b),空间任意一点O,三点满足(c),空间任意一点O,三点满足(d),空间任意一点O,三点满足2, 已知三向量满足下面哪个条件说明这三向量共面( )(a), , (b),, (c), , (d), .3,在一仿射坐标系中,平面,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;(c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.4, 在仿射坐标系中,已知直线和直线,则下面说法正确的是( ).OA OB OC =+ 11.22OA OB OC =+0.OA OB OC ++= 110.23OA OB OC ++=,,,αβγ()0αβγ⋅=0.αββγγα⨯+⨯+⨯=()0αβγ⨯⨯=()()αβγβγα⨯∙=⨯∙:2430x y z π+++=2103260x z x y ++=⎧⎨+-=⎩2102140x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.5, 在仿射坐标系中,已知平面和直线,则下面说法正确的是( )(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.6,在平面仿射坐标中,直线与轴相交,则( )(a),(b),(c),(d)7，在空间直角坐标系下，方程的图形是（ ）(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

2011级数学专业数学分析Ⅱ阶段测验一试题1.设(),,ln arctanyxf x y z x y z z =++，O 为坐标原点。

（1）求f 在()2,1,2P -点沿方向PO的方向导数；（2）求f 在()2,1,2P -点沿方向PM的方向导数为0的点M 的轨迹方程。

2.设(),z z x y =是由方程()2222,0f x z y x --=确定的可微的隐函数，其中(),f u v 具有连续的一阶偏导函数，求z zyx x y∂∂+∂∂并化为最简形式。

3.设()22,2z f xy x y =-，其中f 有二阶连续偏导数。

又。

求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂。

4.设(),f x y =，求()()0,0,0,0x y f f ''。

又问：f 在()0,0点是否可微？5.设函数(),z z x y =有连续的二阶偏导数且满足方程2222220u u x y x y ∂∂-=∂∂，做变换,xxy yξη==。

设()(),,z x y ϕξη=，试求函数ϕ满足的方程。

6.设()()22,22ln z f x y x xy y y x ==-++-，求f 在()1,2点邻域内带Peano 型余项的二阶Taylor 公式。

7.设()20,,,0s x t a u x t e ds x t -=∈> ，求222u u a t x ∂∂-∂∂。

8.设f 在)},|,x y a x b c y d Ω=<<<<内有定义，f 关于y 的偏导函数y f '在Ω内存在且有界，又设对每个固定的()0,y c d ∈，()0,f x y 关于x 在(),a b 内连续，求证：f 在Ω内连续。

9.设f 在平面区域(){},01,01x y x y Ω=<<<<内定义。

（1）叙述f 在Ω内一致连续的严格含义；（2）叙述极限()0lim ,x y f x y →+→+存在的Cauchy 收敛准则；（3）设f 在区域Ω内一致连续，求证：极限()00lim ,x y f x y →+→+必存在；（4）求证：(),xf x y y =在区域Ω内不一致连续。

【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。

求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。

2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。

3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。

又设广义极限存在。

求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。

5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。

6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。

7.设，且有极限。

求证：数列收敛，且。

8.设存在，又设绝对收敛。

求证：。

课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。

2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。

三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。

四、（10分）设，求证：收敛。

五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。

六、（10分）设。

（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。

七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。

2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。

取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。

（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。

（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。

（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。

（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数。

二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

求线性变换A 的Jordan 标准形。

三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。

（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。

四、（20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。

（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。

（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。

五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。

班级 学号 姓名 成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。

课程编号：MTH17004, MTH17006北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题（A 卷）班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 已知3||=a ，26||=b ，72||=⨯b a，且a 与b 的夹角是钝角，则=⋅b a ______。

2. 设x yz ye y x u z ln 2++=，则=)1,1,1()grad (div u ______________。

3. 已知向量c b a,,不共面，但向量c a c b b a +++λ,,2共面，则=λ _________。

4. 设L 是曲线1,,3===z t y t x 上从)1,0,0(A 到)1,8,2(B 的一段，若将⎰++=Lzdz ydy dx x I 2化成第一类曲线积分，则有=I _________________________。

5. 变量替换x y v x u ==,可将微分方程z yzy x z x =∂∂+∂∂化成 ________________________。

二. (9分) 交换积分次序并计算⎰⎰=yyxdx xe dy I 1。

三. (9分) 求函数y y y x y x f -+=2221),(的极值和极值点。

四. (9分)设方程523=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求yx z∂∂∂2。

五. (9分) 在曲面xy z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线13211zy x =-=+，并写出切平面方程。

六. (8分) 证明方程0ln 1=+-xdy x dx yx y y 是全微分方程，并求出通解。

七. (10分) 求幂级数∑∞=-+11)1(n n x n n 的收敛域及和函数。

《解析几何》期末考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.《解析几何》期末考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。