陕西省武功县5702中学2014届高三第八次练考数学(理)试题及答案

2014陕西省武功县5702中学高三第八次练考文综历史试题第Ⅰ卷（选择题共140分）一.选择题(本卷共35个小题，每小题4分，共140分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

)24．解读历史地图是历史学习的重要环节。

据图1推断，西周A．封国大多集中于黄河流域B．通过封国实现权力高度集中C．同姓封国分布在长江中下游D．政治中心周围多为异姓封国图1 西周分封示意图（局部）25．在古代中国这样一个幅员辽阔的多民族国家，要维持社会的稳定与秩序，必须要有一套为大多数社会成员所认同的基本价值体系。

为形成这套价值体系，汉武帝A燔诗书，明法令B罢百家，尊儒术C立中正，定九品D正君心，致良知26 .“‘中国专制说’源自欧洲，代表的是西方人的中国观，这个观点在近代传入中国，便被国人广泛传播”。

“这个观点”被国人认同并较大规模传播应开始于A. 鸦片战争期问B．洋务运动期间C．戊戌变法期间D．国民革命期间27.斯塔夫里阿诺斯《全球通史：从史前史到21世纪》中说道：“政府垄断了供朝廷和行政机构消费的许多商品的生产和分配，这些商品包括武器、纺织品、陶器、皮革制品、服装和酒等。

另外，政府还完全控制了全体人民所需的基本商品的生产和分配，如盐铁等。

这些限制剥夺了中国商人成为无约束企业家的机会，使经济失去了自由发展的可能；同时也助长了官员腐化和堕落，因为朝廷官员能够利用他的特权地位去操纵国家垄断商品来为个人牟利。

”这段话揭示了中国: A.近代民族工业发展缓慢的主要原因 B.古代私营工商业发展缓慢的主要原因C.资本主义萌芽发展缓慢的重要原因D.历代政治出现腐败现象的重要原因28.“事实上有一种真正的法律——即正确的理性——与自然相适应，他适用于所有的人并且是永恒不变的。

……人类用立法来抵消它的做法是不正当的，限制它的作用是任何时候都不被允许的，而要消灭它则是更不可能的……它不会在罗马立一项规则，而在雅典立另一项规则，也不会今天立一种，明天立一种。

2014年陕西省某校高考数学八模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置） 1. 复数i 32i−1（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A 15i B 15C −15i D −152. 已知集合A ={x|x 2−x ≤0}，函数f(x)=2−x(x ∈A)的值域为B ，则(∁R A)∩B 为（ ）A (1, 2]B [1, 2]C [0, 1]D (1, +∞) 3. 如图程序运行后，输出的值是（ ）A 9B −4C 14D 54. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 6=∫√4−x 220dx ，则a 5(a 3+2a 5+a 7)的值为（ ） A π2 B 4 C π D −9π5. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A 12√3B 36√3C 27√3D 66. 函数y =log a (|x|−1)，(a >1)的大致图象是（ ）A BC D7. 圆心在曲线y =2x(x >0)上，且与直线2x +y +1＝0相切的面积最小的圆的方程为（ ）A (x −1)2+(y −2)2＝5B (x −2)2+(y −1)2＝5C (x −1)2+(y −2)2＝25D (x −2)2+(y −1)2＝25 8. 给出下列命题：①命题“若方程ax 2+x +1=0有两个实数根，则a ≤14”的逆否命题是真命题； ②在△ABC 中，“A >B”是“sinA >sinB”的充要条件； ③函数f(x)=2x −x 2的零点个数为2；④幂函数y =x a (a ∈R)的图象恒过定点(0, 0) 其中正确命题的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 49. 定义：区间[x 1, x 2](x 1<x 2)长度为x 2−x 1．已知函数y =|log 0.5x|定义域为[a, b]，值域为[0, 2]，则区间[a, b]长度的最小值为（ ） A 14B 34C 4D 17410. 对于定义域为D 的函数y =f(x)和常数C ，若对任意正实数ξ，存在x ∈D ，使得0<|f(x)−c|<ξ恒成立，则称函数y =f(x)为“敛C 函数”．现给出如下函数： ①f(x)=x(x ∈Z)； ②f(x)=(12)x +1(x ∈Z)；③f(x)=log 2x ； ④f(x)=x−1x．其中为“敛1函数”的有（ ）A ①②B ③④C ②③④D ①②③二．填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 已知f(x)=|x +2|+|x −4|的最小值为n ，则二项式(x −1x )n 展开式中x 2项的系数为________．12. 若x ∈[0, 2π]，则函数y =sinx −xcosx 的单调递增区间是________．13. 已知实数x ，y 满足{y ≥0y −x +1≤0y −2x +4≥0，若z =y −ax 取得最大值时的最优解(x, y)有无数个，则a 的值为________．14. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i, j ∈N +)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 52＝11．则a 87＝________．15. 定义：关于x 的不等式|x −A|<B 的解集叫A 的B 邻域．已知a +b −2的a +b 邻域为区间(−2, 8)，其中a 、b 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线y 2=4√5x 的焦点重合，则椭圆的方程为________．【选修4-4：坐标系与参数方程】16. 在极坐标系中，曲线C 1:ρ(√2cosθ+sinθ)=1与曲线C 2:ρ=a(a >0)的一个交点在极轴上，则a =________．【选修4-1：几何证明选讲】17. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为________．三．解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18. 已知向量m→=(√3sin2x+2, cosx)，n→=(1, 2cosx)，设函数f(x)=m→⋅n→，x∈R．（1）求f(x)的最小正周期与最大值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=4，b=1，△ABC的面积为√32，求a的值．19. 已知{a n}为等差数列，且a3=5，a7=2a4−1．(I)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；(II)若数列{b n}满足b1+4b2+9b3+...+n2b n=a n，设数列{b n}的前n项和为T n，当n≥2时，证明T n<52．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，Q为AD的中点．(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM=13PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M−BQ−C的大小．21. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）22. 已知函数f(x)=alnx+12x2−(1+a)x．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对于任意不小于2的正整数n，不等式1ln2+1ln3...+1lnn>1−1n恒成立．考生注意：本大题由两题组成，考生在两题中选择一题解答23. 证明点到直线的距离公式：已知点P(x0, y0)及直线L:Ax+By+C=0，证明点P到直线L的距离d=00√A2+B2．24. 叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程．2014年陕西省某校高考数学八模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. A5. B6. D7. A8. A9. B10. C11. 1512. (0, π)13. 114. 3815. x29+y24=116. √2217. √5218. 解：（1）由向量m→=(√3sin2x+2, cosx)，n→=(1, 2cosx)，则f(x)=m→⋅n→=√3sin2x+2+2cos2x=√3sin2x+cos2x+3=2sin(2x+π6)+3．∴ f(x)的最小正周期为T=2π2=π，f(x)的最大值为5；（2）由f(A)=4，得2sin(2A+π6)+3=4，即sin(2A+π6)=12，∵ 0<A<π，∴ 2A+π6=5π6，∴ A =π3． 又12bcsinA =√32，即12×1×√32c =√32， ∴ c =2．由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+4−2×1×2×12=3．∴ a =√3．19. 解：(1)设等差数列的首项和公差分别为a 1，d ，则{a 1+2d =5a 1+6d =2(a 1+3d)−1，解得{a 1=1d =2… ∴ a n =a 1+(n −1)d =2n −1… S n =n(a 1+a n )2=n 2…(2)解：∵ b 1+4b 2+9b 3+⋯+n 2b n =a n ①∴ b 1+4b 2+9b 3+⋯+(n −1)2b n−1=a n−1(n ≥2)② ①-②得：n 2b n =a n −a n−1=2(n ≥2)∴ b n =2n 2，n ≥2，又 b 1=a 1=1，∴ b n ={1,n =12n2，n ≥2．---------∴ 当n ≥2时，T n =1+222+232+⋯+2n 2<1+12+2[(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n )]=1+12+2(12−1n )=52…20. (1)证明：由题意知：PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ =Q ，∴ AD ⊥平面PQB ， 又∵ AD ⊂平面PAD ， ∴ 平面PQB ⊥平面PAD ．(2)解：∵ PA =PD =AD ，Q 为AD 的中点， ∴ PQ ⊥AD .∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， PQ 在平面PAD 内， ∴ PQ ⊥平面ABCD .以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， P(0, 0, √3)，B(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0)， ∴ QM →=23QP →+13QC →=(−23, √33, 2√33)，设n 1→=(x,y,z)是平面MBQ 的一个法向量， 则n 1→⋅QM →=0，n 1→⋅QB →=0， ∴ {−23x +√33y +2√33z =0，√3y =0，取z =1， ∴ n 1→=(√3,0,1).又∵ n 2→=(0,0,1)是平面BQC 的一个法向量， ∴ cos <n 1→，n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=12×1=12，∴ 二面角M −BQ −C 的大小是60∘． 21. 解：（1）由已知得25+y +10=55，x +30=45，所以x =15，y =20； 将频率视为概率可得P(X =1)=15100=0.15；P(X =1.5)=30100=0.3；P(X =2)=25100=0.25；P(X =2.5)=20100=0.2；P(X =3)=10100=0.1X 的分布列（2）记A ：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i (i =1, 2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P(A)=P （(X 1=1且X 2=1)+P （(X 1=1且X 2=1.5)+P （(X 1=1.5且X 2=1) 由于各顾客的结算相互独立，且X i (i =1, 2)的分布列都与X 的分布列相同，所以 P(A)=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125． 22. 解：∵ f′(x)=ax +x −(1+a)=x 2−(1+a)x+ax=(x−1)(x−a)x．（1）当a ≤0时，若0<x <1，则f ′(x)<0，若x >1，则f ′(x)>0，故此时函数f(x)的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是(1, +∞)；当0<a <1时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递增区间是(0, a)，(1, +∞)，单调递减区间是(a, 1)； 当a =1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，函数f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当a >1时，同0<a <1可得，函数f(x)的单调递增区间是(0, 1)，(a, +∞)， 单调递减区间是(1, a)．（2）由于f(1)=−12−a ，显然当a >0时，f(1)<0，此时f(x)≥0对定义域每的任意x不是恒成立的，当a ≤0时，根据①，函数f(x)在区间(0, +∞)的极小值、也是最小值即是f(1)=−12−a ， 此时只要f(1)≥0即可，解得a ≤−12，故得实数a 的取值范围是(−∞,−12]．（3）当a =−12时，f(x)=−12lnx +12x 2−12x ≥0，等号当且仅当x =1成立， 这个不等式即lnx ≤x 2−x ，当x >1时，可以变换为1lnx>1x 2−x=1(x−1)x，在上面不等式中分别令x =2，3，4…，n ， 1ln2+1ln3…+1lnn >11×2+12×3+⋯+1(n −1)n =1−1n ∴1ln2+1ln3…+1lnn>1−1n．23. 证明：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交， 过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R(x 1, y 0)， 作y 轴平行线，交l 于点S(x 0, y 2)，由{Ax 1+By 0+C =0Ax 0+By 2+C =0，得x 1=−By 0−C A ，y 2=−Ax 0−C B ， ∴ |PR|=|x 0−x 1|=|Ax 0+By 0+CA|，|PS|=|y 0−y 2|=|Ax 0+By 0+CB |，|RS|=√PR 2+PS 2=√A 2+B 2|AB|×|Ax 0+By 0+C|，由三角形面积公式，得： d ⋅|RS|=|PR|⋅|PS|， ∴ d =00√A 2+B 2．当A =0或B =0时仍适用，∴ 点P 到直线L 的距离d =00√A 2+B 2．24. 解：椭圆的定义：平面内到两个定点F 1，F 2距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆．F 1，F 2称为椭圆的两个焦点．… 设|F 1F 2|=2c(c >0)，定值为2a ，(a >0)，a >c >0， 取F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的中点为坐标原点O ， 建立直角坐标系，设动点M(x, y)， 则F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)…由已知条件有|MF 1|+|MF 2|=2a ，将坐标代入有√(x +c)2+y 2+√(x −c)2+y 2=2a ，… 化简整理得：x 2a 2+y 2a 2−c 2=1，∵ a >c >0，∴ 令a 2−c 2=b 2，(b >0)∴ x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，…10分∴ 焦点在x轴的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)如果取F1F2所在的直线为y轴，则椭圆的标准方程为y 2a2+x2b2=1(a>b>0)．…。

2014年陕西省西安中学高三第八次模拟考试数学理试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置）1、复数321i i -（为虚数单位）的虚部是（ ）A ． 15iB ．15C ． 15i -D ．15-2．已知集合2{|0}A x x x =-≤，函数()2()f x x x A =-∈的值域为B ，则(C )R A B 为（ ）A ．(]1,2B ． []1,2C ．[]0,1D ．()1,+∞3、如图程序运行后,输出的值是（ ） A ． 9 B. 5 C . -4 D . 144、已知等比数列{}n a ，且460a a +=⎰，则5357(2)a a a a ++的 值为（ ）A . 2πB . 2πC .πD . 24π 5、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A 、B 、6C 、、6、函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是( )A B C Ｄ7、圆心在曲线2(0)y x x=>上，与直线210x y ++=相切，且面积最小的圆的方程为（ ）A .22(2)(1)25x y -+-=B .22(2)(1)5x y -+-=C .22(1)(2)25x y -+-=D . 22(1)(2)5x y -+-= 8．给出下列命题：①命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则14a ≤”的逆否命题是真命题； ②在△ABC 中，“A B > ”是“sin sin A B > ”的充要条件；③函数2()2x f x x =-的零点个数为2； ④幂函数a x y =()R a ∈的图像恒过定点()0,0 其中正确命题的个数为（ ）A 、B 、 2C 、 3D 、 49、定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[， 则区间],[b a 长度的最小值为（ ）A ．14 B ．34 C ．4 D ．17410、对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，存在x D ∈，使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数：①()()f x x x Z =∈；()2log f x x =；其中为“敛函数”的有 ( ) A ．①② B ．③④ C ． ②③④ D ．①②③ 二．填空题：本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.11、已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式展开式中2x 项的系数为 .12、若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是13、已知实数x,y 满足010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩若z y ax =-取得最小值时的最优解(),x y 有无数个，则a 的值为______________.14、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = ．15、A 、定义：关于x 的不等式x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间()2,8-，其中a 、b 分别为椭圆22221x y a b +=的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线2y =的焦点重合，则椭圆的方程为 ； B 、（选修4—4坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为 .C 、（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .三．解答题（本大题共6小题，共75分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高三年级2014－2015学年度第八次摸底测试卷(最后一卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每一题5分,共50分,在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z C ∈，若24z z i -=-，则z 的值是 （ ）A. 34i +B.3455i + C. 341515i - D. 342525i -2. 5"x ">是式子2lg(45)x x --有意义的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.函数2y=log (23)a x x +-，当2x =时，y<0，则此函数的单调递减区间是 （ ）A. (,3)-∞-B. (1,)+∞C. (,1)-∞-D. (1,)-+∞4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+，59a =.则1a = （ ）A.13 B. 13- C. 19 D. 19-5.有5名男医生、6名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种6. ,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，当且仅当0,2x y ==时z y ax =-取得最大值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 12a -<< B. 1a <-或02a ≤<C. 112a -<<D. 1a <-或102a ≤< 7.若2(sin cos )22x xθθ-+=+，(0,)2πθ∈，则1sin θ= ( )A. 1B.33C.3 D. 28. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.223π+ B.423π+C.2323π+D.2343π+9.若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (7,1)-- B. (7,1]-- C. (7,2)-- D. (7,2]--10.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A ，B ，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)[,]x a b a b λλ=+-∈.已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k≤ 22侧(左)视图22 2正(主)视图 俯视图恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[1,3]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 （ ） A. [0,+)∞ B. 423[-,+)33∞C. 4[-3,+)3∞D. 3[-2,+)2∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11.函数2log sin y x =，当3[,)64x ππ∈时的值域为 .12.已知函数2()ln(1)f x x x x =+-+，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .13. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为160，则22a b +的最小值为 . 15.在直角坐标系内，点(,)A x y 实施变换f 后，对应点为1(,)A y x ，给出以下命题： ①圆222(0)x y r r +=≠上任意一点实施变换f 后，对应点的轨迹仍是圆222x y r +=； ②若直线(0)y kx b k =+<上每一点实施变换f 后，对应点的轨迹方程仍是y kx b =+， 则1k =-；③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上每一点实施变换f 后，对应点的轨迹仍是焦点不变的椭圆；④曲线:C ln y x x =-上每一点实施变换f 后，对应点的轨迹是曲线1C ，M 是曲线C 上的任意一点，N 是曲线1C 上的任意一点，则MN 的最小值为2(1ln 2)+. 以上正确命题的序号是 (写出全部正确命题的序号).三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知33cos sin a b C c B =+.⑴求角B ；⑵若2b =，求ABC ∆面积的最大值. 17.（本小题满分12分）设函数2()1xe f x ax=+，其中a R ∈. ⑴当1615a =时，求()f x 的极值点； ⑵若()f x 为R 上单调增函数，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3. （1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 所成的平面角的正切值19.（本小题满分13分）第17届亚洲运动会于2014年9月19日——10月4日在韩国仁川举行.现有5个人去观看某日下午的比赛，根据组委会安排当天下午有甲、乙两场比赛，5人约定：每一个人通过一枚质地均匀的骰子决定自己观看哪场比赛，掷出点数为1或2的人去观看甲场比赛，掷出点数大于2的人去观看乙场比赛.⑴求这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率；⑵求这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率；ξ-，求随机变量ξ⑶用X,Y分别表示这5个人中观看甲、乙场比赛的人数，记=X Y的分布列与数学期望Eξ.20.（本小题满分13分）设双曲线C 以椭圆221128x y +=的两个焦点为焦点，且双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1.⑴求双曲线C 的方程；⑵若直线:2l y kx =+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ∙>（其中O 为原点），求k 的取值范围.21.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的各项均为正值，11a =，对任意*n N ∈，2114(1)n n n a a a +-=+，2log (1)n n b a =+都成立.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；⑵令n n n C a b =∙，求数列{}n C 的前n 项和n T ； ⑶当7k >且*k N ∈时，证明对任意*n N ∈时，都有121111132n n n nk b b b b ++-++++>成立.高三年级2014－2015学年度第八次摸底测试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每一题5分,共50分,在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AB BC A AD C D B第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11. [1,0]- 12. 322ln 230x y -+-=13.111214. 4 15. ①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）解⑴由已知及正弦定理得3sin 3sin cos sin sin A B C C B =+. ① 又)A B C π=-+（,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+ ② 由①②和0C π∈（，），得sin =3cos B B . 又0B π∈（，），=3B π∴.⑵由已知及余弦定理得2242cos 3a c ac π=+-.又222a c ac +≥，故422cos3ac ac π≥-，4ac ∴≤，当且仅当a c =时，等号成立. ABC ∴∆的面积133sin 43244S ac B ac ∴==≤⨯=， 因此ABC ∆面积的最大值为3. 17.（本小题满分12分）解 对()f x 求导，得2'22(12)()(1)x e ax ax f x ax +-=+.⑴当1615a =时，令'()0f x =，则21632150x x -+=，解得134x =，254x =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x3(,)4-∞34 35(,)44 54 5(,+)4∞ '()f x+ 0- 0+ ()f x↗极大值↘极小值↗所以134x =是极大值点，254x =是极大值. ⑵若()f x 为R 上单调增函数，则'()f x 在R 上恒不小于0，即22+10ax a x -≥在R上恒成立，分两种情况：①若0a =，()=xf x e 在R 上为增函数，此时成立； ②若0a ≠，有0a >⎧⎨∆≤⎩，解得01a <≤；综合①②可得，实数a 的取值范围是[]01，.18.（本小题满分12分）解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos60° =4+16-2×2×4×21=12. ∴AB 2=AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB=90°，即AD ⊥BD在△PDB 中，PD=3，PB=15，BD=12， ∴PB 2=PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD.又PD ∩AD=D ，∴BD ⊥平面PAD.（2）∵BD ⊥平面PAD ，BD 平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD.作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴∠PDE 是PD 与底面BCD 所成的角，∴∠PDE=60°， ∴PE=PDsin60°=3·23=23. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF=BD=12，∴在Rt △PEF 中，tan ∠PFE=EF PE=3223=43.故二面角P —BC —A 所成的平面角的正切值为43.19.（本小题满分13分）解 依题意知，这5个人中，每个人去观看甲场比赛的概率为13，去观看乙场比赛的概率为23.设“这5个人中恰有i 人去观看甲场比赛”为事件i A (0,1,2,3,4,5)i =，则5512()()()33i i ii P A C -=.⑴这5个人中恰有2人去观看甲场比赛的概率223251280()()()33243P A C ==.⑵设“这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数”为事件B ，则345B A A A =⋃⋃，由于3A 与4A 与5A 互斥，故345++P B P A P A P A =（）（）（）（）332441550555121212()()+()()+()()333333P B C C C =（）1781= 所以这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率为1781. ⑶ξ的所以可能的取值为1,3,5，2340(1)()+()=81P P A P A ξ== 1410(3)()+()=27P P A P A ξ==，0511(5)()+()=81P P A P A ξ==所以ξ 的分布列为ξ 1 35P408110271181故4010111851+3+5=81278181E ξ=⨯⨯⨯. 20.（本小题满分13分）解 ⑴双曲线C 方程为2213x y -= ⑵将2y kx =+代入2213x y -=，得 22(13)629=0k x kx ---由直线l 与双曲线C 交于不同的两点，得2222130(62)36(13)36(1)0k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=-+-=->⎪⎩ 所以213k ≠且21k <. ① 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1226213k x x k +=-，122913x x k -=- 所以12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+++221212237(1)2()231k k x x k x x k +=++++=-又因为2OA OB ∙>，得12122x x y y +>，所以2237231k k +>- 即2239031k k -+>-，解得2133k << ② 由①②得2113k << 故k 的取值范围为33(1,)(,1)33--⋃.马鸣风萧萧 21.（本小题满分13分）解 ⑴21n n a =- n b n =⑵采用错位相减法1(1(1)222n n n n T n ++=-+-） ⑶设1211111=n n n nk S b b b b ++-++++1111=121n n n nk ++++++-， 111111112=()()()()112231S n nk n nk n nk nk n ∴++++++++-+-+--. 当0x >，0y >时，2x y xy +≥，1112x y xy+≥ 11()()4x y x y ∴++≥ 114x y x y ∴+≥+当且仅当x y =时等号成立.7k >，1n ≥，1n ∴+，2n +，，1nk -全为正， 44442112231S n nk n nk n nk nk n ∴>+++++-++-++--+4(1)1n k n nk -=+-， 2(1)2(1)111k k S k k n--∴>>++- 2232(1)2(1)1712k =->-=++. 因此，当7k >且*k N ∈时，证明对任意*n N ∈时，都有121111132n n n nk b b b b ++-++++> 成立.。

2014高考数学（理科）陕西卷真题答案解析
举国瞩目的2014高考已结束，新东方在线高考名师团队联合西安新东方高考名师第一时间对2014高考北京物理真题进行了点评，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。

以下是西安新东方高考数学名师对2014陕西高考数学（理科）真题的解析和点评。

[0,1N =考察解不等式及集合的交并补关系
tanθ=1
；
．
5 ; 225a b +=；(a 2222
5
55
ma nb m n a b ++≥
=
=+ ABC ∆，
)
3,1，
平面平面由题设，可知，）由该四面体的三视图解（EH
FG EH BC FG BC EFGH EFGH BC BD ∴∴////,//,//1(2)(0,0,1)(2,2,0)(2,0,1)n z 0
D DA BC BA DA →
→
→
→
→
→
==-=-∴⋅==⎧⎨解法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得
线面平行、垂直性质应用；建立空间坐标系，利用法向量求线面夹角理科18
在直角坐标
m n y x -=-两式相减，得
令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点1，故m n - 的最大值为1.
向量坐标运算；线性规划
的方程.
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2014年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．解答：解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选B．点评：本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣1考点：程序框图；等比数列的通项公式．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n．故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）xD．f（x）=3x考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．解答：解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D．点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．解答：解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=﹣x B．y=x3﹣xC．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．解答：解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误．故选：A．点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是F+V﹣E=2．考点：归纳推理．专题：归纳法；推理和证明．分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．解答：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V ﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．（不等式选做题）15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是1．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC．如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH．由平行公理可得FG∥EH．∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH．∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH∥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，∴MN⊥平面EFGH⊥，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，∵△MEH是等腰直角三角形，∴MN=，又MF=AB=，∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是．解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1．又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点．∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．则．设平面EFGH的一个法向量为．由，得，取y=1，得x=1．∴．则sinθ=|cos＜＞|===．点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y ﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。

陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16AB =，则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4 2.命题“对任意x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为( )A .对任意x ∈R ，都有2240x x -+≥B .对任意x ∈R ，都有2240x x -+≤C .存在0x ∈R ，使得200240x x -+>D .存在0x ∈R ，使200240x x -+≤3.已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若4m +a b 与2-a b 共线，则m 的值为( ) A .12 B .2 C .12- D .2- 4.对于函数22()sin ()cos ()44f x x x ππ=+-+，下列选项中正确的是( )A .()f x 在(,)42ππ上是递增的 B .()f x 的图像关于原点对称C .()f x 的最小正周期为2πD .()f x 的最大值为25.如图，若5N =时，则输出的数等于( )A .54 B .45 C .65 D .566.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长 度：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮 的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A .2100(3cm +B .2200(3cmC .2300(3cmD .3002cm7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售 额为( )A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .则“10a >，1q >”是“{}n a 为递增数列” 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个 三位数，它是渐升数的概率为( ) A .1425 B .775 C .760 D .71010.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax =有且只有一个实数解，则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .(,0]-∞C .(,0][1,2]-∞D . (,2]-∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设复数11z i =+，22()z x i x =+∈R ，若12z z 为纯虚数，则x = .12.设x 、y 满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是 .13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线22116x y m-=的右焦点F ，且双曲线的右顶 点A 到点F 的距离为1，则p = . 14.已知()xx f x e=，定义1()()f x f x '=，21()[()]f x f x '=，…，1()[()]n n f x f x +'=，*n ∈N .D经计算11()x xf x e -=，22()x x f x e -=，33()x x f x e-=，…，照此规律，则()n f x = . 15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A .(不等式选做题) 已知x 、y 均为正数，且1x y +=，的最大值为 . B .(几何证明选做题)如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，1BC =， 30BCD ∠=︒，则圆O 的面积为 .C .(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点(1,0)且与 极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = . 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB =，9AC =，30BCA ∠=︒， 45ADB ∠=︒.（Ⅰ）求sin ABC ∠；（Ⅱ）求BD 的长度.17.（本题满分12分）已知{}n a 是正项数列，11a=，且点1)n a +（*n ∈N ）在函数21y x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若列数{}n b 满足11b =，12n a n n b b +=+，求证：221n n n b b b ++<.18.（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛” 活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数， 满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生 参加“中国谜语大会”，设随机变量X 表示所抽取的3名学生中得分在[80,90)内的学生yx人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19.（本题满分12分）如图，已知菱形ACSB 中，60ABS ∠=︒.沿着对角线SA 将菱形ACSB 折成三棱锥S ABC -，且在三棱锥S ABC -中，90BAC ∠=︒，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求平面ASC与平面SCB 夹角的余弦值．20.（本题满分13分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、 上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若点162(,)1717M -在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交 椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. 求直线l 的方程及椭圆C 的方程. 21.（本题满分14分）已知函数2()x f x e x a =-+，x ∈R 的图像在点0x =处的切线为y bx =．（2.71828e ≈）.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，讨论函数()g x 的单调性与极值； （Ⅲ）若k ∈Z ，且21()(352)02fx x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.BC陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）答题纸一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）17.（本题满分12分）18.（本题满分12分）19.（本题满分12分）20.（本题满分13分）CBC21.（本题满分14分）陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB ACBCA ABC=∠∠， sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………………6分（Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，∴95sin sin AB BADBD ADB⨯∠===∠.…………………………………………12分17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，故1(1)1n a n n =+-⨯=.…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n =，从而12n n n b b +-=. 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+121222212112nn n n ---=++++==--.………………………………………8分因为221221(21)(21)(21)n n n n n n b b b ++++-=---- 222225212421n n n n ++=-⋅+-+⋅- 20n =-<∴ 221n n n b b b ++<.……………………………………………………………………12分18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，分数在[90,100]内的学生有2人， 共7人.抽取的3名学生中得分在[80,90)的人数X 的可能取值为1，2，3，则12523751(1)357C C P X C ====，215237204(2)357C C P X C ====，305237102(3)357C C P X C ====. 所以X 的分布列为…………………………………………………………………………………………10分 所以142151237777EX =⨯+⨯+⨯=.………………………………………………12分 19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====， 连结OA，ABC ∆为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 又SBC ∆为等腰三角形，故SOBC ⊥，且SO =， 从而222OA SO SA +=．所以SOA ∆为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC .………………………………………6分（Ⅱ）以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(1,0,0)B ，则(1,0,0)C -，(0,1,0)A ，(0,0,1)S (0,1,1)SA =-，(1,0,1)SC =--.设平面SAC 的法向量1(,,)x y z =n ，由1100SA y z y x z x SC x z ⎧⋅=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=--=⎩⎪⎩n n ，令1x =，得1(1,1,1)=--n ；由（Ⅰ）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量2(0,1,0)OA ==n .……10分 设平面ASC 与平面SCB的夹角为θ，则1212||cos ||||θ⋅==n n n n .…………………12分 20.（本题满分13分）解：（Ⅰ）由已知|||AB BF=，，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴ c e a ==…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b +=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22112214x y b b +=，22222214x y b b +=，可得222212122204x x y y b b--+=， 即1212121222()()()()04x x x x y y y y b b +-+-+=， 即121232()417()0417x x y y --+-=，从而12122PQ y y k x x -==-， 进而直线l 的方程为2162[()]1717y x -=--，即220x y -+=.…………………9分 由22222222204(22)4014x y x x b x y bb -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=.22321617(4)0b b ∆=+⨯->⇔>.123217x x +=-，21216417b x x -=. ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=. 从而25(164)128401717b --+=，解得1b =， ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………………………………………13分 21.（本题满分14分）解：（Ⅰ）2()x f x e x a =-+，()2x f x e x '=-.由已知(0)101(0)11f a a f b b =+==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩， 2()1x f x e x =--.………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(),0f x g x x x=>， 则2222()()(2)(1)(1)(1)()x x x xf x f x x e x e x x e x g x x x x '--------'===. 令1x y e x =--，10x y e '=->在(0,)x ∈+∞恒成立，从而1x y e x =--在(0,)+∞上单调递增，0010y e >--=.令()0g x '>，得1x >；()0g x '<，得01x <<.∴ ()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).极小值为(1)0g =，无极大值.……8分 （Ⅲ）21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立， 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立， 215122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立. ………………………………………10分 令215()122x h x e x x =+--， 5()2x h x e x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增， 又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，3334423777771() 2.56 1.6204444444h e '=->-=-=>-=>， ∴ 存在唯一的013(,)24x ∈，使得0()0h x '=，………………………………………12分 且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>.即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--，又0()0h x '=，即00502x e x +-=，0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+， ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--.215122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立， 0()k h x ⇔≤，又k ∈Z ，∴ max 1k =-.………………………………………14分。

2014年某校高考数学八模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 集合A ={0, 2, a}，B ={1, a 2}，若A ∪B ={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为( ) A 0 B 1 C 2 D 42. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0”的否定为（ ）A 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≥0B 对任意x ∈R ，都有x 2−2x +4≤0C 存在x 0∈R ，使得x 02−2x 0+4>0 D 存在x 0∈R ，使x 02−2x 0+4≤0 3. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(−1, 2)，若ma →+4b →与a →−2b →共线，则m 的值为（ ） A 12B 2C −12D −24. 对于函数f(x)=sin 2(x +π4)−cos 2(x +π4)，下列选项中正确的是（ ） A f(x)在(π4, π2)上是递增的 B f(x)的图象关于原点对称 C f(x)的最小正周期为2π D f(x)的最大值为25. 如图，若N =5时，则输出的数等于（ ）A 54 B 45 C 65 D 566. 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（ ）A 100(3+√5)cm 2B 200(3+√5)cm 2C 300(3+√5)cm 2D 300cm 2 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ̂=b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A 63.6万元B 65.5万元C 67.7万元D 72.0万元8. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 9. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个三位数，它是渐升数的概率为（ ） A 1425 B 775 C 760 D 71010. 已知函数f(x)={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1),x >0，若f(x)=ax 有且只有一个实数解，则a 的取值范围是（ ）A [1, 2]B (−∞, 0]C (−∞, 0]∪[1, 2]D (−∞, 2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分.考生注意：请在15.16.17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.11. 设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2为纯虚数，则x =________． 12. 设x ，y 满足{x +y <1y ≤x y ≥0，则z =3x +y 的最大值是________．13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是双曲线x 216−y 2m =1的右焦点F ，且双曲线的右顶点A 到点F 的距离为1，则p =________．14. 已知f(x)=xe x ，f 1(x)=f ′(x)，f 2(x)=[f 1(x)]′，⋯，f n+1(x)=[f n (x)]′，n ∈N ∗，经计算f 1(x)=1−x e x，f 2(x)=x−2e x，f 3(x)=3−x e x，⋯，照此规律，则f n (x)=________．【不等式选做题】15. （不等式选做题） 已知x 、y 均为正数，且x +y =1，则√3x +√4y 的最大值为________．【几何证明选做题】16. 如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC =1，∠BCD =30∘，则圆O 的面积为________．【坐标系与参数方程选做题】17. 在极坐标系中，若过点(1, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）18. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30∘，∠ADB=45∘．（1）求sin∠ABC；（2）求BD的长度．19. 已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(√a n, a n+1)(n∈N∗)在函数y＝x2+1的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若列数{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+2n a，求证：b n⋅b n+2<b n+12．20. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为10作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50, 60）,[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50, 60）,[90, 100]的数据）．(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80, 90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．21. 如图，已知菱形ACSB中，∠ABS=60∘．沿着对角线SA将菱形ACSB折成三棱锥S−ABC，且在三棱锥S−ABC中，∠BAC=90∘，O为BC中点．（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．22. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=√52|BF|．（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M(−1617, 217)在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．23. 已知函数f(x)=e x−x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(e≈2.71828)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）g(x)=f(x)x，x∈(0, +∞)，讨论函数g(x)的单调性与极值；（3）若k∈Z，且f(x)+12(3x2−5x−2k)≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．2014年某校高考数学八模试卷（理科）答案1. D2. C3. D4. B5. D6. A7. B8. A9. B10. C11. 212. 313. 1014. (−1)n(x−n)e x15. √716. π17. 2√318. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得ABsin∠BCA =ACsin∠ABC，∴ sin∠ABC=ACsin∠BCAAB =9sin30∘5=910．（2）∵ AD // BC，∴ ∠BAD=180∘−∠ABC，sin∠BAD=sin(180∘−∠ABC)=sin∠ABC=910，在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB =BDsin∠BAD，∴ BD =ABsin∠BAD sin∠ADB=5×910√22=9√22．19. 解法一：（1）由已知得a n+1＝a n +1、即a n+1−a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列． 故a n ＝1+(n −1)×1＝n ．（2）由(Ⅰ)知：a n ＝n 从而b n+1−b n ＝2n ．b n ＝(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+...+(b 2−b 1)+b 1 ＝2n−1+2n−2+...+2+1=1−2n 1−2=2n −1 ∵ b n ⋅b n+2−b n+12＝(2n −1)(2n+2−1)−(2n+1−1)2 ＝(22n+2−2n −2n+2+1)−(22n+2−2⋅2n+1+1) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+12解法二：（1）同解法一． （2）∵ b 2＝1b n ⋅b n+2−b n+12＝(b n+1−2n )(b n+1+2n+1)−b n+12＝2n+1⋅b n+1−2n ⋅b n+1−2n ⋅2n+1 ＝2n (b n+1−2n+1) ＝2n (b n +2n −2n+1) ＝2n (b n −2n ) ＝…＝2n (b 1−2) ＝−2n <0∴ b n ⋅b n+2<b n+1220. （1）由题意可知，样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1−0.004−0.010−0.016−0.04＝0.030．（2）由题意可知，分数在[80, 90)有5人，分数在[90, 100)有2人，共7人． 抽取的3名同学中得分在[80, 90)的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则 P(ξ=1)=C 51C22C 73=535=17，P(ξ=2)=C 52C21C 73=2035=47，P(ξ=3)=C 53C 73=1035=27．所以，ξ的分布列为所以，Eξ=1×17+2×47+3×27=157．21. （本题满分12分）解：（1）证明：由题设AB =AC =SB =SC =SA ，连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形， 所以OA =OB =OC =√22SA ，且AO ⊥BC ，又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO =√22SA ， 从而OA 2+SO 2=SA 2．所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO ． 又AO ∩BO =O ．所以SO ⊥平面ABC ．…（2）以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O −xyz ．设B(1, 0, 0)，则C(−1, 0, 0)，A(0, 1, 0)，S(0, 0, 1)． SA →=(0,1,−1)，SC →=(−1,0,−1)． 设平面SAC 的法向量n →=(x, y, z)，由{n →⋅SC →=−x −z =0˙，令x =1，得n →=(1, −1, −1)， 由（1）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量m →=OA →=(0,1,0)．… 设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ， 则cosθ=|cos <n →，m →>|=|−1√3|=√33． ∴ 平面ASC 与平面SCB 夹角的余弦值为√33．… 22. （本题满分13分） 解：（1）由已知|AB|=√52|BF|， 即√a 2+b 2=√52a ， 4a 2+4b 2=5a 2，4a 2+4(a 2−c 2)=5a 2， ∴ e =ca =√32．… （2）由（1）知a 2=4b 2， ∴ 椭圆C:x 24b 2+y 2b 2=1． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由x 124b 2+y 12b 2=1，x 224b 2+y 22b 2=1，得x 12−x 224b 2+y 12−y 22b 2=0，即(x 1+x 2)(x 1−x 2)4b 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即−3217(x 1−x 2)4+417(y 1−y 2)=0，从而k PQ =y 1−y2x 1−x 2=2，进而直线l 的方程为y −217=2[x −(−1617)]， 即2x −y +2=0．…由{2x −y +2=0x 24b 2+y 2b 2=1⇒x 2+4(2x +2)2−4b 2=0，即17x 2+32x +16−4b 2=0． △=322+16×17(b 2−4)>0⇔b >2√1717.x 1+x 2=−3217，x 1x 2=16−4b 217．∵ OP ⊥OQ ，∴ OP →⋅OQ →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2)=0，5x 1x 2+4(x 1+x 2)+4=0． 从而5(16−4b 2)17−12817+4=0，解得b =1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…23. 解：（1）f(x)=e x −x 2+a ，f ′(x)=e x −2x ．由已知{f(0)=1+a =0f′(0)=1=b ⇒{a =−1b =1，f(x)=e x −x 2−1．…（2）由（1）知，g(x)=f(x)x，x >0，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2=x(e x −2x)−(e x −x 2−1)x 2=(x−1)(e x −x−1)x 2．令y =e x −x −1，y ′=e x −1>0在x ∈(0, +∞)恒成立，从而y =e x −x −1在(0, +∞)上单调递增，y >e 0−0−1=0． 令g ′(x)>0，得x >1；g ′(x)<0，得0<x <1．∴ g(x)的增区间为(1, +∞)，减区间为(0, 1)．极小值为g(1)=e −2，无极大值．… （3）f(x)+12(3x 2−5x −2k)≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔e x +12x 2−52x −1−k ≥0对任意x ∈R 恒成立，⇔k ≤e x +12x 2−52x −1对任意x ∈R 恒成立．…令ℎ(x)=e x +12x 2−52x −1，ℎ′(x)=e x +x −52，易知ℎ′(x)在R 上单调递增， 又ℎ′(0)=−32<0，ℎ′(1)=e −32>0，ℎ′(12)=e 12−2<0，ℎ′(34)=e 34−74>2.5634−74=1.632−74=√512125−74>2−74=14>0，∴ 存在唯一的x0∈(12,34)，使得ℎ′(x0)=0，…且当x∈(−∞, x0)时，ℎ′(x)<0，x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0．即ℎ(x)在(−∞, x0)单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0+12x02−52x0−1，又ℎ′(x0)=0，即e x0+x0−52=0，e x0=52−x0．∴ ℎ(x0)=52−x0+12x02−52x0−1=12(x02−7x0+3)，∵ x0∈(12,34)，∴ ℎ(x0)∈(−2732,−18).k≤e x+12x2−52x−1对任意x∈R恒成立，⇔k≤ℎ(x0)，又k∈Z，∴ k max=−1．…。

西安中学2014届高三第八次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置） 1、复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ． 15iB ．15C ． 15i -D ．15-2．已知集合2{|0}A x x x =-≤，函数()2()f x x x A =-∈的值域为B ，则(C )R A B I 为（ ）A ．(]1,2B ． []1,2C ．[]0,1D ．()1,+∞3、如图程序运行后,输出的值是（ ） A ． 9 B. 5 C . -4 D . 144、已知等比数列{}n a ，且224604a a x dx +=-⎰，则5357(2)a a a a ++的 值为（ ）A . 2πB . 2πC .πD . 24π 5、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的 三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A 、123 B 、6 C 、273 D 、3636、函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是( )A B C Ｄ 7、圆心在曲线2(0)y x x=>上，与直线210x y ++=相切，且面积最小的圆的方程为（ ） A .22(2)(1)25x y -+-= B .22(2)(1)5x y -+-= C .22(1)(2)25x y -+-= D . 22(1)(2)5x y -+-= 8．给出下列命题：①命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则14a ≤”的逆否命题是真命题； ②在△ABC 中，“A B > ”是“sin sin A B > ”的充要条件；③函数2()2x f x x =-的零点个数为2； ④幂函数a x y =()R a ∈的图像恒过定点()0,0 其中正确命题的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、 3D 、 49、定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[， 则区间],[b a 长度的最小值为（ ）A ．14 B ．34 C ．4 D ．17410、对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，存在x D ∈，使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数：①()()f x x x Z =∈； ；③ ()2log f x x =；其中为“敛1函数”的有 ( ) A ．①② B ．③④ C ． ②③④ D ．①②③ 二．填空题：本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.11、已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式展开式中2x 项的系数为 . 12、若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是13、已知实数x,y 满足010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩若z y ax =-取得最小值时的最优解(),x y 有无数个，则a 的值为______________.14、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = ．15、A 、定义：关于x 的不等式x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间()2,8-，其中a 、b 分别为椭圆22221x y a b+=的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线2y =的焦点重合，则椭圆的方程为 ；B 、（选修4—4坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为 .C 、（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .三．解答题（本大题共6小题，共75分。