瑕积分的收敛判别法

§ 3瑕积分的性质与收敛判别教学目的：掌握瑕点，瑕积分的概念，会运用瑕积分的收敛判别法。

重点难点：重点与难点为瑕积分的收敛判别方法及其与无穷积分收敛判别法的区 别。

教学方法：讲练结合。

教学内容：例1圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R,桶底有一半径为r 的小孔•试问从盛 满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 ？ 从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为 （h —x ）时，水从孔 中流出的流速（单位时间内流过单位截面积的流量）为v J 2g （h _ x ）,其中g 为重力加速度.设在很小一段时间de 内，桶中液面降低的微小量为dx ,它们之间应满足：R 2dx = v 「：r 2dt ，由此则有所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”：但是在这里因为被积函数是［0,h ）上的无界函数，所以它的确切含义应该是uR 2 —2 dxr 2 ,2g(h-x)=lim *^2-R^(加‘h 一 h 一u)u -.h _.g r、瑕积分的定义定义2 f 定义在区间（a,b ］上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间［u,b ］ （a, b ）上有界且可积.如果存在极限limj f （x ）dx = J ，则称此极限为 无界函数f 在（a,b ］上的 u T a 十打 反常积分，记作J = ：f(x)dx,dtR 2 r_2g(^x)dx, x [0, h].R 2 r 2 2g(h-x)t fa f (x)dx收敛.如果极限lim f f(x)dx=J不存在，这时也说反常并称反常积分u积分a f (x)dx发散.在定义2中，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而b无界函数反常积分a f(x)dx又称为瑕积分•类似地，可定义瑕点为b时的瑕积分：b uf (x)dx lim f (x)dx.其中f在[a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但a ub _ a在任何[a,u] [a,b)上可积.若f的瑕点(a,b)，则定义瑕积分b c b u bf (x)dx f(x)dx f(x)dx= lim f(x)dx lim f (x)dx.a a 乜u )c - • a v >c • v其中f在[a,c) 一(c,b]上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何[a,u ] [a, c)和[v,b] [ c, b)上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.又若a、b两点都是f的瑕点，而f在任何[u,v] (a,b)上可积，这时定义瑕积分b c b c vf (x)dx f(x)dx f(x)dx 二lim f (x)dx lim f (x)dx,a a c —a …u v c其中c为(a,b)内任一实数.当且仅当⑺ 式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.例i瑕积分f亍d的值1解：被积函数f(x) -——在[0,1)上连续，从而在任何[0,u] [0,1)上可、'1 - x21 dx u dx 応积，x=1为其瑕点. 依定义2 求得J # = lim [ j= lim arcsinu= — .E—14nu,q T (0 :: u :: 1), Sx2I-人1-x2* 2例2讨论瑕积分0)的收敛性.x解：被积函数在(0,1 )上连续，X =0为其瑕点.由于1 dxu^故当0<q<1时，瑕积分(8)收敛，且f 密=lim $卑=丄；而当q > 1时，瑕积 h x q u -0+'u x q1 -q分(8)发散于•：：.注：当0<q<1时，瑕积分b dXq二(b-a)7收敛，且而当q > 1时，瑕 站(x —a)q 1-qbdx积分发散于，-例3讨论瑕积分2 dX 的收敛性. 耳 xln x 解：x =1是瑕点，有则发散8dx例4讨论瑕积分 d x 的收敛性」J xX"是瑕点，有dx 8 dx叮 x 03xo』dx 3-3」£ =吧」3厂吧2(3" = -2 诜鸭喝匕咙(」)=6 则收敛二、瑕积分的性质类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数bb极限lim f(x)dx = f (x)dx 的原意写出相应的命题.u —:a uab定理11. 5瑕积分［f (x)dx (瑕点为a)收敛的充要条件是：任给总>0， a.-bbU 2存在 6 >0，只要 u 1、u 2 € (a,a +6)，总有『f (x)dx - f f (x)dx = f f (x)dx c 名.UL u 2L U 12 dx 1 xln x|i f dx芒+'&xln x2= ^」nln(x)w8dxx0 dx-A8 dx ■・ 8 dx性质1 设函数f1与f2的瑕点同为x = a,k1、k2为常数，则当瑕积分$ f i (x)dx 与f f 2(x)dx 都收敛时，瑕积分 ｛［屮。

【精品】3 瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分是一种重要的数学工具,可以用来求解基础积分和定积分.它由Leibniz在17
月引入.它是一种多元函数的连续变化,可以用来定义连续量,如曲线,曲面等.
1.收敛判别：瑕积分的收敛判别原则指出，如果函数f(x)在[a,b]内可以连续微分无
限次，那么存在一种调和穷举积分函数，使得函数在[a,b]内可以和谐积分。

由于调和穷
举积分是瑕积分的一种，因此瑕积分也可以用这种原则来判别，当函数f(x)在[a,b]内做
了微分，且在该区间已准确计算完毕，则该瑕积分可收敛。

2.性质：瑕积分的性质主要是指它具有多元变化的特点：
（1）可导性：瑕积分是导数的函数，它对x的连续变化可以得到连续变换的导数；
（2）可分性：瑕积分的分段计算可以使得各段的函数特征保持一致，环境自然无限；
（3）可组合性：瑕积分可以结合多个函数，形成新的函数；
（4）高效性：瑕积分计算简单，效率极高，可以对大量函数以及微分函数进行计算；
（5）复杂性：瑕积分可以用来处理复杂的函数，例如可以应用在微分方程、圆形几
何等；
（6）实时性：瑕积分可以实现实时的计算，可以用在连续的状态的函数的运算上；
（7）可表示性：瑕积分可以用来表示各种函数，例如可用于描述平面空间中的曲线等；
（8）递推性：瑕积分可以应用于复杂函数的递推性运算中。

以上就是瑕积分的性质及收敛判别。

瑕积分的性质及收敛原则为数学物理以及其他经
科学分析确定结果提供了重要参考价值，它实际上是用来分析连续量的调和穷举积分函数。

关于瑕积分收敛的判断课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。

由这一推论可以看出：推论是根据 +→a x （视具体情况亦可是 -→b x ）时无穷大量 ()x f 相对于无穷大量ax -1 的阶来判断。

因为：()()d x f a x a x =-+→λlim 等价于()()d a x x f ax =-+→λ1lim ，当 +∞<<d 0 时，无穷大量 ()x f 与无穷大量 ()λa x -1是同阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量a x -1，无穷大量 ()x f 的阶是 λ ），由于例3 （课本下册p.280），相对于无穷大量 ax -1，无穷大量 ()x f 的阶 1<λ 时瑕积分()⎰b ax d x f 收敛，阶1≥λ 时瑕积分()⎰bax d x f 发散。

当然，由于存在不可比较的无穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：例1． 判别瑕积分⎰-2sin 1πθθd 的敛散性（课本下册p.289：2（6））解：由于∞+=--→θπθsin 11lim 2，点 2πθ= 是其瑕点。

又由于（注1）22sin 22cos 1sin 1θπθπθ-=⎪⎭⎫⎝⎛--=- ，122sin 22lim 2=---→θπθππθ ，当 -→2πθ 时，相对于无穷大量θπ-21，无穷大量22sin 1θπ-的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。

（注2）（ 若直接用推论，判定发散的理由是 2sin 12lim 2=---→θθππx 。

）例2． 判别瑕积分⎰10ln xx xd 的敛散性（课本下册p.289：2（5）） 解：由于 01ln = ，1=x 显然是瑕点。

当 +→0x 时，由洛必达法则有()02lim 211lim 211lim 1ln lim ln lim 0000=-=-=-==+++++→→→→→x x x xx x x xx x x x x x x x ， 因而 0=x 亦是瑕点。

含参变量瑕积分的狄利克雷判别法
瑕积分是指在某一点处不可积的积分，例如在函数f(x)中，当x=a时，f(x)无界或不可积。

狄利克雷判别法是判断瑕积分是否收敛的一种方法。

它的条件如下：
1. 函数f(x)在某一区间[a, b]上单调。

2. 函数f(x)在[a, b]上有界。

3. 函数f(x)在[a, b]上只有有限个第一类或第二类间断点。

如果满足以上条件，则瑕积分∫[a, b]f(x)dx收敛。

具体步骤如下：
1. 首先判断函数f(x)在[a, b]上是否满足单调性和有界性。

2. 如果函数f(x)在[a, b]上有有限个第一类或第二类间断点，记为c1, c2, ..., cn，则将区间[a, b]分为若干个子区间，并在每个子区间内判断函数f(x)的单调性和有界性。

3. 判断每个子区间上的函数f(x)是否满足单调性和有界性。

4. 如果所有子区间上的函数f(x)都满足单调性和有界性，则瑕积分∫[a, b]f(x)dx收敛。

需要注意的是，狄利克雷判别法只适用于具有特定性质的函数，对于其他类型的瑕积分可能需要使用其他方法进行判断。

同时，狄利克雷判别法只判断瑕积分的收敛性，对于发散的瑕积分无法给出结论。

瑕积分阿贝尔判别法例题
瑕积分（improper integral）是指被积函数在一定区间上的某个点发散，或在整个区间发散的情况下所定义的积分。

阿贝尔判别法（Abel's test）是判断瑕积分是否收敛的一种方法。

下面是一个使用阿贝尔判别法判断瑕积分收敛性的例题：
考虑瑕积分∫0^∞ sin(x) / x^p dx。

根据阿贝尔判别法，我们需要判断以下两个条件是否满足：
1. 函数 f(x) = sin(x) 在区间[0,∞) 上单调递减。

2. 积分∫0^∞ x^(-p) dx 收敛。

先来看第一个条件，由于 sin(x) 在整个区间[0,∞) 上都在 [-1,1] 之间，而 x 越大，sin(x) 的绝对值越小，所以函数 f(x) = sin(x) 在区间[0,∞) 上单调递减。

然后来看第二个条件，计算积分∫0^∞ x^(-p) dx。

这是一个常见的瑕积分，我们可以通过计算不定积分再进行极限计算。

∫ x^(-p) dx = x^(1-p) / (1-p)
当 1-p > 0 时，即 p < 1 时，∫ x^(-p) dx 在[0,∞) 上收敛。

因此，根据阿贝尔判别法，当 p < 1 时，瑕积分∫0^∞ sin(x) /
x^p dx 收敛；当p ≥ 1 时，瑕积分发散。

瑕积分的收敛判别法PB07210226，王丹临我们学习过两种反常积分，即无穷积分和瑕积分。

但对如何判断这两种积分的敛散，未作进一步讨论。

学过无穷级数后，再来学习反常积分的收敛判别法，会发现两者在许多方面是基本一样的。

下以瑕积分为例进行论述。

如何判断瑕积分的敛散性？先看，一个简单的例子。

研究积分10⎰y =，即得1212y e dy =⎰， 这样就把判断瑕积分收敛的问题归结为判断无穷积分的收敛问题。

一般来说，如果a 是f 的瑕点，做变换1x a y =+，那么通过上面的变换，每一个瑕积分一定可以化成一个无穷积分。

判断无穷积分收敛的方法都可以平行的对瑕积分建立起来。

例1 研究积分120log 1x dx x-⎰的敛散性。

看上去似乎x=0，x=1都是瑕点，但实际上由于 21log 1lim 21x x x →=--， 被积函数在x=1附近是有界的，因此1不是瑕点。

考虑x=0附近的情况。

对于充分小的x ，恒有2112x -≥，所以 2log 2log 1xx x ≤-，而积分是收敛的，因此原积分收敛。

现在考虑一下反常积分主值的概念。

以往定义无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛，是指两个无穷积分 ()a f x dx -∞⎰()a f x dx +∞⎰都收敛。

并且规定 ()f x dx +∞-∞⎰为以上两者相加。

这就意味着，当A ，B 独立的趋于正无穷时极限积分值存在。

但对某些函数来说， 此极限并不存在。

但当A=B 时，lim ()A AA f x dx -→∞⎰却是存在的。

如果此极限存在，称这极限为无穷积分的柯西主值。

对于瑕积分，同样可以定义柯西主值的概念。

设c 是f 在区间[a ，b]中唯一的瑕点，定义它的柯西主值为 0lim(()())c e b a c e e f x dx f x dx -+→+⎰⎰容易知道，收敛的无穷积分或瑕积分的柯西主值一定存在，但反之不一定成立。

总之，判断收敛性是一项需要耐心的工作，我们需要在学习中不断积累经验才能很好的掌握各种判断方法。