高中人教A版数学必修4：第3课时 任意角三角函数的定义 Word版含解析

1·2 任意的三角函数1·2·1 任意角的三角函数1. 任意角三角函数的定义（1） 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ） 则P 与原点的距离①把比值叫做的正弦 记作：②把比值叫做的余弦 记作：③把比值叫做的正切 记作：上述三个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan 无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：R R2. 三角函数的符号αα02222>+=+=y x y x rr yαr y =αsin r xαr x =αcos x yαx y =αtan ααZ)(2∈+=k k ππααr y=αsin r x=αcos x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：1．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的六个三角函数值。

【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2xa y a ==当0sin y a r α>====时，Z ∈k ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+ksin 1y yy MPr α====cos 1x xx OM r α====tan y MP ATAT x OM OAα====cosx r α===；1tan 2;cot ;sec 22αααα====；当0sin5y a r α<====-时，cos5x r α===-；1tan 2;cot ;sec 2αααα====2． 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。

第1课时 三角函数的相关概念 要点·疑点·考点 课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.角的概念的推广 所 有 与 α 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 S={β|β＝α+k· 360°， k∈Z} 2.弧度制 任一个已知角α的弧度数的绝对值|α|＝l/r ( l是弧长，r是 半 径 ) ， 1 ° ＝ π/180 弧 度 ， 1 rad=(180/π)°≈57.30°＝ 57°18′ 弧长公式l=|α|r，扇形面积公式S＝1/2lr 3.任意角三角函数的定义 设α是一任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，P与原点 距离是r，则sinα=y/r，cosα=x/r ， tanα=y/x， cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.
能力·思维·方法
1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个 象限的角? 【解法回顾】 各个象限的半角范围可以用下图记忆，图 中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、
三、四象限角的半角范围；再根据限
制条件nα=m (|m|≤1) ，求tanα.
【解题回顾】此类例题的结果可分为以下三种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解. (2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两 解. (3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论 .α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那 个三角函数值符号，一般有四解.
2 4 x ，求sinα和tanα.
5 )，
【解题回顾】容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P 点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地， 在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终 结果作一个合理性的预测

cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函 数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故 只有②正确．
2 2 若角α的终边与单位圆相交于点( 2 ，－ 2 )，则sinα的值 为( ) 2 A. 2 1 C.2
[答案] B
2 B．－ 2 D．－1
[解析]
2 2 2 x＝ 2 ，y＝－ 2 ，则sinα＝y＝－ 2 .
1.利用定义求任意角的三角函数值 已知角的终边落在直线 y＝2x 上， sinα， 求 cosα， tanα 的值．
[分析]
注意终边落在直线y＝2x上的角有两类，分两种
情况进行讨论．
[解析]
பைடு நூலகம்
当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点
2 2
2 2 5 P(1,2)，由r＝|OP|＝ 1 ＋2 ＝ 5，得sinα＝ ＝ 5 ，cosα＝ 5 1 5 2 ＝ ，tanα＝1＝2. 5 5 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－ 2)， 由r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，得： －2 －1 －2 2 5 5 sinα＝ ＝－ ，cosα＝ ＝－ ，tanα＝ ＝2. 5 5 －1 5 5
定义
y x
y x (x≠0)
记法 sinα cosα
形式 sinα＝y cosα＝x y tanα＝x(x≠0)
正切
tanα
π (4)定义：当a＝ 2＋kπ (k∈Z)时，tanα无意义．除此之外，
对于每一个确定的α，都分别有 唯一 确定的正弦值、余弦值、 正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 自变量 ， 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫 做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为 三角

三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

第一章三角函数三角函数
．任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义及其应用(一)
．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．
．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．
一、任意角的三角函数
．单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点(，)，则＝＝.那么：
()叫做α的正弦，记作α，即＝α；
()叫做α的余弦，记作α，即＝α；
()叫做α的正切，记作α，即＝α(≠)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数．
练习：已知角的终边与单位圆的交点为，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由三角函数定义知，
α＝＝，α＝＝－，α＝＝－.
．三角函数的值与点在终边上的位置有关系吗？
解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点的位置无关．对于α角的终边上任意一点，设其坐标为(，)，点到原点的距离＝>.
()比值叫做α的正弦，记作α，即α＝；()比值叫做α的余弦，记作α，即α＝；
()比值叫做α的正切，记作α，即α＝.点在单位圆上是一种特殊情形．。

4．例题分析： 例 1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
5
2
（ 1） ； （ 2） ； （ 3）
；
3
6
3
13
（4）
．
6
解：图略。
例 2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 sin 2 与 sin 4
2
4
2
4
2
tan 与 tan
3 cot 与 cot
3
5
3
5
3
5
解： 如图可知：
2
4
sin
m ，解得 m 0 或 16 6 2m2 m
5．
4
r
3 m2
当 m 0 时， r 3, x
3，
x
y
cos
1,tan
0；
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x
3，
cos 当m
x
6 , tan y
r
4
Байду номын сангаас
x
5 时， r 2 2, x
15
；
3 3，
x cos
r
6
y
, tan
4
x
2．三角函数的符号：
练习 2：已知 sin 0 且 tan
P ( x, y) ，
过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角
延
的终边或其反向
长线交与点 T . y
y
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ）
y T
（Ⅰ）
y
M
A
o
x

第3课时 任意角三角函数的定义课时目标1.理解任意角三角函数的定义，熟记各象限三角函数符号，(正弦、余弦、正切)． 2．能用三角函数定义进行计算 3．掌握公式一，并能进行有关计算．识记强化1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P三角函数 定义 定义域 值域sin α yrR [－1,1] cos α xrR [－1,1] tan α y x {α|α≠k π＋π2，k ∈Z }R 2.三角函数值在各个象限的符号三角函数角α所在的象限sin α cos α tan α第一象限 正 正 正 第二象限 正 负 负 第三象限 负 负 正 第四象限 负 正 负3.sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )．课时作业一、选择题1．已知点P (4，－3)是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )A ．tan α＝－43B ．tan α＝－34C ．sin α＝－45D ．cos α＝35答案：B解析：由三角函数的定义，知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.2．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32 D ．－33 答案：C 解析：由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于( ) A.25 B ．－25 C.15 D ．－15 答案：A解析：∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25，选A.4．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. 5．cos480°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32 答案：A解析：480°＝360°＋120°，所以cos480°＝cos120°＝－12.6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B.1－32C.3－12D.3＋12答案：C解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12. 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________. 答案：0解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0.8．若点P (2m ，－3m )(m ＜0)在角α的终边上， 则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：31313 －21313 －32解析：因为点P (2m ，－3m )(m ＜0)在第二象限，且r ＝－13m ，所以，sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313，cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313，tan α＝－3m 2m ＝－32.9．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2.k ∈Z . 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0.∴角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 三、解答题10．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5|a |＝5a ，此时角α是第二象限角，∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝5|a |＝－5a ，此时角α是第四象限角，∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35，cos α＝xr＝－4a －5a ＝45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.综上可得，当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 11．求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)因为cos 25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32，cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝32，sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝12，cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝12.所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.能力提升12．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 答案：C解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0.∴|sinα|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝1＋1＝2.13．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．解：依题意，点P 到原点O 的距离为|OP |＝r＝(－3)2＋y 2＝3＋y 2，∴y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴y 2＝73，y ＝±213.∴r ＝4 33.∴P 在第二或第三象限．当点P 在第二象限时，y ＝213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝－73；当点P 在第三象限时，y ＝－213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝73.。

tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?

y
P2 P
xf ( )21 2 cos
1
OM
x
x P1 1 2
[ 3 2k , 3 2k ] (k Z)
小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变 化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别 是原点O和点A（1，0）.
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
知识探究（二）：正切线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用哪条有向线段表示 角α的x正切值最合适？
yT P
tan y AT
x
O MA x
思考2：若角α为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α x 的正切值最合适？
的正切值最合适？
y
T
tan y AT
x
AM O Ax
P
T
思考5：根据上述分析，你能描述正切线
的几何特征吗？
yT P
y P
O
Ax
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα.
思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角 α的正切线的含义如何？ y
P
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。

第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.

知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。

2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。

3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。

【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。

概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】

2
2
2 tan 1 tan
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别
cos
2

1 cos 2 2
sin
2
1 cos 2 2
三、三角函数的图象和性质
1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y
y=cosx
y
1

2
图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性 质 单调性
⑵
sin cos
sin cos 1

sin cos sin cos
2 2


tan tan 1
2

2 2 1
2

2 5
应用：关于 sin 与 cos 的齐次式
例3：已知 解: sin(
sin(

4
)
3 5
, cos(

y sin( x )
y A sin( x )
1
第二种变换：
横坐标不变
横坐标伸长(0 1 )或缩短( 1 )到原来的 倍 y sin x y sin x 纵坐标不变 图象向左( 0 ) 或
向右( 0 ) 平移
| |

个单位
[k
3 8
, k

8
]( k Z )
2

4 )
⑶ 当2x ⑷y


4
2 k

2
,即 x k


8
( k Z )时 , y 最大值 2
y 2 sin( 2 x