辽宁省大连市2013届高三双基测试数学理试题

大连24中2013届高三考前模拟考试数学理试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共l 50分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写住答题卡上，并住规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合=A．[0，2）B．（0，）C．（0，] D．（2，+∞）2．复数的虚部为A．-2 B．-i C．i D．-13．已知向量等于A．3 B．-3 C．D．-4．设是等差数列的前n项和，若S7=35，则a4等于A．8 B．7 C．6 D．55．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，向上平移1个单位，得到新函数的一个对称中心是A．B．C．D．6．下列说法：①命题“”的否定是“”②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题④“x≠3”是|x|≠3成立的充分条件，其中错误的个数是A．1 B．2 C．3 D．47．六名学生从左到右站成一排照相留念，已知学生甲和学生乙必须相邻，则学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是A．B．C．D．-8．某程序框图下图所示，若输出的S=57，则判断框内应为A．k>5 B．k>4 C．k>7 D．k>69．在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=2．△ABC边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为A．B．D．TE，则x2+y2的最小值10．若值A．B．C．D．11．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：x≥1时，时，f（x）=lnx，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是A．B．C．D．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,设∠DAB=θ，θ，以A、B为焦点且过点D的双曲线离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆离心率为e2，则A．随着θ增大，e1增大，e1，e2为定值B．随着θ增大，e1减少，e1，e2为定值C．随着θ增大，e1增大，e1，e2也增大D．随着θ增大，e1减少，e1，e2为减少第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B I( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( )A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x ∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e xx f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = . 15.已知椭圆22221=()0x ya Cb a b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a (3sin )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=12x -时,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）.21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时,（Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O e 直径,直线CD 与O e 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明：（Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC g .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos()=224ρθ-. （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集； （Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）454422cos 2xx ⎫++⎪⎭x ⎫⎪⎭（2）设()(2)2()h x f x a f x =+-，则20()4202a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，由|()|2h x ≤解得，它与12x ≤≤等价，然后求出a 的值【考点】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法。

大连市2013年高三双基测试卷数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：标准差s =x 为12,,,n x x x 的平均数．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221niii nii x yn x y bxn x==-=-∑∑ ， ay b x =- ．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数i z +=1的虚部是A ． 1B ． 1-C ．iD ． i -2．已知集合{}{}0)3lg(|,034|2>-=<+-=x x N x x x M ，则M N =A ．}31|{<<x xB ．}21|{<<x xC ．φD ．}32|{<<x x3．函数2)cos (sin )(x x x f += 的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则实数m 的值为 （ ）A ．0B ．8-C ．2D ．105．执行如图所示的程序框图，如果6=n ， 则输出的s 的值是A ．76 B ．87C ．65D ．546．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，682=+a a ，则=9SA ．227 B ．27 C ．54 D ．1087．右图是Ⅰ，Ⅱ两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设Ⅰ，Ⅱ两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） A ．12x x >，12s s > B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s >D ．12x x <，12s s <第7题图第5题图8．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“∈∃x R ，02>-x x ”的否定是：“∈∀x R ，02≤-x x ”D ．已知∈x R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件9．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-110．下列函数中，与函数3xy =-的奇偶性相同且在)0,(-∞上单调性也相同的是A ．1y x=-B ．2log y x =C ．21y x =-D ．31y x =-11．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++AC AB OA 0ABC ∆的面积为A ．3B ．3 CD ．412．球O 的直径=4SC ，B A ,是该球球面上的两点，4,2π=∠=∠=BSC ASC AB ，则棱锥SBC A -的体积为A ．43B ．83C．3D．3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ）：主视图左视图则该几何体的表面积为 cm 2．14．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为a x y +=8.3ˆ，则a 的值为_______．15．已知双曲线的两条渐近线均和圆C :51)1(22=+-y x 相切，且双曲线的右焦点为抛物线2y =的焦点，则该双曲线的标准方程为 ．16．数列{}n a 满足：33)1()12(531321+⋅-=⋅-+⋅⋅⋅++++n n n a n a a a （n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a = ．三．解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，(sin A sin B)(sin A sin B)sin A sin C)+-=-． （Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若53sin =A ，求C cos 的值．18．（本小题满分12分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3．9，4．2]，（4．2，第13题图（Ⅱ）从样本中视力在（3．9，4．2]和（5．1，5．4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0．5的概率．19．（本小题满分12分）如图四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，AB =，1P A B C ==，F 是B C 的中点．（Ⅰ）求证：D A ⊥平面PAC ；（Ⅱ）试在线段P D 上找一点G ，使C G ∥平面P A F ，并求三棱锥A -C D G 的体积．20．（本小题满分12分）函数2ln )(ax x x f -=（∈a R ）． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当81=a 时，证明：存在),2(0+∞∈x ，使)1()(0f x f =．21．（本小题满分12分）ADCFPB第19题图已知椭圆M ：)0(12222>>=+b a by ax ，直线)0(≠=k kx y 与椭圆M 交于B A 、两点，直线x ky 1-=与椭圆M 交于D C 、两点，P 点坐标为(,0)a ，直线PA 和PB 斜率乘积为21-．（Ⅰ）求椭圆M 离心率；（Ⅱ）若弦AC 的最小值为362，求椭圆M 的方程．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD ．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线:l 4πθ=与曲线:C ⎩⎨⎧-=+=,)1(,12t y t x （t 为参数）,相交于B A ,两点．（Ⅰ）写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）求线段AB 的中点极坐标．OABCDE第24题图24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知实数t ，若存在]3,21[∈t 使得不等式21521-+-≥---x x t t 成立，求实数x 的取值范围．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013辽宁,理1)复数z=1i -1的模为( ). A.12 B.√22C.√2D.2答案:B解析:∵z=1i -1=-i -1(-i -1)(i -1)=-12−12i,∴|z|=√(-12)2+(-12)2=√22,故选B .2.(2013辽宁,理2)已知集合A={x|0<log 4x<1},B={x|x ≤2},则A ∩B=( ). A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]答案:D解析:0<log 4x<1⇔log 41<log 4x<log 44⇔1<x<4,即A={x|1<x<4},∴A ∩B={x|1<x ≤2}.故选D .3.(2013辽宁,理3)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ). A.(35,-45) B.(45,-35) C.(-35,45)D.(-45,35)答案:A解析:与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+(-4)=(35,-45),故选A .4.(2013辽宁,理4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列{an n }是递增数列; p 4:数列{a n +3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ). A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4答案:D解析:如数列为{-2,-1,0,1,…},则1×a 1=2×a 2,故p 2是假命题;如数列为{1,2,3,…},则an n =1,故p 3是假命题.故选D .5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ).A.45B.50C.55D.60答案:B解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选B .6.(2013辽宁,理6)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则∠B=( ). A.π6 B.π3C.2π3D.5π6答案:A解析:根据正弦定理:a sin B cos C+c sin B cos A=12b 等价于sin A cos C+sin C cos A=12,即sin(A+C )=12.又a>b ,∴∠A+∠C=5π6,∴∠B=π6.故选A .7.(2013辽宁,理7)使(3x x √x)n(n ∈N +)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ). A.4 B.5C.6D.7答案:B 解析:(3x x x)n展开式中的第r+1项为C n r (3x)n-r x -32r=C n r 3n-r x n -52r,若展开式中含常数项,则存在n ∈N +,r ∈N ,使n-52r=0,故最小的n 值为5,故选B .8.(2013辽宁,理8)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=( ).A.511B.1011C.3655D.7255答案:A解析:当n=10时,由程序运行得到S=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=(11×3+13×5+15×7+17×9+19×11) =12(11-13+13-15+15-17+17-19+19-111)=12×1011=511.故选A .9.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ). A.b=a 3B.b=a 3+1aC.(b-a 3)(b -a 3-1a )=0D.|b-a 3|+|b -a 3-1a |=0 答案:C解析:若B 为直角,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即a 2+a 3(a 3-b)=0, 又a ≠0,故b=a 3+1a ;若A 为直角,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即b(a 3-b)=0,得b=a 3; 若O 为直角,则不可能.故b-a 3=0或b-a 3-1a =0,故选C .10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ). A.3√172B.2√10C.132D.3√10答案:C解析:过C 点作AB 的平行线,过B 点作AC 的平行线,交点为D,同理过C 1作A 1B 1的平行线,过B 1作A 1C 1的平行线,交点为D 1,连接DD 1,则ABCD-A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=√32+42+1222=132.故选C .11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x 2-2(a+2)x+a 2,g(x)=-x 2+2(a-2)x-a 2+8.设H 1(x)=max {f(x),g(x)},H 2(x )=min {f(x),g(x)}(max {p,q}表示p ,q 中的较大值,min {p,q}表示p,q 中的较小值).记H 1(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则A-B=( ). A.16 B.-16 C.a 2-2a-16 D.a 2+2a-16答案:B解析:∵f(x)-g(x)=2x 2-4ax+2a 2-8=2[x-(a-2)][x-(a+2)],∴H 1(x)={f (x ),x ∈(-∞,a -2],g (x ),x ∈(a -2,a +2),f (x ),x ∈[a +2,+∞),H 2(x)={g (x ),x ∈(-∞,a -2],f (x ),x ∈(a -2,a +2),g (x ),x ∈[a +2,+∞),可求得H 1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H 2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12,∴A-B=-16.故选B .12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x 2f'(x)+2xf(x)=e x x ,f (2)=e 28,则x>0时,f (x )( ).A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值 答案:D解析:令F(x)=x 2f(x),则F'(x)=x 2f'(x)+2xf(x)=e x x, F(2)=4·f(2)=e 22. 由x 2f'(x)+2xf(x)=e xx , 得x 2f'(x)=e x x-2xf (x )=e x -2x 2f (x )x , ∴f'(x)=e x -2F (x )x 3. 令φ(x)=e x -2F(x), 则φ'(x)=e x -2F'(x)=e x -2exx=e x (x -2)x. ∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)的最小值为φ(2)=e 2-2F(2)=0. ∴φ(x)≥0. 又x>0,∴f'(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选D .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013辽宁,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .答案:16π-16解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为π·22·4-2×2×4=16π-16.14.(2013辽宁,理14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= . 答案:63解析:因为x 2-5x+4=0的两根为1和4,又数列{a n }是递增数列,所以a 1=1,a 3=4,所以q=2. 所以S 6=1·(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,理15)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则C 的离心率e= . 答案:57解析:如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos ∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8. 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos ∠ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7. 又|OF|=c=5,故离心率e=57.16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10解析:设5个班级的人数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,则x 1+x 2+x 3+x 4+x 55=7, (x 1-7)2+(x 2-7)2+(x 3-7)2+(x 4-7)2+(x 5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a =(√3sin x,sin x),b =(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 解:(1)由|a |2=(√3sin x)2+(sin x)2=4sin 2x,|b |2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a |=|b |,得4sin 2x=1. 又x ∈[0,π2],从而sin x=12, 所以x=π6.(2)f(x)=a ·b =√3sin x ·cos x+sin 2x =√32sin 2x-12cos 2x+12=sin (2x -π6)+12,当x=π3∈[0,π2]时,sin (2x -π6)取最大值1. 所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C PB A 的余弦值. (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,得PA ⊥BC. 又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC,AC ⊂平面PAC, 所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PBC. 所以平面PBC ⊥平面PAC.(2)解法一:过C 作CM ∥AP,则CM ⊥平面ABC.如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 因为AB=2,AC=1,所以BC=√3.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(√3,0,0),P(0,1,1). 故CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则{CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,所以{√3x =0,y +z =0,不妨令y=1,则n 1=(0,1,-1). 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0). 设平面ABP 的法向量为n 2=(x ,y ,z ), 则{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,所以{z =0,√3x -y =0, 不妨令x=1,则n 2=(1,√3,0),于是cos <n 1,n 2>=√32√2=√64.所以由题意可知二面角C PB A 的余弦值为√64.解法二:过C 作CM ⊥AB 于M,因为PA ⊥平面ABC,CM ⊂平面ABC, 所以PA ⊥CM,故CM ⊥平面PAB. 过M 作MN ⊥PB 于N,连接NC, 由三垂线定理得CN ⊥PB.所以∠CNM 为二面角C PB A 的平面角.在Rt △ABC 中,由AB=2,AC=1,得BC=√3,CM=√32,BM=32,在Rt △PAB 中,由AB=2,PA=1,得PB=√5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP,所以MN 1=32√5,故MN=3√510.又在Rt △CNM 中,CN=√305,故cos ∠CNM=√64.所以二面角C PB A 的余弦值为√64.19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A =“张同学所取的3道题都是甲类题”. 因为P(A )=C 63C 103=16,所以P(A)=1-P(A )=56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C 20·(35)0·(25)2·15=4125; P(X=1)=C 21·(35)1·(25)1·15+C 20(35)0·(25)2·45=28125;P(X=2)=C 22·(35)2·(25)0·15+C 21(35)1·(25)1·45=57125; P(X=3)=C 22·(35)2·(25)0·45=36125.所以X 的分布列为:X 0 1 2 3P 4125 28125 57125 36125所以E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-√2时,切线MA 的斜率为-12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x 2,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-√2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是y 0=-12(2-√2)+14=-3-2√24,① y 0=-(1-√2)22p =-3-2√22p .②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=x 1+x 22,③ y=x 12+x 228.④ 切线MA,MB 的方程为y=x12(x-x 1)+x 124,⑤y=x 22(x-x 2)+x 224.⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x24. 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即x 02=-4y 0,所以x 1x 2=-x 12+x 226.⑦ 由③④⑦得 x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y. 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y.21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e -2x ,g(x)=ax+x 32+1+2x cos x.当x ∈[0,1]时, (1)求证:1-x ≤f(x)≤11+x ;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a 的取值范围.(1)证明:要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≥1-x,只需证明(1+x)e -x ≥(1-x)e x .记h(x)=(1+x)e -x -(1-x)e x , 则h'(x)=x(e x -e -x ), 当x ∈(0,1)时,h'(x)>0, 因此h(x)在[0,1]上是增函数, 故h(x)≥h(0)=0. 所以f(x)≥1-x,x ∈[0,1]. 要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≤11+x , 只需证明e x ≥x+1.记K(x)=e x -x-1,则K'(x)=e x -1,当x ∈(0,1)时,K'(x)>0,因此K(x)在[0,1]上是增函数, 故K(x)≥K(0)=0. 所以f(x)≤11+x,x ∈[0,1]. 综上,1-x ≤f(x)≤11+x,x ∈[0,1]. (2)解法一:f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥1-x-ax-1-x 32-2x cos x=-x(a+1+x 22+2cos x).设G(x)=x 22+2cos x,则G'(x)=x-2sin x. 记H(x)=x-2sin x,则H'(x)=1-2cos x,当x ∈(0,1)时,H'(x)<0,于是G'(x)在[0,1]上是减函数, 从而当x ∈(0,1)时,G'(x)<G'(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数. 于是G(x)≤G(0)=2,从而a+1+G(x)≤a+3. 所以,当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.f(x)-g(x)≤11+x -1-ax-x 32-2x cos x=-x 1+x -ax-x 32-2x cos x =-x (11+x +a +x 22+2cosx),记I(x)=11+x +a+x 22+2cos x=11+x +a+G(x), 则I'(x)=-1(1+x )2+G'(x),当x ∈(0,1)时,I'(x)<0,故I(x)在[0,1]上是减函数, 于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos 1,a+3]. 因为当a>-3时,a+3>0, 所以存在x 0∈(0,1),使得I(x 0)>0,此时f(x 0)<g(x 0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3]. 解法二:先证当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2.记F(x)=cos x-1+12x 2, 则F'(x)=-sin x+x.记G(x)=-sin x+x,则G'(x)=-cos x+1,当x ∈(0,1)时,G'(x)>0,于是G(x)在[0,1]上是增函数, 因此当x ∈(0,1)时,G(x)>G(0)=0, 从而F(x)在[0,1]上是增函数. 因此F(x)≥F(0)=0,所以当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x. 同理可证,当x ∈[0,1]时,cos x ≤1-14x 2.综上,当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2. 因为当x ∈[0,1]时, f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥(1-x)-ax-x 32-1-2x (1-14x 2)=-(a+3)x.所以当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 因为f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≤11+x -1-ax-x 32-2x (1-12x 2)=x 21+x +x 32-(a+3)x ≤32x [x -23(a +3)],所以存在x 0∈(0,1)(例如x 0取a+33和12中的较小值)满足f(x 0)<g(x 0).即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3].请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。

大连市2013年高三双基测试卷地理试题说明：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷共100分。

考试用时90分钟。

2．试题全部答在“答题纸”上，答在试卷上无效。

第I卷选择题（共50分）本卷共25小题。

每题2分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

图1是12月22日某四个城市的昼夜长短分布示意图，图中阴影部分表示黑夜，读图1完成1～2题。

1.图中甲、乙、丙、丁四地代表大连的是A.甲B.乙C.丙D.丁2．此时关于图中甲、乙、丙、丁四地对比正确的是A．甲地纬度最高B．乙地自转线速度最快C．丙地正午太阳高度最大D．丁地自转速度最慢图2中a、b、c代表等值线，读图完成3、4题。

3．如果该等值线为近地面等温线，且a＜b＜c，则图中中心区可能为①山峰②盆地③城市④郊区④重工业区⑥高新产业园区A．①②③B．②③⑤C．④⑤⑥D．②④⑤4．如果该等值线为近地面等压线，且a＞b＞c，则下列叙述正确的是A．甲处风力可能比乙处大也可能比乙处小B．O处可能为晴朗天气也可能为阴雨天气C．甲处风向可能是西南风也可能是东南风D．OA可能是冷锋也可能是暖锋水量盈余率是衡量水库蓄水量变化的重要指标（水量盈余率=流入量／流出量），图3为某水库各月水量盈余率统计图。

读图3完成5、6题。

5．该水库储水量最小的月份是A．10月B．3月C．6月D．9月6．如果水库出水量固定不变，则该水库最有可能位于A．长江中下游地区13．地中海沿岸地区C．塔里木盆地D．亚马孙河流域2012年6月，国务院批准设立三沙市，市政府驻地在西沙群岛的永兴岛，下辖西沙、中沙、南沙诸群岛及海域，这些岛屿多数属于珊瑚虫遗体堆积而成的珊瑚岛。

根据材料及图4回答7—9题。

7．三沙市的岛礁岩石属于A．侵入岩B．喷出岩C．沉积岩D．变质岩8．珊瑚虫生长并成为石灰岩的地质环境和过程是A．I～②B．Ⅱ——④C．Ⅲ～⑥D．I一一①9．三沙市计划在永兴岛大力发展海岛旅游业和海水养殖业，容易引发的环境问题是A．水土流失严重B．滨海湿地消失C．海水污染加剧D．海平面上升雪线是指山峰终年积雪的下限。

大连高三双基卷(试卷+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013年大连市高三双基测试卷历史命题人：于波张坪易卉说明：1.本试卷分第1卷和第Ⅱ卷两部分，包括必做和选做试题。

全卷共100分。

考试时问为90分钟。

2.答案答在答题纸上，答在试卷上无效。

第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共24个小题，每小题2分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.《左传》记载“昔武王克商，光有天下，其兄弟之国者十有五人，姬姓之国者四十人，皆举亲也。

”这反映西周政治是A.神权政治B.皇权政治C.族权政治D.官僚政治2.三省六部制在发展过程中，组织形式和权力各有演变，至隋，才整齐划一为三省六部，此制度的积极作用是A.使封建选官用人制度得以完善B.分解相权，削弱了皇帝的权威C.扩大议政范围，有利于政治民主D.有利于充分发挥国家机构效能3.《十二铜表法》第七表第9条规定，“凡在自己的土地和邻地之间筑篱笆的，不得越过自己土地的界限；筑围墙的应留空地一尺；挖沟的应留和沟深相同的空地；掘井的应留空地六尺；栽种橄榄树和无花果树的，应留空地九尺；其他树木留五尺。

”该法令说明古罗马A.利用法律调解公民之间纠纷B.通过法律维护公民私有财产C.用法律的形式维护市容市貌D.法律维护奴隶主贵族的利益4.“历史告诉我们，在所有年代，在所有形式的政府下，统治者大都是一样的，他们敢多坏就有多坏，堕落的空虚，愚昧的诅咒就像麻风病一样附着在他们身上。

”鉴于此，美国人采取的有力措施是A.实行联邦制政体B.确立分权制衡原则C.保持两党制原则D.坚持人民主权原则5.《微历史：1840～1949历史现场》中叙述了这样的场景：“有六位学士路遇义和团，因身边带有铅笔一支，洋纸一张，便被乱刀拿下。

还有一家因有一根火柴，结果一家八口全部被杀。

2013年4月大连市高三双基考试数学试卷（文科）参考公式： 圆锥体积公式：Sh V 31=（其中S 为圆锥的底面积，h 为圆锥的高） 圆台体积公式：)''(31S SS S h V ++=（其中'S S 、分别为圆台的上、下底面积，h 为圆台的高）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、集合})2(1|{第三象限在复平面上对应的点在复数i x x R x A -+-∈=，则A =A ．}21|{≤≤x x B. }12|{<>x x x 或 C.}12|{≤≥x x x 或 D.}21|{<<x x 2、在等差数列}{n a 中，已知2009,3,121===n a a a ，则n 等于A. 1003B. 1004C. 1005D.10063、函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调减区间是A. ]89,85[ππB. ]83,8[ππ-C. ]87,83[ππ D. ]85,8[ππ4、已知函数)(x f 定义域为R ，则)()(x f x f -+一定为 A ．偶函数 B. 奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数5、甲、乙两名同学数学１２次考试成绩的茎叶图如下，则下列说法正确的是Ｂ．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低 Ｃ．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高 Ｄ．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低 6、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=)0(,log )0(),6sin()(2x x x x x f ππ，则=)]21([f f A. 23 B. 23- C. 21 D. 21-7、已知等腰直角∆ABC ，o B 90=∠，2=AB ,点M 是∆ABC 内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AM AN ⋅的最大值为 A.4B.5C.6D.78、已知直线m l ,，平面βα,，且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ①若βα//，则m l ⊥ ②若m l ⊥，则βα// ③若βα⊥，则m l // ④若m l //，则βα⊥ A.②③ Ｂ．①④ Ｃ．①② Ｄ．③④ 9、下列说法错误．．的是 A.已知命题p 为“22,b a b a >>则若”，则p ⌝为“22,b a b a ≤>则若” B. 若q p ∨为假命题，则q p 、均为假命题 C. 2>x 是1>x 充分不必要条件D.“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题 10、已知抛物线)0(22>=p px y 与椭圆)0,0(12222>>=+b a by ax 有相同的焦点F ，A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，则椭圆的离心率为 A.215- B.2122- C. 13- D. 12-11、已知实数b a ,满足11,11≤≤-≤≤-b a ，则关于x 的方程0222=+-b ax x 有实数根的概率为A.41 B.21 C.32 D.4312、函数x ax axx f ++=23231)(在区间[-3，-1]上单调，则实数a 的取值范围为 A. ),31[]0,(+∞-∞ B. ),31[]41,(+∞-∞C. RD. ),31[)0,(+∞-∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题: 本大题共４小题，每小题4分，满分16分．１３、已知向量)1,2(),,1(x b x a -==的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为 .１４、已知双曲线1922=-myx的一个焦点在圆08222=--+x y x 上，则双曲线的渐近线方程为 .主视图俯视图１５、给出如图所示的程序框图，那么输出的数是.１６、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图全等，俯视图中两个同心圆的半径分别为１和２，则该几何体的体积为.三.解答题:本大题共6题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.１７、（本小题满分12分）已知四棱锥BCDEA-如图所示，，EB、DC都垂直于平面ABC，且CA=CB，EB=AB=2DC,F是AE的中点.求证：（Ⅰ） FD∥平面ABC;（Ⅱ） BF⊥平面ADE.18、（本小题满分12分）已知直线l的方程为07=--byax，其中常数}4,3,2,1{∈a，}5,4,3,2{∈b，从不同的直线l中任取一条.（Ⅰ）求所取直线的倾斜角大于4π的概率；（Ⅱ）求所取直线在x轴上的截距与在y轴上截距之差小于7的概率.第16题图第15题图19、（本小题满分12分）已知ABC ∆中，o B 60=，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、 （Ⅰ）求C A sin 2sin -的取值范围； （Ⅱ）若3-=⋅BC AB ，求b 的最小值.20、（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，6,121==a a ，且数列*)}(2{1N n a a n n ∈-+是公比为2的等比数列（Ⅰ）求证：*)}(2{N n a nn ∈是等差数列；（Ⅱ）求n S .21、（本小题满分12分）已知可行域0,20,0,y x y ≥⎧⎪-+≥⎨+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率2e =．（Ⅰ）求圆C 及椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1，A 2的动点，过点P 作圆C 的切线，交直线2=x 2于点Q ，求证：直线PF 与直线OQ 垂直(O 为原点)22、（本小题满分14分）已知函数x a xa xx f )1(2)1(3)(23-+-+=（常数R a ∈）（Ⅰ）判断函数)(x f 在定义域上的单调性；（Ⅱ）当函数)(x f 有极值且极值点都为正数时，求证：函数)(x f 所有极值之和小于316.2013年4月大连市高三双基考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题二、填空题13．),2()1,(+∞--∞ 14. x y 37±= 15.７５００ 16.π5三、解答题１７．证明：（Ⅰ）取AB 的中点M,连FM,MC, ┅┅┅┅2分 ∵ F 、M 分别是AE 、BA 的中点 ∴ FM ∥EB, FM=21EB=CD, ┅┅┅┅┅┅┅４分∵ EB 、CD 都垂直于平面ABC ∴ CD ∥BE ∴ CD ∥FM,∴四边形FMCD 是平行四边形,∴ FD ∥MC.又∵ABC FD ABC CM 面，面⊄⊂∴FD ∥平面ABC ┅┅┅┅┅┅┅６分（Ⅱ）∵M 是AB 的中点，CA=CB ，∴CM ⊥AB, ┅┅┅┅┅┅┅８分又 CM ⊥BE, ∴CM ⊥面EAB, ∴CM ⊥BF, ∴FD ⊥BF, ┅┅┅┅┅┅┅１０分 ∵F 是AE 的中点, EB=AB ∴BF ⊥EA. ∴BF ⊥平面ADE ┅┅┅┅┅┅┅１２分18解：（Ⅰ）实数对),(b a 有)5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1()5,4(),4,4(),3,4(),2,4(共16种不同的情况，有16条不同的直线．┅┅┅┅┅┅┅４分当实数对),(b a 为)3,4(),2,4(),2,3(时，直线l 的斜率1>ba ，直线倾斜角大于4π，所以直线l 倾斜角大于4π的概率为163；┅┅┅┅┅┅┅６分（Ⅱ）直线l 在x 轴上的截距与在y 轴上截距之差777<+ba ，即111<+ba ，┅┅┅┅┅┅┅８分当实数对),(b a 为2),2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(时111≥+ba，┅┅┅┅┅┅┅１０分所以直线l 在x 轴上的截距与在y 轴上截距之差小于7的概率为1611. ┅┅┅┅１２分19解：（1）)60cos(3sin 23cos 23sin 2)120sin(sin 2sin ooC C C C C C A +=-=--=-┅┅┅┅┅┅┅４分因为o o C 1200<<，所以o o o C 1806060<+<，所以23)60cos(33<+<-oC ，即C A sin 2sin -的取值范围为)23,3(- ┅┅┅┅┅┅┅６分（Ⅱ）因为321120cos -=-==⋅ac ac BC AB o，所以6=ac ┅┅┅┅┅┅┅８分6260cos 222222==-≥-+=-+=ac ac ac ac c a ac c a b o所以b 的最小值为6，当c a =即ABC ∆为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１２分20解：（Ⅰ）*)}(2{1N n a a n n ∈-+的首项为4212=-a a ，所以1112242+-+=⨯=-n n n n a a┅┅┅┅┅┅┅３分 所以*)(12211N n a a nn n n ∈=-++，所以*)}(2{N n a nn ∈是等差数列，首项为21，公差为1┅┅┅┅┅┅┅６分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得212-=n a nn ，即*)(221N n n a n n n ∈-⋅=- ┅┅┅┅┅┅┅７分令nn n n n T 22)1(232221132⨯+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=- ① 则143222)1(2322212+⨯+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②┅┅┅┅┅┅９分①-②可得2)1(2222221132--=⨯-+⋅⋅⋅+++=-++n n T n n n n 所以22)1(1+-=+n n n T ，所以32)32(1222)1(1+-=+-+-=+nn n n n n S ┅┅１２分21解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点M 为顶点的三角形，∵12A M A M ⊥，∴12A A M ∆为直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为224x y +=．∵2a =4，∴a =2．又2e =，可得2==b c ． ∴所求圆C 与椭圆C 1的方程分别是224x y +=和12422=+yx． ┅┅┅┅┅┅┅4分（Ⅱ2） F )0,2(，设000(,)(2)P x y x ≠±，,当00=x 时，Q 点为（2,22±），可得1-=⋅OQ PF K K ，∴PF ⊥OQ. 当20=x 时，)2,2(±P ，可以解得)0,22(Q ，也有PF ⊥OQ. ┅┅┅6分当00≠x 且≠0x 2时，OP 的斜率为0x y ，则切线PQ 的斜率为00y x -，则PQ 的方程为：),(0000x x y x y y --=-化简为：400=+x x y y ， ┅┅┅8分与22=x 交得Q 点坐标为)224,22(0y x - ┅┅┅10分则200-=x y K PF ，0022224y x K OQ -==⋅∴OQ PF K K 200-x y 12222400-=-⋅y x∴PF ⊥OQ.综上，直线PF 与直线OQ 垂直. ┅┅┅12分22解：（Ⅰ）a x a x x f -+-+=1)1()('2┅┅┅┅┅┅┅２分①当0)1(4)1(2<---a a ，即13<<-a ，在Ｒ上有0)('>x f ，所以)(x f 在Ｒ单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分②当0)1(4)1(2=---a a ，即13或-=a ，当1=a 时，在),0()0,(+∞-∞ 上有0)('>x f ，所以)(x f 在Ｒ单调递增；当3-=a 时，在),2()2,(+∞-∞ 上有0)('>x f ，所以)(x f 在Ｒ单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分③当0)1(4)1(2>---a a ，即13>-<a a 或0)('=x f 两个根分别为，所以在),(),,(21+∞-∞x x 上有0)('>x f ，即)(x f 在),(),,(21+∞-∞x x 单调递增；在),(21x x 上有0)('<x f ，即)(x f 在),(21x x 单调递减．┅┅┅┅┅┅┅８分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当13>-<a a 或时函数)(x f 有极值， 当1>a 时，0121<-=a x x ，所以不符合题意.当3-<a 时，01,012121>-=+>-=a x x a x x ，此时函数)(x f 的极值点都为正数 ┅┅┅┅┅┅┅１０分)(x f 有极大值)(1x f ，极小值)(2x f ，所以=+)()(21x f x f))(1(2))(1(32122213231x x a x x a x x +-++-++，又因为a x x a x x -=-=+1,12121，所以22221)1(2)]1(2)1)[(1(3)]1(3)1)[(1()()(a a a a a a a x f x f -+----+----=+=6)5()1(2+-a a ，┅┅┅┅┅┅┅１２分令6)5()1()(2+-=a a a g ，则2)3)(1()('+-=a a a g ，所以3-<a 时6)5()1()(2+-=a a a g 单调递增，所以316)3(6)5()1(2=-<+-g a a ，即)(x f 极值之和小于316. ┅┅┅┅┅┅┅１４分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013辽宁，理1)复数1i 1z =-的模为( )．A ．12B C D ．2答案：B 解析：∵1i 111i i 1(i 1)(i 1)22z --===------，∴|z |2=，故选B.2．(2013辽宁，理2)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )．A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 答案：D解析：0＜log 4x ＜1⇔log 41＜log 4x ＜log 44⇔1＜x ＜4，即A ＝{x |1＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．故选D.3．(2013辽宁，理3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )．A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A解析：与AB 同方向的单位向量为ABAB＝34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A.4．(2013辽宁，理4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 答案：D解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则n a n＝1，故p 3是假命题．故选D.5．(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )．A ．45B ．50C ．55D ．60 答案：B解析：由频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B. 6．(2013辽宁，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )．A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：A解析：根据正弦定理：a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， 即sin(A ＋C )＝12. 又a ＞b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A. 7．(2013辽宁，理7)使3nx⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：3nx⎛ ⎝展开式中的第r ＋1项为C r n (3x )n －r 32r x -＝52C 3n r r n r n x --，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使52n r -＝0，故最小的n 值为5，故选B.8．(2013辽宁，理8)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )．A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255答案：A解析：当n ＝10时，由程序运行得到222221111121416181101S =++++----- 11111133********=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111213355779911⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪⎝⎭ 110521111=⨯=.故选A. 9．(2013辽宁，理9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．A ．b ＝a 3B ．31b a a=+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--=答案：C解析：若B 为直角，则0OB AB ⋅=， 即a 2＋a 3(a 3－b )＝0，又a ≠0，故31b a a=+； 若A 为直角，则0OA AB ⋅=，即b (a 3－b )＝0，得b ＝a 3；若O 为直角，则不可能．故b －a 3＝0或b －a 3－1a＝0，故选C.10．(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．A B ． C ．132D ．答案：C解析：过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D ，同理过C 1作A 1B 1的平行线，过B 1作A 1C 1的平行线，交点为D 1，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r＝1322=.故选C. 11．(2013辽宁，理11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )．A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16 答案：B解析：∵f (x )－g (x )＝2x 2－4ax ＋2a 2－8 ＝2[x －(a －2)][x －(a ＋2)]，∴()1(),(,2],(),(2,2],(),(2,],f x x a H x g x x a a f x x a ∈-∞-⎧⎪∈-+⎨⎪∈++∞⎩＝()2(),(,2],(),(2,2],(),(2,],g x x a H x f x x a a g x x a ∈-∞-⎧⎪∈-+⎨⎪∈++∞⎩＝可求得H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝－4a ＋12， ∴A －B ＝－16.故选B.12．(2013辽宁，理12)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝2e 8，则x ＞0时，f (x )( )． A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 答案：D解析：令F (x )＝x 2f (x )， 则F ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx， F (2)＝4·f (2)＝2e 2.由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝ex x，得x 2f ′(x )＝e x x －2xf (x )＝2e 2x x f x x -()，∴f ′(x )＝3e 2x F x x -().令φ(x )＝e x －2F (x )，则φ′(x )＝e x －2F ′(x )＝2e e (2)e x x xx x x--=. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0. ∴φ(x )≥0.又x ＞0，∴f ′(x )≥0.∴f (x )在(0，＋∞)单调递增．∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．答案：16π－16解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.14．(2013辽宁，理14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝__________.答案：63解析：因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列， 所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝611212⋅(-)-＝63.15．(2013辽宁，理15)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.答案：57解析：如图所示．根据余弦定理|AF |2＝|BF |2＋|AB |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，即|BF |2－16|BF |＋64＝0，得|BF |＝8. 又|OF |2＝|BF |2＋|OB |2－2|OB |·|BF |cos ∠ABF ，得|OF |＝5. 根据椭圆的对称性|AF |＋|BF |＝2a ＝14，得a ＝7. 又|OF |＝c ＝5，故离心率e ＝57. 16．(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．答案：10解析：设5个班级的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则1234575x x x x x ++++=，2222212345777775x x x x x (-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a ＝ x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a |2＝)2x ＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以π6x =.(2)f (x )＝a ·b x ·cos x ＋sin 2x112cos 222x x =-+ π1sin 262x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当ππ0,32x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18．(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角CPBA 的余弦值． (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC . 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (，0,0)，P (0,1,1)． 故CB ＝0,0)，CP ＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x ，y，z )，则110,0,CB CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以0,0,y z =+=⎪⎩不妨令y ＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP ＝(0,0,1)，AB ＝1,0)． 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则220,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0,z y =⎧⎪-=不妨令x ＝1，则n 2＝(1，0)，于是cos 〈n 1，n 24=. 所以由题意可知二面角CPBA解法二：过C 作CM ⊥AB 于M ， 因为P A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥CM ，故CM ⊥平面P AB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ， 由三垂线定理得CN ⊥PB .所以∠CNM 为二面角CPBA 的平面角．在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC，CMBM ＝32， 在Rt △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以31MN=MN＝10.又在Rt △CNM 中，CN＝5，故cos ∠CNM＝4.所以二面角CPBA的余弦值为419．(2013辽宁，理19)(本小题满分12分)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝36310C 1C 6=，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝02023214C 555125⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； P (X ＝1)＝022102232132428C +C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P (X ＝2)＝2011212232132457C +C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P (X ＝3)＝202232436C 555125⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×125＋2×125＋3×125＝2.20．(2013辽宁，理20)(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1时，切线MA 的斜率为12-.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为'=2x y ，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++.因为点M (1y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是011(224y =--+=20(1322y p p-=-=-.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A 211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝122x x x +=，③ 22128x x y +=.④切线MA ，MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为1202x x x +=，1204x xy =. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即20x ＝－4y 0，所以2212126x x x x +=-.⑦由③④⑦得243x y =，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =. 因此AB 中点N 的轨迹方程为243x y =. 21．(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x，g (x )＝ax ＋32x ＋1＋2x cos x ．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11x+； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明：要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ， 则h ′(x )＝x (e x －e －x )， 当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0， 因此h (x )在[0,1]上是增函数， 故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11x+， 只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )＞0，因此K (x )在[0,1]上是增函数， 故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11x+，x ∈[0,1]． 综上，1－x ≤f (x )≤11x+，x ∈[0,1]．(2)解法一：f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －312cos 2xax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥1－x －ax －1－32x －2x cos x＝－x (a ＋1＋22x ＋2cos x )． 设G (x )＝22x ＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x . 记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )＜0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )＜G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤3112cos 12x ax x x x ----+ ＝32cos 12x x ax x x x ----+ ＝212cos 12x x a x x ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭， 记I (x )＝2112cos ()121x a x a G x x x+++=++++， 则I ′(x )＝21'()(1)G x x -++， 当x ∈(0,1)时，I ′(x )＜0，故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)＞0，此时f (x 0)＜g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．解法二：先证当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 记F (x )＝cos x －1＋12x 2， 则F ′(x )＝－sin x ＋x .记G (x )＝－sin x ＋x ，则G ′(x )＝－cos x ＋1，当x ∈(0,1)时，G ′(x )＞0，于是G (x )在[0,1]上是增函数，因此当x ∈(0,1)时，G (x )＞G (0)＝0，从而F (x )在[0,1]上是增函数．因此F (x )≥F (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x . 同理可证，当x ∈[0,1]时，cos x ≤1－14x 2. 综上，当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 因为当x ∈[0,1]时，f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －312cos 2x ax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ＝－(a ＋3)x .所以当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．因为f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －312cos 2x ax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≤3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭＝23(3)12x x a x x +-++ ≤32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 所以存在x 0∈(0,1)(例如x 0取33a +和12中的较小值)满足f (x 0)＜g (x 0)． 即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

大连市2013年高三双基测试卷数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式334R V π=．其中R 为球半径．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221niii ni i x yn x ybx n x==-=-∑∑， ay b x =- ．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数i z +=1的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．已知集合{}{}0)3lg(|,034|2>-=<+-=x x N x x x M ，则M N = A ．}31|{<<x x B ．}21|{<<x xC ．φD ．}32|{<<x x3．函数2)cos (sin )(x x x f += 的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．抛物线212x y =的焦点F 到准线l 的距离是A ．2B ．1C ．21 D ．415．执行如图所示的程序框图，如果6=n ，则输出的s 的值是 A ．76 B ．87 C ．65D ．546．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，682=+a a ，则=9SA ．227 B ．27 C ．54 D ．1087．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为A ．1B ．12C ．13D ．148．下列函数中，与函数3xy =-的奇偶性相同且在)0,(-∞上单调性也相同的是A ．1y x=-B ．2log y x =C ．21y x =-D ．31y x =-9．下列说法中，正确的是 A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．已知∈x R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件D ．命题“∈∃x R ，02>-x x ”的否定是：“∈∀x R ，02≤-x x ”第5题图为 A ．3B ．533C ．2D ．2311．已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果函数)()()(m x x f x g +-=有两个零点，则实数m 的值为A ．k 2（∈k Z ）B ．k 2或412+k （∈k Z ）C ．0D ．k 2或412-k （∈k Z ）12．SC 为球O 的直径，B A ,是该球球面上的两点，4,2π=∠=∠=BSC ASC AB ，若棱锥SBCA -的体积为则球O 体积为A ．43π B ．323πC ．π27D ．π34第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ）：主视图左视图俯视图则该几何体的表面积为 cm 2．14．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为a x y +=8.3ˆ，则a 的值为___ ___．15．数列{}n a 满足：33)1()12(531321+⋅-=⋅-+⋅⋅⋅++++n n n a n a a a ，则数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知点A 0，B （0），且动点P 满足2PA PB -=，则动点P的轨迹与直线)2(-=x k y 有两个交点的充要条件为∈k ．三．解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，向量m )sin ,sin (sin C B A -=, 向量n )sin sin ,sin sin 2(B A C A +-=,m//n （Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若53sin =A ，求C cos 的值．18．（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的频率分布直方图如下：15071501/cm组距频率组距频率 0.01第18题图已知样本中身高在[150,155）cm 的女生有1人．（Ⅰ）求出样本中该校男生的人数和女生的人数； （Ⅱ）估计该校学生身高在170～190cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在185～190cm 之间的男生和样本中身高在170～180cm 之间的女生中随机抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X ．求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为梯形，60D A B ∠=︒，A B ∥C D ， 22A D C D A B ===，P D ⊥底面A B C D ，M 为P C 的中点． （Ⅰ）证明：BD PC ⊥；（Ⅱ）若12P D A D =，求二面角D BM P --的余弦值．20．（本小题满分12分）设A ,B 分别是直线x y 22=和x y 22-=上的动点，且2=AB ，设O 为坐标原点，动点P 满足OB OA OP +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点)0,3(做两条互相垂直的直线21,l l ，直线21,l l 与点P 的轨迹相交弦分别为CD 、EF ,设CD 、EF 的弦中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过一个定点．21．（本小题满分12分）函数2ln )(ax x x f -=（∈a R ）． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当1时，证明：存在，使；ABCDP M第19题图（Ⅲ）当41=a 时，证明：43142)(4-+≤x x f ．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ， 连结EC 、CD ．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知射线:l 4πθ=与曲线:C ⎩⎨⎧-=+=,)1(,12t y t x （t 为参数）,相交于B A ,两点． （Ⅰ）写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）求线段AB 的中点极坐标．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲OABCDE第22题图已知实数t ，若存在]3,21[∈t 使得不等式21521-+-≥---x x t t成立，求实数x 的取值范围．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。