中考数学总复习精品训练：课时5.分式

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

2013年中考数学专题复习第五讲：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

1、a ma m⋅⋅=a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。

约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m =1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。

2、分式求值：①先化简，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （2012•宜昌）若分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a=0 B ．a=1 C ．a≠-1 D ．a≠0点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式1x有意义，x 的取值范围满足（ ） A ．x=0 B ．x≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0考点二：分式的基本性质运用例2 （2012•杭州）化简216312m m --得 ；当m=-1时，原式的值为 ． 对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（ ）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22 a b a b ++D ．222a ab a b -- 考点三：分式的化简与求值例3 （2012•南昌）化简：2211a a a a a --÷+．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4 （2012•安徽）化简211x x x x+-- 的结果是（ ） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5 （2012•天门）化简221(1)11x x -÷+- 的结果是（ ） A ．21(1)x + B ．21(1)x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6 （2012•遵义）化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简22111x x ÷--的结果是（ ） A ．21x - B ．321x - C ．21x - D ．2（x+1） 4．（2012•绍兴）化简111x x --可得（ ） A ．21x x - B ．21x x -- C ．221x x x +- D ．221x x x-- 5．（2012•泰安）化简22()2-24m m m m m m -÷+-= ． 6．（2012•资阳）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7 （2012•凉山州）对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+，则 111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算201211(1)n n n ==+∑ ．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（ ）A ．14B ．2C ．14- D ．4 2．（2012•德州）下列运算正确的是（ ） A ．42= B ．（-3）2=-9C ．2-3=8D ．20=0 3．（2012•临沂）化简4(1)22a a a +÷--的结果是（ ） A ．2a a + B ．2a a + C ．2a a - D ．2a a - 4．（2012•威海）化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 5．（2012•聊城）计算：24(1)42a a a +÷=-- ． 6．（2011•泰安）化简：22()224x x x x x x -÷+--的结果为 ． 三、解答题7．（2012·济南）化简：2121224a a a a a --+÷--．8．（2012•烟台）化简：222844(1)442a a a a a a+--÷+++．9．（2012•青岛）化简：2211(1)12a a a a -+++。

第5课时 分 式(65分)一、选择题(每题5分,共20分)1．[2019·兰州]化简：a 2＋1a ＋1－2a ＋1＝( )A ．a －1B ．a ＋1 C.a －1a ＋1D ．1a ＋12．[2019·孝感]已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋4y ＝9.则x 2－2xy ＋y2x 2－y2的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．－6D ．63．[2018·河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简．过程如图所示：接力中,自己负责的一步出现错误的是( ) A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙D ．乙和丁4．[2019·攀枝花]一辆货车送货上山,并按原路下山．上山速度为a km/h,下山速度为b km/h.则货车上、下山的平均速度为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a ＋b ) km/h B ．ab a ＋b km/h C.a ＋b2abkm/h D ．2ab a ＋bkm/h 二、填空题(每题5分,共20分)5．[2019·扬州]分式13－x可变形为________．6．[2019·内江]若1m ＋1n ＝2,则分式5m ＋5n －2mn－m －n 的值为________．7．[2019·武汉]计算2a a 2－16－1a －4的结果是________．8．若a,b 互为倒数,则代数式a 2＋2ab ＋b 2a ＋b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 的值为________．三、解答题(共25分)9．(8分)[2019·杭州]化简：4x x 2－4－2x －2－1.圆圆的解答如下：4x x 2－4－2x －2－1＝4x －2()x ＋2－()x 2－4＝－x 2＋2x. 圆圆的解答正确吗？如果不正确,写出正确的解答．10．(8分)[2018·菏泽]先化简,再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x ＋y －y ÷x －y x 2－y 2－(x 2－xy －2y 2),其中x ＝－1,y ＝2.11．(9分)[2019·娄底]先化简,再求值：a 2－2ab ＋b 2a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ,其中a ＝2－1,b ＝2＋1.分)12．(5分)[2018·内江]已知1a －1b ＝13,则ab b －a 的值是 ( )A.13 B ．－13C ．3D ．－313．(5分)[2019·滨州]观察下列一组数： a 1＝13,a 2＝35,a 3＝69,a 4＝1017,a 5＝1533,……它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n 个数a n ＝________________(用含n 的式子表示)． 14．(10分)[2019·巴中]已知实数x,y 满足x －3＋y 2－4y ＋4＝0,求代数式x 2－y 2xy ·1x 2－2xy ＋y2÷xx 2y －xy2的值．(15分)15．(15分)[2019·盐城]【生活观察】 甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如：(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价(均价＝总金额÷总质量)．【数学思考】 设甲每次买质量为m kg 的菜,乙每次买金额为n 元的菜,两次的单价分别是a 元/kg,b 元/kg(b≠a),用含有m,n,a,b 的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价x －甲,x －乙．比较x －甲,x －乙的大小,并说明理由．【知识迁移】 某船在相距为s 的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t 1.如果水流速度为p 时(p<v),船顺水航行速度为(v ＋p),逆水航行速度为(v －p),所需时间为t 2.请借鉴上面的研究经验,比较t 1,t 2的大小,并说明理由．参考答案1．A 2.C 3.D 4.D5．－1x －3 6.－4 7.1a ＋4 8.19．圆圆的解答错误,正确的解为－xx ＋210．－x 2＋2y 2,711．a －b ＋a －bab ,－412．C 13.n (n ＋1)2(2n ＋1)14.x ＋y x ,5315．(1)2 1.5(2)x －甲＝2.5元/kg,x －乙＝2.4元/kg 【数学思考】x －甲>x －乙,理由略 【知识迁移】t 1<t 2,理由略关闭Word 文档返回原板块。

中考数学总复习《分式方程》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A 层·基础过关】1.将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得( )A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·贵阳市观山湖区二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x 日,甲乙相逢,可列方程( ) A.x+27+x 5=1B.7x+2+5x=1 C.7x+2-5x =1 D.x+27=x53.分式方程x -2x -3=1x -3的解为( )A.1B.2C.3D.无解 4.(2024·北京中考)方程12x+3+1x=0的解为 .5.定义一种新运算:对于任意的非零实数a ,b ,a ⊗b =1a +1b.若(x +1)⊗x =3x,则x 的值为 .6.某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.7.(2024·贵阳市白云区模拟)题目:为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km 2的土地进行绿化,为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务,求原计划平均每月的绿化面积. 甲同学所列的方程为60x -601.5x =2;乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2.(1)甲同学所列方程中的x 表示 原计划平均每月的绿化面积 ;乙同学所列方程中的y 表示 实际完成这项工程需要的月数 .(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目.【B 层·能力提升】8.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围( )A.m >-3B.m >-3且m ≠-2C.m <3D.m <3且m ≠-29.某校学生去距离学校12 km 的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是( ) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/minD.0.6 km/min10.若整数a 使关于x 的不等式组{x -12≤11+x34x -a >x +1,有且只有45个整数解,且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数,则a 的值为( )A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-5911.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号Max{a ,b }表示a ,b 中的较大值,如Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x ,-x }=2x+1x的解为( )A.1-√2B.2-√2C.1+√2或1-√2D.1+√2或-112.(2024·重庆中考)若关于x 的不等式组{4x -13<x +12(x +1)≥-x +a 至少有2个整数解,且关于y 的分式方程a -1y -1=2-31-y的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为 .【C 层·素养挑战】13.(2024·凯里二中模考改编)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A ,B 两种型号的充电桩.已知A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等. (1)A ,B 两种型号充电桩的单价各是多少?(2)该停车场计划共购买25个A ,B 型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12.问:共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?参考答案【A 层·基础过关】1.将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得(A)A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·贵阳市观山湖区二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x 日,甲乙相逢,可列方程(A) A.x+27+x 5=1B.7x+2+5x=1 C.7x+2-5x =1 D.x+27=x53.分式方程x -2x -3=1x -3的解为(D)A.1B.2C.3D.无解 4.(2024·北京中考)方程12x+3+1x=0的解为 x =-1 .5.定义一种新运算:对于任意的非零实数a ,b ,a ⊗b =1a +1b.若(x +1)⊗x =3x,则x 的值为 -2 .6.某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.【解析】设乙同学骑自行车的速度为x km /h则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h根据题意得12x -16=121.2x解得x=12.经检验,x=12是原分式方程的解.答:乙同学骑自行车的速度为12 km/h.7.(2024·贵阳市白云区模拟)题目:为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化,为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务,求原计划平均每月的绿化面积.甲同学所列的方程为60x -601.5x=2;乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2.(1)甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月的绿化面积;乙同学所列方程中的y表示实际完成这项工程需要的月数.【解析】(1)由题意可得甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月的绿化面积,乙同学所列方程中的y 表示实际完成这项工程需要的月数.(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目.【解析】(2)按甲同学的作法解答,60x -60 1.5x=2方程两边同时乘1.5x,得90-60=3x解得,x=10经检验,x=10是原分式方程的解.答:原计划平均每月的绿化面积是10 km2.【B 层·能力提升】8.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围(B)A.m >-3B.m >-3且m ≠-2C.m <3D.m <3且m ≠-29.某校学生去距离学校12 km 的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是(D) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/minD.0.6 km/min10.若整数a 使关于x 的不等式组{x -12≤11+x34x -a >x +1,有且只有45个整数解,且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数,则a 的值为(B)A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-5911.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号Max{a ,b }表示a ,b 中的较大值,如Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x ,-x }=2x+1x的解为(D)A.1-√2B.2-√2C.1+√2或1-√2D.1+√2或-112.(2024·重庆中考)若关于x 的不等式组{4x -13<x +12(x +1)≥-x +a 至少有2个整数解,且关于y 的分式方程a -1y -1=2-31-y的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为16 .【C 层·素养挑战】13.(2024·凯里二中模考改编)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A ,B 两种型号的充电桩.已知A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等. (1)A ,B 两种型号充电桩的单价各是多少?【解析】(1)设B 型充电桩的单价为x 万元,则A 型充电桩的单价为(x -0.3)万元,由题意可得:15x -0.3=20x解得x =1.2经检验:x =1.2是原分式方程的解,x -0.3=0.9.答:A 型充电桩的单价为0.9万元,B 型充电桩的单价为1.2万元.(2)该停车场计划共购买25个A ,B 型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12.问:共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?【解析】(2)设购买A 型充电桩a 个,则购买B 型充电桩(25-a )个,由题意可得: {0.9a +1.2(25-a )≤2625-a ≥12a,解得403≤a ≤503 ∵a 须为非负整数,∴a 可取14,15,16 ∴共有三种方案:方案一:购买A 型充电桩14个,购买B 型充电桩11个 购买费用为0.9×14+1.2×11=25.8(万元);方案二:购买A 型充电桩15个,购买B 型充电桩10个 购买费用为0.9×15+1.2×10=25.5(万元);方案三:购买A 型充电桩16个,购买B 型充电桩9个购买费用为0.9×16+1.2×9=25.2(万元),∵25.2<25.5<25.8∴方案三所需购买总费用最少.。

2018初三数学中考总复习分式及其运算专题练习题X2 - V21.当x = 6 , y=-2时，代数式（x _ 丫）2的值为（）4 1A . 2 B- C . 1 D-3 2x 2v 3xy2.当x = 6，y = 3时，代数式（再+再）・三的值是（）A . 2B . 3C . 6D . 9x - 23.若分式不的值为0 ,则x的值是（）X + 3A. -3B.-2 C . 0 D . 2b2 a4.如果a + b = 2,那么代崛的值是（）1 1A . 2B .-2 C- D .x 15.化简。

的结果是（）1 X + 1A.--B. --- C . x + 1 D . x -1x + 1 xx6.已知X2-3X-4二。

，则代数式口言的值是（）1 1A . 3B . 2 C- D- 3 2m2 - n27.igm>n>0r m2 + n2 = 4mn ,贝!] ----------- 等于（）mnA . 24 B.yfi C .D . 32x x - 6&化简-。

的结果为（）x2 + 2x x2 - 4 111 x-6A.——B.——C.一-D.一-x2 - 4 x2 + 2x x - 2 x - 219.若分式f在实数范围内有意义,则x的取值范围是—. x - 5a2 9 a + 310.化简：（---H一二一. a - 3 3 - a a 厂厂a2 - 2ab + b211.当a川2 + 1 , b = J2 -1时，代数式一2 一的值是.12.已知实数a , b , c满足a + b = ab = c ,有下列结论：1 1①若c/0 ,则一+1二1 ； a b②若 a = 3"Ub + c = 9;③若 a = b = c ,贝!j abc = 0 ;④若a , b , c中只有两个数相等，则a + b + c=8.其中正确的是—.（把所有正确结论的序号都选上）213.如果分式一;有意义，那么x的取值范围是x -1 ------x -114.当x =—时，分式^一的值为03x + 2t 1 1 115.已矢口 ai = —— , a2 = ：--------- , a3 = ：------- -，a n + i = ; （n 为 1E^数，且 tWO , 1）,贝U a2oi6 =t -1 1 - ai l-a2 1 - a n—.（用含有t的代数式表示）16.要使代数式业里有意义，则x的取值范围是 X ----------------17.化简：a 3a - 1a^l- a2 - 1 ；18.先化简，再求值：x2 - 6x + 9 x - 3 厂X2 一 9・»■，其中X二4-3;X19.先化简，再求值：二・仅2 - 9) - 3x ,其中x = 2.X — 31 1 2x - 14xy - 2v2。

中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案一、选择题 1．在a−b 2，x(x+3)x，5+x π，a+b a−b中，是分式的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．分式1x 2y ，3y2x 3，2+x3xy 2的最简公分母是（ ） A ．3xyB ．6x 3y 2C ．6x 6y 6D ．x 3y 33．如果把分式2xxy 中的x 和y 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的110倍 D ．缩小为原来的11004．使分式 x 2−1x+1等于0的x 的值是（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．不存在5．已知实数a 、b 满足a+b ＝0，且ab ≠0，则ba +ab 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．26．若关于x 的方程 m−1x−1−xx−1=0 有增根，则m 的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．任意值7．某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ） A ．120x−2=120x −3 B ．120x=120x+2−3 C ．120x+2=120x−3D ．120x=120x−2−38．关于x 的方程 k2x−4=xx−2 的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0C ．k ＞0且k ≠4D ．k ＜0且k ≠﹣4二、填空题9．约分：3x 3y9x 2y 4= ． 10．化简：a 2a−b+b 2b−a ＝ ． 11．若分式 2x+1 有意义，则 x 的取值范围是 .12．已知关于x的方程x−4x−3−k−4=k3−x无解，则k的值为.13．已知方程2−aa +2=3a，且关于x的不等式组{x≥ax≤b只有3个整数解，那么b的取值范围是.三、解答题14．解方程：（1）2xx+3+1=72x+6（2）1+xx+2=12+x+215．先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4．16．已知A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1．（1）先化简A，再从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值；（2）判断A的值能不能是−1，并说明理由．17．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？18．暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生. 现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元. 按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元.（1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？（2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按m（m为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求m的最大值.1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．x3y 3 10．a +b 11．x ≠112．k =−3 或 k =1 13．3≤b ＜414．（1）解：2xx+3+1=72x+6 4x +2x +6=7 6x =1 x =16经检验：x =16是原分式方程的解； （2）解：1+xx+2=12+x +2 1+x =1+4+2x x =−4经检验：x =−4是原分式方程的解； 15．解：原式=(x 2x−1−x 2−2x+1x−1)÷(2x−1)21−x=2x−1x−1×1−x(2x−1)2 =11−2x将x =−4代入11−2x ，得11−2×(−4)=19 16．（1）解：A =(2x 2+2x x 2−1−x 2−xx 2−2x+1)÷xx+1 =(2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2)×x+1x=2(x+1)x−1−x+1x−1=x+1x−1当x=3时A=3+13−1=2；x-1≠0∴x≠1.∴当x=2时A=3；当x=3时A=2；（2）解：A的值不能是−1；理由：若A的值为−1，即x+1x−1=−1，解得x=0，代入A中检验，除数为0，无意义，∴A的值不能为−1．17．解：（1）解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：900x =9003x+10，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解答：小明步行的速度是60米/分；（2）解：小明家与图书馆之间的路程最多是y米根据题意可得：y60=900180×2，解得：y=600答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.18．（1）解：设家长的报价为x元，学生的报价为(x−20)元由题意得：50000x =48000x−20经检验，x=500是分式方程的解答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；（2）解：由题意得：(50000+48000)×m10<50000+48000×0.75解得：m<83849∵m为正整数∴m的最大值为8.。