专题1.1.1 任意角-学易试题君之课时同步君高一数学人教版(必修4)(解析版)

．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。

第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图1-1-1，图1-1-1(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112×360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P3“图1.1-3至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.()(3)终边相同的角的表示不唯一.()【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D(2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x 轴对称的两个角α，β之和为k ·360°(k ∈Z ). 其中正确说法的序号是________.【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立； ②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k ·360°(k ∈Z ).③正确.因为终边关于x 轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k ·360°(k ∈Z ).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图1-1-2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1-1-2【精彩点拨】找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ·360°k ∈Z 适合题意的角的集合【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4×360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为： A ＝{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k <Z }. 阴影在x 轴下方部分的角的集合为： B ＝{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ·360°＋180°＋60°≤β<k ·360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)×180°＋60°≤β<(2m ＋1)×180°＋105°，m ∈Z }. 集合A 可以化为{β|2m ×180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }. 故A ∪B 可化为{β|n ·180°＋60°≤β<n ·180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限. (2)第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限. 2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1-1-3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图1-1-3【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题 探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， 30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°(k ∈Z ).故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置.【自主解答】 ∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角. 同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或αn 的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z ， ∴－k ·360°<－α<－k ·360°＋90°，则－k ·360°＋180°<180°－α<－k ·360°＋90°＋180°，k ∈Z ， 当k ＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角. 【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( )A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z).【答案】k·360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°. 【导学号：00680001】【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.。

高中数学 1.1.1任意角课时跟踪检测新人教A版必修41．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°解析：与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.答案：A2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：特值法，取α＝30°，可知C正确．答案：C3．角α的终边经过点C(－1,0)，则α是( )A．第二象限角B．第三象限角C．终边落在x轴非正半轴上的角D．既是第二象限角又是第三象限角解析：点C(－1,0)在x轴的非正半轴上，故选C.答案：C4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第________象限角．解析：当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．答案：一或三5．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：___________________________________________________________；(2)关于x轴对称：____________________________________________________.解析：据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．答案：α＝k·360°＋β(k∈Z) α＝k·360°－β(k∈Z)6．已知角x的终边落在图示阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k ＋1)·180°＋30°≤x ≤(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z } ＝{x |k ·180°＋30°≤x ≤k ·180°＋60°，k ∈Z }．7．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k ·360°，∵－360°＜α＜0°，∴－16136<k <－12536.∵k ∈Z ，∴k ＝－4.∴α＝－190°. 答案：C8．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第一或第四象限角解析：∵角2α的终边在x 轴上方，∴k ·360°<2α<k ·360°＋180°，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )．当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限．答案：C9．若将时钟拨快了10分钟，则分针转过了______度．解析：将时钟拨快10分钟，分针按顺时针方向转动，故为负角．分针转过的角度数是：－360°6＝－60°.答案：－6010．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α. 解：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为 {β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同，∴10α＝α＋k·360°，α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，∴α＝40°或80°.11．已知集合A＝{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，求A∩B.解：如图所示，集合A中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B中角的终边是－45°至45°角的终边，∴A∩B的角的终边是30°至45°角的终边．∴A∩B＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋45°，k∈Z}．12．已知角α是第二象限角，求：(1)角α2是第几象限的角；(2)角2α终边的位置．解：(1)∵k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z.当k为偶数时，α2在第一象限，当k为奇数时，α2在第三象限，即α2为第一或第三象限角．(2)∵2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，∴2α的终边在x轴的下方．本课时是在初中学习角的概念的基础上，拓展角的范围，即任意实数大小的角．利用数形结合法理解各个概念是学习本节的关键．1．任意角包括正角、负角和零角，区分它们的关键是看角的终边按逆时针还是顺时针方向旋转．2．象限角和轴线角对于象限角的理解，要注意角的顶点必须为坐标原点，同时角的始边要与x 轴的非负半轴重合，否则不能判断角是哪一个象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这样的角为轴线角．3．终边相同的角终边相同的角是本课时的重点和难点，在理解时应注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(3)为了使用方便，经常使角α在0°～360°之间，因此求终边相同的角时，可用此角减去360°的整数倍，使差在0°～360°之间．。

第一章三角函数1.1.1 任意角一、选择题1．下列角中，终边与123°相同的角是A．237°B．–123°C．483°D．–483°【答案】C【解析】终边与123°相同的角的集合为{α|α=123°+k•360°，k∈Z}．取k=1，得α=483°．故选C．2．已知α为钝角，则下列各角中为第三象限角的是A．90°–αB．α+180°C．360°–αD．270°–α【答案】C【解析】α为钝角，则90°<α<180°，∴–90°<90°–α<0°，为第四象限角；270°<α+180°<360°，为第四象限角；180°<360°–α<270°，为第三象限角；90°<270°–α<180°，为第二象限角．故选C．3．–1060°的终边落在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为–1060°=–3×360°+20°，而20°的终边落在第一象限，所以–1060°的终边落在第一象限．故选A．4．在0到2π范围内，与角4π3-终边相同的角是A．π6B．π3C．2π3D．4π3【答案】C【解析】与角4π3-终边相同的角是2kπ+（4π3-），k∈Z．令k=1，可得与角4π3-终边相同的角是2π3，故选C．5．角α的终边经过点（–3，0），则角α是A．第二象限角B．第三象限角C．第二或第三象限角D．不是象限角【答案】D【解析】∵点（–3，0）在x 轴的非正半轴上，∴角α的终边与x 轴的非正半轴重合，故角α不是象限角．故选D ．6．经过2小时，钟表上的时针旋转了A ．60°B ．–60°C ．30°D ．–30°【答案】B【解析】钟表上的时针旋转一周是–360°，其中每小时旋转–36012︒=–30°，所以经过2小时应旋转–60°．故选B ． 7．2018°的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵2018°=360°×5+218°，∴218°与2018°是终边相同的角，∵218°在第三象限，∴2018°在第三象限．故选C ．8．已知θ为第二象限角，那么3θ是 A ．第一或第二象限角 B ．第一或四象限角 C ．第二或四象限角D ．第一、二或第四象限角【答案】D9．在①160°；②480°；③–960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【答案】C【解析】第二象限角的取值范围是：（90°+k •360°，180°+k •360°），k ∈Z ，把相应的k 带入进行分析可知：①属于第二象限角；②属于第二象限角；③属于第二象限角；④不属于第二象限角．故选C ． 10．下列说法中正确的是A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角．则2α是第二象限的角C．–240°角与480°角都是第三象限的角D．60°角与–420°角的终边关于x轴对称【答案】D【解析】A，420°=360°+60°，∴420°与60°角的终边相同，A不正确；B，若α是锐角，则0°<α<90°，0°<2α<180°．则2α不一定是第二象限的角，B不正确；C，480°=360°+120°，∴480°与120°角的终边相同，是第二象限的角，C不正确；D，–420°=–360°–60°，∴–420°与–60°角的终边相同，∴60°角与–420°角的终边关于x轴对称，D正确．故选D．11．如果角α与x+45°具有相同的终边，角β与x–45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是A．α–β=90°B．α+β=0°C．α–β=90°+k•360°，k∈Z D．α–β=k•360°，k∈Z【答案】C【解析】α=x+45°+m•360°，β=x–45°+n•360°，m，n∈Z，所以α–β=90°+k•360°，k∈Z，故选C．12．有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是A．90°B．180°C．270°D．90°，180°或270°【答案】D【解析】设这个角为α，则5α=k•360°+α，k∈Z，解得α=k•90°，又∵0°<α<360°，∴α=90°，180°或270°．故选D．13．已知α锐角，那么2α是A．小于180°的正角B．第一象限角C．第二象限角D．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，其中的90°既不是第一象限的角，也不是第二象限的角，故选A．14．若角α满足α=45°+k•180°，k∈Z，则角α的终边落在A．第一或第二象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【答案】B【解析】α=45°+k•180°，k∈Z；当k为偶数时，α为第一象限角，特别地，如当k=0时，α=45°；当k 为奇数时，α为第三象限角，特别地，如当k=1时，α=225°．∴角α的终边落在第一或第三象限．故选B．15．下列命题中正确的是A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β=α+k•360°（k∈Z），则α与β终边相同【答案】D16．下列说法正确的是A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若角α，β满足β=α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同【答案】D【解析】对于A，三角形的内角可以为90°，是终边在坐标轴上的角，故A错误；对于B，390°是第一象限角，不是锐角，故B错误；对于C，30°与390°不相等，但终边相同，故C错误；对于D，若角α，β满足β=α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同，正确．故选D．17．集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是A．B．C．D．【答案】C【解析】当k 取偶数时，比如k =0时，+π4≤α≤+π2，角的终边在第一象限．当k 取奇数时，比如k =1时，+5π4≤α≤+3π2，角的终边在第三象限．综上，角的终边在第一、或第三象限，故选C ． 二、填空题 18．与π12终边相同的角的集合是____________． 【答案】{β|β=π12+2k π,k ∈Z } 【解析】所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }．19．在0°～180°范围内，与–950°终边相同的角是___________．【答案】130°【解析】∵–950°=–1080°+130°=–3×360°+130°．∴在0°～180°范围内，与–1050°的角终边相同的角是130°．故答案为：130°． 20．若α是第二象限角，则2α是第___________象限角． 【答案】一或三【解析】∵α是第二象限角，90°+k •360°<α<180°+k •360°（k ∈Z ），∴45°+k •360°<2α<90°+k •360°（k ∈Z ），则2α是第一或三象限角．故答案为：一或三． 三、解答题21．写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式–360°≤β<720°的元素β写出来：（1）60°； （2）–21°．【解析】（1）60°，终边所在的集合S ={α|α=k 360°+60°，k ∈Z }． 当k =–1时，α=–300°；k =0时，α=60°；k =1时，α=420°； ∴S 中适合不等式–360°≤θ<360°的元素有：–300°，60°，420°； （2）–21°，终边所在的集合S ={α|α=k 360°–21°，k ∈Z }． 当k =0时，α=–21°；k =1时，α=339°；k =2时，α=699°． ∴S 中适合不等式–360°≤θ<360°的元素有：–21°，339°，699°． 22．已知α=–1090°．（1）把α写成β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角（2）写出与α终边相同的角θ构成的集合S，并把S中适合不等式–360°≤θ<360°的元素θ写出来．23．在–360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．（1）790°（2）–20°．【解析】（1）790°=2×360°+70°，在–360°～360°之间与它终边相同的角是70°和–290°，是第一象限角；（2）–20°=360°–20°=340°，在–360°～360°之间与它终边相同的角是–20°和340°，是第四象限角．24．已知角α=390°（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在–360°～720°范围内，写出与α终边相同的角．【解析】（1）∵390°=360°+30°，30°是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{β|β=k•360°+30°，k∈Z}；（3）∵β=k•360°+30°，∴当k=–1时，β=–330°，当k=0时，β=30°，当k=1时，β=390°，∴在–360°～720°范围内，与α终边相同的角是–330°，30°，390°．25．已知角β的终边在直线y=–x上．（1）写出角β的集合S；（2）写出S中适合不等式–360°<β<360°的元素．【解析】（1）直线y=–x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y=–x上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y=–x上的角的集合S={β|β=135°+k•360°，k∈Z}∪{β|β=315°+k•360°，k∈Z} ={β|β=135°+2k•180°，k∈Z}∪{β|β=135°+（2k+1）•180°，k∈Z}={β|β=135°+n•180°，n∈Z}．。

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1—1-1任意角一、选择题1．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于（）A．60° B．90°C．120° D．－30°[答案]A2．（2011～2012·北京通州高一期末)下列各角中,与60°角终边相同的角是( ）A．－300° B．－60°C．600° D．1380°［答案]A[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°,k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.3．给出下列四个命题，其中正确的命题有（）①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案］D[解析］由终边相同角的概念知:①②③④都正确，故选D.4．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)（)A．k·360°＋220° B．k·360°＋240°C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°[答案]B[解析］与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝（n＋1）·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1.1任意角1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2．－1120°角所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4．终边在第二象限的角的集合可以表示为（ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝5．下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角8．若α是第四象限的角，则α-180是 ．(89上海) 9．写出—720°到720°之间与—1068°终边相同的角的集合___________________．10．与1991°终边相同的最小正角是________, 绝对值最小的角是_______________．11．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．12．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．13．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'-．。

1.1.1任意角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．下列说法中，正确的是A.第二象限角为钝角B.第三象限角必大于第二象限角C.是第二象限角D.−95020′,984040′,264040′是终边相同的角2．若角2α与240°角的终边相同,则α=( )A.120°+k·360°,k∈ZB.120°+k·180°,k∈ZC.240°+k·360°,k∈ZD.240°+k·180°,k∈Z3．如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是信达信达A .{α|-45°≤α≤120°}B .{α|120°≤α≤315°}C .{α|k ·360°-45°≤α≤k ·360°+120°,k ∈Z }D .{α|k ·360°+120°≤α≤k ·360°+315°,k ∈Z }4．集合A ={α|α=k ⋅360∘+120∘,k ∈Z}中属于区间(−360°，360°)的角是____.5．如图所示，终边落在直线y =√3x 上的角的集合为______．6．在角的集合{α|α=45°+k ⋅90°，k ∈Z}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)在−360°∼360°范围内的角有几个？7．(1)已知角α =45°，在区间[―720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β.(2)集合M ={x|x =k 2×180°+45°,k ∈Z}，N ={x|x =k4×180°+45°,k ∈Z}，那么两集合的关系是什么？8．已知−900<α<900,−900<β<900,求α−β2的范围. 能力提升1．已知角α是第二象限角,试确定角2α,α2是第几象限角..2．写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合信达信达1.1.1任意角【基础过关】1．D；【解析】本题考查象限角的判定.对A，第二象限也有负角；对B；第三象限角可能为负，第二象限取正；对C，为第三象限，故错误，选D.【备注】无2．B【解析】角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k ∈Z.选B.【备注】无3．C【解析】由图可知,终边落在阴影部分的角的取值范围为k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k ∈Z,故选C.【备注】该题易出现的问题是忽略角的方向,不能准确表示两个边界角.4．−240°，120°【解析】无【备注】无5．{α|α=60°+n⋅180°，n∈Z}【解析】本题主要考查角的概念.终边落在射线y=√3x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k⋅360°，k∈Z}，终边落在射线y=√3x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k⋅360°，k∈Z}，于是终边落在直线y=√3x上的角的集合是S={α|α=60°+k⋅360°，k∈Z}∪{α|α=240°+k⋅360°，k∈Z}={α|α=60°+2k⋅180°，k∈Z}∪{α|α= 60°+(2k+1)⋅180°，k∈Z}={α|α=60°+n⋅180°，n∈Z}．【备注】无6．解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种．(2)由−360°<45°+k⋅90°<360°，得−92<k<72．又k∈Z，故k=−4，−3，−2，−1，0，1，2，3．信达信达∴给定的集合中在−360°∼360°范围内的角共有8个．【解析】本题主要考查角的概念。

1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
一览众山小
诱学导入
材料：在实际生活中，许多地方都会涉及到角的概念，如自行车轮子、螺丝扳手、曲轴连杆等，在按不同方向旋转时都形成了不同的角，挂在墙上的钟表、戴在手脖的手表，更是为我们展示了角的形象.
问题：如果你的手表慢了5分钟，你将怎样将它校准？假如你的手表快了1.25小时，你又应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
导入：在生活中，由于钟表的时针与分针都是按顺时针方向旋转的，所以它们转动的角度都是一个负数，这样经过1小时后分针转动了一周为360°，时针转动了360°÷12=30°.
因此你的手表慢了5分钟，只需把分针按顺时针方向旋转30°即可.由于旋转是相对的，比如说手表快了1.25小时，只需把分针按逆时针方向旋转1.25×360°=450°；也可理解为手表慢了10.75小时，只需把分针按顺时针方向转10.75×360°=3 870°就可以把它校准.当然还可旋转更大的角度.
要准确地刻画角，必须既知道旋转量，又要知道旋转方向.这就需要对角的概念进行推广.
温故知新
1.初中数学中,角的定义有哪两种?
答:①从一点出发的两条射线所构成的图形；②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所构成的图形.
2.初中数学中,如何理解角的旋转?
答:射线旋转时所经过的平面部分为角的内部，此时不考虑射线旋转的方向，即不论按逆时针方向还是顺时针方向旋转，旋转的绝对量是一样的，而且旋转的绝对量不超过一个周角(0°到360°).。