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任意角、弧度1．1.1任意角预习课本P5～7，思考并完成下列问题1．在初中，角是怎样定义的？2．如果角按旋转的方向来进行分类，可分为哪三类？3．如果把角放入平面直角坐标系中，象限角和轴线角的规定是怎样的？4．如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：射线没有作任何旋转所形成的角．[点睛]对角的理解关键是抓住旋转二字(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转量的大小；(3)要明确旋转的开始位置．2．象限角、轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．[点睛](1)角的顶点要与坐标原点重合；(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.3．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．[点睛]终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．[小试身手]1．下列命题正确的是____________(填序号)．①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．★答案★：④2．－1 120°角所在象限是____________．★答案★：第四象限3．与405°角终边相同的角的集合是____________．★答案★：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．★答案★：－160°，200°角的概念辨析[典例]有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；③第一象限角都是锐角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确说法的序号是________．[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②∵α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}，故②正确；③第一象限角不一定都是锐角，如380°是第一象限角，但它不是锐角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[★答案★]②有关角的概念辨析的解题策略(1)正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)可通过举出反例来进行判断．下列命题是真命题的序号是________．①三角形的内角必是一、二象限内的角；②第二象限角是钝角； ③不相等的角终边一定不同；④{α|α＝k ·360°±90°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}． 解析：①90°不是象限角；②如－240°是第二象限角，但不是钝角； ③如0°和360°不相等，但终边相同；④k ·360°±90°＝2k ·180°±90°＝2k ·180°＋90°或(2k －1)·180°＋90°，k ∈Z. ★答案★：④象限角及终边相同的角[典例] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)904°18′.[解] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角． ∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．[活学活用]写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合为______________． 解析：与－1 068°终边相同的角为－1 068°＋k ·360°，要落在－720°到720°之间，则取k ＝1,2,3,4.★答案★：{－708°，－348°，12°，372°}已知角α所在象限，判断αn 或nα(n ∈Z)所在象限[解] ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． [一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，求α2是第几象限角？解：45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k2·360°，k ∈Z.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．2．[变设问]若本例条件不变，求α3是第几象限角？解：∵k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z)，当k ＝3n (n ∈Z)时， n ·360°＋30°＜α3＜n ·360°＋60°；当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时， n ·360°＋150°＜α3＜n ·360°＋180°；当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时， n ·360°＋270°＜α3＜n ·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限的角. 3．[变条件]已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角． 解：8α＝2α＋k ·360°(k ∈Z)， 所以α＝k ·60°(k ∈Z)， 所以，2α＝k ·120°(k ∈Z)，当k 为偶数时， 2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限． 当k 为奇数时，2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限， 所以，2α为第二或第三象限角，或是终边落在x 轴正半轴上的角．已知角α终边所在象限，(1)确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可． (2)确定αn 终边所在象限常用的步骤如下：①求出αn 的范围；②对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1； ③下结论．层级一 学业水平达标1．在0°到360°范围内，与－950°角终边相同的角是________．解析：－950°＝130°－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°角终边相同的角是130°.★答案★：130°2．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限角的个数为________． 解析：－390°＝－360°－30°是第四象限角；－885°＝－2×360°－165°是第三角限角；1 351°＝3×360°＋271°是第四象限角；2 016°＝5×360°＋216°是第三象限角．故有2个．★答案★：23．钟表经过2小时，时针转过的度数为________．解析：时针均按顺时针方向旋转，2小时时针转过16周，所以时针转过了－60°.★答案★：－60°4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析：∵角α，β的终边相同， ∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z.作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z. ∴α－β的终边在x 轴的正半轴上． ★答案★：x 轴的正半轴上5. 设集合A ＝{α|α＝90°·k ＋30°，k ∈Z}，B ＝{α|0°≤α<360°}，则A ∩B ＝________. 解析：由0°≤90°·k ＋30°<360°，k ∈Z ， 得－13≤k <113，k ∈Z ，所以k ＝0,1,2,3，所以A ∩B ＝{30°，120°，210°，300°}． ★答案★：{30°，120°，210°，300°}6．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在第________象限．解析：由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．★答案★：一或三7．已知α与β均为正角，且α＋β＝180°，若0°<α≤90°，则角β的终边位于_______________．解析：若0°<α<90°，则90°<β＝180°－α<180°，即角β的终边在第二象限；若α＝β＝90°，则角β的终边位于y轴正半轴上．★答案★：第二象限或y轴正半轴上8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______________.解析：∵5α与α的始边和终边相同，∴这两角的差应是360°的整数倍．即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z.即α＝k·90°.又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°.∴2<k<4.∴k＝3，故α＝270°.★答案★：270°9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．10．已知α＝－1 910°，(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－1 910 360.所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.层级二应试能力达标1．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为___________．解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角为－60°＋k·180°，k∈Z，取k＝1,2.★答案★：120°与300°2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：根据任意角的定义可得∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.★答案★：－150°3．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.所以k·360°－90°<180°－α<k·360°，k∈Z.所以180°－α为第四象限角．★答案★：四4．与1 991°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．解析：与1 991°终边相同的角为1 991°＋k·360°，取k＝－5，－6.★答案★：191°，－169°5．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________________.★答案★：150°＋k·360°，k∈Z6．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角． 解析：由题知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．★答案★：一或三7．若θ是第一象限角，判断θ2所在的象限．解：∵θ是第一象限角， ∴k ·360°<θ<k ·360°＋90°(k ∈Z)． k ·180°<θ2<k ·180°＋45°(k ∈Z)．当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<θ2<n ·360°＋45°，∴θ2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ·360°＋180°<θ2<n ·360°＋225°，∴θ2为第三象限角．综上，θ2为第一或第三象限角．8．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解：(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为： S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}， 所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋k·180°<720°，k∈Z.解得－73<k<113，k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。
．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。
课后训练1．下列说法中正确的是( )A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角，则2α是第二象限的角C ．－240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与－420°角的终边关于x 轴对称2．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对3．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角4．如果角α是第三象限角，则角2的终边所在的区域是如图所示的( )区域(不含边界)A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦5．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }6．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝__________．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．8．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________．9．已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，写出角α的集合．10．若角θ的终边与168°角的终边相同，求0°～360°内与角的终边相同的角．3参考答案1答案：D 解析：对于A,420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以A 不正确；对于B ，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以B 不正确；对于C,480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C 不正确；对于D ，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x 轴对称，所以D 正确．2答案：D 解析：小于90°的角包括所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D ．3答案：C 解析：由条件知k ·360°＜2α＜k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴k ·180°＜α＜k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α是第三象限角．4答案：A 解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°＜2α＜k ·180°＋135°(k ∈Z )． ∴当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜2α＜n ·360°＋135°，对应区域③； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜2α＜n ·360°＋315°，对应区域⑦； ∴角2α的终边所在区域为③⑦． 5答案：D 解析：因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A ，B ．又C 项中的角出现在第三象限，故选D ．6答案：270° 解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，所以5α－α＝4α＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·90°(k ∈Z )．又∵180°＜α＜360°，令k ＝3，得α＝270°．7答案：－480° 解析：时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因为按顺时针方向旋转的角为负角，所以分针转过的角为43-×360°＝－480°． 8答案：－960° 解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z ． 又－990°＜α＜－630°，∴－990°＜k ·360°＋120°＜－630°，即－1 110°＜k ·360°＜－750°．当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°．9答案：解：在0°～360°范围内，终边落在阴影部分内的角为30°＜α＜150°与210°＜α＜330°，∴所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°＋30°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°＜α＜k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°＜α＜n ·180°＋150°，n ∈Z }．10答案：解：因为θ＝k ·360°＋168°， 所以3θ＝k ·120°＋56°，k ∈Z ．令0°≤k ·120°＋56°＜360°，得k ＝0,1,2，故0°～360°内与角3终边相同的角有56°，176°，296°．。
学业分层测评(一)任意角(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；④3 000°，－840°.【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，故满足题意的角有－390°，1 351°.【答案】－390°，1 351°4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③第四象限角一定是负角；④钝角比第三象限角小．【解析】 只有②正确．对于①，如A ＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．【答案】 ②5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k ·360°－3 000°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边在第________象限．【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．【答案】 二或四7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】 如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．【答案】 三8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.【解析】 7α＝k ·360°＋2α(k ∈Z )，∴α＝k ·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )．【答案】 α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )二、解答题9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.【解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．10．写出终边在如图1-1-5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1-1-5【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．[能力提升]1．下列说法中正确的是________．(填序号)①120°角与420°角的终边相同；②若α是锐角，则2α是第二象限的角；③－240°角与480°角都是第三象限的角；④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．【答案】④2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．图1-1-6【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.故填③.【答案】③3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．①M P；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.【解析】对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以N P，故N∪P⊆P.【答案】③4．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？【解】 ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二 象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。
1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图1-1-1，图1-1-1(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112×360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P3“图1.1-3至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.()(3)终边相同的角的表示不唯一.()【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D(2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x 轴对称的两个角α，β之和为k ·360°(k ∈Z ). 其中正确说法的序号是________.【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立； ②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k ·360°(k ∈Z ).③正确.因为终边关于x 轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k ·360°(k ∈Z ).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图1-1-2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1-1-2【精彩点拨】找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ·360°k ∈Z 适合题意的角的集合【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4×360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为： A ＝{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k <Z }. 阴影在x 轴下方部分的角的集合为： B ＝{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ·360°＋180°＋60°≤β<k ·360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)×180°＋60°≤β<(2m ＋1)×180°＋105°，m ∈Z }. 集合A 可以化为{β|2m ×180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }. 故A ∪B 可化为{β|n ·180°＋60°≤β<n ·180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限. (2)第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限. 2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1-1-3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图1-1-3【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题 探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， 30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°(k ∈Z ).故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置.【自主解答】 ∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角. 同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或αn 的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z ， ∴－k ·360°<－α<－k ·360°＋90°，则－k ·360°＋180°<180°－α<－k ·360°＋90°＋180°，k ∈Z ， 当k ＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角. 【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( )A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z).【答案】k·360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°. 【导学号：00680001】【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.。
第一章三角函数三角函数
．任意角和弧度制
．任意角
．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示方法．
．了解正角、负角、零角的概念．
．注意数形结合思想的应用．
一、任意角
．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点．
练习：下列说法正确的是()
．最大角是°．最大角是°
．角不可以是负的．角可以任意大小
解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选.
．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：
()正角——按逆时针方向旋转所形成的角；
()零角—射线没有作任何旋转形成的角；
()负角——按顺时针方向旋转所形成的角．
练习：时钟的分针经过分钟旋转的角为()
．°．°．－°．－°
解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角．故选.。
1.1.1 任意角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．下列说法中，正确的是A.第二象限角为钝角B.第三象限角必大于第二象限角C.是第二象限角D.是终边相同的角2．若角2α与240°角的终边相同,则α=()A.120°+k·360°,k∈ZB.120°+k·180°,k∈ZC.240°+k·360°,k∈ZD.240°+k·180°,k∈Z3．如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}4．集合中属于区间(−360°，360°)的角是____. 5．如图所示，终边落在直线上的角的集合为______．6．在角的集合，中：(1)有几种终边不相同的角？(2)在范围内的角有几个？7．(1)已知角 =45°，在区间[―720°，0°]内找出所有与角有相同终边的角.(2)集合，，那么两集合的关系是什么？8．已知求的范围.能力提升1．已知角α是第二象限角,试确定角2α,是第几象限角.2．写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.1.1.1 任意角详细答案【基础过关】1．D；【解析】本题考查象限角的判定.对A ，第二象限也有负角；对B；第三象限角可能为负，第二象限取正；对C，为第三象限，故错误，选D.【备注】无2．B【解析】角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k∈Z.选B.【备注】无3．C【解析】由图可知,终边落在阴影部分的角的取值范围为k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C.【备注】该题易出现的问题是忽略角的方向,不能准确表示两个边界角.4．−240°，120°【解析】无【备注】无5．，【解析】本题主要考查角的概念.终边落在射线上的角的集合是，，终边落在射线上的角的集合是，，于是终边落在直线上的角的集合是，，，，，．【备注】无6．解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种．(2)由，得．又，故，，，，，，，．∴给定的集合中在范围内的角共有8个．【解析】本题主要考查角的概念。
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1—1-1任意角一、选择题1．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于（）A．60° B．90°C．120° D．－30°[答案]A2．（2011～2012·北京通州高一期末)下列各角中,与60°角终边相同的角是( ）A．－300° B．－60°C．600° D．1380°［答案]A[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°,k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.3．给出下列四个命题，其中正确的命题有（）①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案］D[解析］由终边相同角的概念知:①②③④都正确，故选D.4．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)（)A．k·360°＋220° B．k·360°＋240°C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°[答案]B[解析］与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝（n＋1）·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1.1任意角1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2．－1120°角所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4．终边在第二象限的角的集合可以表示为（ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝5．下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角8．若α是第四象限的角，则α-180是 ．(89上海) 9．写出—720°到720°之间与—1068°终边相同的角的集合___________________．10．与1991°终边相同的最小正角是________, 绝对值最小的角是_______________．11．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．12．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．13．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'-．。
．已知集合＝{第一象限角}，＝{锐角}，＝{小于°的角}，下列四个命题：①＝＝；②⊆；③⊆；④∩＝.其中正确的命题个数为．．时针经过小时分，则分针转过的角度是．．下列说法正确的序号是．①三角形的内角必是第一、二象限的角②第一象限的角必是正角③第二象限的角一定比第一象限的角大④{αα＝×°±°，∈}＝{ββ＝×°＋°，∈}．与－°终边相同的角是，它们是第象限角，其中最小正角是，最大负角是．．()已知－°<α<－°，且α与°角的终边相同，则α＝.()角α和β的终边关于直线＝－对称，且α＝°，则β＝.．下列命题中正确的序号是．①α是第一象限角，则必为第一象限角．②α＋·°(∈)表示与α终边相同的角，则α是锐角．③角α的终边过(，－)点，则α既是第三象限角，又是第四象限角．④若角α与β的终边关于轴对称，则α与β的关系是α＋β＝·°(∈)．．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：()终边落在射线上；()终边落在直线上；()终边落在阴影区域内(含边界)．．已知α＝－°，()把α写成β＋·°(∈°≤β<°)的形式，指出它是第几象限的角；()求θ，使θ与α的终边相同，且－°≤θ<°.参考答案.答案：解析：∵＝{α·°<α<·°＋°，∈}，＝{α°<α<°}，＝{αα<°}，∴这三个角的范.围各不相同．∴四个命题都是错误的．.答案：－°解析：时针经过小时，则分针转一圈°，时针经过小时分，并且分针顺时针旋转，∴分针转过的角度为－×°－°×＝－°..答案：④解析：°是三角形的内角，但不是第一、二象限的角，∴①不正确；－°与°终边相同，是第一象限角，但不是正角，∴②不正确；°＜°，但°是第二象限角，°为第一象限角，∴③不正确；∵α，β的终边都在轴上，∴两集合相等，故④正确．.答案：·°＋°(∈)三°－°答案：()－°()·°－°(∈)解析：()∵α＝·°＋°，∈，且－°<α<－°.∴－°<·°＋°<－°，即，∈.∴＝－.∴＝－°.()如下图，为角α的终边，为角β的终边，由α＝°得∠＝°，根据对称性，知∠＝°，因此∠＝°，∴β＝·°－°，∈..答案：④解析：若α为第一象限，则·°<α<·°＋°，∈，∴(∈)．当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角．∴①不正确；。
[学业水平训练]1．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，所以－k ·360°－90°<180°－α<－k ·360°(k ∈Z )，所以－(k ＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k ＋1)·360°＋360°(k ∈Z )，所以180°－α为第四象限角． 答案：四2．角α的终边经过点P (2，－3)，则角α是第________象限角．解析：P 点在第四象限，所以α是第四象限角．答案：四3．若α为第二象限角，则－α2是第________象限角． 解析：因为α为第二象限角，所以α2为第一或第三象限角．又因为－α2与α2关于x 轴对称，所以－α2是第二或第四象限角．答案：二或四4．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二． 答案：一 二5．(2014·南阳高一检测)与2 014°角的终边相同的最小正角是________．解析：与2 014°角的终边相同的角为2 014°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝－5时，214°为最小正角． 答案：214°6．(2014·杭州高一检测)设集合M ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，N ＝{α|－180°＜α＜180°}，则M ∩N 等于________．解析：当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°；当k ＝－1时，α＝－126°.所以M ∩N ＝{－36°，54°，－126°，144°}．答案：{－36°，54°，－126°，144°}7．在[0°，360°)范围内，找出与－1 240°角终边相同的角，并判断它是第几象限角．解：∵－1 240°＝－4×360°＋200°，∴在[0°，360°)范围内与－1 240°角终边相同的角是200°角．又200°角是第三象限角，∴－1 240°角也是第三象限角．8．已知α＝－315°.(1)将α写成k ·360°＋β(0°≤β＜360°，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.解：(1)∵－315°＝－360°＋45°，∴α表示第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )．令－1 080°＜k ·360°－315°＜－360°(k ∈Z )，解得－2.125＜k ＜－0.125(k ∈Z )．∵k ∈Z ，∴k ＝－2或－1.将k 值分别代入k ·360°－315°中，即得所求角为－1 035°或－675°.[高考水平训练]1．角α与β的始边都是x 轴的正半轴，终边关于y 轴对称，则用β表示角α为________．解析：角α与β的终边关于y 轴对称．则α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以α＝2k π＋π－β，k ∈Z .答案：α＝2k π＋π－β，k ∈Z2．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．解析：大链轮转动一周，小链轮转4820＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°. 答案：864°3．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B .解：(1) (2)(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．4. 如图，点A 在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ并判定其终边所在的象限．解：由题意，得 14θ＋45°＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，则θ＝k·180°7，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k·180°7<112.5°，k ∈Z ，所以k ＝3或k ＝4.故θ＝540°7或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．。
1．1.1任意角明目标、知重点 1.了解角的概念.2.把握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.娴熟把握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[情境导学]过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等竞赛中，经常听到“转体1 080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说．因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必需将角的概念进行推广.探究点一角的概念的推广思考1我们在学校已经学习过角的概念，角可以看作从同一点动身的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？答一条射线OA围着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．思考2如图，已知角α＝120°，依据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？答－240°；－120°；240°；480°.思考3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．答经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.探究点二象限角与终边落在坐标轴上的角思考1象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，假如改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？答不行，由于始边包括端点(原点)．思考2是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x 轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．答不是，由于一些特殊角终边可能落在坐标轴上；假如角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}思考3α终边所在角α的集合探究点三思考1在同始终角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观看这三个角终边之间的关系和角的大小关系．答终边相同，并相差360°的整数倍．思考2对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答全部与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考3集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？答330°；第一或第三象限的角平分线上．例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．反思与感悟解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．跟踪训练1推断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；(2)－2 016°.解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 016°＝－6×360°＋144°，∴－2 016°与144°终边相同．∴－2 016°是其次象限角．例2写出终边在y轴上的角的集合．解全部与90°终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．全部与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．反思与感悟利用终边相同的角写出符合条件的全部角的集合，假如集合能化简的还要化成最简．跟踪训练2写出终边落在x轴上的角的集合S.解S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．例3写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.反思与感悟当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，留意把最终角的集合化成最简的形式．跟踪训练3求终边在直线y＝－x上的角的集合S.解由于直线y＝－x是其次、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．1．－361°的终边落在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案D2．下列各角中与330°角终边相同的角是()A．510° B．150° C．－150° D．－390°答案D3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°(k∈Z)．又180°<α<360°，所以2<k<4，又k∈Z，所以k＝3，所以α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．[呈重点、现规律]1．对角的理解，学校阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要留意“旋转方向”打算角的“正负”，“旋转量”打算角的“确定值大小”．2．关于终边相同的角的生疏一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．留意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边确定相同；终边相同的角不愿定相等，终边相同的角有很多多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础过关1．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B答案D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}2.与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案C3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．与2 016°角的终边相同的最小正角是________，确定值最小的角是________．答案216°－144°解析与2 016°终边相同的角为2 016°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，216°为最小正角；当k＝－6时，－144°为确定值最小的角．6．下列说法中，正确的是________．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③其次象限的角为钝角；④小于90°的角确定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不愿定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理其次象限的角也不愿定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不愿定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°<k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、力气提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐标系中，分别画出集合A ，B 所包含的区域，结合图形可知， A ∩B ＝{θ|30°＋k ·360°<θ<45°＋k ·360°，k ∈Z }，A ∪B ＝{γ|k ·360°－45°<γ<k ·360°＋90°或k ·360°＋210°<γ<k ·360°＋270°，k ∈Z }． 12．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z } ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与拓展13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )， ∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同， 故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．方法一 (分类争辩)当k ＝3n (n ∈Z )时， 即n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，则α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，即n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，则α3是其次象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，即n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，则α3是第三象限角．综上可知，α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。
[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角不都是锐角D ．锐角不都是第一象限角解析：选C.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故C 正确，D 错误．2．若角α的终边经过点M (0，－3)，则角α( )A ．是第三象限角B ．是第四象限角C ．既是第三象限角，又是第四象限角D ．不是任何象限的角解析：选D.因为点M (0，－3)在y 轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．3．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．4．已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )A ．四B ．三C ．二D ．一解析：选C.∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z .则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，k ∈Z .∴－α是第二象限角．5．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A ．在x 轴的非负半轴上B ．在x 轴的非正半轴上C ．在y 轴的非正半轴上D ．在y 轴的非负半轴上解析：选A.由已知可得α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上．6．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°，k ∈Z .当k ＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．答案：－7°，353°，713°7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角为________．解析：由题意知，6α＝k ·360°，k ∈Z ，所以α＝k ·60°，k ∈Z .又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.答案：60°，120°，180°，240°，300°9．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角．(1)－210°；(2)－1 484°37′.解：(1)因为－210°＝－360°＋150°，所以与－210°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．其中最小正角为150°，最大负角为－210°.(2)因为－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′，所以与－1 484°37′终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋315°23′，k∈Z}，其中最小正角为315°23′，最大负角为－44°37′.10．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．[B.能力提升]1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.故选C.2．如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么角α与角β的关系为()A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)解析：选D.由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，即α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)．3．设集合A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°＜x＜k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋360°，k∈Z}，所以A∩B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}4．如图所示，终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }5．已知角α＝2 015°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.解：(1)用2 015°除以360°商为5，余数为215°.∴k ＝5.∴α＝5×360°＋215°(β＝215°)．∴α为第三象限角．(2)与2 015°终边相同的角为k ·360°＋2 015°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°＋2 015°＜720°(k ∈Z )，解得－2 375360≤k ＜－1 295360(k ∈Z )， ∴k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2 015°中，得角θ的值为－145°，215°，575°.6．(选做题)写出如图所示阴影部分的角α的范围．解：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图①阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°＜α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)同理可表示图②中角α的范围为{α|45°＋k ·360°≤α≤300°＋k ·360°，k ∈Z }．。
[学业水平训练]1．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，所以－k ·360°－90°<180°－α<－k ·360°(k ∈Z )，所以－(k ＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k ＋1)·360°＋360°(k ∈Z )，所以180°－α为第四象限角．答案：四2．角α的终边经过点P (2，－3)，则角α是第________象限角．解析：P 点在第四象限，所以α是第四象限角．答案：四3．若α为第二象限角，则－α2是第________象限角． 解析：因为α为第二象限角，所以α2为第一或第三象限角．又因为－α2与α2关于x 轴对称，所以－α2是第二或第四象限角． 答案：二或四4．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．答案：一 二5．(2014·南阳高一检测)与2 014°角的终边相同的最小正角是________．解析：与2 014°角的终边相同的角为2 014°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝－5时，214°为最小正角．答案：214°6．(2014·杭州高一检测)设集合M ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，N ＝{α|－180°＜α＜180°}，则M ∩N 等于________．解析：当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°；当k ＝－1时，α＝－126°.所以M ∩N ＝{－36°，54°，－126°，144°}．答案：{－36°，54°，－126°，144°}7．在[0°，360°)范围内，找出与－1 240°角终边相同的角，并判断它是第几象限角． 解：∵－1 240°＝－4×360°＋200°，∴在[0°，360°)范围内与－1 240°角终边相同的角是200°角．又200°角是第三象限角，∴－1 240°角也是第三象限角．8．已知α＝－315°.(1)将α写成k ·360°＋β(0°≤β＜360°，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.解：(1)∵－315°＝－360°＋45°，∴α表示第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )．令－1 080°＜k ·360°－315°＜－360°(k ∈Z )，解得－2.125＜k ＜－0.125(k ∈Z )．∵k ∈Z ，∴k ＝－2或－1.将k 值分别代入k ·360°－315°中，即得所求角为－1 035°或－675°.[高考水平训练]1．角α与β的始边都是x 轴的正半轴，终边关于y 轴对称，则用β表示角α为________． 解析：角α与β的终边关于y 轴对称．则α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以α＝2k π＋π－β，k ∈Z .答案：α＝2k π＋π－β，k ∈Z2．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．解析：大链轮转动一周，小链轮转4820＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°. 答案：864°3．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域； (3)求A ∩B .解：(1)(2)(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．4. 如图，点A 在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ并判定其终边所在的象限．解：由题意，得 14θ＋45°＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，则θ＝k ·180°7，k ∈Z . 又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k ·180°7<112.5°，k ∈Z ， 所以k ＝3或k ＝4.故θ＝540°7或θ＝720°7. 易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°， 故角θ的终边在第一或第二象限．。
1．1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}． 当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°，解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.[典例]并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，∴180°－α是第三象限角.[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限． [解] 法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°， 这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°， 这表明α2是第三象限角． ∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题：(1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A ．120°＋k ·360°，k ∈ZB ．120°＋k ·180°，k ∈ZC ．240°＋k ·360°，k ∈ZD ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
