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第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
动态电路的时域分析习题10-1 设图（a ）、（b ）电路达到稳态，在0=t 时开关S 动作，试求图中所标电压、电流的初值。
C u L i L(a) (b)题10-1图S 开，等效图如图所示： S 闭：解：对(a)图当0t -=时，求(0)C u -10(0)(0)1510510C C u u V +-==⋅=+0t +=时，求123(0),(0),(0)i i i +++1+2+15-5(0)=(0)==0.5A 5+5i i 3(0)0i A +=（b ）S 开 S 闭+_(0)u (0)L u (0)L对(b)图当0t -=时，求(0)L i -(0)(0)2L L i i A +-==当0t +=时，求(0),(0)L L u u -+42(0)4L u +⨯+=(0)4L u +=-(0)2240u +=⨯-=10-2电路如图所示，已知Ω==421R R ，Ω=23R ，H L 1=，V U S 121=，V U S 62=。
电路原来处于稳定状态，0=t 时，开关S 闭合，试求)0(+L i 和)0(+L u 。
题10-2 图 题10-2 图解：S 开S 闭当0t -=时，求(0)L i -223(0)(0)1S L L U i i A R R +-===+当0t +=时，求(0)L u +111813421253246(0)10(0)3L L i i i i i i i u u ++⎧⎫=⎪⎪=+⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬+=⎩⎭⎪⎪=⎪⎪⎩⎭+=+=10-3 设图示电路达到稳态，在0t =时开关S 动作，试求(0)c u +、(0)L i +、(0)i +、dtdu C /)0(+和(0)L di dt +。
(a)(b)解：当0t -=时，求(0),(0)c L u i --，等效电路如图（a ）15(0)(0).(60//20)530(60//20)C C u u V +-===+_1560(0)(0).0.2530(60//20)6020L L i i A +===++当0t +=时，求(0),(0)L c u i ++,等效电路如图（b ）(0)5200.250L u V +=-⨯=S U -+2S L15101(0)0.253010c i A +-=-=(0)(0)1/6C C du i V s dt C ++==(0)(0)0A/s L L di u dt L++==10-4设图示电路达到稳态，在0t =时开关S 动作，试求(0)c u +、(0)L i +、(0)R u +、(0)c du dt +和(0)L di dt +。
第四章 线性动态电路的时域分析4-1 学习要求（1）理解动态电路基本概念及动态电路的描述方法，会列写电路动态方程；（2）了解换路的定义，理解和掌握换路定律内容及其成立条件，理解和掌握动态电路初始条件含义及其计算；（3）理解和掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的定义、产生原因，会列写一阶电路的微分方程并能正确求解。
理解电路时间常数τ的物理意义，并会求解；（4）理解和掌握一阶电路全响应三种方式的物理意义，并会进行分解；（5）理解和掌握求解一阶电路在阶跃激励下全响应的三要素公式及此公式成立的条件，并会用此公式求解一阶电路的全响应，会画响应的波形；（6）了解一阶电路的正弦响应，并会求解；（7）会列写二阶电路的微分方程，了解二阶电路零输入响应、零状态响应、全响应的定义与求解方法，理解和掌握二阶电路零输入响应的性质与电路参数的关系；（8）了解阶跃函数和阶跃响应的定义及求法，了解冲激函数和冲激响应的定义及求法； （9）理解和掌握动态电路的实际应用。
4-2 主要内容1、动态电路的初始值及其确定（1）初始值的定义。
0t +=时刻电路中电压与电流的值为初始值，例如(0),(0)C L u i ++等。
（2）求初始值的理论和方法依据。
求初始值的理论依据是KVL ，KCL ，元件的伏安关系，再加上换路定则产。
电荷守恒定律，磁链守恒定律。
求初始值的方法仍然是回路分析法、节点分析法、叠加定理，等效电源定理，以及电路的各种等效变换原理等。
所谓换路是指由任何原因引起的电路结构与电路元件参数的改变。
换路定则是指当流过电容中的电流为有限值时，则换路瞬间，电容两端的电压不会突变；当加在电感两端电压为有限值时，则换路瞬间，电感中的电流不会突变；确定初始值的步骤如下：①根据换路前0t -=时的电路，求(0),(0)C L u i --；②在电容电流或电感电压为有限值的条件下，根据换路定则求出(0)C u +或(0)L i +；③换路后的电路中，用电压为(0)C u +的电压源置换电容元件，或用电流为(0)L i +的电流源置换电感元件，得到0t +=时的等效电路，该电路为电阻电路；④应用电阻电路的分析方法，求出电路中待求电压和电流在0t +=时的初始值。
（3）当电路中作用的独立电源为直流电源或阶跃电源且电路已达到稳定工作状态时，电感相当于短路，电容相当于开路。
2、一阶电路分析电路的状态方程，是一阶常系数线性微分方程的电路称为一阶动态电路。
（1）一阶电路仅由电路的原始状态引起的响应称为零输入响应。
一阶动态电路的零输入响应的方程是常系数线性齐次微分方程；线性电路的零输入响应为初始值的线性函数。
假设电路在0t =时发生换路，用y 表示电路中的电压或电流，则电路的零输入响应可表示为()(0)0ty t y et τ-+=≥式中，(0)y +为电路响应的初始值，τ为电路的时间常数。
对RC 电路，RC τ=；对于RL 电路，L Rτ=。
时间常数的大小反映了电路响应变化的快慢，时间常数越大，电路响应变化越慢。
（2）一阶电路在原始状态为零的情况下，仅由独立电源激励引起的响应，称为零状态响应。
一阶动态电路的零状态响应的方程是常系数线性非齐次微分方程；（3）一阶电路在非零原始状态下，由激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应。
由叠加定理。
一阶线性电路的全响应为零输入响应和零状态响应之和，即全响应 = 零输入响应 + 零状态响应由线性常微分方程的解的特性和形式，一阶线性电路的全响应又可表示为全响应 = 自由响应 + 强制态响应或 全响应 = 瞬态响应 + 稳态响应求解一阶线性电路的全响应既可以采用经典法也或以采用三要素尘缘。
经典法指通过列写微分方程并计算齐次解、特解和待定系数，得到一阶线性电路的全响应的时域分析方法。
三要素法则是跳过建立电路的微分方程求解的过程，直接由给定的一阶线性电路求出一阶线性电路的响应的三个要素，然后写出响应的数学表达式。
一阶动态电路在直流或阶跃电源输入时，求解线性电路的全响应的三要至少法公式为()[(0)()]ty y y y e τ-+=∞+-∞式中，(0)y +为初始值，()y ∞为稳态值，他们可以是电流也可以是电压，τ为时间常数，对于RC 电路RC τ=，对于RL 电路，LRτ=。
这里(0)y +，()y ∞和τ为求解全响应的三要素。
3、二阶电路分析能用二阶微分方程描述响应与激励关系的电路，称为二阶电路。
当外激励为零，仅由初始状态在二阶电路中产生的响应，称为二阶电路的零输入响应。
若电路的初始状态为零，仅由外加激励产生的响应，称为二阶电路的零状态响应。
由激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应。
二阶电路的动态方程的建立和求解与一阶动态电路类似，二阶动态电路的响应有过阻尼、临界阻尼和欠阻尼及无阻4、阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应都是零状态响应，相互之间满足一定的数学关系()()ds t h t dt=。
从电路分析方法上来看，阶跃响应可以采用时域分析中的经典法或三要素法；而冲激响应由于激励是奇异的，不满足换路定律，因此，在时域分析时要分步骤进行。
5、动态电路的应用动态电路在许多电子设备中都很常用，如直流电源中的滤波器、数字通信中的平滑电路、微分器、积分器、延时电路、继电器电路、振铃电路、峰值电路和振荡电路等都上其应用的例子。
4-3 习题解答4-1 题图4-1所示电路中，0t <时，开关S 闭合，电路处于稳态。
今于0t =时开关S 打开，求0t +=时刻电感的磁场能量(0)L W +和电容的电场能量(0)C W +。
C解：因0t <时，开关S 闭合，电路处于稳态，所以电感相当短路，电容相当开路，故有10(0)232(0)2(0)224C i Au i V ---==+==⨯= 当0t >开关S 打开后，有(0)(0)2,(0)(0)4C C i i A u u V +-+-====故得222211(0)(0)2242211(0)(0)0.54422L C C W Li J W Cu J++++==⨯⨯===⨯⨯=4-2 求题图4-2所示电路中S 闭合瞬间各支路电流和电感电压。
C()a Cu 3Ω()b ()c 24V解：由0t -=时电路可得48(0)(0)12,(0)(0)2122422L L C C i i A u u V +-+-======⨯=+由0t +=时电路可得4824(0)8,(0)12820,(0)48212243C L i A i A u V +++-===+==-⨯=4-3 题图4-3（a ）所示电路中，求(0),(0)C L i u ++。
题图4-1题图4-2()a+-()0b t -= (0)C +()0c t +=解：由0t -=时的电路得 (0),(0)L S C S i i u Ri --==由换路定则得 (0)(0),(0)(0)L L S C C S i i i u u Ri +-+-====由0t +=时的电路得(0)0,(0)SC s L S Ri i i u Ri R++=-==-4-4题图4-4（a ）所示电路中开关断开已久，而在0t =时闭合，求：（1）(0),(0)i u ++; （2）(0)(0),di du dt dt++；（3）(),()i u ∞∞。
u()au()b ()c解：（1）若0t =之前开头闭合了很长时间，则此时电路达到直流稳态，电感相当于短路，电容开路，所以有124(0)2,(0)2(0)442S u i A u i V R R ---=====++由换路定则有(0)(0)2,(0)(0)4i i A u u V +-+-====（2）0t =时开关断开，其等效电路如题图4-4（b ）所示，流过电感和电容的电流相同，即(0)(0)2C i i A ++==因为C du i Cdt =，所以有(0)(0)220/0.1C i du V s dt C ++=== 又因为L diu L dt =， 所以有(0)(0)L d i u d t L++= 题图4-3题图4-4对题图4-4（b ）所示电路的回路用KVL 来确定(0)L u +124(0)(0)(0)0L i u u +++-+++=所以 (0)12840L u +=--= 因此，(0)(0)00/0.25L di u A s dt L ++=== （3）0t >时，电路经历过渡过程，而当t →∞，电路再次达到稳态，电感又相当于短路，电容相当于短路，其电路如题图4-4（c ）所示，有()0,()12i u V ∞=∞=4-5 题图4-5（a ）所示电路在开关S 闭合前已达到稳态。
0t =时闭合，试求初始值(0)ab u +。
3Ωab(0)+()b解：S 闭合前电路已达到稳态，在直流激励下，电感相当于短路，可得9(0)1333L i A -==++由换路定则有 (0)(0)1L L i i A +-==将电感用１A 的电流源置换，可得0t +=时的等效电路如题图4-5（b ）所示，由此可得1111119()(0)(0)3363311(0)(0)133ab ab u u u u ++++++-=-+=-联立求解得 (0)1ab u V +=4-6 题图4-6（a ）所示电路已处于稳态。
在0t =时，开关S 闭合，求(0)i +。
题图4-54Ω()b解：由换路定则可得 114(0)(0)22i i A +-===，则换路后受控电压源的电压为 13(0)326i V +=⨯=由此可得0t +=的等效电路如题图4-6（b ）所示，由该图可得462(0)2166i A +-=-⨯=- 4-7 题图4-7（a ）所示电路中，S U 是一个直流电压源，电路在换路之前开关闭合，且电路已处于稳定状态。
当0t =时开关S 打开，试求换路后电容电压C u 和电流i 的变化规律及电容的初始储能。
2Ω()a()b 2解：0t <时，电路已处于稳定状态，所以12012//3(0)124//63C S R R u U V R R R -==⨯=++由换路定则可得(0)(0)4C C u u V +-==0t >时的电路如题图4-7（b ）所示，所以，有1212411(//)0.512462R R C s τ⨯==⨯==+换路后电容电压表达式为2()(0)4tt C C u t u ee V τ--+==初始储能为题图4-7 题图4-622111(0)(0)4 1.33226C C W Cu J -=-=⨯⨯=换路后电流2124(0)6t C du i Ce V t dt -==-⨯⨯≥4-8 题图4-8所示电路中，12(0)10,4,5,0.1C u V R R C F -==Ω=Ω=，当0t =时闭合开关S 。
