2011届湖北八校高三第一次联考--理科数学试卷(及答案)

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程2250x x -+=的一个根是（ ） A.12i +B.12i -+C.2i +D.2i -2.集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =,则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,2}C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}3.下列命题，正确的是（ ）A.命题:x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.4.已知,x y 满足220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则关于22x y +的说法，正确的是（ ）A.有最小值1B.有最小值45C.有最大值13D.有最小值2555.函数c bx ax x f ++=23)('2有极值点，则（ ） A. 23b ac ≤ B. 23b ac ≥ C. 23b ac <D. 23b ac >6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A.13B.23C.2D.17.△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按 胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J ） A.0.196B.0.294C.0.686D.0.9811111正（主）视图 侧（左）视图俯 视 图第6题图9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（ ） A.点F 的轨迹是一条线段 B.1A F 与1D E 不可能平行 C. 1A F 与BE 是异面直线 D.tan 22θ≤【答案】B 【解析】10.若直线1y kx =+与曲线11||||y x x x x=+--有四个公共点，则k 的取值集合是（ ） A.11{0,,}88-B.11[,]88-C.11(,)88-D.11{,}88-11D 1B B1F第9题图第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） (一)必考题（11—14题）11.平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为 ．12.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．13.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为 .14.无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4—1：几何证明选讲）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M是⊙O 2上的一点，若PE =2，EA =1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理16.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m πρθ+=的距离等于2，则ABC DP MEO 1O 2______m=.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2)3xπω=+a，(2cos,0)xω=b(0)ω>，函数()f x=⋅a b的图象与直线23y=-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x在[0,2]π上的单调递增区间．18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求122013c c c +++．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠=，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60.ABCA 1B 1C 1D 第19题图A1 C1B1ACBDy Ox Z20.（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.（Ⅰ）若以,B C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用,,aαβ表示山的高度h；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影. 已知石塔高度20a=,当观测点E在AD上满足6010DE=时看BC的视角(即BEC∠)最大，求山的高度h.第20题21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-=(0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.(本小题满分14分)已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）当0a>时，若()0f x≥对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln1ln1ln12(31)(31)(31)nn⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫M 黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷卷上无效。

4. 考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B)-i (C)1 （D)i解读：选B 。

()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2.已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) ()0,+∞(D)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解读：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =ð12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B)522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D)5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解读：选A.()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。

2011年高考数学湖北卷(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ） (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（ ）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（ ） (A)2a (B) 2 (C)154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

试卷类型：A2010年普通咼等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。

并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。

在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试 题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答 题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。

A.- iB.-1C. iD.12.已知 U = ： y | y = log 2 x, x 1,P= y|y= —, x 2 ,则C U P = L x J3.已知函数f （x ）z ；3s in r-cosf,x ・R ，若f （x ）_1，则x 的取值范围为{ Tl l JI lA. x|k 二 _x _k 「？,k ZB. x 12 k 二 _ x _ 2k 二：k ZI3J I 3Ji5 ii5 iC. {x|kx_k ,k = Z} D. {x|2k x_2k ,k ^ Z}6 6 6 61. i 为虚数单位，贝U(-二 A.［丄，：：） B.2 C. 0, ：：D.1 ,0][^^::)11-14.将两个顶点在抛物线y2=2px(p . 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A. n=0B. n=1C. n=2D. n _3试卷类型：A5 •已知随机变量■服从正态分布N 2, a2，且P( <4)= 0.8，则P( 0 V < 2)=A .0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26. 已知定义在R上的奇函数fx和偶函数g x满足f xg x =a2 - a22( a >0,且a = 0).若g 2 = a，则f 2 =A. 2B. 15C. 17D. a24 47. 如图，用K、A“ A2三类不同的元件连接成一个系统。

试卷类型：A2011年全国各地高考数学试题(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页,三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位,则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111,所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111,故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ,则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ,所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=,R x ∈,若()1≥x f ,则x 的取值范围为 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ,则 652662πππππ+≤-≤+k x k ,解得ππππ+≤≤+k x k 232,Z k ∈,所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ,则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性,正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150,这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形 的个数记为n ,2=n ,所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ,且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP A. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数关于 直线2=x 对称,所以()5.02=<ξP ,并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且,若()a g =2,则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ,()()22222+-=-+--a a g f ,即()()22222+-=+--a a g f ,由此解得()22=g ,()222--=a a f,所以2=a ,()41522222=-=-f ,所以选B . 7.如图,用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统,K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0,则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=,系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ,所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=,b ()z y -=,2,且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ,则z 的取值范围为 A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ,()()032=-++z y z x , 则y x z 32+=,y x ,满足不等式1≤+y x ,则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时,y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时,y x z 32+=取得最小值－3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ,且0=ab ,则称a 与b 互补,记()b a b a b a --+=22,ϕ,那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ,且0=ab ,则a 与b 至少有一个为0,不妨设0=b ,则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之,若()0,22=--+=b a b a b a ϕ,022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ,则a 与b 互补,故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：()3002t M t M -=,其中0M 为0=t 时铯137的含量,已知30=t 时,铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-(太贝克/年),则()=60MA . 5太贝克B . 2ln 75太贝克C . 2ln 150太贝克D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=,则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ,解得6000=M ,所以()302600tt M -⨯=,那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M (太贝克),所以选D .二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .(结果用数值表示) 【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818,令2152118=⇒=--r r r ,含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ,故填17.12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示) 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,从这30瓶饮料中任取2瓶,没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B,则A 与B 是对立事件,因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ,所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ,所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ,即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a , 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=,所以应该填6667. 14.如图,直角坐标系xOy 所在的平面为α,直角坐标系//Oy x (其中/y 轴与y 轴重合)所在的平面为β,0/45=∠xOx .(Ⅰ)已知平面β内有一点()2,22/P ,则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； (Ⅱ)已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x,则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：(Ⅰ)设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,,则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同,所以2=y ,过点/P 作Oy H P ⊥/,垂足为H ,连结PH ,则0/45=∠HP P ,P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x , 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；(Ⅱ)由(Ⅰ)得2245cos /0/⨯==x x x ,y y =/,所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x,得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ,所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断,当6=n 时,黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.(结果用数值表示) 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ,由图可知, 21=a ,32=a ,213325a a a +=+==, 324538a a a +=+==,由此推断1365435=+=+=a a a ,21138546=+=+=a a a ,故黑色正方形互不相．．．邻．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有2种方法,所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法,由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种,所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案,故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分10分)设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ,2=b ,41cos =C . (Ⅰ)求ABC ∆的周长； (Ⅱ)求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力 解析：(Ⅰ)∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .(Ⅱ)∵41cos =C ,∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ,∴8152415sin sin ===cC a A ∵c a <,∴C A <,故A 为锐角,∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17.(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明：当20020≤≤x 时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当2000≤≤x 时,求函数()x v 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/小时)()()x v x x f ⋅=可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：(Ⅰ)由题意：当200≤≤x 时,()60=x v ；当20020≤≤x 时,设()b ax x v +=,显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数,由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时,()x f 为增函数,故当20=x 时,其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时,()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f , 当且仅当x x -=200,即100=x 时,等号成立.所以,当100=x 时,()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000. 综上,当100=x 时,()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. 18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4,E 是BC 的中点,动点F 在侧棱1CC 上,且不与点C 重合.(Ⅰ)当1=CF 时,求证C A EF 1⊥；(Ⅱ)设二面角E AF C --的大小为θ,θtan 的最小值. 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足：1a a =(0)a ≠,n n rS a =+1 (n ∈N *,,1)r R r ∈≠-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若存在k ∈ N *,使得1+k S ,k S ,2+k S 成等差数列,试判断：对于任意的m ∈N *,且2m ≥,1+m a ,m a ,2+m a 是否成等差数列,并证明你的结论.20. (本小题满分14分)平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系；(Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点。

2011届湖北八校第一次联考数学试题（文科）大联考官网 参 考 答 案11.4π 12. 13- 13. 9- 14. 122n +- 15. 10316. （Ⅰ）//p q 12cos 2(1sin )2sin 7A A A ∴=-⋅，26(12sin )7sin (1sin )A A A ∴-=-，25sin 7sin 60A A +-=，3sin . (sin 2)5A A ∴==-舍 6分（Ⅱ）由1sin 3,22ABC S bc A b ∆===，得5c =，又24cos 1sin 5A A =-=±，2222cos 425225cos 2920cos a b c bc A A A ∴=+-=+-⨯⨯=-，当4cos 5A =时，213, 13a a =； 10分 当4cos 5A =-时，245, 35a a ==. 12分17. （Ⅰ）设{}n a 的公差为0d ≠，则919891352S a d ⨯=+=，1415a d ∴+= ………………①又3412,,a a a 成等比数列,∴24312a a a =⋅，即2111(3)(2)(11)a d a d a d +=++,化简,得 11370d a += ………………②由①②,得：17,13d a ==-, 1(1)720n a a n d n ∴=+-=-. 6分 （Ⅱ）由于121,m m m m a a d a a d +++=-=+,222222111112m m m m m m m a a a d d a a a a ++++++++∴==+,设211k m m d a a a ++=+, 则 497207(1)207(1)20k m m -=+-++-,即71713k m m =++-,由于k 、m 为正整数，所以7必须能被713m -整除,7131,1,7,7m ∴-=--,2, 10m k ∴==,故存在唯一的正整数2m =，使22212m m m a a a +++仍为{}n a 中的一项. 12分18. （Ⅰ）()f x 在[0,)+∞上是增函数. 2分22211()()12log ()f x f x x x +=-++ ，2(1)(1)12log (11)1,f f ∴+=-++=1(1).2f ∴= 4分（Ⅱ）因为()f x 是偶函数，所以223((99kx f f x x +=++，不等式就是23((1)9kx f f x +>+， ()f x 在[0,)+∞上递增，2319kx x +>+ 239kx x ∴+>+， 6分222699.k x kx x ++>+ 22(1)60k x kx ∴--<，①若0k =，则20x <，∴不等式解集为φ；②若10k -<<，则260,1k x k <<-∴不等式解集为26(,0)1kk -； ③若01k <<，则260,1k x k <<-∴不等式解集为26(0,)1kk -. 12分19. （Ⅰ）,C D 关于直线l 对称C ∴点坐标为(23444, 16)⨯-即(24, 16)，把A 、B 、C 的坐标代入解析式，得 22sin 19sin()616sin()3a b a b a b ϕπϕπϕ⎧⎪=+⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩①②③②-①，得 [sin()sin ]36a πϕϕ+-=-， ③-①，得 [sin()sin ]63a πϕϕ+-=-，2sin()2sin sin()sin 63ππϕϕϕϕ∴+-=+-，33cos 3in sin 2s ϕϕϕϕ∴=+， 333(1(3)sin 3(1)sin 2ϕϕϕ∴==-， 3tan 3ϕ∴=-，0ϕπ<< 566ππϕπ∴=-=， 代入②，得 19b =，再由①，得 6a =， 6, 19a b ∴==，56πϕ=. 7分 于是，ABC 段的解析式为56sin()19726y x ππ=++, 由对称性得，DEF 段的解析式为56sin[(68)]19726y x ππ=-++， 5(68),7262F x πππ∴-+= 解得 92F x =， ∴当92x =时，股价见顶. 10分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，61925F y =+= ，故这次操作老张能赚5000(2516)45 000⨯-=元. 12分20.（Ⅰ）设圆心(,0)M a ，由已知，得 M 到:8630l x y --=22311()22-=，221286=+，又M 在l 的下方，830a ∴->，835a ∴-=，1a =，故圆的方程为22(1)1x y -+=. 4分（Ⅱ）设AC 斜率为1k ，BC 斜率为2k ，则直线AC 的方程为1y k x t =+，直线BC 的方程为26y k x t =++.由方程组126y k x t y k x t =+⎧⎨=++⎩，得C 点的横坐标为126c x k k =-，||66AB t t =+-= ，12121618||62S k k k k ∴=⋅=--，由于圆M 与AC 相切，所以12111k =+，2112t k t -∴=；同理，221(6)2(6)t k t -+=+，21223(61)6t t k k t t ++∴-=+，2226(6)16(1)6161t t S t t t t +∴==-++++， 10分 52t -≤≤- ，231t ∴-≤+≤，28614t t ∴-≤++≤-，max 1156(1)42S ∴=+=，min 1276(1)84S =+=. 13分21.（Ⅰ）当1a =时，4321()24F x x x x b =-+++，4321()024F x b x x x =⇔=--，记4321()24g x x x x =--，则32()34(1)(4)g x x x x x x x '=--=+-，令()0g x '=，得1, 0, 4x =-，当x 变化时，()()g x g x '、的变化情况如下表：由已知，知直线y b =与()y g x =的图象有且只有两个公共点，所以，324b -<<-，或0b >，∴b 的取值范围为3(32, )(0, )4--+∞ . 5分 （Ⅱ）32222()3(52)[3(52)]F x x ax a a x x x ax a a '=-+++-=---+-,则12,x x 是223(52)0x ax a a --+-=的两个不相等的非零实根，22294(52)132080a a a a a ∴∆=++-=+->，且2520a a +-≠………………(*)不妨设1()F x b =，2432111152042a a x ax x +-∴-++=，即 221142(52)0x ax a a ∴-+++-=…………………①又22113(52)0x ax a a --+-= ……………………②①+②,得 21(52)0ax a a ++-=，即21(52)a a ax -+-=………………③ 代入②，得21120x ax -=，10x ≠ ，12x a ∴=，代入③，得23520a a +-=,2a ∴=-或13a =. 经检验，2a =-或13a =都满足(*),故2a =-或13a =.10分（Ⅲ）当[1, 0]a ∈-时，可知2132080a a ∆=+-<，∴223(52)0x ax a a ∴--+->恒成立，0x ∴>时，()0F x '<；0x <时，()0F x '>.()F x ∴在(, 0)-∞内递增，在(0, )+∞内递减，()F x ∴在[2, 2]-上的最小值2min{(2),(2)}21888F F a a b -=+-+≥-恒成立，229812182[()]24b a a a ∴≥--=-+-，当1a =-时，2218a a --取最大值16，所以b 的取值范围为[16, )+∞. 14分。

湖北省八市2011年高三年级三月调考理科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3 .填空题和解答题用0.5亳米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

第I卷(选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 设，则=A. B. C. D.3. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题①若，则②若，则③若，则④若，则. ’其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 44. 设常数a>0,展开式中的系数为，贝UA. B. C. 2 D. 15. 点是函数的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为，则A.的最小正周期是TiB.的值域为[O, 4]C.的初相为D.在上单调递增6. 用表示标准正态总体在区间（，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布,则概率等于A. B. C. D.7. 已知为等差数列，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是A. 18B. 19C. 20D. 218. 如图，圆锥&内接于半径为灭的球O,当内接圆锥以忍的体积最大时，圆锥的高A等于A. B. C.： D.9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时，双曲线的离心率为A. B. C. D. 210. 如图，在直角梯形ABCD中，，动点尸在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是A. B.C. D.第II卷（非选择齓共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共M分.请将答案填在答题卡中相应的位置.11. 已知复数z满足，则Z=________12. 若正数x、y满足，则的最大值为________.13. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2, 3, 4, 5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为________.14. 过点作抛物线的两条切线/M、PB U, B为切点),若，则a=________.15. —个冰球，在融化时其半径的减小量与时间成正比.已知从受热开始，经过2小时，融化了其体积的，则剩余部分还需________小时融化完（精确到1小时，参考数据：三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为，乙与丙击中目标的概率分别为m、n(m>n),每人是否击中目标是相互独立的.记目标被击中的次数为，且的分布列如下表：(I)求m,n的值；(I I)求的数学期望.17. (本小题满分12分）在中，角丄5、C的对边分别为o、6、c,且(I)求角A(I I)设，求的最大值.18. (本小题满分12分)如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为300、450,M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.(I)求证：MN平面ABCD(I I)求线段AB的长；(III)求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.19. (本小题满分12分）已知.(I)若在(0,)内为单调增函数，求a的取值范围；(I I)若函数在x=O处取得极小值，求a的取值范围.20. (本小题满分13分）已知动点与两定点m(-1, 0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数.(I)求动点P的轨迹C的方程；(I I)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状：(I I I)当=-时，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、b两点，求的面积的最大值.21. (本小题满分14分）已知数列满足：，记.(I)求证：数列是等比数列；(I I)若对任意恒成立，求t的取值范围；(III)记，求证：.2011年湖北省八市高三三月联考 理科数学参考答案及评分标准二、填空题（5分×5=25分）11．3＋i 12．5 13．152 14．4115．20三、解答题（75分，答案仅供参考，其它解法酌情给分）16解：（Ⅰ）由题设可得151)1)(1(52)0(=--==n m P ξ，化简得65)(-=+-n m mn ①（2分） )1(52)1(52)1)(1(53)1(m n n m n m P -+-+--==ξ10354)(52101=-++=mn n m∴212=-+mn n m ② （4分）联立①②可得21,32==n m （6分）（Ⅱ）由题设得：51213253)3(=⨯⨯===ξp b∴3013)51101151(1=++-=a （9分）∴30535133013210311510=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （12分）17解：（Ⅰ）由1＋cos 2A ―cos 2B ―cos 2C ＝2sinB ·sinC 得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+（2分）由正弦定理得，bc a c b =-+222（4分） 由余弦定理得，212cos 222=-+=bc a c b A∵0＜A ＜π ∴3π=A （6分） （Ⅱ）)2cos 2(cos 21122cos 122cos 1)(C B C B B f +-=-+-=（8分） 由（Ⅰ）得ππ32=-=+A C B ，∴B C -=π32∴141()1[cos2cos(2)]1[cos2cos(2)]2323f B B B B B ππ=-+-=---)2s i n 232c o s 212(c o s 211B B B ---=)62s i n (211π-+=B （10分）∵0＜B ＜32π ∴72666B πππ-<-<令262ππ=-B 即3π=B 时，)(B f 取得最大值23． （12分）18解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ⋂平面ABEF ＝ABEB ⊥AB ∴EB ⊥平面ABCD 又MN ∥EB ∴MN ⊥面ABCD ． （3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB 为DE 与平面ABCD 所成的角 ∴∠EDB ＝30o又在Rt △EBD 中，EB ＝2MN ＝2，∠EBD ＝90o ∴DE ＝430sin 0=EB连结AE ，可知∠DEA 为DE 与平面ABEF 所成的角 ∴∠DEA ＝45o （5分）在Rt △DAE 中，∠DAE ＝90o ∴AE ＝DE ·cos ∠DEA ＝22在Rt △ABE 中，24822=-=-=EB AE AB ．（7分）（Ⅲ）方法一：过B 作BO ⊥AE 于O 点，过O 作OH ⊥DE 于H ，连BH ∵AD ⊥平面ABEF BO ⊂面ABEF∴BO ⊥平面ADE ∴OH 为BH 在平面ADE 内的射影 ∴BH ⊥DE 即∠BHO 为所求二面角的平面角 （9分）在Rt △ABE 中，BO ＝2 在Rt △DBE 中，由BH ·DE ＝DB ·OE 得BH ＝3∴sin ∠BHO ＝3632==BH BO ． （12分） 方法二：由题设及（Ⅰ）可得AF ⊥AB ，AF ⊥AD ，AB ⊥AD如图分别以射线AF 、AB 、AD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A —xyzDCNM BAEFOH由（Ⅱ）知，AF ＝BE ＝2，AB ＝EF ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝22∴A (0,0,0) B (0,2,0) C (0,2,22) D (0,0,22) E (2,2,0) F (2,0,0)（9分） 在正方形ABEF 中，BF ⊥AE ，又AD ⊥平面ABEF∴BF ⊥平面ADE ∴BF 是平面ADE 的法间量，)0,2,2(-=BF 设平面BDE 的法向量为)(z y x n ⋅⋅=由)22,2,0(-=，)0,0,2(=及n ⊥BD ，n ⊥BE 得00n B Dn B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-020222x z y∴⎪⎩⎪⎨⎧==02x zy 取z ＝1 得平面BDE 的一个法向量为(0,2,1)n =设二面角A ―DE ―B 的大小为α则333822cos =⋅==α ∴36sin =α． （12分）19解：由()ln(1)1xf x x ax=+-+得 222212()1(1)'()1(1)(1)(1)aa x x ax ax a f x x ax x ax --+-=-=++++（2分）（Ⅰ）∵f (x )在),0(+∞内为单调增函数 ∴0)(≥'x f 在),0(+∞上恒成立．又a >0 ∴0)21(2≥--aax x 在),0(+∞上恒成立 ∴0212≤-aa ∴21≥a（5分）（Ⅱ）由0)1)(1()21()('222=++--=ax x a ax x a x f 得x 1=0，2221a a x -=（a >0） ∴当210<<a 时，由0)(>'x f 得),21()0,1(2+∞-⋃-∈aax ， 由0)(<'x f 得212(0,)ax a-∈∴f (x )在221a ax -=处取得极小值．（不合题意） （7分）当21=a 时，0)1)(1()('222≥++=ax x x a x f 对),1(+∞-∈x 恒成立． ∴f (x )在定义域内无极小值．（9分）当21>a 时，由0)(>'x f 得)0()21,1(2∞+⋃--∈aa x由0)(<'x f 得)0,21(2aax -∈可得函数f (x )在x =0处取极小值时，),21(∞+∈a ．（12分）20解：（Ⅰ）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零 所以λ=-⋅+=⋅11x yx y K K PN PM 整理得122=-λy x （λ≠0，x ≠±1）（3分）（Ⅱ）①当0>λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）②当01<<-λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴 两个端点）③当1-=λ时，轨迹C 为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0) ④当1-<λ时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点） （7分） （Ⅲ）当2-=λ时，轨迹C 的椭圆1222=+y x （x ≠±1）由题意知，l 的斜率存在设l 的方程为1+=kx y ，代入椭圆方程中整理得012)2(22=-++kx x k （*）设),(11y x A ),(22y x B ，则x 1，x 2的方程（*）的两个实根∴22221+-=+k k x x ，21221+-=k x x （9分）∴d AB S OAB ⋅=∆212122122111121x x k x x k -=+⋅-+=24)2(4214)(2122221221+++=-+=k k k x x x x （11分）22211)1(12)2(1222222≤++++⋅=++⋅=k k k k当k ＝0时，取“＝”∴k ＝0时，△OAB 的面积取最大值为22． （13分）21解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n nn n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列． （3分）（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1241)41(411+-===-n n n n n a a b ∴14421-⋅+=n n n a由n n t a 4⋅≤得144124)14(421-+=-⋅+≥nn n n nt （5分）易得14412-+n n是关于n 的减函数∴431441214412=-+≤-+n n，∴43≥t （8分）（Ⅲ）由14421-⋅+=n n n a 得14431144211-⋅=+-⋅+=+nnn n n a ∴n n a 41113-=+∴)411()411()411(2321n n C C C C -⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅⋅（10分）下面用数学归纳法证明不等式：若n x x x ,,21为正数，则),2)((1)1()1()1(2121N n n x x x x x x n n ∈≥++->-⋅⋅-⋅- （*） 1o 当2=n 时，∵0,021>>x x ∴(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＞1－(x 1＋x 2) 2o 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即若x 1，x 2，……，x k 为正数，则 (1－x 1)(1－x 2)…(1－x k )＞1－(x 1＋x 2…＋x k )那么(1－x 1)(1－x 2)…(1－x k )(1－x k ＋１)＞(1－x k ＋１)＞这就是说当n ＝k ＋1时不等式成立． （12分） 根据不等式（*）得：)411()411()411(2321n n C C C C -⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅⋅32411411)414141(12=-->+++->n∴32321>⋅⋅⋅⋅n C C C C （14分）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i解析：选B 。

()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则UP =(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭(B)10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解析：选A.()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。

2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5 分）（2011?湖北）i 为虚数单位，则（）2011=（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5 分）（2011?湖北）已知U={y|y=log 2x，x＞1} ，P={y|y= ，x＞2} ，则C u P=（）A．[ ，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）3．（5 分）（2011?湖北）已知函数f（x）= sinx﹣c osx，x∈R，若f（x）≥1，则x 的取值范围为（）A．B．{x|k π+ ≤x≤kπ+π，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．D．{x|k π+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z}24．（5 分）（2011?湖北）将两个顶点在抛物线y =2px （p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥32），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）5．（5 分）（2011?湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2x﹣x﹣a6．（5 分）（2011?湖北）已知定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a +2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（）2A．2 B．C．D．a7．（5 分）（2011?湖北）如图，用K、A 1、A 2 三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且 A 1、A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5768．（5 分）（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]9．（5 分）（2011?湖北）若实数a，b 满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b 互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0 是a 与b 互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011?湖北）（x﹣）1815的展开式中含x的项的系数为_________．（结果用数值表示）12．（5分）（2011?湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示）13．（5分）（2011?湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升．14．（5分）（2011?湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′O y′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；2（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）+2y 2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．15．（5分）（2011?湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011?湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；C）的值．（II）求cos（A﹣17．（12分）（2011?湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．（12分）（2011?湖北）如图，已知正三棱柱A BC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；A F﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．（Ⅱ）设二面角C﹣19．（13分）（2011?湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；**（Ⅱ）若存在k∈N，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N．论成等差数列，并证明你的结20．（14分）（2011?湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，．请说明理由21．（14分）（2011?湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2⋯，n）均为正数，证明：⋯≤1；（1）若a1b1+a2b2+⋯a n b n≤b1+b2+⋯b n，则222（2）若b1+b2+⋯b n=1，则≤⋯≤b1．+b2+⋯+b n2011年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5 分）考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：n 由复数的运算公式，我们易得=i，再根据i2011的周期性，我们易得到（）的结果．解答：解：∵=i∴（）2011 2011=i =i 3 =﹣i故选 A2011 点评：本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调幂的周期性，将i3转化为i 是解答本题的关键．2．（5 分）考点：对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U 中不属于集合P 的元素构成的集合为集合 A 的补集，求出集合P 的补集即可．解答：解：由集合U 中的函数y=log 2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U= （0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[ ，+∞）．故选A．点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．3．（5 分）考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用两角差的正弦函数化简函数f（x）= sinx﹣c osx，为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x 的范围即可．解答：解：函数f（x）= sinx﹣c osx=2sin（x﹣），因为 f （x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2k π+ ≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选 B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型．4．（5 分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．线与线，每条直分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直的三角形有 2 个．抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样解答： 2解：y=2px（P＞0）的焦点F（，0）2等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x 轴轴对称），两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，C故选点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5．（5 分）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．题：计算题．专2X服从正态分布N（2，σ），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的分析：根据随机变量特点，得到P（0＜ξ＜2）= P（0＜ξ＜4），得到结果．2解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ4≥）=P（ξ＜0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．C．故选钟形的曲线，其对称轴为x=μ，点评：本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈x轴，但永不与x 轴相交，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴为渐近线的．因此说曲线在正负两个方向都是以6．（5 分）考点：函数奇偶性的性质．x﹣xaf（x）+g（x）=a﹣分析：由已知中定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足+2（a＞0，且a≠0），我x x﹣a们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（x）+g（x）=a﹣+2，并由此求出 f （x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a 求出 a 值后，即可得到f（a）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R 上的奇函数，g（x）是定义在R 上的偶函数x﹣xa由f（x）+g（x）=a﹣+2 ①x x﹣a得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣+2=﹣f（x）+g（x）②x﹣x﹣a，g（x）=2 ①②联立解得 f （x）=a由已知g（a）=a∴a=22 ﹣2∴f（a）=f（2）=2 ﹣2=B故选点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出 f．（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a 求出 a 值，是解答本题的关键7．（5 分）考点：相互独立事件的概率乘法公式．题：计算题．专分析：首先记K、A 1、A2 正常工作分别为事件A、B、C，易得当K 正常工作与 A 1、A2 至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A 2 至少有一个正常工作”与“A 1、A2 都不正常工作”为对立事件，易得A1、A 2 至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．K、A1、A2 正常工作分别为事件A、B、C；解答：解：根据题意，记则P（A）=0.9；A 1、A2 至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864 ；B．故选点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系．8．（5 分）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用．题：数形结合．专分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，构造出件|x|+|y|≤1 对应的平面区域，并求出各个角点一个关于x，y，z 的方程，即关于Z 的目标函数，画了约束条．的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z 的取值范围解答：解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y ﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1 的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1 时，z 取最大值3，当x=0，y=﹣1 时，z 取最小值﹣3，为[﹣3，3]故z 的取值范围D故选点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．9．（5 分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．题．专题：压轴分析：我们先判断φ（a，b）=0? a 与b 互补是否成立，再判断 a 与b 互补? φ（a，b）=0 是否成立，再根据充要．条件的定义，我们即可得到得到结论解答：b=0a﹣解：若φ（a，b）=﹣则=（a+b）0，两边平方解得ab=0，故a，b 至少有一为b=0，故b≥0，即 a 与b 互补不妨令a=0 则可得|b|﹣而当 a 与b 互补时，易得ab=0a﹣b=0此时﹣即φ（a，b）=0故φ（a，b）=0 是a 与b 互补的充要条件C故选点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a，b）=0? a 与b 互补与 a 与b 互补? φ（a，b）=0 的真假，是解答本题的关键．10．（5 分）考点：有理数指数幂的运算性质．题．压轴专题：计算题；分析：由t=30 时，铯137 含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M' （t）=M 0×，再由M' （30）=M 0×=﹣10ln2，求出M 0，然后能求出M （60）的值．解答：解：M' （t）=M 0×，M' （30）=M 0×=﹣10ln2，∴M 0=600．∴．D．故选点评：本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5 分）考点：二项式定理．专题：计算题．15的项的系数．分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为15，求出展开式中含x解答：解：二项展开式的通项为令得r=215所以展开式中含x 的项的系数为故答案为17点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12．（5 分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．2分析：本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30 个饮料中取 2 瓶，共有C30种结果，满足条件的事件 2 是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C27种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，2试验发生所包含的事件是从30 个饮料中取 2 瓶，共有C30=435 种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，2它的对立事件是没有过期的，共有C27=351 种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣= = ，故答案为：点评：本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对立事件来考虑．本题是一个基础题．13．（5 分）考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第 5 节的容积．解答：解：由题设知，解得，∴= ．故答案为：．点评：本题考查等式数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．14．（5 分）考点：平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；压轴题．分析：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P 距离x 轴的距离不变是2，距离y 轴的距离变成 2 cos45°，写出坐标．（II ）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．解答：解：（I）由题意知点P′在平面上的射影P 距离x 轴的距离不变是2，距离y 轴的距离变成 2 cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P 的坐标为（2，2）2 （II ）设（x′﹣）+2y 2﹣2=0 上的任意点为A（x0，y0），A 在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x= x0，y=y0，∵，∴2 2∴（x﹣1）+y =1，2 2故答案为：（2，2）；（x﹣1）+y =1．点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读题会得分．15．（5 分）考点：归纳推理；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当n 取不同值时的结果数；利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案，得到结果．解答：解：由题意知当n=1 时，有 2 种，当n=2 时，有 3 种，当n=3 时，有2+3=5 种，当n=4 时，有3+5=8 种，当n=5 时，有5+8=13 种，当n=6 时，有8+13=21 种，6当n=6 时，黑色和白色的小正方形共有 2种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21 种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43 种结果，故答案为：21；43点评：本题考查简单的排列组合及简单应用，考查观察规律，找出结果的过程，是一个比较麻烦的题目，当作为高考题目比前几年的排列组合问题不难．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10 分）考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出 c 的平方，把a，b 及cosC 的值代入求出 c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；（II ）根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a，c 及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由 a 小于 c 得到 A 小于C，即 A 为锐角，则根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答： 2 2 2解：（I）∵c ﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，=a +b∴c=2，∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5 ．（II ）∵cosC= ，∴sinC= = = ．∴sinA= = = ．∵a＜c，∴A ＜C，故A 为锐角．则c osA= = ，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC= ×+ ×= ．基础一道点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是题．17．（12 分）考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．题：应用题．专分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为 f （20）=1200，然后在区间[20，200] 上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200] 上的最大值．v（x）=ax+b解答：解：（I）由题意：当0≤x≤20 时，v（x）=60；当20＜x≤200 时，设再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（II ）依题并由（I）可得当0≤x＜20 时，f（x）为增函数，故当x=20 时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200 时，x，即x=100 时，等号成立．当且仅当x=200﹣所以，当x=100 时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100 时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，/小时．为3333辆即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约答：（I）函数v（x）的表达式/小时．/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆为100辆（II ）当车流密度于中等题．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属18．（12 分）考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．题：计算题．专E F，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知NF 为EF 在侧面A1C 内的射影，分析：（I）过E作EN⊥AC 于N，连接根据，得NF∥AC ，又AC 1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可得结论；A FM E 根据三垂线定理得EM⊥AF，则∠EMN 是二面角C﹣N作NM ⊥AF 与M ，连接（II ）连接A F，过E的平面角即∠EMN= θ，在直角三角形CNE 中，求出NE，在直角三角形AMN 中，求出MN ，故﹣tanθ=，根据α的范围可求出最小值．E作EN⊥AC 于N，连接E F，NF，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A1C解答：解：（I）过∴EN⊥侧面 A 1CNF 为EF 在侧面A1C 内的射影在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF∥AC 1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A 1CM EN作NM ⊥AF 与M ，连接（II ）连接A F，过由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN 是二面角C﹣A F﹣E的平面角即∠EMN= θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE 中，NE= ，在直角三角形AMN 中，MN=3sin α故tanθ= ，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时 F 与C1 重合推理论证能象能力、点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想力和运算求解能力．19．（13 分）考点：等差数列的性质；数列递推式．题：综合题；转化思想．专分析：（I）由已知中a n+1=rS n，我们可以得到以a n+2=rS n+1，两式相减后结合数列前n 项和定义，我们可以判断出数列{a n} 中从第二项开始，后一项与前一项之间的关系，因为式子中含有参数r，故我们可以对r 进行分类讨论，即可得到答案．（II ）根据（I）的结论，我们同样要对r 进行分类讨论，结合等差数列的判定方法，即要判断a m+1，a m，a m+2 是否成等差数列，即判断a m+1+a m+2=2a m 是否成立，论证后即可得到答案．解答：解：（I）由已知a n+1=rS n，则a n+2=rS n+1，两式相减得a n+2﹣a n+1=r（S n+1﹣S n）=ra n+1即a n+2=（r+1）a n+1又a2=ra1=ra∴当r=0 时，数列{a n} 为：a，0，0，⋯；1，a≠0，∴a n≠0当r≠0 时，由r≠﹣由a n+2=（r+1）a n+1 得数列{a n} 从第二项开始为等比数列n﹣2∴当n≥2 时，a n=r（r+1）a综上数列{a n} 的通项公式为（II ）对于任意的m∈N * ，且m≥2，am+1，a m，a m+2 成等差数列，理由如下：当r=0 时，由（I）知，∴对于任意的m∈N * ，且m≥2，am+1，a m，a m+2 成等差数列；当r≠0，r≠﹣1时∵S k+2=S k+a k+1+a k+2，S k+1=S k+a k+1*若存在k∈N，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，则2S k=S k+1+S k+2∴2S k=2S k+a k+2+2a k+1，即a k+2=﹣2a k+1由（I）知，a2，a3，⋯，a n，⋯的公比r+1=﹣2，于是*对于任意的m∈N，且m≥2，a m+1=﹣2a m，从而a m+2=4a m，∴a m+1+a m+2=2a m，即a m+1，a m，a m+2成等差数列*综上，对于任意的m∈N，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．点评：本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识，同时考查了推理论证能力，以及特殊与一般的思想．20．（14分）考点：轨迹方程；圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；动点型；开放型；分类讨论．分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A1、MA2M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M 轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，222当m=﹣1时，C1方程为x，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），+y=a2 F2（a，0），假设在C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值．解答：解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），当x≠±a时，由条件可得，222即mx﹣y（x≠±a），=ma又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足mx 222﹣y=ma．当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；222当m=﹣1时，曲线C的方程为x，C是圆心在原点的圆；+y=a当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；2（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x+y 22 =a，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），2对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a，的充要条件为由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=，当0＜≤a，即，或时，2存在点N，使S=|m|a，当，即，或时，不存在满足条件的点N．当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），2222可得=x0﹣（1+m）a=﹣ma+y0．令=r1，||=r2，∠F1NF2=θ，2则由=r1r2cosθ=﹣ma，可得r1r2=，2从而s=r1r2sinθ==﹣，于是由S=|m|a，2可得﹣=|m|a，即tanθ=，2综上可得：当m∈[，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a，且tanθ=2；2S=|m|a，且tanθ=﹣2；当m∈（0，]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积当时，不存在满足条件的点N．合和数点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．题：计算题；证明题；综合题；压轴题．专值，最终求性和极分析：（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，分析该零点两侧导函数的符号，确定函数的单调得函数的最值；（Ⅱ）（1）要证⋯≤1，只需证ln≤0，根据（I）和∵a k，b k（k=1，2⋯，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，即可证明结论；（2）要证≤⋯，根据（1），令a k=222（k=1，2⋯，n），再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证⋯≤b1+⋯+b n，记 +b2222．令a k=（k=1，2⋯，n），同理可证．s=b1+b2+⋯+b n解答：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵a k，b k（k=1，2⋯，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，得b k lna k≤a k b k﹣b k（k=1，2⋯，n），求和得≤a1b1+a2b2+⋯+a n b n﹣（b1+b2+⋯+b n）∵a1b1+a2b2+⋯a n b n≤b1+b2+⋯b n，****---- ∴≤0，即ln≤0，∴⋯≤1；（2）先证≤⋯，令a k=（k=1，2⋯，n），则a1b1+a2b2+⋯+a n b n=1=b1+b2+⋯b n，b1+b2+⋯bn于是由（1）得≤1，即≤n=n，∴≤⋯，222②再证⋯≤b1+b2+⋯+b n，222记s=b1．令a k=（k=1，2⋯，n），+b2+⋯+b n222则a1b1+a2b2+⋯+a n b n=（b1）=1=b1+b2+⋯b n，+b2+⋯+b n于是由（1）得≤1，b1+b2+⋯bn即⋯≤s=s，222∴⋯≤b1+b2+⋯+b n，综合①②，（2）得证．点评：此题是个难题．本题主要考查函数、导数、不等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想．。