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高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达为y=ax+b 的形式，其中a称为斜率，b称为截距。
1. 斜率：斜率可以用来表示函数图像的增减趋势，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
2. 截距：截距表示函数图像与y轴之间的交点，可以用来确定函数图像的位置。
二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表达为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c均为常数。
1. 抛物线：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
2. 零点：通过解方程y=0，可以求得二次函数的零点，即方程的根。
3. 非负性：当a>0时，二次函数的值大于等于c，当a<0时，二次函数的值小于等于c。
4. 顶点：二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。
三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。
1. 指数规律：指数函数的数学规律为a^x=a^y，当x=y时，指数函数取相同的值。
2. 增长与衰减：指数函数具有快速增长或衰减的特点，指数函数的指数为正时，函数递增；指数为负时，函数递减。
3. 自然指数函数：自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数，形式为f(x)=e^x。
四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。
1. 对数规律：对数函数的数学规律为a^loga(x)=x，当x>0时，对数函数取正值。
2. 增长与衰减：对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。
3. 自然对数函数：自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数，形式为f(x)=ln(x)。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于解决与角度相关的问题。
1. 正弦函数：正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常表示为sin(x)。
2. 余弦函数：余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常表示为cos(x)。
高考数学函数与方程考点精讲在高考数学中，函数与方程是极为重要的考点，贯穿了整个高中数学的学习。
理解并掌握这部分知识，对于在高考中取得优异成绩至关重要。
首先，我们来谈谈函数的概念。
函数可以简单地理解为一种对应关系，对于给定范围内的每一个自变量，都有唯一确定的因变量与之对应。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，当我们给定 x 的值，就能通过这个式子计算出唯一的 y 值。
函数的性质是高考中的重点。
单调性，通俗来讲，如果函数在某个区间内，当自变量增大时，因变量也随之增大，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；反之，如果自变量增大时，因变量减小，那就是单调递减。
比如二次函数 y ＝ x²，在区间（∞， 0) 上是单调递减的，在区间（0, ＋∞）上是单调递增的。
奇偶性也是常考的性质之一。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x) ，其图像关于原点对称；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，图像关于 y 轴对称。
像函数 f(x)＝ x³就是奇函数，而 f(x) ＝ x²则是偶函数。
接下来，我们聊聊函数的图像。
函数图像能够直观地反映函数的性质。
比如通过二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的图像，我们可以直接看出它的开口方向、对称轴、与 x 轴的交点等信息。
对于函数的求值域和定义域，这是必须要掌握的基础。
定义域就是自变量的取值范围，要考虑到分式的分母不为零、偶次根式内的式子大于等于零等情况。
而值域则是因变量的取值范围，可以通过函数的单调性、图像等方法来求解。
再来说说方程。
方程的本质是含有未知数的等式。
在函数与方程的关系中，我们经常会利用函数的零点来求解方程的根。
函数的零点就是使得函数值为零的自变量的值。
例如，对于函数 f(x) ，如果存在实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就是函数 f(x) 的零点。
通过零点存在定理，可以判断函数在某个区间内是否存在零点。
在解题时，我们常常需要将方程问题转化为函数问题。
高中数学函数与方程知识点总结函数是高中数学中的一个重要概念，它描述了一种依赖关系，又称为映射或者映象。
函数在解决实际问题和数学推导中有着广泛的应用。
方程是数学中一个重要的概念，它描述了等式中两个式子的平衡关系。
函数与方程是高中数学中的基础知识点，下面将对它们进行详细的总结。
I. 函数的定义与性质函数是指在集合之间建立起的一种特殊的对应关系。
在一个函数中，每一个自变量对应唯一的一个因变量。
函数通常用符号表示，如f(x)或y = f(x)。
函数的性质包括以下几点：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量取值的范围，值域是因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果函数满足f(-x) = f(x)（对称于y轴），则函数是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)（关于原点对称），则函数是奇函数。
3. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的增减关系。
如果对于x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果对于x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
II. 常见的函数类型高中数学中常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 线性函数：线性函数的定义为f(x) = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
线性函数的图像为一条直线。
2. 二次函数：二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为一条抛物线。
3. 指数函数：指数函数的定义为f(x) = a^x，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像为曲线。
4. 对数函数：对数函数的定义为f(x) = loga(x)，其中a为正常数且不等于1。
对数函数是指数函数的反函数，其图像为一条曲线。
5. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)、余弦函数y = cos(x)、正切函数y = tan(x)等。
高三数学函数与方程知识点函数与方程是高中数学的重要部分，也是高考数学考查的重点内容，掌握好函数与方程的知识对于考试成绩至关重要。
本文将以详细的方式介绍高三数学中的函数与方程的知识点，帮助学生深入理解和掌握这一部分内容。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它可以将一个自变量的取值映射到唯一的因变量的取值。
函数的定义通常以符号表达，如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数的表达式。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.1 定义域与值域函数的定义域是指自变量的取值范围，常用表示为D(f)。
值域是函数的所有可能的因变量取值的范围，常用表示为R(f)。
在求函数的定义域和值域时，需考虑到函数表达式中的分母不能为零等限制条件。
1.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增加或减少而单调增加或单调减少。
函数可以是递增的（单调增加）、递减的（单调减少）或者具有不同的单调区间。
1.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的取值与自变量取值的关系。
奇函数具有对称中心为原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有对称轴为y轴，即f(-x)=f(x)。
二、线性函数与一次函数线性函数是一种最基本的函数形式，它的函数表达式为f(x)=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数是线性函数的一种特殊情况，当k=0时，即为一次函数。
线性函数与一次函数的性质包括斜率、截距、图像等。
2.1 斜率线性函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
斜率可以通过两点的坐标计算得出，也可以根据函数表达式的形式直接读取。
2.2 截距线性函数的截距表示函数图像与y轴的交点位置，截距可以通过函数表达式中的常数项b直接读取。
2.3 图像线性函数的图像是一条直线，可以通过斜率和截距的值确定直线的倾斜程度和位置。
当斜率为正时，函数图像从左下方逐渐向右上方倾斜；当斜率为负时，函数图像从左上方逐渐向右下方倾斜。
第四讲 函数与方程一、知识回顾（一）一次函数的性质和图象1.形如b kx y +=（0≠k）的函数叫做一次函数，定义域为R ，值域为R .2.一次函数b kx y +=（0≠k）的图象是一条直线，以后简写为直线b kx y +=，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴的截距.一次函数也叫线性函数. 3.一次函数的性质：（1）函数值的改变量12y y y -=∆与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于一个常数k ，k 的大小表示直线和x 轴的倾斜程度.（2）当0>k时，一次函数是增函数，当0<k 时，一次函数是减函数.（3）当0=b 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数.（二）二次函数的性质和图象1.形如)0(,2≠++=a c bx ax y ，叫做二次函数，无特殊要求时，定义域为R . 2.a 决定开口方向，0>a 开口向上，0<a 开口向下，c 为图象在y 轴的截距.3.值域：0>a 值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，0<a 时值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-a b ac 44,2 4.单调性：0>a 时单调增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ，单调减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,.0<a 时单调增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，单调减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b . 5.奇偶性：当二次函数解析式中0=b 时，函数为偶函数.6.顶点坐标：)44,2(2ab ac a b -- 7.方程0)(=x f 根的存在情况与)(x f 与x 轴交点问题：ac b 42-=∆.（1）0>∆，方程0)(=x f 有两个不等的实根，)(x f 与x 轴有两个不同的交点；（2）0=∆时，方程0)(=x f有两的相等的实根，)(x f 与x 轴只有一个交点；（3）0<∆时，方程0)(=x f 没有实数根，)(x f 与x 轴无交点.8.21,x x 是实系数一元二次方程)0(,02>=++a c bx ax 的实数根，下列为几种常见的根的分布情况待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中的系数待定，然后再根据题设的条件求出这些待定的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（三）函数的零点1.函数零点的概念：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=，在实数α处的值等于零，即0)(=αf ，则α叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与x 轴的公共点是)0,(α. 2.注意事项：（1）函数的零点是一个实数，当自变量取得这个实数时，其函数值等于零. （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标. （3）一般的我们只研究函数的实数零点. 3.函数零点与方程的根的关系：根据函数零点的定义可知：函数)(x f y =的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实根，有几个实根. 4.函数零点的求法：解方程0)(=x f 所得的实数根就是)(x f 的零点.函数)(x f 的零点⇔0)(=x f 的根⇔函数)(x f 的图象与x 轴的交点的横坐标.5.函数零点的判断：如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a x ,0∈，使0)(0=x f ，这个0x 也就是0)(=x f 的根.【注意】如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有0)()(<⋅b f a f .二、精选例题例1、已知直线013=++y ax 与0)2(=+-+a y a x 平行，则_______=a . 【答案】 3【解析】因为013=++y ax ，所以313--=x a y ， 又0)2(=+-+a y a x ，所以221----=a ax a y ， 所以213--=-a a 且231--≠-a a ，所以1-=a 或3=a ，而1-=a 不符合题意，因此3=a例2.已知直线()0,≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论： ①0,0>>b k ②0,0<>b k ③0,0><b k ④0,0<<b k .其中正确的有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B【解析】因为直线()0,≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，所以该直线在x 轴上的截距大于0，由此可知0>-=kbx . 由于0>-=k b x ，0<∴k b，0<⋅∴k b ，⎩⎨⎧<>∴00b k 或⎩⎨⎧><00b k故②③正确，选B.例3、已知函数()m xm y m m 4352+-=--为一次函数，则下列说法正确的是（）A. 该函数是增函数B. 该函数是减函数C. m 的值为3或-2D. 以上都不对 【答案】B【解析】因为()m xm y m m 4352+-=--为一次函数，⎩⎨⎧=--≠-∴15032m m m ，2-=∴m ，85--=∴x y ，它是个减函数故选项B 正确例4、已知()x f 为一次函数，且满足()()1831214+=---x x f x f ，求函数()x f 在[]1,1-上的最大值，并比较()2010f 和()2011f 的大小 【解析】解法一：设()()0≠+=k b kx x f ，由已知得，()[]()[]1831214+=+--+-x b x k b x k ， 整理得183266+=++-x b k kx⎩⎨⎧=+=-∴182636b k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=22121b k ， ()22121+-=∴x x f 在[]1,1-上为减函数（在R 上也是减函数）∴函数()x f 在[]1,1-上的最大值为()111=-f 且()()20112010f f > 解法二： ()x f 为一次函数，∴()x f 在[]1,1-为单调函数∴()x f 在[]1,1-上的最大值为()1f 或()1-f分别取0=x 和2=x 得()()()()⎩⎨⎧=--=--241214181214f f f f ，解得()101=f ，()111=-f∴函数()x f 在[]1,1-上的最大值为()111=-f又()()11-<f f ，∴()x f 在R 上是减函数，∴()()20112010f f > 例5、已知抛物线c bx ax y ++=2过点()0,1且c b a >>，一下关于a 、b 、c 的说法正确的是（）A ．a 、b 、c 皆为正值B ．a 、b 为正值，c 为负值C ．a 为正值，b 、c 为负值D ．a 为正值，c 为负值，b 不一定 【答案】Ｄ【解析】抛物线c bx ax y ++=2过点）（0,1则0=++c b a ，又因为c b a >>，所以0>a ；对B 的正负值不能确定.例6.函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f （）A ．1B ．3C ．25D ．不存在 【答案】B【解析】由已知二次函数在()()22,00,--a a 上是偶函数，故知()022=-+-a a ，解得2=a ， 二次函数对称轴为022=--=aba x ，解得b a 2=，故有1,2==b a ()122+=∴x x f ，()31522==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴f b a f ，故B 为答案例7、设函数342+-=x y ，[]4,1∈x ，则()x f 的最小值和最大值为（）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，0 【答案】A【解析】对二次函数配方得()122--=x y ，当在[]4,1∈x 范围时：当2=x 时，1min -=y ，当4=x 时，3max =y ， 故A 为答案例8、求函数122--=ax x y 在[]2,0上的值域.【解析】由已知可知，函数()x f 的对称轴为a x =①当0<a 时，函数在[]2,0上单调递增，故()10min -==f y ，()a a f y 431442max -=--==， 所以函数值域为[]a 43,1--；②当10≤≤a 时，()()12min +-==a a f y ，()a f y 432max -==，所以函数的值域为()[]a a 43,12-+-；③当21≤<a 时，()()12min +-==a a f y ，()10max -==f y ，所以函数值域为()[]1,12-+-a ；④当2>a 时，函数在[]2,0上单调递减，()a f y 432min -==，()10max -==f y ， 所以函数值域为[]1,43--a综上所述，当0<a 时，值域为[]a 43,1--； 当10≤≤a 时，值域为()[]a a 43,12-+-； 当21≤<a 时，值域为()[]1,12-+-a ； 当2>a 时，值域为[]1,43--a .例9、求二次函数()322+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值和最大值. 【解析】()()213222+-=+-=x x x x f（1）当11≤+t ，即0≤t 时，()x f 在区间[]1,+t t 上是单调递减函数，最小值为()212+=+t t f ，最大值为()322--=t t t f ； （2）当1121+<≤+t t ，即210≤<t 时， ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()21=f ，最大值为()322--=t t t f ；（3）当211+<≤t t ，即121≤<t 时， ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()21=f ，最大值为()212+=+t t f ；（4）当1>t时，()x f 在区间[]1,+t t 上是单调递增函数，最小值为()322--=t t t f ，最大值为()212+=+t t f ；综上所述，()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值为()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=21,221,3222t t t t t x f ； ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<≤+=1,3210,20,222t t t t t t x f例10、设0>a ，2=+y ax ()0,0≥≥y x ，记2213x x y -+的最大值是()a M ，试求()a M 的表达式.【解析】设()2213x x y x F -+=，将ax y -=2代入，得 ()()[]()23213212321222+-+---=+-+-=a a x ax x x x F ()0≥x02≥-=ax y ，ax 20≤≤∴（1）当a a -≤32，即21≤≤a 时，()x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2,0上是增函数， ()a a a F a M 6222+-=⎪⎭⎫⎝⎛=；（2）当aa 230<-<，即10<<a 或32<<a 时， ()()()232132+-=-=a a F a M ； （3）当a -≥30，即3≥a 时，()x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a2,0上是减函数，()()20==F a M ；综上所述：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-=3,232,232121,6210,2321222a a a a a a a a a M例11、已知函数()21xb ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且.52)21(=f 确定函数)(x f 的解析式；【解析】由)(x f 是奇函数，∴)()(x f x f -=-，∴2211x bax x b ax ++=++-，解得0=b 又52)21(=f ，代入函数，解得1=a .∴.1)(2xx x f += 例12.判断下列函数是否有零点？若有，有几个零点？ （1）1)(2++=x x x f （2）x x y +-=1【解析】（1）0342<-=-=∆ac b ，所以此二次函数不存在零点；（2）042=-=∆ac b ，所以此函数存在两个相等的实根，所以函数有一个不变号零点.例13.函数x x y 43-=的零点个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3【解析】由函数零点定义可知，零点的个数也就是0)(=x f 方程实根的个数，因为043=-x x 的根有0，2±共三个，故函数的零点个数为3个.例14.求函数22)(23+--=x x x x f 的零点，并画出它的大致图象.【解析】)1)(1)(2()2()2(22)(223+--=---=+--=x x x x x x x x x x f ，22)(23+--=∴x x x x f 的零点为-1，1，2三个零点将x 轴分成四个区间：(]1,-∞-，()1,1-，[]2,1，()+∞,2.∴函数)(x f 的图象因根据自右向左，奇穿偶回大致图象如下：例15.已知函数218)(2++=mx mx x f ，若0)(<x f 的解集为)1,7(--，求实数m 的值. 【解析】由函数218)(2++=mx mx x f 可知函数是二次函数，且0)(<x f 的解集为)1,7(--，所以可知-7和-1是这个二次函数的两个根，所以将-1代入可得0218=+-m m ，最后可得3=m .例16.试证方程09623=+-x x 在区间)1,0(内不可能有两个不同的实根.【解析】可从函数96)(23+-=x x x f 在区间)1,0(上的单调性入手，任取1x ，)1,0(2∈x ，且21x x >，则)96()96()()((3232213121+--+-=-x x x x x f x f])6)()[((21212121x x x x x x x x --++-=21x x > ，1x ，)1,0(2∈x ，021>-∴x x ，021>+x x ，021>x x ， 0621<-+x x ，0])6)()[((21212121<--++-∴x x x x x x x x ，即0)()((21<-x f x f ，所以函数)(x f 单调递减，这就说明函数若在（0，1）上有零点也就只能有一个，绝不能是两个.例17.已知a 是实数，函数x x y +-=1，如果函数)(x f y ==在区间[],1,1-上有零点，求a 的取值范围. 【解析】若0=a，则函数32)(-=x x f 在区间[]1,1-上没有零点，下面就0≠a时分三种情况进行讨论：（1）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有重根，此时有0=∆，即0)162(42=++a a ，解得273±-=a ； 当273+-=a 时，0)(=x f 的重根[]1,1273-∉+=x ； 当273--=a 时，0)(=x f 的重根[]1,1273-∈-=x ； 故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有重根时，273--=a . （2）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上只有一个零点但不是重根，此时有0)1()1(≤-f f ，5)1(-=-a f ，1)1(-=a f0)1)(5(≤--∴a a ，最后得51≤≤a .5=a 时，方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根，故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上只有一个根且不是重根时，51<≤a . （3）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根，∴函数321)21(2)(2---+=a aa x a x f ，其图像的对称轴方程为a x 21-=，a 应满足：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆≥-≥<->00)1(0)1(1210f f a a ，或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆≤-≤<-<00)1(0)1(1210f f aa解这两个不等式得5≥a 或273--<a ， 故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根时，[)+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞-∈,5273, a 时，由于0)1()21(<-f a f ，且121<a ， 方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个实根；当273--=a 时，方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有根.综上所述，函数)(x f y =在区间[],1,1-上有零点，则a 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛--∞+,1273, .例18.求方程063223=--+x x x 的一个正根（精确到0.1）【解析】设632)(23--+=x x x x f ，由于06)1(<-f ，04)2(>=f ，取区间[]2,1为计算的初始区间，用二分法逐次计算， 将方程的实数解所在的区间依次求出，列表如下：由上表可知，区间[]734375.1,71875.1内的所有值， 若精确到0.1，都是1.7，所以1.7就是方程精确到0.1的一个正根.例19.函数62)(3-+=x x x f 在区间)3,1(-上的零点必在（） A.)0,1(- B.)3,2( C.)2,1( D.)1,0(【解析】9)1(-=-f ，27)3(=f ，3)1(-=f ，6)2(=f ，0)1(<f ，0)2(>f ，)(x f ∴的一个零点必在)2,1(内，故选C.三、课堂训练【课堂训练1】若直线5)3(2+-=x m y 与12--+=m m x y 重合，则_______=m . 【答案】2-【解析】 两直线重合，则其斜率在y 轴上的截距完全相同，即有⎪⎩⎪⎨⎧=-=--135122m m m⎩⎨⎧=-==-=∴3,22,2m m m m 或或，2-=∴m . 【课堂训练2】两条直线b ax y +=1与a bx y +=2在同一坐标系中的图像可能是图中的（）【答案】A【解析】假设B 项中直线b ax y +=1正确，则0,0>>b a ，所以a bx y +=2的图像应过第一、二、三象限，而实际图像过第一、二、四象限，∴B 错，同理C 、D 错，故A 正确.【课堂训练3】一次函数()432--=x a y 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．32>a B ．32-<a C．23>aD ．23-<a 【答案】C【解析】()432--=x a y 在R 上单调递增，032>-∴a ，即23>a ，故选C 【课堂训练4】某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，如图表示了该公司每月付给推销员推销费的两种方案.看图解答下面问题. （1）求1y 与2y 的函数解析式（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的. （3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？【解析】（1）设x k y 11=，b x k y +=22，观察图象，可知点)600,30(在x k y 11=，由此得201=k ，x y 201=∴把点)600,30(和()300,0代入b x k y +=22中，得102=k ，300=b ，300102+=∴x y（2）方案一：没有基本工资，每推销一件产品，付推销费20元（即x y 201=）.方案二：每月发基本工资300元，每推销一件产品，再付推销费10元（即300102+=x y ）（3）由x x y +-=1，即3001020+=x x ，得30=x .所以，若每月可以推销30件产品，则两种方案都一样； 若每月推销量不足30件，则21y y <，选择方案二； 若每月推销量可以超过30件，则21y y >，选择方案一.【课堂训练5】一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图像大致30是（）【答案】C【解析】先看一次函数图像，由A 、B 选项知0>a ，0b >首先排除A ，又对称轴为02<-=abx ，从而排除B ， 由C 、D 选项知0,0<<b a ，先排除D.故选C【课堂训练6】已知函数c bx x y ++=2是偶函数，则函数1-+=b cx y 必过定点（） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,0- D ．()0,1- 【答案】C【解析】由c bx x y ++=2为偶函数知，0=b ，则1-+=b cx y 变为1-=cx y 必过点)1,0(-【课堂训练7】函数()⎩⎨⎧≤≤-+≤≤-=02,630,222x x x x x x x f 的值域是.【答案】[]1,8-【解析】将函数配方，得到()()()⎩⎨⎧≤≤--+≤≤+--=02,9330,1122x x x x x f ， 上下两个函数在各自定义域区间内的最大、最小值分别为()33min -=y ，()11max =y 和()82min -=-y ，()00max =y ，故函数的值域应当为[][][]1,80,81,3-=--【课堂训练8】函数()a ax x x f -++-=122在[]1,0上有最大值2，求实数a 的值.【解析】()()122+-+--=a a a x x f①当0<a 时，()x f 在[]1,0上单调递减，其最大值()210=-=a f ，解得1-=a ； ②当10≤≤a 时，()x f 在[]1,0上最大值()212=+-=a a a f ，解得[]1,0251∉±=a ，舍去. ③当1>a 时，()x f 在[]1,0上单调递增，其最大值()21==a f ，2=∴a ； 综上所述：1-=a 或2=a【课堂训练9】已知二次函数()4143322++--=b x x x f ()0>b ，[]b b x --∈1,，()x f 的最大值为25，求b 的值.【解析】()14213414332222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++--=b x b x x x f ()0>b①当211-≤-b ，即23≥b 时，()x f 在[]b b --1,上是单调递增函数，其最大值为()25423912=-+=-b b b f ，解得25129±-=b ， 其中2325129<--，舍去； ②当b b -<-<-121，即2321<<b 时， ()x f 在[]b b --1,上的最大值为2514212=+=⎪⎭⎫⎝⎛-b f ，解得⎪⎭⎫ ⎝⎛∉±=23,216b ，故都舍去； ③当21-≥-b ，即21≤b ，又0>b ，故当210≤<b 时，()x f 在[]b b --1,上是单调递减函数，最大值()254132=++=-b b b f ， 解得⎥⎦⎤⎝⎛∉±-=21,02363b ，故都舍去； 综上所述：25129+-=b 【课堂训练10】求函数()()a x x x f --=在[]a x ,1-∈上的最大值.【解析】给函数配方得()4222a a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=当2aa <，，又1->a 即01<<-a 时，()x f 在[]a ,1-上是单调递增函数， 最大值()0=a f ；当a a ≤≤-21，即0≥a 时，()x f 在[]a ,1-上的最大值为422aa f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；当21a>-，即2-<a 时，与1->a 矛盾，舍去 综上所述：函数在[]a ,1-上的最大值为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=0,401,02a a a x f .【课堂训练11】、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=. 求出函数的解析式.【解析】当0<x 即0>-x 时，∴)1()(x x x f --=-∵)(x f 是奇函数，∴)()(x f x f --=， ∴当0<x 时，)1()()(x x x f x f -=--= 又∵)(x f 是奇函数，∴)0()0(f f -=-， ∴0)0(2=f ，∴0)0(=f综上，⎪⎩⎪⎨⎧-+=),1(, 0 ),1()(x x x x x f 000<=>x x x【课堂训练12】判断函数183)(2--=x x x f 是否具有零点，若有，有几个？ 【解析】08142>=-=∆ac b ，所以此函数有两个不相等的零点. 【课堂训练13】函数1)(23+--=x x x x f 零点的个数是个.【解析】)1()1()1)(1()1()1(1)(22223+-=--=---=+--=x x x x x x x x x x x f所以函数具有一个不变号零点1和一个变号零点-1.所以函数具有2个零点.【课堂训练14】求函数的)23)(2()(22+--=x x x x f 的零点，并利用函数零点大体模拟出函数的图象.【解析】令0=y ，即0)23)(2(22=+--x x x ，整理得0)2)(1)(2)(2(=---+x x x x解得21=x ，22-=x ，13=x ，24=x .∴ 所求函数的零点为2，2-，1，2.且这些零点全是变号零点，∴ 所以函数图象如下：【课堂训练15】解不等式0822<-+x x .【解析】令)1)(3(82)(2--=-+=x x x x x f .令0)(=x f ，则1=x 或3=x .作出函数82)(2-+=x x x f 的图象，如下0822<-+∴x x 的解集为()2,4-.【课堂训练16】设关于x 的方程0532=+-a x x 的一根大于-2，小于0，另一根大与1小于3 ，求a 的取值范围.【解析】设a x x x f +-=53)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-0)3(0)1(0)0(0)2(f f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+012010022a a a a ，解得012<<-a .a ∴的取值范围是)0,12(-.【课堂训练17】求方程0133=+-x x 在区间（1，2）内的根的近似解（精确到0.01）. 【解析】令13)(3+-=x x x f ，则)(x f 在区间)2,1(上的图象是一条连续不断的曲线，01131)1(<-=+-=f ，03168)2(>=+-=f ，0)2()1(<∴f f所以函数在区间（1，2）内必有一个零点.用二分法逐步计算，列表如下：区间（1.53125，1.533203125）的两端点精确到0.01的近似值都是1.53.【课堂训练18】用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)0(<f ，0)5.0(>f ，可得其中一个零点∈0x ，第二次计算.【解析】有函数零点的存在定理可知当0)0(<f ，0)5.0(>f 时，函数在)5.0,0(上存在一个零点，我们找这个区间的中点25.0=x ，我们下一步计算)25.0(f .四、课后作业【训练题A 类】1、函数()12-++=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．()∞+-，2 B [)+∞,1 C (]1,∞- D (]2,-∞- 2、函数()x f 的图像是如图所示的折线段OAB ，若()2,1A ()0,3B ，函数()()()x f x x g 1-=，则函数)(x g 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．43、若两直线2++=k kx y 与42+-=x y 交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32->k B ．2<k C ．232<<-k D ．32-<k 或2>k 4、设集合{}5||<=x x S ，()(){}037<-+=x x x T ，则T S =（ ） A ．{}57-<<-x x B ．{}53<<x x C ．{}35<<-x x D ．{}57<<-x x 5、函数322--=x x y ，(]2,1-∈x 的值域为（ ）A ．[)0,3-B ．[)0,4-C ．(]0,3-D ．(]0,4-6、二次函数542+-=mx x y 的对称轴为2-=x ，则当1=x 时，y 的值为（ ）A.7-B. 1C.17D.257、已知函数()122++=ax ax x f ()0≠a ，那么下列各式中不可能成立的是为（ ）A ．()()()221f f f >->-B ．()()()012f f f >->-C ．()()()210f f f <<D ．()()()301-<<-f f f8、函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、b a ,的符号不确定9、函数562---=x x y 的值域为（ ）A 、[]2,0B 、[]4,0C 、(]4,∞-D 、[)+∞,0 10、已知函数()22223+--=m m xm m y 是二次函数，则m =________11、已知函数82)(2--=kx x x f 在[]5,2上具有单调性，实数k 的取值范围是________ 12、如果a x x x f ++=2)(在[]1,1-上的最大值是2，那么)(x f 在[]1,1-上的最小值是 .13、根据下列条件，求二次函数的解析式： （1）图像过点()0,2，()0,4，及点()3,0 （2）图像顶点为()2,1并且过点()4,0 （3）过点()1,1，()2,0，()5,314、已知函数()()0222>++-=a b ax ax x f ，若()x f 在区间[]3,2上有最大值5，最小值2，求b a ,的值.15.若一次函数b kx y +=的零点为2=x ，则kb的值为（ ） A.-2 B.2 C.21 D. 21-16.二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中，0<ac ，则函数的零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．不能确定17.已知函数8143)(2+-=x x x f ，则0)(<x f 的解集为（ ）A.)4,23(B.)4,32(C.),4()23,(+∞-∞D. ),4()32,(+∞-∞ 18.下面函数中没有零点的是（ ） A ．2)(x x f = B ．x x f =)( C ．xx f 1)(=D ．x x x f +=2)( 19.已知函数)(x f 为偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 . 20.若函数042=++mx x 有两个不相等的实数根，则函数42++=mx x y 的图象与x 轴的交点的个数为 .21.二次方程0142=++x mx 有两根实数根，则实数m 的取值范围是 . 22.求下列函数的零点.（1）62--=x x y ； （2）x x y 83-=；（3）1322+--=x x x y ； （4）)32)(2(22+--=x x x y【参考答案】1.【答案】B【解析】将函数()12-++=x x x f 写成分段函数形式：()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=1,1212,32,12x x x x x x f 只有[)+∞∈,1x 时，对应函数的斜率0>k ，函数()x f 是增函数.故答案为B2.【答案】B【解析】如图易得()⎩⎨⎧≤≤+-<≤=31,310,2x x x x x f ，则()⎩⎨⎧≤≤-+-<≤-=31,3410,2222x x x x x x x g ，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--<≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31,1210,2121222x x x x x g ()x g ∴在[)1,0和[]3,1的最大值分别为()00=f 和()12=f()x g ∴的最大值为13.【答案】C 【解析】联立⎩⎨⎧+-=++=422x y k kx y ，得交点为⎪⎭⎫⎝⎛+++-246,22k k k k ， 由交点在第一象限，所以022>+-k k ，0246>++k k ，解之得232<<-k ，故选C 4.【答案】C【解析】 {}5||<=x x S ，()(){}037<-+=x x x T ，∴=T S {}35<<-x x ，故选 C5.【答案】B【解析】 4)1(3222--=--=x x x y ，对称轴为1=x .∴当(]2,1-∈x 时有03)1(2)1(2max =--⨯--=y ，431212min -=-⨯-=y .6.【答案】D【解析】二次函数的对称轴242-=⋅--=mx ，解得16-=m 51642++=∴x x y ，∴当1=x 时，25=y .故D 为正确答案7.【答案】B【解析】二次函数()x f 的对称轴为122-=-=aax ，()()02f f =-∴，故B 错误. 当0<a 时，()()()201f f f >>-即()()()221f f f >->-，故A 正确； 当0>a 时，显然C 正确，又()()13f f =- ，而()()()101f f f <<-成立， 故D 也正确.8.【答案】B【解析】由二次函数的单调性质很容易可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-<120ab a，解得02<=a b9.【答案】A【解析】函数可写作()432++-=x y ，()44302≤++-≤x ，[]2,0∈∴y10.【答案】2【解析】由二次函数定义，⎩⎨⎧=+-≠-2220322m m m m ，即⎩⎨⎧==≠≠2003m m m m 或且，2=∴m11.【答案】(][)+∞∞-,208,【解析】函数82)(2--=kx x x f 对称轴为4k x =， 由题目要求可知54≥k 或24≤k，解得20≥k 或8≤k ， 所以实数k 的取值范围是(][)+∞∞-,208,12.【答案】41-【解析】函数配方得a x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4121)(2，其最大值在1=x 处取到，即()221=+=a f ，0=a()x x x f +=∴2，其最小值为4121-=⎪⎭⎫⎝⎛-f13.【解析】①函数()x f 图像与x 轴的交点分别为()0,2，()0,4，设二次函数解析式为()()()42--=x x a x f ，代入点()3,0，即38=a ，83=a ()()()3498342832+-=--=∴x x x x x f ②设二次函数解析式为()()212+-=x a x f ，代入点()4,0， 即42=+a ，2=a()()2122+-=∴x x f③设函数解析式为()c bx ax x f ++=2，将点()1,1，()2,0及()5,3代入：⎪⎩⎪⎨⎧=++==++53921c b a c c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==221c b a ，()222+-=∴x x x f 14.【解析】原函数配方得()()()0212>++--=a b a x a x f ，对称轴为1=x又因为0>a ∴函数()x f 在区间[]3,2上是单调递增函数， 所以()22=f ，()53=f即()()⎩⎨⎧=++--=++--5213221222b a a b a a ，解得0,1==b a . 15.【答案】A【解析】由一次函数b kx y +=的零点为2=x ，可得02=+b k ，此时可得2-=kb，所以答案为A. 16.【答案】B【解析】ac b 42-=∆，而0<ac ，所以042>-=∆ac b所以函数有两个不相等的实根.所以选B.17.【答案】B【解析】我们先来画出)(x f 的图象由图象可知不等式的解集为)4,32(，所以选B.18.【答案】C【解析】由于函数xx f 1)(=中，对任意自变量x 的值，均有01≠x ，故该函数不存在零点.所以选C.19.【答案】0【解析】由偶函数的性质可知，函数的图象是关于y 轴对称的，此时函数四个零点也由于对称性互为相反数，所以所有零点之和为0.20.【答案】2【解析】由方程零点的和对应函数与x 轴的交点的关系可知，方程零点就是对应函数与x 轴的交点，所以交点个数为2个.21.【答案】]4,0)0,(（-∞【解析】由二次方程0142=++x mx 有两根实数根，首先有0≠m ，且0416≥-=∆m ，解得04≠≤m m 且， 所以m 的取值范围是]4,0)0,(（ -∞.22.【解析】（1）)2)(3(62+-=--=x x x x y ，令0=y ，则3=x 或2-=x .所以该函数的零点为3或2-. （2）)22)(22()8(823+-=-=-=x x x x x x x y ，令0=y ，则0=x 或22±=x .（3）)1(31)1)(3(1322-≠-=++-=+--=x x x x x x x x y ， 令0=y ，则3=x ，所以该函数的零点为3.（4）[]2)1()2)(2()32)(2(222+--+=+--=x x x x x x y ，01)1(2>+-x ，令0=y ，则2=x 或2-=x ，所以该函数的零点为2±.【训练题B 类】1、已知()bx ax x f +=2，()0≠ab ，若()()21x f x f =，且21x x ≠，则()21x x f +的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．以上都不对2、如果函数()c bx x x f ++=2，对任意实数t 都有()()t f t f -=+22，那么（ ）A ．()()()412f f f <<B ．()()()421f f f <<C ．()()()142f f f <<D ．()()()124f f f <<3、函数()242++=ax x x f 在()6,∞-内递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3≥aB ．3≤aC ．3-≥aD ．3-≤a4、设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．)1(-fB ．)1(fC ．)2(fD ．)5(f5、函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，则=a ______6、设[]()()()()A x x x f b b A ∈+-=>=1121,1,12，若()x f 的值域也是A ，则b 的值为_____ 7、已知函数)0(32)(2>-+-=a b ax ax x f 在[]3,1上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值分别是________8、若函数))(()(a bx a x x f ++= （常数R b a ∈,）是偶函数，且它的值域为(]4,∞-，则该函数的解析式为=)(x f .9、设a 为常数，()342+-=x x x f ，若()a x f +为偶函数，则=a ，()()=a f f10、二次函数()x f 满足⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 2121，并且在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为4，求此函数的解析式.11、若函数()242--=x x x f 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，求m 的取值范围.12、求函数)20(302<<++=a ax x y 在[]1,1-上的最小值和最大值.13.若方程0142=--x ax 在)1,0(内恰有一解，则a 的取值范围是（ ）A.21-<a B.21>a C.2121<<-a D.212≤≤-a14.若函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，则函数1)(2--=ax bx x g 的零点为（ ） A.21，31 B. 21-，31- C.61-，1 D.61，-1 15.若函数b ax x f +=)(只有一个零点2，那么ax bx x g -=2)(的零点是 .16.已知二次函数)(x f y =有两个零点1x 、2x ，且满足)3()3(x f x f -=+，则=+21x x .17.如果函数12)(2+++=a ax x x f 的两个零点中，一个比2大，一个比2小，则实数a 取值范围是 .18.已知函数)(x f y =的图像是连续不断的，有如下的对应值表A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19.若函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围；20.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如下，则（ ）A ．()0,∞-∈bB ．)1,0(∈bC ．)2,1(∈bD ．),2(+∞∈b21.已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[ -，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是（ ）A.{}011|≠≤≤-x x x 且B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或C.{}01|<≤-x xD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-12101|x x x 或22、函数()()1122+-+-=x a x x f 的定义域被分为四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（ ）A.23>a B.2321<<a C.21>a D. 21<a23、对于每个实数x ，设()x f 取1+=x y ，12+=x y ，x y 21-=三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出()x f 的解析式，并求()x f 的最小值【参考答案】1.【答案】A【解析】 )()(21x f x f =，222121bx ax bx ax +=+∴，即0)())((212121=-+-+x x b x x x x a ， 又 21x x ≠，0)(21=++∴b x x a ，而.0])()[()()()(21212122121=+++=+++=+b x x a x x x x b x x a x x f 故0)(21=+x x f ，选A2.【答案】A【解析】由题知函数)(x f 的对称轴为2=x ，开口向上，)3()1(f f =，由数形结合既得. 3.【答案】D【解析】依题意有362624=⇒-≤⇒≥-a a a4.【答案】D【解析】由)2()2(t f t f -=+可知函数()x f 的对称轴为2=x所以当0>a 时，最小值为()2f ；当0<a 时，最小值为()()51f f =-， 只有)1(f 不可能为最小值.5.【答案】83或3- 【解析】函数配方得()11)(2+-+=a x a x f若0>a，则最大值为()4182=+=a f ，83=a ；若0<a ，则最大值为()411=+-=-a f ，3-=a83=∴a 或3-=a6.【答案】3【解析】由题设可知，函数()x f 在区间A 上是单调递增函数，若()x f 的值域也是A ，则()b b f =即()b b =+-11212，解得3=b 或11≤=b （舍），3=∴b 7.【答案】43，41【解析】()()031)0(32)(22>+---=>-+-=a b a x a a b ax ax x f函数()x f 在[]3,1上单调递增，故()()⎩⎨⎧==5321f f ，即⎩⎨⎧=+-=+--53323b a b a ，解得43=a ，41=b8.【答案】()42+-=x x f【解析】()()22a x ab a bx x f +++=，对称轴baba x 2+-=， 由题可知有⎪⎩⎪⎨⎧==+-4022a b ab a ，即⎩⎨⎧==+402a ab a ， 由0,0=∴=+a ab a （舍）或1-=b()42+-=∴x x f9.【答案】2，8【解析】由()a x f +为偶函数，()()a x f a x f +=+-∴，a x =∴是()x f 的对称轴224=--=∴a ， ()()()()()()81324222=-=+⋅-==∴f f f f a f f10.【解析】由题中条件可知，函数()x f 的对称轴是21=x ， 过()4,0点，与x 轴的一个交点的横坐标为-1， 故与x 轴的另一个交点的横坐标为()21212=--⋅， 用两根式设二次函数()x f 的解析式为()()()21-+=x x a x f ， 代入点()4,0，得42=-a ，2-=a()()()4222122++-=-+-=∴x x x x x f11.【解析】函数()242--=x x x f 的对称轴为2=x ，又由()62-=f ，()x f 的值域为[]2,6--，故知[]m ,02∈，即2≥m 又()20-=f ，故()x f []()m x ,0∈在0=x 处取到最大值， 即0022=-≤-m ，4≤∴m 综上所述：m 的取值范围是[]4,2.12.【解析】由题可知，函数对称轴为2a x -=，由于20<<a ，故021<-<-a 所以当2a x -=时，函数取最小值4322min a a f y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=当1=x 时，函数可取到最大值()a f y +==41max13.【答案】B 【解析】若0=a，则有01=--x ，此时1-=x ，不满足在)1,0(内恰有一解，所以0≠a ， 此时方程为一元二次方程，所以有0)1()0(<f f 此时有24>a ，解得21>a . 14.【答案】A【解析】对照下)(x f 和)(x g ，我们将)(x g 变形，)1()(22b x a x x x g ---=此时可由b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3得到，)(x g 的零点为21和31. 15.【答案】0，21-【解析】函数b ax x f +=)(只有一个零点2，即02=+b a ，那么就有a b 2-=，所以)12()()(+-=-=x ax a bx x x g ，所以)(x g 的零点为0和21-. 16.【答案】6【解析】函数)(x f y =是二次函数，且有)3()3(x f x f -=+，所以函数的对称轴为3=x ，则函数的两个根也关于3=x 对称， 所以621=+x x .17.【答案】)1,(--∞∈a【解析】由题意可得⎩⎨⎧<>∆0)2(0f ，解得)1,(--∞∈a .18.【答案】B【解析】由表可知，0)3()2(<⋅f f ，0)4()3(<⋅f f ，0)5()4(<⋅f f ，由函数零点存在性定理，函数)(x f y =在区间[]6,1的零点至少有3个.19.【解析】①0=a，则1)(--=x x f 为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②0≠a，则函数)(x f 为二次函数，若其只有一个零点，则方程012=--x ax 仅有一个实数根， 故判别式041=+=∆a ，得41-=a 时. 综上所述，当0=a或41-时，函数仅有一个零点.20.【答案】A【解析】从图像上可以知道0)0(=f ，所以0=d，又0)1(=f 0=++∴c b a ①， 又0)1(<-f ，即0<-+-c b a ②， ①+②得02<b ，所以0<b .所以选A.21.【答案】B【解析】由于()x f 是奇函数，故()()x f x f =-，1)()(->--x f x f所以()()[]()12)()(->=--=--x f x f x f x f x f 即()21->x f ，由图得其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或22.【答案】C【解析】由于)()(x f x f =-，()x f 是偶函数，故()x f 在()+∞,0和(]0,∞-上应各有两个单调区间， 由于函数图象关于y 轴对称，故只需考虑0>x 的情况即可.当0>x 时，()()4544212112222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-+-=a a a x x a x x f ， 根据题意有，0212>-a ，解得21>a .23.【解析】在同一坐标系中做出函数1+=x y ，12+=x y ，x y 21-=的图像， 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=121x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3132y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32A 由⎩⎨⎧+=+=121x y x y ，得⎩⎨⎧==10y x ，即()1,0B根据图像可得函数()x f 的解析式为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=0,12032,132,21x x x x x x x f ，由上述过程及图像可知，当32-=x 时，()x f 取得最小值31.【训练题C 类】1、已知函数()542+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A.25)1(≥fB.25)1(=fC.25)1(≤fD.25)1(>f2、已知函数n mx x x f ++=2)(，且)2(+x f 是偶函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛27,25),1(f f f 的大小关系是（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛27125f f fB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<25,271f f fC ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛25127f f fD ．()12527f f f <⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3、函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象关于直线abx 2-=对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]0)()(2=++p x nf x f m 的解集都不可能是（ ）A. {}2,1 B {}4,1 C {} 4,3,2,1 D {}64,16,4,1 4、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<->+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-则实数a 的取值范（ ）A ),2()1,(+∞--∞B )2,1(-C )1,2(-D ),1()2,(+∞--∞ 5、函数x x x f 4)(2+-=在[])(,m n n m >的值域是[]4,5-，则m n +的最大值为 .6、已知函数()522+-=ax x x f ()1>a ，若函数()x f 的定义域和值域均为[]a ,1，求实数a的值.7、函数()432--=x x x f 在[]m ，0的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，求实数m 的取值范围.8.已知函数2)1()(2-+-+=a x a x x f 的一个零点小于1，另一个零点在区间)2,1(内，则a 的取值范围为 .9.已知函数42)(+=mx x f ，若在[]1,2-上存在0x ，使0)(0=x f ，求实数m 的取值范围.10.已知函数124)(2+-+=a x x x f ，若)(x f 有两个不等的零点，且它们位于区间)1,5(--内，求a 的取值范围.11.对于定义在实数集R 上的函数)(x f ，如果存在0x ，使00)(x x f =，呢么0x 叫做函数)(x f 的一个不动点.已知函数12)(2++=ax x x f 不存在不动点，那么实数a 的取值范围是 .12.已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 图象的零点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.13．已知a 是实数，函数32)(-=x x f 人如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上没有零点，求a 的取值范围.14.设c bx ax x f ++=23)(2，使0=++c b a ，0)0(>f ，0)1(>f ，求证：（1）0>a且12-<<-ab； （2）方程0)(=x f 在)1,0(内有两个实根.15.若关于x 的方程2)2(1--=x kx 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围.16.用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是 .17.用二分法求函数5)(3+=x x f 的零点（精确到0.1）.【参考答案】1.【答案】A【解析】函数配方得()51641222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m x x f ，故其单调递增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,8m()x f 在区间),2[+∞-上是增函数，[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⊆+∞-∴,8,2m ，28-≤∴m，16-≤m 251699)1(=+≥-=m f ，故A 为正确选项.2.【答案】A【解析】()2+x f 是偶函数，()()22+=+-∴x f x f ，故2=x 是函数()x f 的对称轴，故函数()x f 在()2,∞-上是单调递减函数， 其中⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2322122125f f f f ，同理⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2127f f ，又因为()⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛21123f f f ，故有()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛27125f f f .A 为答案.3.【答案】D【解析】设方程[]0)()(2=++p x nf x f m 两根分别为()x f 1和()x f 2，()x f 1和()x f 2关于直线m n x 2-=对称，则知()()mn x f x f -=+21， ∴ 关于x 方程[]0)()(2=++p x nf x f m 的解是以mn -为轴对称分布的， ∴ ABCD 四个选项中只有D 不满足此条件，故选D.4.【答案】C【解析】观察函数发现x x 42+在0>x 时是增函数；x x 42+-在0<x 时也是增函数()()0400422<->>>+x x x x x x ， ()x f ∴在其定义域()()+∞∞-,00, 上是增函数a a >-∴22，解得a 的取值范围是)1,2(-.5.【答案】7【解析】函数配方得()42)(2+--=x x f①当2≤n 时，()x f 在[])(,m n n m >上是单调递增函数，()5min -==∴m f f ，()4max ==n f f ，解得1-=m 或5=m （舍），2=n ，故1=+m n②当n m <<2时，()42max ==f f ， 其中当n nm <<+22时，()5min -==m f f ， 解得1-=m ，5=m （舍），52<<n ，()4,1∈+m n ； 当22nm m +≤<时，()5min -==n f f ， 解得1-=n （舍），5=n ，21<≤-m ，[)7,4∈+m n ③当2≥m 时，()x f 在[])(,m n n m >上是单调递减函数，()5min -==∴n f f ，()4max ==m f f ，解得1-=n （舍）或5=n ，2=m ，故7=+m n综上所述，m n +的最大值为76.【解析】函数配方得()()522+--=a a x x f ()1>a()x f ∴在[]a ,1上最小值为()152=+-=a a f ，解得2=a ，2-=a 舍去.7.【解析】函数配方得到：()425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f ，故知只有当23=x 时，函数()x f 才能取到最小值425-，故23≥m .又由()40-=f 知，02323-≤-m ，3≤m m ∴的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,238.【答案】)1,0(【解析】有题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--0)2(0)1(121f f a ，最后解得10<<a ，所以a 的取值范围为)1,0(9.【解析】首先当0=m 时，函数为4)(=x f 没有零点；当0≠m 时，函数在[]1,2-上存在零点，且函数是一次函数，一定会单调， 若函数存在零点，必然会是变号零点，所以有0)1()2(<-f f ， 即有0)42)(44(<+-m m ，解得此不等式得2-<m 或1>m ， 所以m 的取值范围是()()+∞-∞-,12, .10.【解析】根据题意有⎪⎩⎪⎨⎧>->->∆0)1(0)5(0f f ，解得123-<<-a ，所以a 的取值范围为)1,23(--.11.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-23,21【解析】假设函数12)(2++=ax x x f 存在不动点，则有x ax x =++122，若不存在不动点，此方程无解.所以判别式04)12(2<--=∆a ，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-23,21. 12.【解析】（1）当0=m 时，13)(+-=x x f ，直线与x 轴的交点为)0,31(，即函数的零点为31，在原点右侧，符合题意. （2）当0≠m 时，1)0(=f ，∴抛物线过点)1,0(.若0<m ，)(x f 的开口向下，如图。
函数与方程高考知识点总结一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。
2.函数的表示方法：函数可以用函数解析式、函数图象、函数表等形式表示。
3.函数的性质：奇偶性、周期性、有界性、单调性、极值、最值等。
二、初等函数1.常数函数：y=c。
2. 一次函数：y=kx+b。
3. 二次函数：y=ax²+bx+c。
4.幂函数：y=xⁿ。
5.指数函数：y=aᵡ。
6. 对数函数：y=logₐx。
7.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
8.反三角函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三、函数的运算1.函数的和、差、积、商的定义与性质。
2.复合函数的定义与性质。
3.反函数的定义与性质。
四、方程的概念与性质1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
2.方程的根：使方程等式成立的未知数的值称为方程的根。
3.方程的解：满足方程的根的值的集合。
4.方程的性质：等价方程、可解性、唯一性等。
五、一元一次方程1.一元一次方程的定义与解的概念。
2.一元一次方程的解法：解方程的基本步骤、去分母、去项、整理方程等。
3.一元一次方程的应用：问题转化为一元一次方程。
六、一元二次方程1.一元二次方程的定义与解的概念。
2.一元二次方程的解法：配方法、因式分解法、求根公式、三角函数法等。
3.一元二次方程的判别式：判别式与方程根的关系。
七、一元高次方程1.一元高次方程的定义与解的概念。
2.一元高次方程的解法：因式分解法、整理方程法、二次根与系数关系、综合除法等。
3.一元高次方程的应用：问题转化为一元高次方程。
八、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义与解的概念。
2.二元一次方程组的解法：方法一、方法二、方法三等。
3.二元一次方程组的应用：问题转化为二元一次方程组。
九、二元二次方程组1.二元二次方程组的定义与解的概念。
2.二元二次方程组的解法：消元法、代入法、加减消元法、变量代换法等。
3.二元二次方程组的应用：问题转化为二元二次方程组。
高考数学函数与方程考点精讲在高考数学中，函数与方程是极为重要的考点，也是许多同学感到棘手的部分。
接下来，让我们深入探讨一下这个关键考点。
一、函数的概念与性质函数，简单来说，就是对于一个自变量 x 的每一个确定的值，都有唯一的因变量 y 与之对应。
函数通常用 y ＝ f(x) 的形式来表示。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减。
如果对于区间内的任意两个自变量的值 x1 和 x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么函数在这个区间就是单调递增的；反之，如果 f(x1) ＞ f(x2)，则函数在这个区间单调递减。
奇偶性则是关于函数图象的对称性。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就是偶函数，其图象关于y 轴对称；如果 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。
周期性指的是函数值按照一定的规律重复出现。
若存在非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
二、函数的图象函数的图象是理解函数性质的重要工具。
通过图象，我们可以直观地看出函数的单调性、奇偶性、最值等信息。
例如，一次函数 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的图象是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线。
当 a ＞0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
三、函数的基本类型常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
一次函数和二次函数在实际问题中的应用非常广泛。
反比例函数 y＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）的图象是以原点为对称中心的两条曲线。
