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关于无穷积分收敛的必要条件的讨论

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无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料

无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料

则当∫gdr收敛时，∫。fxdr亦收敛：-当∫。frdr发散时，∫。gdr亦发散，-证若」。gxdr收敛， M>0,Hu∈[a,+o,-Jgxd≤M.-因此jfxdr≤JgxdrsM.-由非负函数无穷积分的判别法， 。fxdr收敛，-第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立.-前页-后页-返回
§2无穷积分的性质及收敛判别-本节讨论无穷积分的性质，并用这些-性质得到无穷积分的收敛判别法。-一、无穷积 的性质-二、非负函数无穷积分的收敛判别法-三、一般函数无穷积分的收敛判别法-前页-后页-返回
一、无穷积分的性质-定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分-。fxdr收敛的充要条件是：Vc>0, ≥a,-当山1，山2>G时，-foeJfxwarfearke-证设Fw=∫fxdr,u∈[a,+o,则fx r-收敛的充要条件是存在极限imFu.由函数-L→+00-极限的柯西准则，此等价于-前页-后页-返回
ii由lim-fx=+0,存在G>a,使r>G,有-x0gx-fx>1,-8x-即fx>g,x∈[G,+o 因此由」gxdr发散-可推得∫fxdr发散.-推论2设f是定义在[a,+oo上的非负函数，在任何-有限区间 a,w上可积.-若fspn则ar收数-前页-后页-返回
若fp≤则fwdr发敢-推论3设f是定义在[a,+o上的非负函数，在任何有-限区间[a,u]上可积.若im 'fx=2,则-X→+00-当p>l,0≤<+o时，fxdr收敛：-田当p≤1,0<≤+oo时，fxdr发 .-说明：推论3是推论2的极限形式，读者应不难写-出它的证明-前页-后页-返回

数学分析(下)11-2无穷积分的性质与收敛判别

数学分析(下)11-2无穷积分的性质与收敛判别

例1 若 f ( x) £ h( x) £ g( x), x Î[a,+¥) , f (x), g (x),
h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且
+¥
+¥
òa f ( x)dx 和 ò a g( x)dx
+¥
都收敛,则 ò a h( x)dx 收敛.
证 因为
+¥
+¥
ò a f ( x)dx 和 ò a g( x)dx
ò 解 由于
sin x £
x(a + x)
1 ,而 x×x
+¥ 1 1 x3 2dx 收敛,
+¥ sin x
因此 ò1
dx 绝对收敛. x(a + x)
+¥
收敛的无穷积分òa f ( x)dx 不一定是绝对收敛的.
+¥
+¥
若 òa f ( x)dx 收敛而 òa | f ( x) | dx 发散, 则称
a
+¥
可推得 òa f ( x)dx 收敛.
江西财经大学 统计学院
(iii)由 lim f ( x) = +¥, 存在 G > a, 使 " x > G, 有 x®+¥ g( x)
f ( x) > 1, g( x)
ò 即 f ( x) > g( x), x Î[G, +¥),因此由
+¥
g( x)dx 发散
收敛,由柯西准则的必要性,
"e > 0, $ G > a, "u1 > u2 > G,
江西财经大学 统计学院
ò ò u1 f ( x)dx < e , u2

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论
3.2
(1) 无界区域上广义二重积分的柯西判别法.
设 为无界区域,如果 ,当 时,有
.
其中 为常数,则广义二重积分 收敛；
(2)含瑕点的广义二重积分的柯西判别法
设在 内 有瑕点 ,若对于 充分接近的点 ,有
.
其中 则
收敛.
那么对于广义二重积分 而言, 收敛与 绝对收敛（即 收敛）之间有何关系？
对于无穷区域上的广义二重积分和含瑕点的广义二重积分而言,收敛和绝对收敛之间的关系[]如下：
Key words：improperintegral, mathematicalanalysis, method ofsubstitution,
improper double integral, infinite series
第
1.1
Riemann积分要求积分区间 有限且被积函数 在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.
以下假设 ，若对任何 , , ；若 .
Cauchy判敛法的极限形式 :设 是在任何有限区间 可积的正值函数. 且 . 则
1)
2) .
(二) 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法:
1) 阿贝尔判别法:若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛.
2) 狄利克雷判别法:设 在区间 上有界 , 在 上单调,且当 时, .则积分 收敛.
关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数
Abstract
From the background of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition ,itdiscussessome simply questions of improper doubleintegral, as well as a simple application in the realof improper integral.Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite integral and infinite series.

关于无穷积分收敛的必要条件的讨论

关于无穷积分收敛的必要条件的讨论
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无穷积分
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它们的敛散性和性质几乎是 !( : ! 与级数 %D 7 在一定意 义 上 有 着 某 种 联 系 # 5’
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级数 D 平行的1 但是 # 8 >D 1 而无穷积分 7 #, % 7 收敛的必要条件是5
7.期刊论文 张凯.郭志林.ZHANG Kai.GUO Zhi-lin 区间值函数的无穷积分及其收敛性 -菏泽学院学报 2006,28(2)
在区间值函数积分定义的基础上,给出了区间值函数无穷积分的概念,并讨论了区间值函数无穷积分的性质,得出了区间值函数的无穷积 分收敛的判别方法.
8.期刊论文 无穷积分被积函数的构造 -江汉大学学报（自然科学版）2009,37(3)
,
然而 # 一般地有如下结论 ’ 下面 讨 论 的 无 穷 积 分 总 是 假 设 函 数 5’ !(在 区 间 , ,# " @ (上 有 定 定 理 -! 设 5’ 在, 上连续 # 且 !( ,# " @( 则必存在数列 * # !( : ! 收敛 # !+ ! /" @ ’ 7/ " 5’
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高等数学研究 !"#$%&! %’ ()**&+& ,-".&,-"%(!
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关于无穷积分收敛的必要条件的讨论

无穷积分的性质及收敛判别

无穷积分的性质及收敛判别

极限的柯西准则,此等价于
前页 后页 返回
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a
f
2
(
x
)
dx
都收敛
,
k1, k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a k1
f1(
x)

k2
f2
(
x)dx
前页 后页 返回
a
k1
f1
(
x
)

k2
f
2
(
x
)
dx


k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
再由柯西准则的充分性, 证得 h( x)dx收敛. a
前页 后页 返回
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
f ( x)dx 收敛的充要条件是: M 0, 使 a u u [a, ), a f ( x)dx M .
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
f ( x) dx 与

f ( x) dx (b a ),
a
b
同时收敛或同时发散，且

b

无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨

无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨
摘要……………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………1
Abstract……………………………………………………………………………1
Key words………………………………………………………………………….1
引言………………………………………………………………………1
.
于是 都有
.
故函数 在 上一致连续.
引理2：若函数 在区间 满足李普希茨条件，即 ，有 ，其中是常数，
则 在 上一致连续.
证明 解不等式
得
取 于是 则 有
故函数 在 上一致连续.
引理3：若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明 因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
1.2.4极限存在时的情形……………………………………………………………………7
1.2.5函数导数有界时，对 时， 趋于零的探讨……………………………8
1.3当 ， 趋于零与无穷积分收敛的关系………………………………9
1.3.1当 ， 趋于零时与 敛散性的关系………………………9
1.3.2当 ， 趋于零时与 的敛散性与 敛散性的关系……………………………………………………………………………………9
证明方法同上.
1.2.3 函数的导数的反常积分收敛时，对 时， 趋于零的探讨
引理4：反常积分 收敛的柯西准则
反常积分 收敛的充要条件为对 存在A>a,使得对任意的 时，有 。
定理3：若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明：由于 收敛，所以由柯西准则知

第3讲 非负函数无穷积分的收敛判别法


l= im p−1
x x→+∞
2
0.
+ ∞ lnk x
∫ 因此由推论3知道
dx 收敛.
1 xp
(ii)
p
≤
1
时,
lim
x→+∞
x
⋅
lnk x xp
=
lim x1− p lnk x = +∞.
x→+∞
+∞ lnk x
∫ 因此同理知道 1 x p dx 发散.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.2（比较判别法）
设定义在[a,+∞) 上的两个非负函数 f , g在任何有
限区间[a, u]上可积, 且满足
f ( x) ≤ g( x), x ∈[a, +∞),
+∞
+∞
设定义在 [a,+∞)上的非负函数 f 在任何[a, u]
+∞
上可积, 则 ∫ a f ( x)dx 收敛的充要条件是:
∃ M > 0, 使
u
∀ u ∈[a,+∞), ∫a f ( x)dx ≤ M .
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
可推得 ∫a f ( x)dx 收敛.
(iii)由 lim f ( x) = +∞, 存在G > a, 使∀x > G,有
x→+∞ g( x)

11.2无穷积分的收敛判别法


f ( x )g ( x )dx 收敛.
作业
习题11.2 习题 1、1), 2), 3, 5); 、 2、2), 4); 3; 4. 、
∫
b
a
f ( x )g( x )dx = g (a )∫ f ( x )dx + g ( b )∫ f ( x )dx
a
ξ
b
ξ
证：当g单调减时, 令h( x ) = g ( x ) − g (b ), 非负递减
∫
b
a
f ( x )h( x )dx = h( a )∫ f ( x )dx
a
ξ
= [ g (a ) − g (b )]∫ f ( x )dx
∴当A' , A" > A0时, ∫
A"
A'
f ( x )g ( x )dx ≤ 4 Mε ,
+∞
由Cauchy收敛原理知 ∫a
f ( x )g ( x )dx 收敛.
例2
∫
+∞
1
sin x dx — — 条件收敛 x
证 ⑴
∫
A
1
满足1o sin xdx = cos A − cos 1 ≤ 2,
+ ∞ sin x 1 dx收敛. g ( x ) = , 递减趋向于 0, 满足 2o ∴ ∫1 x x sin x sin x sin 2 x 1 cos 2 x ⑵ Q = ≥ = − x x x 2x 2x + ∞ cos 2 x +∞ 1 ∫1 2 x dx 收敛, ∫1 2 x dx 发散, + ∞ sin x dx 发散. ∴∫ 1 x
∞
1
f ( x )dx = xf ( x )

定积分与无穷积分性质探讨

Ⅱ ＪⅡ Ｊ Ｕｌ
由以上可积准则 ， 分别 得 到以下可 积性 质 ， 从 中我 们不 难发现它们 的本质及 区别． 性质 １ 若，在 ［ 。 ， ｂ ］上 可积 ， 则 在 ［ ｎ， ｂ ］上也可
ｂ 一
又 因 为 Ｉ ｒ ， （ ） Ｊ ≤ ｒ Ｉ ｆ （ ） Ｉ ｄ ｘ ， 令 ｕ 一 ＋ 取 极 限 ，
Ｅ
，
ｘ
甚 至把定积分 的性质直接搬移到无穷积 分 中， 从 而很容易得 到一些错误 的结论． 为此 ， 我们从问题 的本质出发 ， 以可积准
则 为依据 ， 给 出这两类积分两个重要性质的区别．
上不可积； 但 Ｉ ＿ 厂 （ ） ｌ ；１ ， 它在 ［ ０ ， １ ］ 上是可积的．
性质 ２ 若 ｆ在 任 何 有 限 区 间 ［ ｎ ， “ ）上 可 积 ， 且 有
得 Ｉ ｆ ｌ 在［ 。 ， ｂ ］ 上可积．
再由不等式 一ｌ ） ｌ ≤， （ ） ≤Ｉ ， （ 性 即 证 得 『 ， （ ） ｌ ≤ 上 Ｉ Ａ ） ｌ ・
注意 １ 性质 １的逆命题一般不成立 ， 例如
例 １ 设 函 数 ） ＝ ｛ ｌ ＿ ’ ｌ ， Ｉ ． 可 知 ， （ ） 在 ［ 。 ， １ ］
Ｊ Ⅱ Ｉ （ ｆ ） 收敛 ｌ ， 则 厂 （ ） 亦必收敛 ， 并有
１ 函数 的可积 准则及 性质
定理 １ （ 定 积分 的可积准则 ） 函数ｌ 厂 在 ［ 。 ， ｂ ］上可积
Ｉ ｆ ， （ ） ｘ ａ ｌ ＜ － ｆ Ｉ （ ｆ ） Ｉ ．
例 ２讨 论 』 ｓ ｉ ｎ ｘ ， （ ｐ ＞ ０ ） 的 收 敛 性 ．
使 得∑ Ｔ
＜
）一 ， （ ” ） ｌ

关于无穷积分收敛的必要条件的探讨

湖北大学硕士学位论文关于无穷积分收敛的必要条件的探讨姓名：孙幸荣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：文胜友20080501关于无穷积分收敛的必要条件的探讨作者：孙幸荣学位授予单位：湖北大学1.期刊论文关冬月关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件-内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(5)数项级数∑∞n=1un与广义积分∫+∞af(x)dx之间可以互相转化,函数项级数∑∞n=1un(x) (x∈I)与含参变量广义积分∫+∞af(x,y)dx (y∈I)之间也可以互相转化.鉴于此,无穷级数与无穷积分在收敛性及相关的性质方面有诸多相似之处.本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛的必要条件的不同之处,并给出几个必要条件.2.期刊论文张千祥无穷级数与无穷积分的关系探讨-安庆师范学院学报(自然科学版)2002,8(4)本文讨论了无穷级数与无穷积分的关系,给出∫+∞αf(x)d(x)收敛时,limx→∞f(x)=0成立的几个充分条件.3.期刊论文王宇凡.WANG Yu-fan关于无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛的必要条件-阴山学刊（自然科学版）2007,21(4)本文从无穷级数收敛的必要条件出发,通过无穷积分和无穷级数的紧密联系,给出无穷积分收敛的一个必要条件.4.期刊论文毛一波.MAO Yi-bo反常积分与无穷级数的对数审敛法-重庆文理学院学报（自然科学版）2007,26(1) 利用比较判别法,给出了无穷积分和瑕积分敛散性的对数判别法;对比无穷积分和无穷级数,同时给出了无穷级数的对数审敛法.5.期刊论文朱水源无穷积分+∞∫0 sinx/x dx的敛散性的判别和计算-宿州教育学院学报2007,10(6)本文就无穷积分+∞∫0 sinx/x dx这一反常积分问题,给出了Dirichlet判别法、留数计算法、Laplace变换(像函数积分法)、无穷级数(近似)计算法.这些无疑是解决诸如+∞∫0 sinx/x dx类积分问题的有效手段.6.期刊论文刘宁谈无穷级数与广义积分的关系-重庆职业技术学院学报2004,13(3)本文叙述了无穷级数与广义积分的区别与联系,并给出了收敛的无穷积分其被积函数趋于零的充要条件.7.期刊论文梁洪亮浅谈等价关系的应用-高等数学研究2004,7(4)将等价关系应用于求极限和判定无穷积分、无穷级数的敛散性,可极大地方便问题求解.8.期刊论文许志红.钱祖平.益晓新有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算-解放军理工大学学报(自然科学版)2001,2(4)在阻抗边界条件下，有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位函数可被表达成电偶子源的直达波，镜像源的反射波与一个无穷积分或一个贝塞尔函数级数之和的解析形式。

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相似文献(10条) 1.期刊论文 陈琳.祝丽萍.岳华.CHEN Lin.ZHU Li-ping.YUE Hua 无穷积分的被积函数收敛的充分性分析 -伊犁师范学院学报（自然科学版）2007,""(1)
就无穷积分的被积函数收敛的充分性进行分析,揭示出在无穷积分收敛的条件下被积函数收敛与被积函数的分析性质之间的关系,从而更 加深刻地理解无穷积分理论与级数理论的差异.
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5.期刊论文 韦宁.胡洪池 关于无穷积分收敛被积函数极限为零的条件探讨 -河北职业技术学院学报 2001,1(4)
本文论述了无穷积分收敛时,被积函数当自变量趋于无穷大时的极限何时为零的问题.通过研究若干新颖的实例,探讨出结论.
6.学位论文 孙幸荣 关于无穷积分收敛的必要条件的探讨 2008
非正常积分是积分论的重要内容。对于非正常积分收敛的充分条件,大学课本已给出了很细致的讨论。但关于非正常积分收敛的必要条 件都作为练习留给学生了。 本文全面总结了关于无穷积分收敛的所有已知的必要条件。我们给出了这些结果的详细证明并讨论了这些结果的应用。此外,对于无穷 积分与无穷级数的比较也作了讨论。
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参考文献
关于无穷积分收敛的必要条件的讨论
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 罗李平 湖南省衡阳师范学院数学系,湖南衡阳,421008 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2005，8(4) 0次
参考文献(1条) 1.刘玉琏.杨奎元.吕风 数学分析讲义学习指导书 1987
本文链接：/Periodical_gdsxyj200504009.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：8c196083-8173-4122-8991-9dca0110129b 下载时间：2010年8月6日
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5 8 >5’ 1 !(# , 关键词 ! 无穷积分 & 收敛 & 必要条件 !!!!!!!!!!!! 中图分类号 !< I +( +
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无穷积分
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级数 D 平行的1 但是 # 8 >D 1 而无穷积分 7 #, % 7 收敛的必要条件是5
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