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关于无穷积分收敛的必要条件的讨论

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无穷级数的收敛与发散

无穷级数的收敛与发散

比值判别法
若$lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right| = r$， 则当$r < 1$时，级数收敛；当$r > 1$时，级数发散；当$r = 1$时 ，该判别法失效。
根值判别法
若$lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} = r$，则当$r < 1$时，级数收敛；当$r > 1$时， 级数发散；当$r = 1$时，该判别 法失效。
积分判别法的应用条件
适用于项可以表示为某种连续函数的级数。
3
积分判别法的优点
可以利用已知的定积分性质进行快速判断。
收敛级数的性质与
04
定理
收敛级数的四则运算性质
加法性质
两个收敛级数相加，其和仍然收敛，且和等于两个级数各自和的 相加。
减法性质
两个收敛级数相减，其差仍然收敛，且差等于被减数级数的和减 去减数级数的和。
无穷级数的基本性
02
质
级数的和与部分和
级数的和
01
无穷级数各项相加得到的和，记作$S$。
部分和
02
无穷级数前$n$项的和，记作$S_n$。
级数和与部分和的关系
03
当$n$趋向无穷大时，如果部分和$S_n$的极限存在，则这个极
限就是级数的和。
级数的收敛性与发散性
01
收敛级数
如果无穷级数的部分和在数轴上趋向一个确定的数值，则称该级数收敛
热力学
在热力学中，无穷级数被用于描述系统的热力学性质，如热容、熵等。这些性质通常与系 统的微观状态数有关，而微观状态数往往可以表示为无穷级数的形式。
工程学中的应用
信号处理

数学分析11-2112 无穷积分的性质与收敛判别

数学分析11-2112 无穷积分的性质与收敛判别

若 f ( x)dx 收敛, 则可得 c g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛.反之,若 g( x) dx 收敛, 可得
a
a
3c g( x)dx 收敛,从而 f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
定理11.3 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个
非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
存在 G a, 满足
f ( x) g( x), x [G,),
前页 后页 返回
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有 x g( x)
f (x)
c
c ,
g( x)
2
即
c g( x) f ( x) 3c g( x).
2
2
前页 后页 返回
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
a
a
证 若
g( x)
dx
收敛,
则
M
0,
u [a,),
a
u
a g( x)dx M .
因此
u
f ( x)dx
u
g( x)dx M .
a
a

无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料

无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料

则当∫gdr收敛时，∫。fxdr亦收敛：-当∫。frdr发散时，∫。gdr亦发散，-证若」。gxdr收敛， M>0,Hu∈[a,+o,-Jgxd≤M.-因此jfxdr≤JgxdrsM.-由非负函数无穷积分的判别法， 。fxdr收敛，-第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立.-前页-后页-返回
§2无穷积分的性质及收敛判别-本节讨论无穷积分的性质，并用这些-性质得到无穷积分的收敛判别法。-一、无穷积 的性质-二、非负函数无穷积分的收敛判别法-三、一般函数无穷积分的收敛判别法-前页-后页-返回
一、无穷积分的性质-定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分-。fxdr收敛的充要条件是：Vc>0, ≥a,-当山1，山2>G时，-foeJfxwarfearke-证设Fw=∫fxdr,u∈[a,+o,则fx r-收敛的充要条件是存在极限imFu.由函数-L→+00-极限的柯西准则，此等价于-前页-后页-返回
ii由lim-fx=+0,存在G>a,使r>G,有-x0gx-fx>1,-8x-即fx>g,x∈[G,+o 因此由」gxdr发散-可推得∫fxdr发散.-推论2设f是定义在[a,+oo上的非负函数，在任何-有限区间 a,w上可积.-若fspn则ar收数-前页-后页-返回
若fp≤则fwdr发敢-推论3设f是定义在[a,+o上的非负函数，在任何有-限区间[a,u]上可积.若im 'fx=2,则-X→+00-当p>l,0≤<+o时，fxdr收敛：-田当p≤1,0<≤+oo时，fxdr发 .-说明：推论3是推论2的极限形式，读者应不难写-出它的证明-前页-后页-返回

无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨

无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨
,
所以无穷积分 收敛 .
于是 也收敛.
而
所以由引理1知 在 上一致连续.
推论1：若 收敛, 在 上满足李普希茨条件，
则 .
证明因为 在上满足利普希茨条件，
由引理2知 在 上一致连续.
又 收敛，
所以由定理1知 .
定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限 为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续. 如 收敛，但 ，则 在 上不一致连续.若直接证明 在 上不一致连续是很困难的。
1.1无穷积分 收敛时， 时， 不趋于零的情形
若无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之，是否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判别法知 收敛，但 不存在.
若 收敛，且 ≥0，则当 时 不一定趋于0
例如： = 当 属于整数时； =1当 不属于整数时.
=1- | |当 [n- ,n+ ]； =0 当 为其它数时；
TutorWang Dingguo
Abstract：Objective:To discuss the limit case of integrand f(x) ofinfinite integralfrom n=a to (+∞)f (x)DXwhenx→+∞.Method : use the consistent continuous nature and conclusions and some novel instances of function f(x) on [a,+∞).Results:Given some conditions and its proof when the limit of integrand f(x) ofinfinite integralfrom n=a to (+∞) f (x) DXis zero whenx→+∞.Conclusion:the limit of integrand f(x) is zero when infinite integralfrom n=a to (+∞) f (x)DXis convergent whenx→+∞must be attached to certain condit）上连续可微，并且 .

数学分析(下)11-2无穷积分的性质与收敛判别

数学分析(下)11-2无穷积分的性质与收敛判别

例1 若 f ( x) £ h( x) £ g( x), x Î[a,+¥) , f (x), g (x),
h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且
+¥
+¥
òa f ( x)dx 和 ò a g( x)dx
+¥
都收敛,则 ò a h( x)dx 收敛.
证 因为
+¥
+¥
ò a f ( x)dx 和 ò a g( x)dx
ò 解 由于
sin x £
x(a + x)
1 ,而 x×x
+¥ 1 1 x3 2dx 收敛,
+¥ sin x
因此 ò1
dx 绝对收敛. x(a + x)
+¥
收敛的无穷积分òa f ( x)dx 不一定是绝对收敛的.
+¥
+¥
若 òa f ( x)dx 收敛而 òa | f ( x) | dx 发散, 则称
a
+¥
可推得 òa f ( x)dx 收敛.
江西财经大学 统计学院
(iii)由 lim f ( x) = +¥, 存在 G > a, 使 " x > G, 有 x®+¥ g( x)
f ( x) > 1, g( x)
ò 即 f ( x) > g( x), x Î[G, +¥),因此由
+¥
g( x)dx 发散
收敛,由柯西准则的必要性,
"e > 0, $ G > a, "u1 > u2 > G,
江西财经大学 统计学院
ò ò u1 f ( x)dx < e , u2

无穷积分收敛的必要条件

无穷积分收敛的必要条件
f+
,
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,
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月

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

3.2
(1) 无界区域上广义二重积分的柯西判别法.
设 为无界区域,如果 ,当 时,有
.
其中 为常数,则广义二重积分 收敛；
(2)含瑕点的广义二重积分的柯西判别法
设在 内 有瑕点 ,若对于 充分接近的点 ,有
.
其中 则
收敛.
那么对于广义二重积分 而言, 收敛与 绝对收敛（即 收敛）之间有何关系？
对于无穷区域上的广义二重积分和含瑕点的广义二重积分而言,收敛和绝对收敛之间的关系[]如下：
Key words：improperintegral, mathematicalanalysis, method ofsubstitution,
improper double integral, infinite series
第
1.1
Riemann积分要求积分区间 有限且被积函数 在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.
以下假设 ，若对任何 , , ；若 .
Cauchy判敛法的极限形式 :设 是在任何有限区间 可积的正值函数. 且 . 则
1)
2) .
(二) 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法:
1) 阿贝尔判别法:若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛.
2) 狄利克雷判别法:设 在区间 上有界 , 在 上单调,且当 时, .则积分 收敛.
关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数
Abstract
From the background of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition ,itdiscussessome simply questions of improper doubleintegral, as well as a simple application in the realof improper integral.Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite integral and infinite series.

无穷限反常积分收敛的必要条件

无穷限反常积分收敛的必要条件举个最简单的例子
f(x)=x
从负∞积分到正∞
按照定义来说，负∞到0的积分是发散的，0到正∞的积分也是发散的，那么整体积分也是发散的，无法计算。

你的说法是，这个函数是奇函数，左边和右边抵消，所以积分结果是0
但是，你的说法其实是默认了x从0到负∞与x从0到正∞的变化速度是一致的，相当于计算的是
f(x)=x，x从-t到t的积分，当t趋于∞的结果。

但是，原题没有这个默认条件。

如果该反常积分收敛，那么不管按照怎样的速度去趋近，结果都是一样的，不可能说你用方法A做出来的结果和别人用方法B做出来的结果不一样。

你现在算一算
f(x)=x，x从-t到2t的积分，当t趋于∞的结果。

f(x)=x，x从-2t到t的积分，当t趋于∞的结果。

这两个积分是不是也是f(x)=x，x从负∞到正∞的积分?那最后的结果是不是不一样?
再举个例子，级数的收敛
数列an满足
a(2n)=n
a(2n-1)=-n，n为正整数
请问，该无穷级数是收敛还是发散。

无穷积分收敛的必要条件

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件是： #$ % （ % & ）# ( $
&! " &
证 不妨设在 ［ ( ，" & ） 上（ 对任意 % & ）) (， ［ ( ，" & ） ， （ 在 ［ (， 如果 + （ &） &# % &） & ］上连续， 是（ 在 ［ ( ，" & ） 上的原函数， 则+ （ &） 在 ［ (， % &） &］ 上也连续， 且在 （ (， 所以， 由 )*+,*-+. 中 & ）内可导， 值定理得 + （ &） （ ） （ ） （ （ $ !在 ( 与 , + ( # +- ! & , ( ） （ & ）, + （ (）# （ （ & , (） ， 所以， & 之间） $即 + % !） （ & ）, + （ (） + ， 因（ 故+ （ &） 是严格 % & ）) (， % !） #（ & , ( 单调增函数， 则+ （ & ）, + （ ( ）) (， 当 & ! " & 时， （ & ）, + （ (） + 若 #$% + （ & ）存在， 则 是单 !!" &， & , ( &! " & 调减函数， 从而知 （ % & ）也是单调减 函 数 $ 且 ( * （ ， 即（ ［ ( ，" & ）上有界， 所以， % (） % & ）在 % &） $（ （ ）存 在 故 （ ） （ ） #$% % & $ #$% % & # #$% % ! # #$%

无穷积分的性质及收敛判别


极限的柯西准则,此等价于
前页 后页 返回
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a
f
2
(
x
)
dx
都收敛
,
k1, k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a k1
f1(
x)

k2
f2
(
x)dx
前页 后页 返回
a
k1
f1
(
x
)

k2
f
2
(
x
)
dx


k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
再由柯西准则的充分性, 证得 h( x)dx收敛. a
前页 后页 返回
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
f ( x)dx 收敛的充要条件是: M 0, 使 a u u [a, ), a f ( x)dx M .
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
f ( x) dx 与

f ( x) dx (b a ),
a
b
同时收敛或同时发散，且

b
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5 8 >5’ 1 !(# , 关键词 ! 无穷积分 & 收敛 & 必要条件 !!!!!!!!!!!! 中图分类号 !< I +( +
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无穷积分
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它们的敛散性和性质几乎是 !( : ! 与级数 %D 7 在一定意 义 上 有 着 某 种 联 系 # 5’
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级数 D 平行的1 但是 # 8 >D 1 而无穷积分 7 #, % 7 收敛的必要条件是5
7.期刊论文 张凯.郭志林.ZHANG Kai.GUO Zhi-lin 区间值函数的无穷积分及其收敛性 -菏泽学院学报 2006,28(2)
在区间值函数积分定义的基础上,给出了区间值函数无穷积分的概念,并讨论了区间值函数无穷积分的性质,得出了区间值函数的无穷积 分收敛的判别方法.
8.期刊论文 无穷积分被积函数的构造 -江汉大学学报（自然科学版）2009,37(3)
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然而 # 一般地有如下结论 ’ 下面 讨 论 的 无 穷 积 分 总 是 假 设 函 数 5’ !(在 区 间 , ,# " @ (上 有 定 定 理 -! 设 5’ 在, 上连续 # 且 !( ,# " @( 则必存在数列 * # !( : ! 收敛 # !+ ! /" @ ’ 7/ " 5’
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高等数学研究 !"#$%&! %’ ()**&+& ,-".&,-"%(!
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关于无穷积分收敛的必要条件的讨论
湖南省衡阳师范学院数学系 ! 湖南衡阳 !0 " 罗李平 ! ! ! + , , J
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摘
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2.期刊论文 王宇凡.WANG Yu-fan 关于无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛的必要条件 -阴山学刊（自然科学版） 2007,21(4)
本文从无穷级数收敛的必要条件出发,通过无穷积分和无穷级数的紧密联系,给出无穷积分收敛的一个必要条件.
3.期刊论文 丁殿坤.邹玉梅.DING Dian-kun.ZOU Yu-mei 无穷积分收敛的必要条件 -河南教育学院学报 (自然科学版)2005,14(1)
关于无穷积分收敛的必要条件的讨论
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 罗李平 湖南省衡阳师范学院数学系,湖南衡阳,421008 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2005，8(4) 0次
参考文献(1条) 1.刘玉琏.杨奎元.吕风 数学分析讲义学习指导书 1987
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参考文献
相似文献(10条) 1.期刊论文 陈琳.祝丽萍.岳华.CHEN Lin.ZHU Li-ping.YUE Hua 无穷积分的被积函数收敛的充分性分析 -伊犁师范学院学报（自然科学版）2007,""(1)
就无穷积分的被积函数收敛的充分性进行分析,揭示出在无穷积分收敛的条件下被积函数收敛与被积函数的分析性质之间的关系,从而更 加深刻地理解无穷积分理论与级数理论的差异.
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1- + ’ + 7( . +$7 ! ’ ( 4 1 + 7 # ’ ’ ( 1 ( ( ’ 4+ 0 + 7 7"7"+ 参考文献
高等数学 ’ 下册 ( ’ 第四版 ( , 北京 % 高等教育出版社 # , -同济大学数学教研室 ( / / 3( G( , ! 现代数学手册 "编纂委员会 ( 现代数学手册 / 经济数学卷 , 武汉 % 华中科技大学出版社 # + G( + , , ,(
10.期刊论文 唐国吉 无穷积分与瑕积分的一个关系 -广西民族学院学报(自然科学版)2002,""(z1)
本文以反函数为工具,对无穷积分与瑕积分的关系进行研究,得到了无穷积分∫+∞af(x)dx收敛与瑕积分∫f(a) 0f -1(x)dx收敛互为充 要条件的重要结果,并且利用该结果揭示了∫+∞a(1)/(x λ)dx与∫ba(1)/((x-a) λ)dx敛散性判别的参数取值的差异问题.
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利用无穷积分与级数的敛散性关系,构造一类特殊函数作为无穷积分的被积函数,分析说明无穷积分绝对收敛,不能保证其无穷积分平方 收敛.
9.期刊论文 关冬月 关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件 -内蒙古师范大学学报(教育科学版) 2004,17(5)
数项级数∑∞n=1un与广义积分∫+∞af(x)dx之间可以互相转化,函数项级数∑∞n=1un(x) (x∈I)与含参变量广义积分∫+∞af(x,y)dx (y∈I)之间也可以互相转化.鉴于此,无穷级数与无穷积分在收敛性及相关的性质方面有诸多相似之处.本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛 的必要条件的不同之处,并给出几个必要条件.
利用上述级数可以得到以下结论 % 1- + + 7( 7 ’ 7 (幂级数 ’ ( ’ ( ’ 条件收敛1 $+ % ’ 1 ( + 7 7#, 1 - + ’ + 7( 7 证明 ! 令 O 则 # 4’ ( 7 # + ( ’ + 71 ’ 0 7" ( O + 4’ -( - + - 7$7 " + 7 7 ( 7 21 # - 04 ’ ( # ’ ( - -! ’ O 7"+ + 0 7 ’ 故数列 * # . 单 调 递 减1 又 由 前 述 # 该 数 列 的 通 项 趋 于 零# 即% O 7 # -# +# .# O 7 /" @ (且 7+ 7 /, 1- + + 7( 7 7 ’ 7 发散1 从而级数 条件收敛1 ’ ( ’ ( O $+ % % 1 ( ’ + 7 7#, 7#, 1- + + 7( 7 ’ 7 ’ ( ’ ( ’ ( + $# 1 + % 1 ( ’ + 7 7#, + ! ’ 1! + 7( -7 7 " 借用展开式 , # 取 ! # -# 即得结果 % ! ( ’ ( # 4+ + !1 , # !" % ’ $$-# + + 1 ( ’ + 7 7#-"! ! 1 1 ! $. + 7( . -. 7 ’ ( ( 由 展开式 , ! !$#-" ’ "%’ $! + 7 ’ ’ ( 1 ( ( ’ + + 7 7 7 + + " " 7#令! # -# 同样可得 % % + 7#,