北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014H0171006)

北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ?上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α?，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。

二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ，证明：（1）{}k x 收敛于*0x =；（2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。

三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。

（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ?Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ?∈，()()f x f y L x y ?-?≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ?=-，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=?<∞∑；（2）若0δ?>，使得k ?，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞=。

五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ?=L ，()()10Tk k f xf x +??=。

六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。

北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期2011级本科生解析几何期末试题A 卷姓名--------------，班级------------，学号--------------，题目一 二三四五六总分得分一，单选题(30分)1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足 (b),空间任意一点O,三点满足(c),空间任意一点O,三点满足(d),空间任意一点O,三点满足2, 已知三向量满足下面哪个条件说明这三向量共面( )(a), , (b),, (c), , (d), .3,在一仿射坐标系中,平面,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;(c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.4, 在仿射坐标系中,已知直线和直线,则下面说法正确的是( ).OA OB OC =+ 11.22OA OB OC =+0.OA OB OC ++= 110.23OA OB OC ++=,,,αβγ()0αβγ⋅=0.αββγγα⨯+⨯+⨯=()0αβγ⨯⨯=()()αβγβγα⨯∙=⨯∙:2430x y z π+++=2103260x z x y ++=⎧⎨+-=⎩2102140x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.5, 在仿射坐标系中,已知平面和直线,则下面说法正确的是( )(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.6,在平面仿射坐标中,直线与轴相交,则( )(a),(b),(c),(d)7，在空间直角坐标系下，方程的图形是（ ）(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。

课程编号：MTH17071 北京理工大学2014-2015学年第二学期
2012级微分几何期末试题（回忆复原版）
一、设曲线()r r s =的挠率τ是一非零常数，s 是弧长参数，
求曲线()()()1
r s s s ds βγτ=-⎰ 的曲率和挠率。

二、设在曲线():C r r s =的所有法线上截取长度为λ的一段，它们的端点的轨迹构成曲面
S ，称为围绕曲面C 的管状曲面，其方程是()()()()(),cos sin r
s r s s s θλθβθγ=+⋅+⋅ ，其中s 是曲线的弧长参数，()(),s s βγ分别是曲线C 的主法向量和次法向量，试研究此曲面上各种类型的点的分布。

三、证明：曲面S 的平均曲率12
H b g αβαβ=。

四、求锥面2220x y z +-=上的测地线。

五、写出Gauss-Bonnet 公式，并说明其意义。

六、假定,,x y z 是,,u v w 的光滑函数，证明()()
,,,,x y z dx dy dz du dv dw u v w ∂∧∧=∧∧∂。

附：2012级微分几何考题回忆
1.曲率，挠率
2.椭圆点，双曲点，抛物点
3.练习题第五章第一题
4.测地线
5.写出gauss-bonnet 公式，以及意义
6.第七章倒数第二题。

解析几何期末试卷A 参考答案及评分标准一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称.1．1321222-=++z y x 虚椭球面 2．0222=++-z y x 二次锥面（圆锥面）3．1321222=++-z y x 单叶双曲面4．y z x 22122=+ 椭圆抛物面 5．y x 22= 抛物柱面 .二、（10分）试证：对于给定的四个向量}3,5,1{=a ，}2,4,6{--=b ，}7,5,0{-=c ，}35,27,20{--=d ，总可以确定三个实数l ，m ，n ，使得a l ，b m ，c n ，d 构成封闭折线.证明：假设a l ，b m ，c n ，d构成封闭折线，则=+++d c n b m a l （4分）于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=-+0357230275450206n m l n m l m l （6分） 解出 2=l ，3=m ，5=n所以命题成立. （10分）三、（15分）设向量a ，b ，c 两两互相垂直，1||=a ，2||||==c b ，并且向量c b a r -+=，证明：1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r. 证明：因为22)(c b a r -+=)(2222c b c a b a c b a ⋅-⋅-⋅+++=， 由题设条件可得3||=r ， （5分） 于是31||||,cos =⋅>=<a r a r a r，32||||,cos =⋅>=<b r b r b r ，32||||,cos -=⋅>=<c r c r c r（12分） 所以1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r （15分） 四、（10分）试求经过点)1,2,4(-P 和x 轴的平面方程. 解：由于平面过x 轴，可设为0=+Cz By （5分）以)1,2,4(-代入，得 02=+-C B于是 B ：C ＝1：2 （8分）故所求平面方程为02=+z y （10分）五、（10分）试求经过点)1,0,1(-P ，并且与直线1l ：321z y x ==和2l ：431221-=-=-z y x 都相交的直线的方程.解：过)1,0,1(-P 与直线1l 的平面方程为321010001000=-------z y x即02=+-z y x （4分） 过)1,0,1(-P 与直线2l 的平面方程为412312011321=-------z y x即 022=--+z y x （8分）∴所求直线方程为 ⎩⎨⎧=--+=+-02202z y x z y x （10分）六、（10分）证明直线1l ：01123-==-z y x 与2l ：10211zy x =-=+是异面直线. 证明： 1l 的方向向量 }0,1,2{， 2l 的方向向量 }1,0,1{ （4分） 取 1l ， 2l 上的点 )1,0,3(， )0,2,1(- （6分）计算7110120120)1(3≠=----所以 1l 与 2l 是异面直线. （10分）七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数0>λ的点的轨迹方程，并根据λ的取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x 轴，定点为),0,0(c C ，（0≠c ）. 设动点为),,(z y x P ，则由假设可知),(),(轴x P d C P d λ=， 即 22222)(z y c z y x +=-++λ 平方，得 02)1()1(222222=+--+-+c cz z y x λλ（5分）①当1=λ时，得 0222=+-c cz x即)2(22cz c x -= 此为抛物柱面. （8分）②当1≠λ时，得2222222221)1)(1()1(λλλλλ-=---+-+c c z y x ， 则当1>λ时，此为单叶双曲面；当 10<<λ时，此为椭球面. （10分）八、（10分）试求单叶双曲面∑：11649222=-+z y x 上，经过点)0,2,0(M 的两条直母线方程.解：∑上两族直母线：λ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(1221y z x y z x λλλλ μ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+)21()43()21()43(1221y z x y z x μμμμ将 )0,2,0(M 分别代入，可得 02=λ， 01=μ （6分）分别代入，可得所求直线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+021043y z x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-043021z x y 即 ⎩⎨⎧=-=+02034y z x⎩⎨⎧=-=-02034y z x .（10分）九、（15分）在欧氏平面上，将方程0844222=+--+-y x y xy x 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线.解：由 022cot 122211=-=a a a θ得4πθ=于是 0tan 121111=+='θa a a 2tan 122222=-='θa a a 22sin cos 231313-=+='θθa a a0cos sin 231323=+-='θθa a a原方程化为： 04222=+'-'x y 配方0)2(222=-'-'x y 作平移变换 ⎩⎨⎧'=''-'=''y y x x 2 原方程化为x y ''=''222. （5分） 所以原方程表示抛物线. （10分）作图 （15分）。

【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。

求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。

2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。

3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。

又设广义极限存在。

求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。

5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。

6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。

7.设，且有极限。

求证：数列收敛，且。

8.设存在，又设绝对收敛。

求证：。

课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。

2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。

三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。

四、（10分）设，求证：收敛。

五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。

六、（10分）设。

（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。

七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。

课程编号：MTH17004, MTH17006北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题（A 卷）班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 已知3||=a ，26||=b ，72||=⨯b a，且a 与b 的夹角是钝角，则=⋅b a ______。

2. 设x yz ye y x u z ln 2++=，则=)1,1,1()grad (div u ______________。

3. 已知向量c b a,,不共面，但向量c a c b b a +++λ,,2共面，则=λ _________。

4. 设L 是曲线1,,3===z t y t x 上从)1,0,0(A 到)1,8,2(B 的一段，若将⎰++=Lzdz ydy dx x I 2化成第一类曲线积分，则有=I _________________________。

5. 变量替换x y v x u ==,可将微分方程z yzy x z x =∂∂+∂∂化成 ________________________。

二. (9分) 交换积分次序并计算⎰⎰=yyxdx xe dy I 1。

三. (9分) 求函数y y y x y x f -+=2221),(的极值和极值点。

四. (9分)设方程523=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求yx z∂∂∂2。

五. (9分) 在曲面xy z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线13211zy x =-=+，并写出切平面方程。

六. (8分) 证明方程0ln 1=+-xdy x dx yx y y 是全微分方程，并求出通解。

七. (10分) 求幂级数∑∞=-+11)1(n n x n n 的收敛域及和函数。

《解析几何》期末考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.《解析几何》期末考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。

北京理工大学数学专业数学分析Ⅰ试题(MTH17001H0171001)2022级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设某0。

试写出十个与某等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设某n2inn112,n1,2,（1）求证：对任意自然数n，某n（2）用N语言证明lim某nn11；2n1，并研究数列某n中是否有最大数和最小数。

23.（15分）用语言叙述某0时函数f收敛和发散的严格含义，并用两种方法证明某0时函数f某co1发散。

某某a某b0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意4.（10分）已知lim某某1某义。

1某co某5.（10分）研究函数f某在某0点极限的存在性。

某6.（15分）证明定理：设yfu,u某构成复合函数yf某u1某某某的极若lim某,limfuA，其中A是实常数，则当某时，函数f限存在，且limf某limfu某u7.（15分）（1）叙述limf某的严格含义；某（2）叙述f在,内取得最大值的严格含义；（3）设f在,内连续，且limf某求证：f在,内必取得最大值。

某8.（10分）设n,bn0，且成立极限limnnbn1p0。

bn1求证：数列bn收敛，且limbn0。

n2022级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设某0。

试写出十个与某等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设某n2inn211,n1,2,，用N语言证明lim某nn1，并研究2数列某n中是否有最大数和最小数。

3.（15分）设f某11co。

按定义证明：f在某0点的任意邻域内无界，但某0时某某f不是无穷大量。

4.（10分）已知lim某义。

某a某b0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意某1某5.（15分）某0是函数f某1某co某的哪种类型的间断点？说明理由。

某1某6.（10分）证明定理：设yfu,u某构成复合函数yf若lim某,limfuA，其中A是实常数，则函数f某00u某某在某0点的左极限存在，且limf某limfu某00u7.（15分）（1）叙述limf某的严格含义；某（2）叙述f在,内取得最大值的严格含义；（3）设f在,内连续，且limf某求证：f在,内必取得最大值。