数值分析第一章ppt

s 某商品标注重量为 27±0.5kg, 实际重量是多少？
}
1.2.2 相对误差和相对误差限
x*的相对误差
r
x x x
在不同近似值中，|εr (x)|越小，x*的精确度越高。
r(x)
| ( x) | |x|
x x x
——x*的相对误差限
常用计算公式： r ( x)
( x)
x*Βιβλιοθήκη x x* x* ,}
（2）相对误差：
r ( x1
x2 )
( x1 x2 )
x1 x2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x1 x2
( x1 )
x1
x2 x1 x2
(x2 )
x2
x1
x1
x2
r
(
x1
)
x1
x2
x2
r
(
x2
)
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字 = 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
sin x x x3 x5 x7 , x 3! 5! 7!
用近似计算公式 sin x x
截断误差 sin x x x3 x5 x7 cos x3
3! 5! 7!
3!
sin x x 1 x 3 6
例
2 1.4142 ，产生舍入误差为：
R 2 1.4142 0.0000135
}
1.2.4 算术运算的误差
（1）绝对误差：
( x1 x2 ) x1 x2 ( x1* x2* ) ( x1) ( x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) ( x1 ) ( x2 )
因此，任何两个数之和(差)的绝对误差限为这两个数 的绝对误差限之和。
|
x
|
}
例 设x 1 0.5, y 10000 5, x, y的近似值哪一个精度高些?
解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5, 相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5, 相对误差限ηy=5/10000=0.0005
由于ηy< ηx ，所以y的近似值y*的精度较高。
→ 程序设计 → 上机计算结果
误差的来源主要有四类：
1.模型误差---客观量的准确值与数学模型的准确解的差
2.观测误差---由观测数据而产生的误差
3.截断误差(方法误差)---数学模型的准确解与利用近似计 算方法得到的解之差
4.舍入误差---由于将数据进行舍入而产生
}
例 某个量的数学模型是sin x,由泰勒展式
}
1.2.3 有效数字
定义1.3 若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位， 则说 x* 精确到该位，若从该位到 x* 的左面第一位非零数字 一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字。
准确数有无穷多位有效数字.
例 用3.1416作为π的近似值,有几位有效数字?
解 π=3.14159265…… x*=3.1416
利用微分ε(y)≈dy, εr (y)≈dy/y 可以推导如下结果：
r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 ),
r
x1 x2
r
(
x1 )
r
(
x2
),(
在计算机里， 加法结合律成
立吗？
答：不成立。
例题：在3位十进制机上计算 (0.0438+0.0397)+13.2=13.3 而 0.0438+(0.0397+13.2)=13.2
乘法对加法 的分配律成
立吗？
答：不成立。
}
1.1.2 误差的来源与分类
通常，用计算机解决科学计算问题经历以下过程： 实际问题 → 建立数学模型 → 构造数值计算方法
则 x y 0.0031104 0.4153 104
0.4184 104
(对阶) （规格化）
例2 设在5位十进制计算机上，t=5, β=10,
x=0.37569×10 4, y=0.96331×10 –5.
则 x y 0.375 69104 0.00000104
其结果大数“吃掉”了小 数
}
第1章 误差
hhhhhhhhhhhhhggggggggggggg
1.1 科学计算中误差的来源 1.2 误差的基本估计方法 1.3 算法的数值稳定性
}
1.1 科学计算中误差的来源
= 1.1.1 浮点数及其运算特点 = 1.1.2 误差的来源与分类
}
1.1.1 浮点数及其运算特点
1. 规格化浮点数：
x=±0.d1d2…dt×βn
阶
尾数 基底（可以是10、2、8、16等等）
t —字长（正整数）。
d1,d2,…,dt为0到β–1中任一数字。 当数x≠0时，规定d1≠0 。
}
十进制情形，β为10，d1,d2,…,dt为0到9中任一数字。 数0在计算机中尾数为0，阶码任意 。
一台计算机能表示的浮点数的全体，记作F。实数x在计 算机中用F中最接近x的一个浮点数表示。
当|ε(x)|较小时，ε(x)≈dx
|ε(x)|=|x–x*|≤ξ ——x*的绝对误差限
例 x 2 0.6666, x 0.667 试估计误差限。
3
实际重量
解 |ε(x)|=|x–x*|=0.000333….<0.0005
在26.5kg到
x*的绝对误差限为0.0005
27.5kg之间
常用记法： x=x*±ξ 表示 x*-ξ≤x≤x*+ξ
|π-3.1416|=0.0000073…… < 0.00005 =0.5×10-4 因此近似值精确到10-4,有5位有效数字.
}
由定义可见， 对于同一个量的不同近似值，其绝对误差限越小，
有效数字位越多，反之也是。 还可以证明，
对于不同近似值（不必是同一个量的近似值），其 相对误差限越小，有效数字位越多，反之也是。
例 t=4, p=10，即4位十进制计算机中
π= 0.3142×101 - 62.4= - 0.6240×102 0.0010346= 0.1035×10-2
}
2.浮点数的运算特点: (1) 两数相加前先对阶,统一为较大阶. (2) 结果自动规格化.
例1 设t=4, β=10,
x=0.3127×10 –6, y=0.4153×10 –4.