2012届高三一轮复习名师一号文科数学第九模块概率与统计综合检测

【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布单元评估检测文（含2014年模拟题，解析）第九章(60分钟100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·襄阳模拟)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是( )A.2 015,2 013B.2 013,2 015C.2 015,2 015D.2 015,2 0142.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+∞)3.(2014·仙桃模拟)200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为( )A.65辆B.76辆C.88辆D.95辆4.(2014·宝鸡模拟)读程序回答问题对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A.程序不同,结果不同B.程序不同,结果相同C.程序相同,结果不同D.程序相同,结果相同5.(2014·黄石模拟)嗜酒不嗜酒总计患肝病7 775 42 7 817未患肝病 2 099 49 2 148总计9 874 91 9 965得到如下几个判断：①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关;②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关;③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能小于1%;④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.36.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如表所示：身高x(cm) 160 165 170 175 180体重y(kg) 63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程：=0.56x+,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( )A.70.09kgB.70.12kgC.70.55kgD.71.05kg7.(2014·厦门模拟)样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( )A. B. C. D.28.一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{an},若a3=8且a1,a3,a7成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( )A.13,12B.13,13C.12,13D.13,14二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2014·嘉兴模拟)在一次运动员的选拔中,测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示.已知记录的平均身高为164cm,但有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为__________.10.(2014·沈阳模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位：环)：甲10 8 9 9 9乙10 10 7 9 9如果甲、乙两人中只有1人入选,那么入选的最佳人选应是__________.11.(2014·天门模拟)若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=3,=2,则输出的数等于__________.12.在2014年元旦期间,某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析,发现销售量y与商品的价格x具有线性相关关系,则销售量y关于商品的价格x的线性回归方程为__________.三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36(1)画出茎叶图.(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适? 14.(10分)(2014·黄冈模拟)某制造商3月生产了一批乒乓球,随机抽样100个进行检查,测得每个球的直径(单位：mm),分组频数频率[39.95,39.97) 10[39.97,39.99) 20[39.99,40.01) 50[40.01,40.03] 20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在图中画出频率分布直方图.(2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为40.00mm,试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率.(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如,区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).15.(10分)(2014·郑州模拟)某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.说明：如图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯.(2)主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(3).16.(10分)(能力挑战题)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(℃)10 11 13 12 8 6就诊人数y(个)22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率.(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=x+.(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式：==,=-).答案解析1.【解析】选D.X=1+2014=2015;Y=2015-1=2014.2.【思路点拨】确定该程序框图是求分段函数的函数值后,再由函数值域求自变量的范围.【解析】选B.该程序框图的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又因为输出的函数值在区间内,所以x∈[-2,-1].3.【解析】选B.设时速不低于60 km/h的汽车数量为n,则=(0.028+0.010)×10=0.38,所以n=0.38×200=76.【加固训练】(2014·成都模拟)在某大型企业的招聘会上,前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2000人,如图为各类毕业生人数统计扇形图,则博士研究生的人数为________.【解析】由题意可知,博士研究生占的比例为1-62%-26%=12%,故博士研究生的人数为2000×12%=240.答案：2404.【解析】选B.从两个程序可知它们的程序语句不同,但其算法都是求1+2+3+…+1000,故结果相同. 【易错提醒】WHILE-WEND循环条件满足时进入循环体,DO-LOOP UNTIL循环条件满足时退出循环体.5.【解析】选D.由K2=≈56.632>10.828>6.635,所以①②③都正确.【加固训练】某数学教师随机抽取50名学生进行是否喜欢数学课程的情况调查,得到如下列联表：喜欢数学不喜欢数学总计男18 9 27女8 15 23总计26 24 50根据表中数据求得K2的观测值约为( )A.5.059B.6.741C.8.932D.10.217【解析】选A.根据表中数据得K2的观测值k=≈5.059.6.【解析】选 B.==170,==69.因为回归直线过点(,),所以将点(170,69)代入回归直线方程得=-26.2,所以=0.56x-26.2,代入x=172cm,则其体重为70.12kg.7.【解析】选D.因为=1,得a=-1,所以s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.8.【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d(d≠0),a3=8,a1a7=(a3)2=64,(8-2d)(8+4d)=64,(4-d)(2+d)=8,2d-d2=0,又d≠0,故d=2,故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,平均数为==13,中位数为=13.9.【解析】将所有数据都减去160,根据平均数的计算公式可得=4. 解得x=7.答案：710.【解析】==9环,=[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=,=[(10-9)2+(10-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=>,故甲更稳定,故填甲.答案：甲11.【解析】执行程序i=1时,S=0+(x1-)2=(1-2)2=1;i=2时,S=1+(x2-)2=1+(2-2)2=1;i=3时,S=1+(x3-)2=1+(3-2)2=2;退出循环后,执行S=×2=,输出S=.答案：12.【思路点拨】分别计算出,,xiyi,,或列表格计算,再代入公式计算.【解析】xiyi=392,=10,=8,=502.5,代入公式,得==-3.2,所以,=-=40,故线性回归方程为=-3.2x+40.答案：=-3.2x+4013.【解析】(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27,30,31,35,37,38;乙：28,29,33,34,36,38.所以=×(27+30+31+35+37+38)=33,=×(28+29+33+34+36+38)=33.=×[(-6)2+(-3)2+(-2)2+22+42+52]=,=×[(-5)2+(-4)2+0+12+32+52]=.因为=,>.所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.14.【解析】(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数频率[39.95,39.97) 10 0.10 5[39.97,39.99) 20 0.20 10[39.99,40.01) 50 0.50 25[40.01,40.03] 20 0.20 10合计100 1(2)误差不超过0.03mm,即直径落在[39.97,40.03]范围内,其概率为0.20+0.50+0.20=0.90.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20≈40.00(mm).年201X(年) 0 1 2 3 4人口数Y(十万) 5 7 8 11 19(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+.(2)据此估计2015年,该城市人口总数.(参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132)【解析】(1)由题意,=2,=10,因为==3.2,所以10=3.2×2+所以=3.6,所以线性回归方程为=3.2x+3.6.(2)把x=5代入线性回归方程,得到=3.2×5+3.6=19.6,19.6(十万)=196万.答：据此估计2015年,该城市人口数大约为196万.15.【思路点拨】(1)根据茎叶图的叶上数字的多少明确其亲属30人的饮食习惯.(2)根据茎叶图完成列联表.(3)由(2)得出的列联表计算K2得出观测值.【解析】(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主.(2)如表所示：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下 4 8 1250岁以上16 2 18总计20 10 30(3)k===10>6.635.所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.【加固训练】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽查了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：月收入(单位：百元)[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计赞成不赞成总计(2)若对月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中各随机选取1人进行追踪调查,求选中的2人中不赞成“楼市限购令”的人数至多1人的概率.参考数据：P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2=.【解析】(1)2×2列联表月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计赞成 3 29 32不赞成7 11 18总计10 40 50K2的观测值k=≈6.27<6.635,所以不能说在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.(2)从月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中各随机选取1人,共有50种取法.其中恰有2人都不赞成“楼市限购令”共有2种取法,所以选中的2人中至多1人不赞成“楼市限购令”共有48种方法,所以P==.16.【解析】(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,所以P(A)==.(2)由数据求得=11,=24.由公式求得=,再由=-=-.所以关于x的线性回归方程为=x-.(3)当x=10时,=,<2,同样,当x=6时,=,<2,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.。

n nnn高三数学第一轮复习单元测试（9）—《排列、组合、二项式、概率与统计》一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A ．从 10 只编号的球(0 号到 9 号)中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ(文)现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ）1 1 A ． ，1021 1B ． ，2 1011C ．，10 1019D ．，10 102．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有 45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900 个 B ．1080 个 C ．1260 个 D ．1800 个3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到 4 号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．10 种2n +1 与 A 3 的大小关系是（）2n +1 > A 3 2n +1 < A 3 2n +1 = A 3 D ．大小关系不定niilog 2 f (3) 5．(理)若 f (m )=∑ m Cn ，则i =01 A ．2 B ．2等于（）2 f (1) C ．1 D ．3（文）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A ．1320B ．288C ．1530D ．6706．(理)在二项式( x - i )6 的展开式中(其中i 2=－1)，各项系数的和为（）A ．64 iB ．－64 iC ．64D ．－643 4．A A ．A B ．A C ．A log（文）已知(2a3+ 1)n 的展开式的常数项是第7 项，则正整数n 的值为（）aA．7 B．8 C ．9 D．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。

2011—2012学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题（10）【新人教】命题X 围：概率与统计（理科加“排列、组合、二项式定理以及随机变量分布列”）说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（理）（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于（ ）A ．80B ．40C ．20D ．10（文）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．92 , 2 B ．92 , 2．8 C ．93 , 2D ．93 , 2．8 2．（理）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 （ ） A ．4种 B ．10种C ．18种D ．20种（文）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5）1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39． 5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是 （ ）A ．61B ．31 C ．21D ．323．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ）A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A ．17 B ．27 C ．37D ．476．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．2()P K k ≥0．050 0．010 0．001 k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”7．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是 （ ）A ．310B ．955C ．980D ．950（文）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4．6到5．0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2．7,78 D ．2．7,838．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。

限时规范特训A级基础达标1．某卫星将在某时落在地球的某个地方，砸中地球人的概率约为13200，为了研究中学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果.抽到关注且非常担心的问卷份数为()A．2 B．3C．5 D．10解析：设抽到关注且非常担心的问卷份数为y.易知x＝200，利用分层抽样的概念知，每个同学被抽到的概率相同，所以2002000＝y20，y＝2.答案：A2．某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另外一个职工的编号是()A．19 B．20C．18 D．21解析：设样本中另外一个职工的编号是x，则用系统抽样抽出的4个职工的号码从小到大依次为：6，x,32,45，它们构成等差数列，所以6＋45＝x＋32，x＝6＋45－32＝19，因此另外一个职工的编号是19.故选A.答案：A3．[2014·桂林模拟]某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A．6 B．8C．10 D．12解析：∵630＝15，∴在高二年级学生中应抽取的人数为40×15＝8，故选B.答案：B4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为()A．50 B．60C．70 D．80解析：n×33＋4＋7＝15，解得n＝70.答案：C5．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7.答案：B6．[2014·抚顺模拟]某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：四类食品的每一种被抽到的概率为2040＋10＋30＋20＝15，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×15＝6. 答案：C7．[2014·金版创新]网络上流行一种“QQ 农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：578．[2014·浙江五校联考]某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．解析：由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，在D 单位抽取的问卷数为n ，则有30a 2＝1501000，解得a 2＝200，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1000，即3a 2＋a 4＝1000，∴a 4＝400，∴n 400＝1501000，解得n ＝60.答案：609．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n ＝________.解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6，技术员人数为n 36·12＝n 3，技工人数为n 36·18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，从总体中剔除1个个体，系统抽样的间隔35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.答案：610．[2014·济南模拟]某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？解：(1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200， 设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12. ∴应在第三批次中抽取12名教职工．11．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：本村人口：1200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户； 抽样间隔120030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12； 确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户； 确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户； ……(1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)何处是用简单随机抽样？ 解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户收入情况进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为30030＝10，其他步骤相应改为：确定随机数字：取一张人民币，编码的最后一位为2. 确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户． 确定第二样本户：2＋10＝12,012号为第二样本户． ……(3)确定随机数字用的是简单随机抽样． 取一张人民币，编码的最后一位为2.12．[2014·天津模拟]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝315＝1 5.B级知能提升1．[2014·山东模拟]某高中共有学生2000名，各年级的男生、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()A.24 C ．16D ．12解析：二年级共有女生2000×0.19＝380(人)，因此三个年级各有学生人数为750人，750人，500人，比例为3∶3∶2，故应在三年级抽取学生人数为64×28＝16(人)．答案：C2．[2013·北京模拟]一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定若在第0组随机抽取的号码为x ，则第k 组中抽取的号码的后两位数为x ＋33k 的后两位数．当x ＝24时，所抽取样本的10个号码是________，若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，则x 的取值集合是________．解析：关键是“抽取的规则”①24,157,290,323,456,589,622,755,888,921，②“x ＋33k ”的后两位数等于87，应讨论k ＝0,1，…，9.解方程即可：x 取值：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.答案：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921 {87,54,21,88,55,22,89,56,23,90}3．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1) (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)． (3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3)，5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”．则A 中的基本事件有6种：Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3， 故所求概率为P (A )＝610＝35.。

第九章 概率、统计与统计案例第四节 概率与统计的综合问题课时规范练A 组——基础对点练1．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．若最高气温不低于25，则需求量为500瓶；若最高气温位于区间[20，25)，则需求量为300瓶；若最高气温低于20，则需求量为200瓶．为了确定6月份最高气温/℃[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 (1)求6月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设6月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当6月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率为0.8. 2．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率．解析：(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80.(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800⇒x≥50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.3．成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的学生利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．(1)否拥有驾驶证”有关？(2)若规定参加调查的200人中分数在70以上(含70)的为“具有较强安全意识”，从参加调查的200人中根据是否具有较强安全意识，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率．附表及公式：χ2＝n （ad －bc ）2，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：χ2＝200×（22×102－18×58）240×80×160×120＝7516＝4.687 5＞3.841. 所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与是否拥有驾驶证”有关．(2)5人中不具有较强安全意识的有3人，分别记为A ，B ，C ，“具有较强安全意识”的有2人，分别记为d ，e ，易知这是一个古典概型．则从5人中随机抽取3人构成的所有基本事件为(A ，B ，C )，(A ，B ，d )，(A ，B ，e )，(A ，C ，d )，(A ，C ，e )，(A ，d ，e )，(B ，C ，d )，(B ，C ，e )，(B ，d ，e )，(C ，d ，e )，共有10种； 抽取3人中恰有一人“具有较强安全意识”所包含的基本事件为(A ，B ，d )，(A ，B ，e )，(A ，C ，d )，(A ，C ，e )，(B ，C ，d )，(B ，C ，e )，共有6种．所以抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率P ＝610＝35. 4．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．解析：(1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50， 故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4. (2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －2，s 22.x －1＝81＋84＋92＋90＋935＝88， x －2＝79＋89＋84＋86＋875＝85， s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22， s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6， ∵88＞85，11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人，把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个，∴P (M )＝315＝15， 故这2人两科均获一等奖的概率为15.。

学习资料第九章 概率、统计与统计案例第三节 几何概型课时规范练A 组——基础对点练1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯"为事件A ，则P (A ）＝错误!＝错误!. 答案：B2．（2020·武汉武昌区调研)在区间［0，1］上随机取一个数x ，则事件“log 0.5（4x －3)≥0”发生的概率为 ( ) A.34B 。

错误! C.错误! D 。

错误!解析：因为log 0.5(4x －3）≥0，所以0<4x －3≤1，即错误!〈x ≤1，所以所求概率P ＝错误!＝错误!，故选D.答案：D3．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ,则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为 （ ) A 。

错误! B 。

错误!C.错误! D 。

错误!解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝错误!＝错误!.答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为错误!，则错误!＝ ( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由已知,点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝(错误!AB )2＋AD 2，解得（错误!）2＝错误!,即错误!＝错误!，故选D.答案：D5．在区间错误!上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于错误!与错误!之间的概率为( ）A.错误! B 。

错误!C.15D.16解析：区间错误!的长度为1，满足cos(πx )的值介于错误!与错误!之间的x ∈错误!∪错误!，区间长度为错误!,由几何概型概率公式得P ＝错误!＝错误!.答案：D6．如图，正三角形ABC 内的图形来自中国古代的太极图．正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称．在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （ )A。

第九章 统 计第47讲 抽样的方法、用样本估计总体链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2.ABD【解析】由题得(a ＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a ＝0.005，得分在[40,60)之间的有(0.005＋0.035)×10×100＝40(人)，故A 正确；得分在[60,80)的概率为(0.030＋0.020)×10＝0.5，故B 正确；设中位数为x ，则(x －60)×0.03＋0.35＋0.05＝0.5，得x ≈63.3，故C 错误；D 正确．故选ABD.3. 120【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B 层中每个个体被抽到的概率都为112，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112，所以总体中的个体数为10÷112＝120. 4.n <m <x－【解析】 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m ＝5.5；又5出现次数最多，故n ＝5；x－＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，故n <m <x －.5.16 18【解析】因为x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5，所以1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝5，所以1n(3x 1＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n )＋1＝3×5＋1＝16，因为x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为2，所以3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的方差是32×2＝18.知识聚焦 1. (3) 随机数表法 4. (4) m x －＋a m 2s 2 研题型·融会贯通分类解析【答案】 (1) A (2) BC【解析】(1) 因为某班级有男生20人，女生30人，抽取了4名男生，6名女生，20 30＝46，则可能采用简单随机抽样，无论哪种抽样，每个学生被抽到的概率都是相同的，故选A.(2) 随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是12，其编号是奇数的概率也是12，所以回答问题1且回答是的人数为1 000×12×12＝250，所以回答第二个问题，且为是的人数为270－250＝20，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为20500＝4%.估计被调查者中约有1000×4%＝40人吸烟．故表述正确的是BC.【解答】(1) 因为样本容量为120，男女生人数比为11∶13，所以样本中男生人数为120×1124＝55，女生人数为120×1324＝65，所以女生满意的人数为65－20＝45.样本中满意的总人数为30＋45＝75，满意的频率为75120＝58，故估计该校高二年级学生对线上教育满意的人数为600×58＝375.(2)由(1)可知男生满意的人数为30，女生满意的人数为45.按照分层抽样原则，抽取的5名学生中有2名男生，3名女生，再从中抽取3名学生，恰有一名男生的概率为2×310＝35.【解答】(1) 由(m＋0.010＋0.015＋2×0.020＋0.030)×10＝1，得m＝0.005，故这些男志愿者中有5人不适合献血．由(0.005＋0.010＋2n＋0.020＋0.035)×10＝1，得n＝0.015，故这些女志愿者中有15人不适合献血．综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．(2) 设男志愿者收缩压的中位数为x (mmHg)，则110<x <120. 由0.015×10＋0.020×10＋(x －110)×0.030＝0.5，得x ＝115， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg)．(3) 95×0.05＋105×0.10＋115×0.15＋125×0.35＋135×0.20＋145×0.15＝125， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg)．(1) 【答案】 ABD 【解析】对于A ，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为f ＝1－10×(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.15，所以第三组[60,70)的频数为120×0.15＝18(人)，故A 正确；对于B ，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B 正确；对于C ，又根据频率分布直方图知，样本的平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73.5(分)，故C 错误；对于D ，因为(0.05＋0.15＋0.15)×10＝0.35<0.5，(0.05＋0.15＋0.15＋0.3)×10>0.5，所以中位数位于[70,80)上，所以中位数的估计值为70＋0.5－0.350.030＝75，故D 正确．(2) 【解答】小明属于“网课潜能生”理由如下：由频率分布直方图得， x－＝85×0.05＋95×0.1＋105×0.15＋115×0.3＋125×0.2＋135×0.15＋145×0.05＝116.5，s ＝15，x －－s ＝101.5，x －＋s ＝131.5，“网课潜能生”在101.5的左侧，“网课优等生”在131.5右侧． 故小明属于“网课潜能生”．【解答】由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x 1，x 2，…，x 6，B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y 1，y 2，y 3，y 4； 记样本的平均数为x －，样本的方差为s 2， 由题意可知，x－＝110[(x 1＋x 2＋…＋x 6)＋(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)]＝110(5×6＋5.5×4)＝5.2，(x i －5.2)2＝[(x i －5)－0.2]2＝(x i －5)2－2×0.2(x i －5)＋0.22，i ＝1,2，…，6，(y i －5.2)2＝[(y i －5.5)＋0.3]2＝(y i －5.5)2＋2×0.3(y i －5.5)＋0.32，i ＝1,2，…，4，s 2＝110[(x 1－5.2)2＋(x 2－5.2)2＋…＋(x 6－5.2)2＋(y 1－5.2)2＋…＋(y 4－5.2)2]＝110(2×6－0＋0.22×6＋0.25×4＋0＋0.32×4)＝13.610＝1.36，所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36.【解答】 机床甲的数据的平均数为x－甲＝10＋9.8＋10＋10.24＝10.机床乙的数据的平均数为x －乙＝10.1＋10＋9.9＋104＝10，机床甲的方差s 2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10.2－10)2＋(10－10)2]＝0.02，机床乙的方差s 2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005，因为x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，所以乙台机床生产的零件质量更符合要求． 课堂评价 1. A 2.AD【解析】对于A ，由频率分布直方图的性质得(a ＋0.02＋0.035＋0.025＋a )×10＝1，解得a ＝0.01，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得成绩落在[70,80)的考生人数最多，故B 错误；对于C ，由频率分布直方图得[50,70)的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，[70,80)的频率为0.035×10＝0.35，所以成绩的中位数位于[70,80)内，故C 错误；对于D ，成绩的平均分为x－＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝75.5，所以成绩的平均分落在[70,80)内，故D 正确．3.BD【解析】已知2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，设X ＝(x 1，x 2，x 3，…，x n )，由E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝7，得E (X )＝3，由D (2X ＋1)＝4D (X )＝4，D (X )＝1，又3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ，方差为b ，则a ＝E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝11，b ＝D (3X ＋2)＝9D (X )＝9.4. ax ＋by ＋cz ＋dw a ＋b ＋c ＋d第48讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. A 3. C 4. A【解析】画出利润率与人均销售额的散点图如图所示．由图可知利润率与人均销售额正相关，故选A.(第4题)5. 68【解析】由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，所以a ＝68.知识聚焦1. (2) 正相关 负相关2. (1) 距离的平方和最小3. (1) 相关关系 (3) 正相关 负相关 越强 几乎不存在线性相关关系 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) B (2) ABC【解析】 对于A ，是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；对于B ，是相关关系，也是正相关关系，符合题意； 对于C ，是相关关系，是负相关关系，不符合题意；对于D ，散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．(2)ABC 中，散点图中的点大致分布在一条直线附近，成带状分布，所以变量间具有线性相关关系；D 中，散点图中的点分布杂乱无章，不在一条直线附近，也不成带状分布，所以变量间不具有线性相关关系．D【解答】 (1) x －＝16＋17＋18＋19＋205＝18，y －＝168＋146＋120＋90＋565＝116，b ∧＝∑i ＝1nxiyi －n x －y－∑i ＝1nx2i －n x －2＝－28，a ∧＝y －－b ∧x －＝116－18×(－28)＝620，所以线性回归方程为y ＝－28x ＋620，因为b∧＝－28<0， 所以此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加一元，销量减少28公斤．(2) 设日利润为ω元，则ω＝(620－28x )(x －15)＝－28x 2＋1 040x －9 300，因为此函数图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为x ＝ 1 04056＝1847，所以当x ＝19时，ω取得最大值．即该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的销售价应定为每公斤19元．【解答】 (1) 散点图如图：(变式)(2) x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5.b ∧＝∑i ＝14xiyi －4x －y －∑i ＝14x2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝3.55＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以y 关于x 的线性回归方程为y∧＝0.7x ＋0.35. (3) 在y∧＝0.7x ＋0.35中，取x ＝9，可得y ∧＝0.7×9＋0.35＝6.65. 所以预测2020年捐赠的现金大约是6.65万元．【解答】(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2,3，…，16)的相关系数为r ＝∑i ＝116 (x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116 (x i －x －)2∑i ＝116 (i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)由于x－＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．【解答】 (1) 由已知，∑i ＝120y i ＝1 200，所以20个样区野生动物数量的平均数为120∑i ＝120y i ＝60， 所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.(2) 因为∑i ＝120(x i －x －)2＝80，∑i ＝120(y i －y －)2＝9 000，∑i ＝120(x i －x －)(y i －y －)＝800，所以r ＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2＝80080×9 000＝223≈0.94.(3)更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．课堂评价 1.B【解析】把x ＝5代入回归方程y ＝0.4x ＋1.2中，得y ＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为3.25＝0.64＝64%.2.D【解析】甲、乙、丙三组数据的线性相关系数分别为0.939，0.937，0.948，所以线性相关系数最大的丙组数据的线性相关性最强，线性相关系数最小的乙组数据的线性相关性最弱．3.D【解析】每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关．由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第6个月开始减少，所以AB C正确，D错误．4. D 【解析】根据题意知，丁同学的相关系数|r|＝0.87为最大，所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．5. ABC 【解析】对于A，身高极差小于20，臂展极差大于等于20，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就会长一些，故B正确；对于C，身高为190 cm，代入回归方程可得臂展等于189.65 cm，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10 cm的两人臂展的估计值相差11.6 cm，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误．故选ABC.第49讲数据分析——分类变量与列联表链教材·夯基固本激活思维1. C2. B3. C4. A研题型·融会贯通分类解析【解答】(1) 由已知，该校有女生400人，所以12＋m 20＋8＝400560，解得m＝8，所以n＝20＋8＋12＋8＝48.(2) 根据题意补全列联表如下：由表中数据，计算K2＝228×20×32×16＝35≈0.685 7<3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一天参加社区服务时间是否超过4 h与性别有关．【解答】 (1) 家长所打分数的平均值为X－＝180×(5×4＋6×8＋7×20＋8×24＋9×16＋10×8)＝395.(2) 填写列联表如下：K 2＝80×(18×8－242×38×48×32≈10.827>7.879，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．【解答】 (1) 根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：由列联表可知，K 2＝2100×100×80×120≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关．(2) 记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内(含3年)换车， 由表知P (A 1)＝10100＋20100＋45100＝0.75， P (A 2)＝15100＋35100＋40100＝0.90， 因为P (A 1)<P (A 2)，所以小李应选择A 型出租车．【解答】 (1) 根据列联表，知K 2＝ 1 000×(5×580－20×395)2(5＋395)×(20＋580)×(5＋20)×(395＋580)≈4.274>3.841，所以有95%的把握认为人们对新冠肺炎病毒的抵抗力与坚持参加体育锻炼有关． (2)根据列联表，在按照分层抽样抽取的5人中，恰有1人坚持体育锻炼，记坚持体育锻炼的1人为A ，其他4人记为b ，c ，d ，e ，从这5人中随机抽取2人，基本事件为Ab ，Ac ，A d ，Ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10种，其中含A 的基本事件为Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，共有4种，所以恰好有1人坚持体育锻炼的概率为P ＝410＝25.【解答】(1)根据频率分布直方图知，0.005×10＋0.005×10＋0.020×10＝0.3,0.3＋0.030×10＝0.6，所以中位数在第4组，设中位数为70＋x，则0.3＋0.030×x＝0.5，解得x≈6.7，所以中位数为70＋x＝76.7，即对此事关注的学生政治成绩的中位数估计值为76.7.(2) ①由50×25＝20，且20×(0.3＋0.1)＝8,30×(0.15＋0.05)＝6，补全列联表如下；②由表中数据，计算K2＝50×(8×24－6×12)220×30×14×36＝5021≈2.381<2.706，所以没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．【解答】(1) 由频率分布直方图可得合格率为0.02×10＋0.03×10＋0.02×10＋0.01×10＝0.8，所以高一年级这次知识竞赛的合格率为80%.设成绩的中位数是x，则(0.01＋0.01＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，则x＝731 3.(2) 由题意得2×2列联表如下：由表中数据得到K2＝2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝×(80×40－20×60)2100×100×140×60≈9.524>7.879，所以有99.5%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．课堂评价1. C 【解析】因为P(K2≥k0)＝0.01表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，所以有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．2. C 【解析】 根据表中数据得列联表如下：计算K 2＝100250×50×70×30＝21≈4.762＞3.841，对照附表知，有95%的把握认为“从事教育工作与性别有关”． 3. D【解析】 由列联表中数据，计算K 2＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20＝253≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”．。

第十二章 概率与统计名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵乳类商品品牌总数为40＋10＋30＋20＝100(种)，∴用分层抽样方法抽取一个容量为20的样本，则应抽取酸奶和成人奶粉：20×⎝⎛⎭⎫10100＋20100＝6(种)，故选C.答案：C2．为了了解某地区高三学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁—18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图，则这100名学生中体重在[56.5,64.5]内的学生人数是( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：依题意，体重在[56.5,64.5]范围内的频率为(0.03×2＋0.05×2＋0.05×2＋0.07×2)＝0.4，所以这100名学生中体重在[56.5,64.5]内的学生人数是100×0.4＝40，选择C.答案：C3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.9解析：依题意P (0<ξ<2)＝0.4，P (0<ξ<2)＝Φ⎝⎛⎭⎫2－2σ－Φ⎝⎛⎭⎫0－2σ＝0.5－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫2σ－0.5＝0.4，所以Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝0.9，所以P (ξ<4)＝Φ⎝⎛⎭⎫4－2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝0.9，选D. 答案：D4．在某学校组织的一次数学模拟考试成绩统计中，工作人员采用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为50的样本进行统计．若每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1，则可知这个学校参加这次数学考试的人数是( )A ．100B ．500C ．225D ．600解析：设这个学校参加这次数学考试的人数为x ，由每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1得P ＝50x＝0.1，∴x ＝500，故选B.答案：B5．某校数学教研组为了了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )A ．15,16,19B ．15,17,18C ．14,17,19D ．15,16,20解析：依题意，高一、高二、高三抽取的人数分别是50600＋680＋720×600＝15，50600＋680＋720×680＝17，50600＋680＋720×720＝18，选B.答案：B6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,22)，则P (2<ξ<3)可以被表示为( ) A ．1－P (ξ<1) B.1－2P (ξ<1)2C ．P (0<ξ<1)D.12＋P (ξ<1) 解析：由题意得该正态曲线关于直线x ＝2对称，因此结合图形可知，P (2<ξ<3)＝12P (1<ξ<3)＝12[1－2P (ξ<1)]，选B. 答案：B7．为了解一片大约10000株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如下图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的树大约是( )A ．3000株B ．6000株C ．7000株D ．8000株解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的树大约是：10000×0.7＝7000，故选C.答案：C8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的期望为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.163解析：由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0＜a ＜23，0＜b ＜1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋2 2b a ·a 2b ＝163，且当a ＝2b 时取等号，即2a ＋13b的最小值为163，选D.答案：D9．甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下 射手甲射手乙A ．甲比乙优秀B ．乙比甲优秀C ．甲、乙水平相当D ．不能比较解析：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，Dξ1＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4， Dξ2＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8， 由Eξ1＝Eξ2＝9，Dξ1＝0.4＜Dξ2＝0.8可知甲更出色． 答案：A10．ξ的概率密度函数f (x )＝12π e －(x －1)22，下列错误的是( )A ．P (ξ＜1)＝P (ξ＞1)B ．P (－1≤ξ≤1)＝P (－1＜ξ＜1)C ．f (x )的渐近线是x ＝0D ．η＝ξ－1～N (0,1)解析：由题知：ξ～N (1,1)，函数图象对称轴是x ＝1，所以A 正确．又因为随机变量落在某个区间上的概率是该区间上概率密度曲线下方的面积，而在一点上的概率为0，即P (ξ＝－1)＝P (ξ＝1)＝0，故P (－1≤ξ≤1)＝P (ξ＝－1)＋P (－1＜ξ＜1)＋P (ξ＝1)＝P (－1＜ξ＜1)，所以，B 正确； η＝ξ－11～N (0,1)，即η＝ξ－1～N (0,1)．所以，D 正确．f (x )的渐近线是x 轴，即y ＝0，所以，只有C 错误． 答案：C11．ξ～N (－1，σ2)，且P (－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P (ξ≥1)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4解析：因为ξ～N (－1，σ2)，η＝ξ＋1σ～N (0,1)，所以，P (－3≤ξ≤－1) ＝P (ξ≤－1)－P (ξ≤－3) ＝Φ⎝⎛⎭⎫－1＋1σ－Φ⎝⎛⎭⎫－3＋1σ＝Φ(0)－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.5－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.4即Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.1，而P (ξ≥1)＝1－P (ξ＜1)＝1－Φ⎝⎛⎭⎫1＋1σ＝1－Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.1. 答案：A12．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A.706元 C ．754元D ．720元解析：本题考查期望的概念．节日期间预售的量Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则期望的利润η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450⇒Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706元．故期望利润为706元．故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a ＋0.020＋0.010)＝1，解得a ＝0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×10＝3人．答案：0.030 314．已知Φ(1)＝0.8413，正态总体N (2,9)在区间(－1,5)内的取值概率是______．解析：依题意知P (－1<ξ<5)＝Φ⎝⎛⎭⎫5－23－Φ⎝⎛⎭⎫－1－23＝Φ(1)－Φ(－1)＝Φ(1)－[1－Φ(1)]＝2Φ(1)－1＝0.6826.答案：0.682615．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Φ(x )＝P (ξ<x )，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x )＝1－Φ(－x )；③P (|ξ|<2)＝2Φ(2)－1.则正确的结论的序号是________．解析：依题意，Φ(0)＝1－Φ(－0)，∴Φ(0)＝12，①正确；Φ(x )＝P (ξ<x )＝P (ξ>－x )＝1－Φ(－x )，②正确；P (|ξ|<2)＝P (－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1，③正确．答案：①②③16．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图，可以看出，图象关于直线x ＝100对称；显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)，又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≥120)＝12×13＝16； ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2010·全国Ⅱ)如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率；(3)ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． 解析：记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． (1)A ＝A 1·A 2·A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1·A 2·A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3， 又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9.(2)B ＝A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3， P (B )＝P (A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3) ＝P (A 4)＋P (A 4·A 1·A 3)＋P (A 4·A 1·A 2·A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故ξ～B (4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.18．(本小题满分12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1(2)求p ，q 的值； (3)求数学期望Eξ.解析：事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3.由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A1A2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125.整理得pq ＝625，p ＋q ＝1.由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125. b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19．(本小题满分12分)一个正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1、x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)掷出的点数x 的可能取值为：1,2,3,4.则x －3的可能取值分别为：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有可能取值分别为：0,1,4. 因此ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8，此时，P (ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0，此时，P (ξ＝0)＝14×14＝116.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8. P (ξ＝0)＝P (ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)，即P (ξ＝1)＝416；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)，即P (ξ＝2)＝416；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值有(1,3)、(3,1)，即P (ξ＝4)＝216；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,2)、(2,1)、(1,4)、(4,1)，即P (ξ＝5)＝416.所以ξ的分布列为：即ξ的期望Eξ＝0×116＋1×14＋2×14＋4×18＋5×14＋8×116＝3.20．(本小题满分12分)设b 、c ∈{1,2,3,4,5,6}，用随机变量ξ表示方程2x 2＋cx ＋b ＝0的实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程2x 2＋cx ＋b ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)记“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有两个相异实根”为事件A .c ，b 分别取1到6，基本事件总数为6×6＝36种．事件B 需要满足c 2－8b ＝0，按序穷举可得，c ＝4时b ＝2符合，其概率为P (B )＝136. 事件A 需要满足c 2－8b >0，按序穷举可得，c ＝3时b ＝1；c ＝4时b ＝1；c ＝5时b ＝1,2,3；c ＝6时b ＝1,2,3,4.共计9种．其概率为P (A )＝936＝14.又因为B ，A 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (A )＝136＋936＝1036＝518.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝1)＝136，P (ξ＝2)＝936，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝1－136－936＝2636.故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望Eξ＝0×2636＋1×136＋2×936＝1936.21．(本小题满分12分)冬季运往四川灾区的一批棉衣成箱包装，每箱5件，当地安全质检部门在运出这批棉衣前任取3箱，然后再从每箱中任取2件棉衣进行检验，假设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)求被抽检的6件棉衣中恰有一件二等品的概率；(2)用ξ表示被抽检的6件棉衣中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望． 解析：(1)设被抽检的6件棉衣中恰有一件二等品的概率为P ， 则P ＝C 41C 52·C 32C 52＋C 42C 52·C 21·C 31C 52＝1225.(2)ξ表示被抽检的6件棉衣中的二等品的件数，则 P (ξ＝0)＝C 42C 52·C 32C 52＝950；P (ξ＝1)＝C 41C 52·C 32C 52＋C 42C 52·C 31·C 21C 52＝1225；P (ξ＝2)＝C 41C 52·C 31·C 21C 52＋C 42C 52·C 22C 52＝310；P (ξ＝3)＝C 41C 52·C 22C 52＝125.∴ξ的分布列为：Eξ＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝1.2.22．(本小题满分12分)一种赌博游戏，一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色外十二个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6个全白，赢得100元．只有你摸出了3红3白才会输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而且这个游戏是免费的(注：这个游戏有时称为“袋子”模型)．(1)请解释下面说法是否正确：用概率的语言说，这7种情况是等可能的，赢的机会为67，输的机会仅为17，摸7次有6次都应该赢．(2)很多人认为这种游戏非常令人心动．现在，请求出游戏者赢钱的数学期望，解释我们是否该“心动”．解析：(1)游戏中，任意摸6个球，不论红或白，共有C 126＝924种可能，而摸5红1白的概率为C 65·C 61C 126＝36924，摸3红3白的概率为C 63·C 63C 126＝400924.故输钱的可能性约占12，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗．现列出7种情况出现概率如下表所示.1000次中只有1次赢100元，这是一个小概率事件，根据实际推断原理，在一次摸球中，其基本上是不会发生的，而摸到3红3白的可能性为400924，即几乎每两次就有一次可能出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因．(2)为了进一步分析，我们设随机变量X 表示赢得的钱数，则X 的分布列应为：EX＝100×0.002＋50×0.078＋20×0.488－100×0.432＝－29.34.由期望的实际意义，我们每摸一次，就平均输掉29.34元，所以我们不该“心动”．。

高三数学单元练习题：概率与统计（Ⅰ）一、选择题 (每小题5分,共10小题,每小题有且只有一个正确的答案)1. 下列随机变量中,不是离散随机变量的是 ( ) A. 从10只编号的球 ( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码 ξ u B. 抛掷两个骰子,所得的最大点数ξC. [0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD. 一电信局在未来某日内接到的 电话呼叫次数ξ2. 某批量较大的产品的次品率为10%,从中任意连续取出4件,则其中恰好含有3件次品的概率是( )A. 0.0001B. 0.0036C. 0.0486D. 0.2916 3. 已知随机变量ξ的分布列为则ξA. 0.5 B. －1 C. 0 D. 14. 有N 件产品,其中有M 件次品,从中不放回地抽n 件产品,抽到的次品数的数学期望值是 ( )A. nB. (1)M n N - C. M n N D. (1)M n N+ 5. 某地招办为了解高考文科数学主观题的阅卷质量，将本试卷中封面保密号的尾数是21的全部抽出来复查，这种抽样方法采用的是（ ）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.有放回抽样 6. 已知随机变量ξ服从二项分布1~(6,)3B ξ,则P(ξ=2) = ( ) A.316B. 4243C. 16243D. 802437. 在某餐厅内抽取100人,其中有30人在15岁以下,35人在16至25岁,25人在26至45岁,10人在46岁以上,则数 0.35 是16到25岁人员占总体分布的 ( ) A. 概率 B. 频率 C. 累计频率 D. 频数8. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.49. 已知随机变量ξ的概率密度函数为 201()001x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨<>⎪⎩或,则11()42P ξ<<=( ) A.14 B. 17 C. 19 D. 31610. 某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,适合的抽取样本的方法是 ( ) A. 简单的随机抽样 B. 系统抽样 C. 先从老年中排除一人,再用分层抽样 D.分层抽样二、填空题 ( 每小题5分,共5个小题,25分)11. 一个容量为本数据,分组后,组距与频数如下: (]10,20,2; (]20,30, 3 ; (]30,40, 4 ;(]40,50, 5 ; (]50,60, 4 ; (]60,70, 2 .则样本在区间 (],50-∞上的频率为________________12. 某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p , 则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 13. 一射手对靶射击,直到第一次中靶为止.他每次射击中靶的概率是 0.9 ,他有3颗弹子,射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ=_______________14. 有一个简单的随机样本: 10, 12, 9, 14, 13 则样本平均数x =______ ,样本方差2s =______15. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。