授课题目: 第一章引论
§1数值分析的研究对象（1学时）
教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法
教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点
教学难点: 数值分析的研究对象
教学过程:
一、数值分析的研究对象、作用
数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果
二、数值分析的作用：
重点研究数学问题的数值方法及其理论。
作用领域广，形成许多交叉学科。
科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段
最重要作用——计算模型数值解
三、数值分析的特点
面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。
有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。
要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。
要有数值实验。证明其有效性。
练习：
思考：
作业:
教学反思:
授课题目: §2 数值计算的误差（1学时）
教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计
教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计
教学难点: 误差估计
教学过程:
误差来源与分类
截断误差
例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式
则数值方法的截断误差是
舍入误差
例如，用3.14159代替，产生的误差
●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。
●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。
误差与有效数字
定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差。
通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即
则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成
把近似值的误差e *与准确值x 的比值
称为近似值x *的相对误差，记作
它的绝对值上界叫做相对误差限,
记作
,
定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字.
其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且
定理1设近似数x *表示为
x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x .
**ε±=x x x x
x x e -=*******
x x
x x e e r
-=
=.
**
*
x r εε
=
其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，若x *具有n 位有效数字，则其相对误差限
为
反之，若x *的相对误差限
则x *具有n 位有效数字。 数值运算的误差估计
两个近似数 其误差限分别为
，它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为：
练习：
思考：
作业: P32 1, 2(1-3)
教学反思:
;1021
)1(1
*--?≤
n r a ε)
1(1*10)
1(21--?+≤
n r a ε);()()(*
2*1*2*1x x x x εεε+=±);
()()(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈).
0()
()()/(*22
*2
*
1*2*2*1*
2*1≠+≈
x x
x x x x x x εεε
授课题目: §3 病态问题，数值稳定性与避免误差危害（2学时）
教学目标: 使学生了解病态问题和数值稳定性，掌握避免误差危害的方法
教学重点：病态问题、数值稳定性、避免误差危害
教学难点: 避免误差危害的方法
教学过程:
3.1 病态问题与条件数
对于计算函数值()的问题, 如果自变量有轻微的扰动（即误差），引起较大的函数值相对误差，这就是病态问题.
令，
记，为计算函数值问题的条件数。比较大的可产生病态问题。
例3.1 设，则. 即函数值的相对误差大约是自变量相对误差的n倍。
令，可得，
函数值相对误差0.16，可认为是病态问题。
令，可得，
函数值相对误差0.01，可称为良态问题。
3.2 数值方法的稳定性
一种数值方法，如果初始数据或计算过程某一步的中间结果有微小的改变，而引起最后结果的改变也是微小的，这个方法就是数值稳定的，否则就是数值不稳定的
（1）如果，称误差的增长是线性型的。
（2）如果，称误差的增长是指数型的
例3.2 设，生成序列，可以采用多种递推计算方法
方法1：令，，；
方法2：令，，，；
方法3：令，，，；
设三种方法的初始误差为
(1) (2) (3)
方法1和方法2稳定，方法3不稳定。
3.3 避免误差危害
使用数值不稳定的方法，会由于误差的增长出现误差危害现象
3.3.1 避免有效数字的损失
相近数相减的结果会损失有效数字，措施：改减法为加法。
例3.3 求二次方程的根，如求的根。
解：
若取，则可改为
又如计算，改写为
类似的还有很小，可用展开式解决。
避免“大数”减“小数”
例3.4 用3位十进制数计算
直接计算，小数被舍掉，最后结果就是≈101
但是，如果先把所有加起来，再加101，就有
即
3.3.2 减少运算次数
过多的运算次数意味着过多的误差累积
例3.5 求五次多项式，需要15次乘法和15次加法。
如果改为，只要5次加法和5次
乘法。
例3.6 利用公式计算的近似值，
若令，计算ln2，若精确到需要十万次求和。计算量大，而且舎入误差累积严重。
可改为级数
取，只要计算前9项，截断误差就小于
练习：
思考：
作业: P33 4，5，6
教学反思:
授课题目: §4 线性代数的一些基本概念(4学时)
教学目标: 使学生了解线性代数中的基本概念，包括：特征值、特征向量、向量空间、内积空间等，掌握向量范数、函数范数、矩阵范数的概念和相关定理教学重点：向量空间、内积空间、向量范数、函数范数、矩阵范数
教学难点: 连续函数空间及范数、矩阵的从属范数
教学过程:
4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准型
若存在复数及非零向量，使得，则称是矩阵的一个特征值，是属
于特征值的特征向量。
称为的特征方程，所以有个复数特征值（有重根）矩阵的全体特征值的集合称为的谱，记作。称为的谱半径。
的对角线元素之和称为的迹，
的特征值的性质：
设都为阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使，可称与相似。
?相似矩阵有相同的特征多项式和相同的谱；
?的转置矩阵与也有相同的谱；
?与对角矩阵相似，称可对角化。
定理4.1 可对角化的充要条件是有个线性无关特征向量。
定理4.2 属于的不同特征值的特征向量是线性无关的。如果有个不同特征值，即的特征方程的根都是单根，则可对角化。
定理4.3 设有相重的特征值，则可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数与代数重数相等。
定理4.4（Jordan标准型）设的方阵有个不同特征值，则可通过相似变换化为Jordan标准型矩阵，它是含有个对角块的块对角矩阵。
4.2 线性空间和内积空间
4.2.1 线性空间
定义4.1 设是一个数域，是一个非空集合。在上定义两种运算：
（1）加法，对任意的元素，在中有唯一的元素（记作）与之对应。且具有加法交换率，结合律，零元素，负元素。
（2）数乘，对任意的和，在中有唯一的元素（）与之对应，满足乘法交换率，结合律，一元素乘法。
称为一个数域上的线性空间（或数域上的向量空间）。
例如：，可构成实数域上的线性空间；是定义在区间上连续实值函数的全体，是定义在区间上不超过次的多项式函数的全体，都构成实数域上的线性空间。
掌握概念线性相关、线性无关、基、维数、子空间、张成(span)等。
4.2.2 内积空间
定义4.2 设是上的线性空间，内积是到数域的一个映射，即对于中任意的元素对和，有中唯一的一个数（记作）与之对应，满足：结合律，数乘，对称性，非负性。则称为和的内积，定义了内积空间的线性空间称为内积空间。
上的内积，一般定义为(4.1)
若给定实数（权系数），可以定义带权内积
(4.2)
以及复向量带权内积
(4.3)
定义4.3 如果定义在上的可积函数满足：
（1）；
（2）在任意的一个子区间上，不恒为零；
称函数为上的一个权函数。
例4.6 上的内积，设是上的权函数，，可定义带权内积
(4.4)
和普通内积
(4.5)
内积空间的几个性质
定理4.5 (Cauchy – Schwarz不等式) 设是一个内积空间，则对任意的，有，式中等号当且仅当线性相关时成立。
定理4.6 (Gram矩阵的性质) 设是一个内积空间,,… , ，
(4.6)
称为Gram矩阵。非奇异的充要条件是,… , 线性无关。
内积空间中的元素满足，则称和正交。
Garm – schmidt正交化方法：,…,是内积空间中一个线性无关的元素序列，可按公式
(4.7)
产生中一个正交序列,…,，满足当时，此序列是,…,的一组正交基。
4.3 范数、线性赋范空间
4.3.1 范数、线性赋范空间的概念
定义4.4 设是一个数域上的线性空间。定义到的一个映射，即对任意的，都有一个实数（记为）与之对应，满足以下性质：
（1）正定性：；且
（2）齐次性：
（3）三角不等式：
称为的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。
例4.7 上三种常用范数：
1-范数
2-范数
-范数
例4.8 上定义的范数：
的内积定义为
(4.4)
可导出上带权的2-范数。令，则
(4.9)
和-范数
(4.10)
函数的范数可以作为函数的一种度量。
定义 4.5 线性空间上若定义了两种不同的范数与，如果存在常数，使
则称与是上的等价的范数。
事实上在一个有限维线性空间上定义的各种范数都是等价的。
4.3.2 上的范数
定理4.7 设，则对上的每一种向量范数，，都是变量的元连续函数。
推论：是的元连续函数。
定理4.8 上的范数是等价的。
4.3.3 上矩阵的范数
定义4.6 的范数是到的一个映射，即对于任意的，都有一个实数与之对应，满足
（1）；且
（2）
（3）
（4）
称为矩阵的范数。
例4.9 （矩阵的Frobenius范数）设，
是有限维（维）的线性空间，因此各种范数都是等价的
定义 4.7 对于上给定的一种向量范数和上给定的一种矩阵范数，
如果(4.11)，则称上述矩阵范数与向量范数相容。
定理4.9 设是任意的一种向量范数，对任意的矩阵，对应实数，
满足(4.12)，则这样的定义了的一种范数。
定义4.8 对于上任一种向量范数，由(4.12)式确定的矩阵范数，称从属于给定向量范数的矩阵范数，简称从属范数，也称为向量范数导出的范数。
从属于向量1-范数的矩阵范数称为矩阵的1-范数，记为。同理有和。
定理4.10 设，则
, (4.13)
, (4.14)
, (4.15)
称为列范数，称为行范数。
例4.10 已知，求的各种范数。
定理 4.11 已知为上的一种向量范数，从属于它的矩阵范数为，设
，则
（1）到的映射定义了上另为一种向量范数，它与有关，记为。
（2）从属于向量范数的矩阵范数为
定理4.12 （1）设为上任一种（从属或非从属）矩阵范数，则对任意的，有
(4.16)
（2）对任意的及实数，至少存在一种从属的矩阵范数，使，
(4.17)
定理4.13设为上的一种从属范数，矩阵，满足，则
非奇异，且(4.18)
推论：设，若可逆，且，，则可逆，且(4.19)
练习：
思考：
作业: P33-34 10、11、13
教学反思:
授课题目: §5 几种常见矩阵性质(2学时)
教学目标: 使学生了解正交矩阵、对称矩阵、正定矩阵的概念，掌握初等举证、对角占优矩阵的概念和性质。
教学重点：正交矩阵、初等矩阵、对角占优矩阵
教学难点: 正定矩阵、初等矩阵定义及性质
教学过程:
5.1 正交矩阵
设，若满足，称为正交矩阵。
?也是正交矩阵；
?按照的向量内积定义，不同的列向量相互正交，且各列向量的2-范数都等于1；
?
?若都是同阶的正交矩阵，则和均为正交矩阵。
5.2 对称矩阵和对称正定矩阵
设，若满足，称为实对称矩阵。
?的特征值为实数，且有个线性无关的特征向量；
?对应不同特征值的特征向量必正交，的特征向量可以构成的一组标准正交基；
?存在正交矩阵，使为对角矩阵
?。
设，是对称矩阵，且
称是对称正定矩阵。
?如果是对称矩阵，则对称正定
顺序主子式
的所有特征值
设，是对称矩阵，且
称是对称半正定矩阵。
5.3 初等矩阵
定义5.1 实初等矩阵，由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
（1）置换矩阵：将单位矩阵的第行和第行交换得到的矩阵。例如
作用：左乘相当于换行，右乘相当于换列.
（2）倍数矩阵：将非零数乘单位矩阵的第行得到的矩阵。例如
作用：左乘相当于第行乘，右乘相当于第列乘。
（3）消法矩阵：将单位矩阵的第行乘以加到第行得到的矩阵。例如
作用：左乘相当于第行乘加到第行，右乘相当于第列乘加到第列。初等矩阵的性质
?初等矩阵的逆还是初等矩阵；
; ; ;
?初等矩阵的转置还是初等矩阵；
; ; ;
5.5 对角占优矩阵
定义5.4设，
可称为严格对角占优矩阵，若
可称为弱对角占优矩阵。
定理5.2 ，设为严格对角占优矩阵，则，且非奇异。
练习：
思考：
作业: P34 21(2)
教学反思:
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月
一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
§1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。 教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。 教学时数 12学时 教学过程 1．1一般求积公式及其代数精度 设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分 ?b a dx x f x )()(ρ 的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤Λ10上函数值的某种线性组合来近似 ?∑=≈b a n i i i x f A dx x f x 0 )()()(ρ 其中n i A i ,,0,Λ=是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0,Λ=称为求积节点。 我们也可将（1．2）写成带余项的形式 ][)()()(0 f R x f A dx x f x b a n i i i +=?∑=ρ （1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。 在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。 一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1 +m x 不能精 确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。 一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式 )]1()0(4)1([3 1 )(1 1 f f f dx x f ++-≈?-
西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性.
1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数
数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当充分大时,利用下列各式计算N 121N N dx I x +=+∫,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N =+?N (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan(1I N N =++ (D) 211I N =+ 6.计算61)?,取 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? 3(3? (D) 99? 7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310?×,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设,近似值0x >*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径及圆柱高的相对误差限均不超过r h δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =?+?在2x =处的值. 11.已知近似值的误差限1.0000x ?=4()110x ε??=×,21()16 f x x = ,求(())f x ε?,并说明x ?及()f x ?的各有几位有效数字. 12.设为非零常数,已知a 0y 的近似值0y ?,由递推式1n n y ay ?=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性.
1. 计算1 1 n x n I e x e dx -=? (n=0,1,2,……)并估计误差。 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=???==-???……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2,,I I … 的值。要 算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 21 (1)(1)1(1),2!! k e k ---≈+-+++ … 并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差 14711 |0.3679|108!4 R e --=-≤
从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得 111110001011 (im )(max)11 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就 是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若 4 01||102 E -= ?，则80||8!||2E E =?>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得 1911010 e I -<<， 我们粗略取1 *9911()0.068421010 e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即 由*9I 算出*8I ，*7I ，…，* 0I ，公式为 * 9** 10.0684()1(1),98n n I B I I n n -?=? =?=-=?? ， ，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现* 0I 与0I 的误差不超过410-。记
授课题目: 第一章引论 §1数值分析的研究对象（1学时） 教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法 教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点 教学难点: 数值分析的研究对象 教学过程: 一、数值分析的研究对象、作用 数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果 二、数值分析的作用： 重点研究数学问题的数值方法及其理论。 作用领域广，形成许多交叉学科。 科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段 最重要作用——计算模型数值解
三、数值分析的特点 面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。 要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。 要有数值实验。证明其有效性。 练习： 思考： 作业: 教学反思:
授课题目: §2 数值计算的误差（1学时） 教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计 教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计 教学难点: 误差估计 教学过程: 误差来源与分类 截断误差 例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式 则数值方法的截断误差是 舍入误差 例如，用3.14159代替，产生的误差 ●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。 ●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。 误差与有效数字 定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差。 通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成 把近似值的误差e *与准确值x 的比值 称为近似值x *的相对误差，记作 它的绝对值上界叫做相对误差限, 记作 , 定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字. 其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且 定理1设近似数x *表示为 x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x . **ε±=x x x x x x e -=******* x x x x e e r -= =. ** * x r εε =
数值分析分章复习 第一章 引论 要点：误差基本概念 误差分类：截断误差；舍入误差。 误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字 设计数值计算方法应注重的原则： 注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母 复习题： 1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字， 试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x ==%% 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤?-≤?-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%% 341180.11610 6.1010252 20.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？ 它的绝对误差和相对误差各是多少？ 解：记精确值12.15420.2154102x =?=，近似值 2.153x =% 因为130.00121102 x x -≤?-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字 解：10.271828182810e =?L 314||0.0000811110102228e x --≤?=?-=L 可见x 具有4位有效数字 4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==?=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8 p p x x x --≤??=?-%
第一章 误差与算法 1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____， ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 . 2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。 3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？ 00.24990.249910,0m =?=即， 031|0.2499|0.00010.5100.510,34 m n n ---=
该算法是不稳定的。因为： 1 1()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n -= -， 10110I = 5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_. 6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的 乘法次数是 3n , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为3()O n . 二 代数插值 1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。 x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange: 设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为： 1200102 ()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x = 2()...l x = 因此，所求插值多项式为：
1.6.4 分段三次Hermite 插值 为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。 为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段： b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 根据这些节点的取值 i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值 i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足 下述条件： ①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。 ② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x H i i i i i +++= 把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的 各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。 由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式 12 112 1112 1112 111)()(2121)(++++++++++++'??? ? ??---+'???? ??---+??? ? ??--???? ? ?--++???? ??--???? ??--+=i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x H 也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次
1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic
第O 章 绪论 一、教学设计 1．教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。 3．教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 4．教学方法：介绍与讨论 二、教学过程 §1。1引论 1．课程简介： 数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。 2．历史沿革： ①数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。 ②各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。 ③直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。 3．计算方法的形成： ①20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报 ②计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。 ③以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。 4．作用与意义： 科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。 5．计算方法的任务： ①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。 例：!!212n x x x e n x ++++≈ ， h x y h x y x y )()()(-+≈' ②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。 例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。(几十万年) ③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。 6．计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：) 利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下： 实际问题――＞构造数学模型――＞设计数值计算方法――＞程序设计――＞上机求 出结果――＞回到实际问题。 数学模型举例： 例1：鸡兔同笼：（共10只，34只脚）导致方程组； 例2：曲边梯形的面积。 相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方 法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方 法；微分方程数值解等。 7．主要特点 既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具 有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数 学知识，以及计算机的基本操作）
数值分析论文 几种插值法的应用与比较 摘要：本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点，通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法。 关键词：拉格朗日插值，重心拉格朗日插值，分段线性插值 正文：在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦，这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式。 拉格朗日插值法中，在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法，许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解，如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到，相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式，数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数，拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华.华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现1795 年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。 拉格朗日插值多项式图为：
第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P
解：
* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'
第一章COMSOL MULTIPHYSICS及数值分析基础 W. B. J. ZIMMERMAN，B. N. HEWAKANDAMBY Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield, Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom E-mail: w.zimmerman@https://www.doczj.com/doc/57738145.html, 本章主要介绍COMSOL Multiphysics 在零维和一维模型数值分析方面的几个关键内容。这些内容包括求根、步进式数值积分、常微分方程数值积分和线性系统分析。这几乎是所有的化工过程数学分析方法。下面通过COMSOL Multiphysics中的一些常见化工过程应用实例来介绍这些方法，包括：闪蒸、管式反应器设计、扩散反应系统和固体中热传导。 1．简介 本章内容很多，可以分为几个不同的目标。首先介绍了COMSOL Multiphysics的主要工作特性；其次介绍了如何使用这些特性来分析一些简单的，位于零维空间、一维空间或“空间－时间”系统中的化工问题。本章还希望通过展示COMSOL Multiphysics和MATLAB工具在化工过程分析中的强大功能，激发读者对使用COMSOL Multiphysics进行建模与仿真的兴趣。 由于COMSOL Multiphysics不是一个通用的问题求解工具，所以一些目标需要迂回实现。作者在使用FORTRAN、Mathematica和MATLAB解决化工问题方面有着丰富的教学经验，并用这些工具实现过这里所有的例子。而且，扩展化工问题的数值分析也已经在POLYMATH[1]中实现，这似乎只在化工委员会的CACHE项目中使用过。 本书前一版已经介绍过在零维空间中求解非线性代数方程和与时间有关的常微分方程的内容。从概念上讲，零维域就是一个简单的有限元。通过研究某一特定有限元中的变化对理解有限元方法非常有用。但是，COMSOL Multiphysics 通过独立对话框设置，使得零维几何方程和与时间相关的常微分方程求解变得非常简单。所以本章将同时采用这两种方法求解这些例子。 2．方法1：求根 典型的数值分析课程会讲解多种求根方法，但是从实际经验来看，只有两种算法非常有用——二分法和牛顿法。我们这里没有列出所有方法，而是重点考虑为什么求根是最有效的数值分析工具。在线性系统中求根非常简单，但是对于非线性系统这就是一个挑战，而所有感兴趣的动力学问题几乎都是非线性系统。对非线性系统的求根起源于对反函数的描述。为什么呢？因为对于大多数非线性函数，“正向”y=f(u)很好表示，但是它的反函数u=f-－1(y)可能不能显式表示、多值（无意义）或根本不存在。如果反函数存在的话，求解反函数其实就是求根的过程——求解满足F(u)=0的u等价于求解F(u)=f(u)-y=0。因为大多数数值分析的目标是在系统约束下计算求解，所以这也等价于对所有的约束取反。COMSOL Multiphysics拥有求解非线性问题的核心函数——femnlin，本节主要介绍用它求解零维非线性问题。 femnlin函数使用牛顿方法求解，由于只有一个变量u，牛顿法通过对一阶 F u迭代来求根。该方法首先估计函数的斜率范围，然后再逼近根。该斜倒数'()