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无穷限反常积分收敛判别法本文探讨了一种可用于鉴别无穷限反常积分收敛性的方法——无穷限反常积分收敛判别法。
通过例子，展示了这一方法的运用，并简单分析了该方法的特点。
无穷限反常积分是对无穷级数和反常积分的理论总结，它可以用于对反常积分收敛性的研究。
无穷限反常积分收敛判别法是一种可以有效鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
一般，它将反常积分表示为： $$int_a^b f(x)dx=sum_{n=1}^{infty}int_a^bF_n(x)dx$$ 其中$F_n(x)$为反常函数序列，有$F_nightarrow f(x)$当$nightarrow infty$。
下面介绍一个具体的例子：考虑反常积分$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)ln x}dx$$可以将它分为两个部分：$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)ln x}dx$$ 利用无穷限反常积分收敛判别法，可以证明$I$为有界积分，具体的，可以将积分分解为：$$I=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$ 由$F_n=frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-frac{1}{2}$$由于右端部分可以给出明确的数值，因此$I$为有界积分。
从上面的例子中可以看出，无穷限反常积分收敛判别法是一种有效的鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
无穷积分的收敛判别摘要：简单讨论无穷积分的收敛判别方法，以及各种判别法的适用范围和应用技巧，并以简单实例加以探究. 关键字：无穷积分,收敛判别法，收敛和发散 一．绝对收敛必自身收敛1.若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a dx x f |)(|收敛，则⎰+∞adx x f )(必收敛，并有|⎰+∞a dx x f )(|≤ ⎰+∞a dx x f |)(|（适用于函数值符号会变化的无穷积分，如含x x cos ,sin 等）2.运用定义来判别（适用于原函数容易求出的无穷积分）若f 定义在[a,+∞]上,且在任何有限区间[a,u]可积，若存在极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim，则⎰+∞adx x f )(收敛。
例1 讨论⎰+∞1p xdx的收敛性 解：（i ） 当p=1时，u xdxu p ln 1=⎰，+∞=+∞→u u ln lim ，∴⎰+∞a dx x f )(发散 （ii ）当p 1≠时，),1(111--=-⎰puip u px dx ⎪⎩⎪⎨⎧=>≤-∞++∞→⎰11111limp p p up u x dx综上：当p>1时，⎰+∞1p x dx收敛； 当p ≤1时，⎰+∞1p xdx发散。
二．非负函数无穷积分的判别（在含非负函数的无穷积分时适用） 若f 是定义在[a,+∞]上的非负函数，且在任何有限区间[a,u]上可积，则⎰+∞a dx x f )(收敛的充要条件是⎰ua dx x f )(在[a,+∞]存在上界。
1.比较原则：设定义在[a,+∞]上的两个非负函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足f （x ）≤g （x ），x ∈[a,+∞],则当⎰+∞a dx x g )(收敛时⎰+∞a dx x f )(必收敛（大收敛则小收敛，小发散则大发散）例2 判断dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性解： |21sin x x +|≤211x + 又⎰+∞+021x dx =lim +∞→u （u arctan -0）=2∏ 收敛 ∴dx x x⎰+∞+021sin 绝对收敛（由比较原则知），自身亦必收敛 2.比较原则的极限形式：（常会用到⎰+∞1p xdx作为比较对象）若f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，当x ∈[a,+∞]时，f （x ）≥0，g （x ）>0,且c x g x f x =+∞→)()(lim,则有: (i)当0<c<+∞时,⎰+∞a dx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同敛态; (ii)当c=0 时,若⎰+∞a dx x g )(收敛则⎰+∞a dx x f )(也收敛; (iii)当c=+∞时，若⎰+∞a dx x g )(发散则⎰+∞a dx x f )(也发散。
